第七章 课时作业6 直线、平面垂直的判定与性质-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦直线与平面垂直的判定与性质，通过基础辨析、综合应用到拓展探究的分层设计，强化逻辑推理与空间观念，适配一轮复习知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|垂直关系的概念辨析、充分必要条件判断|以单选1-3、填空10为主，通过命题真假判断巩固定义，培养抽象能力| |提升层|几何体中垂直关系的判定与性质应用|结合高考真题（单选3、6）及多选题，考查面面垂直、线面垂直综合推理，发展直观想象| |综合层|垂直关系的证明与距离计算|解答题13-14多问递进，涉及面面平行、垂直证明及距离求解，深化逻辑推理与数学表达|

课时6 直线、平面垂直的判定与性质 一、单选题 1．已知直线m，n和平面α，如果n⊂α，那么“m⊥n”是“m⊥α”的(　 　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，则下列命题为真命题的是(　 　) A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥α B．若m∥α，n∥α，则m∥n C．若m⊥β，m∥α，则α⊥β D．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ 3．（2026·天津高考）若为直线，，为两个平面，则下列结论中正确的是　　 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 4．如图，AB是圆柱上底面的一条直径，C是上底面圆周上异于A，B的一点，D为下底面圆周上一点，且AD垂直于圆柱的底面，则必有(　 　) A．平面ABC⊥平面BCD B．平面BCD⊥平面ACD C．平面ABD⊥平面ACD D．平面BCD⊥平面ABD 5．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，M，N分别为AB，BB1，DD1的中点，则与平面MNP垂直的直线可以是(　 　) A．A1B B．A1D C．AC1 D．A1C 6．(2026·湖南娄底市一模)已知四棱锥P－ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，E为棱PC的中点，则(　 　) A．BE∥平面PAD B．PD⊥平面ABCD C．平面PAB⊥平面PAD D．DE＝EB 二、多选题 7、(2026·广东佛山市禅城区一调)已知直线a，b与平面α，β，γ，下列条件是使得α⊥β成立的充分条件的有 (　 　) A．α⊥γ，β⊥γ B．α∥γ，β⊥γ C．α∩β＝b，a⊥b，a⊂α D．a∥b，b⊥β，a⊂α 8．(2026·安徽马鞍山市模拟)在四棱锥P－ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，下列说法正确的有(　 　) A．若PC⊥BD，则AC⊥BD B．若AC⊥BD，则PB＝PD C．若PB＝PD，则AB＝AD D．若AB＝AD，则PC⊥BD 9、（2026·新高考Ⅰ卷）在正三棱柱中，为棱的中点，则有　　 A． B．平面 C．平面 D．   三、填空题 10、已知平面α，β和直线m，有以下条件：①m∥α；②m⊥α；③mα；④)α⊥β；⑤α∥β.其中，当条件 成立时，有m∥β；当条件 成立时，有m⊥β.(填序号) 11．设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E是棱A1B1的中点，则点E到平面ABC1D1的距离为__ __． 12．在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠BAC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是线段AB上的一动点，则PM长的最小值为 ． 四、解答题 13．(2026·湖北黄冈中学模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是棱CD和PC的中点，求证： (1)PA⊥平面ABCD； (2)平面BEF∥平面PAD； (3)平面BEF⊥平面PCD. 14．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，E是棱BB1上的一点，且EB1＝1，D，F，G分别是棱CC1，B1C1，A1C1的中点，EF与B1D交于点H． (1) 求证：B1D⊥平面ABD； (2) 求平面EGF与平面ABD间的距离． 课时6 直线、平面垂直的判定与性质参考答案 1．B【解析】n⊂α，m⊥n m⊥α，充分性不成立；若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，必要性成立．故“m⊥n”是“m⊥α”的必要不充分条件．故选B. 2．C【解析】对于选项A，若m⊂β，α⊥β，则m与α相交、平行或m⊂α，故A错误． 对于选项B，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故B错误． 对于选项C，若m⊥β，m∥α，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确． 对于选项D，若α⊥γ，α⊥β，则β与γ相交或平行，故D错误．故选C. 3．C【解析】对于选项，若，，则与可能平行也可能异面，故错误； 对于选项，若，，则，故错误； 对于选项，若，，则，正确； 对于选项，若，，则可能平行于，也可能与斜交，也可能垂直于，故错误．故选． 4．B【解析】因为AB是圆柱上底面圆的一条直径，所以AC⊥BC.又AD垂直于圆柱的底面，所以AD⊥BC.因为AC∩AD＝A，AC，AD⊂平面ACD，所以BC⊥平面ACD．因为BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面ACD．故选B. 5．D【解析】如图，连接AB1，B1D1，AD1，A1C1，A1C.因为P，M，N分别为AB，BB1，DD1的中点，故MP∥AB1，B1D1∥MN．又MP⊄平面AB1D1，AB1⊂平面AB1D1，故MP∥平面AB1D1．又MN⊄平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，故MN∥平面AB1D1．又MP∩MN＝M，MP，MN⊂平面MNP，故平面MNP∥平面AB1D1，则垂直于平面MNP的直线一定垂直于平面AB1D1．显然CC1⊥平面A1B1C1D1，B1D1⊂平面A1B1C1D1，故B1D1⊥CC1，又B1D1⊥A1C1，A1C1∩CC1＝C1，A1C1，CC1⊂平面A1C1C，故B1D1⊥平面A1C1C．又A1C⊂平面A1C1C，故A1C⊥B1D1．同理可得A1C⊥AB1，又AB1∩B1D1＝B1，AB1，B1D1⊂平面AB1D1，故A1C⊥平面AB1D1，也即A1C⊥平面MNP．若其他选项的直线垂直于平面MNP，则要与A1C平行，显然都不平行．故选D. 6.C【解析】对于选项A，易知BC∥平面PAD，因为BE∩BC＝B，且两条直线都在平面PBC内，所以BE不可能平行于平面PAD，故A错误． 对于选项B，因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，若PD⊥平面ABCD，则PD⊥AD，由题设条件知不一定成立，故B错误． 对于选项C，因为四边形ABCD是正方形，所以AB⊥AD．由以上分析知AB⊥平面PAD．又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD，故C正确． 对于选项D，没有任何条件可以证明DE＝EB，故D错误．故选C. 7、 BD【解析】对于选项A，α⊥γ，β⊥γ，α，β也可能平行，故错误； 对于选项B，若α∥γ，β⊥γ，则α⊥β，故正确； 对于选项C，α∩β＝b，a⊥b，a⊂α，由线面垂直的判定定理可知a不一定垂直于β，故α，β也不一定垂直，故错误； 对于选项D，由a∥b，b⊥β，可得a⊥β，再由a⊂α，可证α⊥β，故正确．故选BD. 8．AC【解析】因为PA⊥平面ABCD，AB，AD，BD⊂平面ABCD，则PA⊥AB，PA⊥AD，PA⊥BD． 对于选项A，D，若PC⊥BD，且PA∩PC＝P，PA，PC⊂平面PAC，可得BD⊥平面PAC，又AC⊂平面PAC，所以AC⊥BD．同理，若AC⊥BD，可得PC⊥BD，即PC⊥BD等价于AC⊥BD，由AB＝AD不能推出AC⊥BD，即AB＝AD不能推出PC⊥BD，故A正确，D错误． 对于选项B，C，若PB＝PD，可知Rt△PAB≌Rt△PAD，所以AB＝AD，反之，AB＝AD，可知Rt△PAB≌Rt△PAