7.3直线、平面垂直的判定与性质专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 以几何法与向量法双轨训练为核心，系统覆盖线面垂直判定与性质的概念辨析、综合证明及空间计算，突出逻辑推理与空间观念的递进培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础强化练|7题（选择4/填空1/解答2）|线面垂直判定定理应用、面面垂直性质转化、折叠问题不变量分析|从概念辨析（如面面垂直性质判断）到性质应用（如菱形中线面垂直证明），构建"判定-性质-应用"逻辑链| |综合提升练|5题（选择2/多选1/解答2）|空间直角坐标系建立、法向量求距离与二面角、三棱锥体积计算|从多面体垂直关系判断到复杂空间几何量计算，实现"基础应用-综合迁移"能力提升|

7.3　直线、平面垂直的判定与性质 基础强化练 1.(2026浙江新阵地教育联盟联考二)已知平面α,β互相垂直,则下列说法中正确的是 (　 　) A.若直线l∥α,则l∥β B.若直线l∥α,则l⊥β C.α内有无数条直线与β平行 D.α内的所有直线与β都垂直 2.(2026安徽马鞍山质检二)已知直线m,n与平面α,β,γ,则α⊥β的一个充分条件是 (　 　) A.m⊥α,m⊥β　　B.α⊥γ,β⊥γ C.m⊥β,m⊂α　　D.α∩β=n,m⊂α,m⊥n 3.(2026江苏南通月考)若将正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角后,则 (　 　) A.AB∥CD　　B.AD∥BC　　 C.AB⊥CD　　D.AC⊥BD 4.(多选)(2026江西南昌一模)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,M,N,P分别为CC1,BC,AA1的中点,则下列说法中正确的有 (　 　) A.A1B∥平面NPC1　　 B.平面ANC1⊥平面BB1C1C C.B1M⊥AC1　　 D.B1M⊥平面NPC1 5.(2026天津河北一模)如图,E,H,G,F是矩形ABCD中DC,CB,BA,AD边的中点,依次沿FE,EH,HG,GF,EG折叠,使得矩形四个顶点D,C,B,A重合于一点,得到三棱锥F-EHG.若AB=2,AD=2,则三棱锥F-EHG的体积为 　.  6.(2026江苏南京一模)如图,在四棱锥P-ABCD中,△PAD是等边三角形,底面ABCD是菱形,平面PAD⊥平面ABCD,AD⊥PB,O是AD的中点. (1)证明:OB⊥平面PAD; (2)若AB=4,求点O到平面PBC的距离. 7.(2026河南郑州二模)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,平面PAC⊥平面PBD,AB=AP=,AD=1,四棱锥P-ABCD的体积为2. (1)求证:BD⊥PC; (2)求平面PBC与平面PCD的夹角的余弦值. 综合提升练 1.(2026四川眉山二诊)在三棱锥P-ABC中,若PA⊥平面ABC,AB⊥BC,则平面ABC、平面PAB、平面PBC,平面PAC中相互垂直的共有 (　 　) A.1对　　B.2对　　C.3对　　D.4对 2.(2026山东日照一模)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为,圆锥A1O在正方体ABCD-A1B1C1D1内,且A1C垂直于圆锥A1O的底面,则该圆锥底面半径的最大值为 (　 　) A.　　B.1　　C.　　D.2 3.(多选)(2026广东广州天河二模)如图,在正四面体A-BCD中,点P,Q,E,F,G,H分别为各棱的中点,则 (　 　) A.HF⊥GH B.PQ⊥平面EFHG C.3V正四面体A-BCD=4V'三棱柱PEF-AGH D.直线DQ与直线PE所成角的余弦值为 4.(2026江苏G4联考)在空间几何体ABCDEP中,四边形ABCD是边长为2的正方形,PA垂直于平面ABCD,PA=,EC=ED=. (1)如图1,当平面ECD⊥平面ABCD时,证明:PA∥平面ECD; (2)如图2,当二面角E-CD-A为60°时,求点P到平面ECD的距离. 　 5.(2026辽宁锦州期末)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AD∥BC,AB⊥BC,E,F分别是棱PC,PB的中点,侧面PAB⊥底面ABCD,PA=AD=AB=1,BC=2. (1)证明:AF∥DE; (2)证明:平面PBC⊥平面PDC; (3)若∠PAB=120°,求二面角D-PB-C的正弦值. 参考答案 基础强化练 1.(2026浙江新阵地教育联盟联考二)已知平面α,β互相垂直,则下列说法中正确的是 (　C　) A.若直线l∥α,则l∥β B.若直线l∥α,则l⊥β C.α内有无数条直线与β平行 D.α内的所有直线与β都垂直 2.(2026安徽马鞍山质检二)已知直线m,n与平面α,β,γ,则α⊥β的一个充分条件是 (　C　) A.m⊥α,m⊥β　　B.α⊥γ,β⊥γ C.m⊥β,m⊂α　　D.α∩β=n,m⊂α,m⊥n 3.(2026江苏南通月考)若将正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角后,则 (　D　) A.AB∥CD　　B.AD∥BC　　 C.AB⊥CD　　D.AC⊥BD 4.(多选)(2026江西南昌一模)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,M,N,P分别为CC1,BC,AA1的中点,则下列说法中正确的有 (　BC　) A.A1B∥平面NPC1　　 B.平面ANC1⊥平面BB1C1C C.B1M⊥AC1　　 D.B1M⊥平面NPC1 5.(2026天津河北一模)如图,E,H,G,F是矩形ABCD中DC,CB,BA,AD边的中点,依次沿FE,EH,HG,GF,EG折叠,使得矩形四个顶点D,C,B,A重合于一点,得到三棱锥F-EHG.若AB=2,AD=2,则三棱锥F-EHG的体积为 　.  6.(2026江苏南京一模)如图,在四棱锥P-ABCD中,△PAD是等边三角形,底面ABCD是菱形,平面PAD⊥平面ABCD,AD⊥PB,O是AD的中点. (1)证明:OB⊥平面PAD; (2)若AB=4,求点O到平面PBC的距离. 解析　(1)证明:连接PO,因为△PAD是等边三角形,O是AD的中点, 所以AD⊥PO. 又因为AD⊥PB,PO,PB⊂平面POB,PO∩PB=P, 所以AD⊥平面POB. 因为OB⊂平面POB,所以AD⊥OB. 因为平面PAD⊥平面ABCD, 平面PAD∩平面ABCD=AD,OB⊥AD,OB⊂平面ABCD, 所以OB⊥平面PAD. (2)解法一:在菱形ABCD中,AD∥BC, 又因为AD⊥平面POB, 所以BC⊥平面POB. 在平面POB内,作OH⊥PB于H. 因为BC⊥平面POB,OH⊂平面POB, 所以OH⊥BC. 又因为OH⊥PB,PB,BC⊂平面PBC,PB∩BC=B, 所以OH⊥平面PBC, 所以OH的长度为点O到平面PBC的距离. 在Rt△AOB中,因为AB=4,AO=2,∠AOB=90°, 所以OB=2,同理PO=2. 因为OB⊥平面PAD,OP⊂平面PAD, 所以OB⊥OP. 在Rt△POB中,因为OB=OP=2, 所以PB边上的高OH=. 即点O到平面PBC的距离为. 解法二:由(1)得OP,OB,AD两两垂直,故以{,,}为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz, 则P(0,0,2),B(0,2,0),C(-4,2,0), 则=(0,2,-2),=(-4,0,0),=(0,0,2). 设平面PBC的法向量为n=(x,y,z), 所以所以 所以n=(0,1,1)是平面PBC的一个法向量. 所以点O到平面PBC的距离d===. 7.(2026河南郑州二模)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,平面PAC⊥平面PBD,AB=AP=,AD=1,四棱锥P-ABCD的体积为2. (1)求证:BD⊥PC; (2)求平面PBC与平面PCD的夹角的余弦值. 解析　(1)证明:设AC∩BD=O,连接PO,在平面PAC内,过点A作AH⊥PO,垂足为H, 因为平面PAC⊥平面PBD,平面PAC∩平面PBD=PO, 所以AH⊥平面PBD, 又BD⊂平面PBD,所以BD⊥AH, 因为PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以BD⊥PA, 因为BD⊥AH,PA∩AH=A,PA⊂平面PAC,AH⊂平面PAC, 所以BD⊥平面PAC, 又因为PC⊂平面PAC,所以BD⊥PC. (2)在△ABD中,由AB=,AD=1,AB⊥AD,可得BD=2,∠ABD=, 由(1)知BD⊥平面PAC,因为AC⊂平面PAC,故BD⊥AC,则∠BAO=,VP-ABCD= S四边形ABCD·PA=××2AC×=2, 解得AC=2,所以BC==3,则AB2+BC2=AC2,则AB⊥BC, 因为PA⊥平面ABCD,AB,AD⊂平面ABCD,所以AP⊥AB,AP⊥AD, 以AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 所以P(0,0,),A(0,0,0),B(,0,0),D(0,1,0),C(,3,0),则=(0,3,0),=(-,0,),=(0,1,-),=(,3,-), 设平面PBC的法向量为n=(x,y,z), 则 取n=(1,0,1), 设平面PCD的法向量为m=(x1,y1,z1), 则 取m=(-2,,1), 所以cos<n,m>===-, 所以平面PBC与平面PCD的夹角的余弦值为. 综合提升练 1.(2026四川眉山二诊)在三棱锥P-ABC中,若PA⊥平面ABC,AB⊥BC,则平面ABC、平面PAB、平面PBC,平面PAC中相互垂直的共有 (　C　) A.1对　　B.2对　　C.3对　　D.4对 2.(2026山东日照一模)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为,圆锥A1O在正方体ABCD-A1B1C1D1内,且A1C垂直于圆锥A1O的底面,则该圆锥底面半径的最大值为 (　C　) A.　　B.1　　C.　　D.2 3.(多选)(2026广东广州天河二模)如图,在正四面体A-BCD中,点P,Q,E,F,G,H分别为各棱的中点,则 (　ABD　) A.HF⊥GH B.PQ⊥平面EFHG C.3V正四面体A-BCD=4V'三棱柱PEF-AGH D.直线DQ与直线PE所成角的余弦值为 4.(2026江苏G4联考)在空间几何体ABCDEP中,四边形ABCD是边长为2的正方形,PA垂直于平面ABCD,PA=,EC=ED=. (1)如图1,当平面ECD⊥平面ABCD时,证明:PA∥平面ECD; (2)如图2,当二面角E-CD-A为60°时,求点P到平面ECD的距离. 　 解析　(1)证明:取CD的中点G,连接EG,∵EC=ED, ∴EG⊥CD. 又∵平面ECD⊥平面ABCD,平面ECD∩平面ABCD=CD,∴EG⊥平面ABCD, 又∵PA⊥平面ABCD,∴PA∥EG, ∵PA⊄平面ECD,EG⊂平面ECD, ∴PA∥平面ECD. (2)过E作EH⊥平面ABCD于H,过H作HR⊥CD于R,连接ER,则ER⊥CD(三垂线定理), 则R为CD的中点,且∠ERH=60°,则ER==2,∴HR=1,EH=,如图,建系, 则P(0,0,),E(1,1,),C(2,2,0),D(0,2,0), ∴=(1,1,0),=(1,1,-),=(-2,0,0), 设平面ECD的法向量为n=(x,y,z), 则即 令y=,则z=1,n=(0,,1), 设P到平面ECD的距离为h, 则h==. 5.(2026辽宁锦州期末)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AD∥BC,AB⊥BC,E,F分别是棱PC,PB的中点,侧面PAB⊥底面ABCD,PA=AD=AB=1,BC=2. (1)证明:AF∥DE; (2)证明:平面PBC⊥平面PDC; (3)若∠PAB=120°,求二面角D-PB-C的正弦值. 解析　(1)证明:因为E,F分别是棱PC,PB的中点, 所以EF∥BC且EF=BC, 又AD∥BC且AD=BC, 所以EF∥AD且EF=AD, 所以四边形EFAD是平行四边形, 所以AF∥DE. (2)证明:因为PA=AB,F是PB的中点, 所以AF⊥PB, 又因为侧面PAB⊥底面ABCD,AB是其交线,且AB⊥BC,BC⊂底面ABCD, 所以BC⊥平面PAB, 因为AF⊂平面PAB,所以BC⊥AF, 又PB∩BC=B,PB,BC⊂平面PBC, 所以AF⊥平面PBC, 由(1)知AF∥DE,所以DE⊥平面PBC, 又因为DE⊂平面PDC, 所以平面PBC⊥平面PDC. (3)因为侧面PAB⊥底面ABCD,且侧面PAB∩底面ABCD=AB,所以在平面PAB内,过点A作AB的垂线,则该垂线垂直于平面ABCD,以该垂线为z轴,A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),P,F,则=,=(-1,1,0),=, 由(2)知AF⊥平面PBC,则=是平面PBC的一个法向量, 设平面PBD的法向量为n=(x,y,z), 则即 令x=1,得n=(1,1,), 所以cos<,n>===, 所以二面角D-PB-C的正弦值是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $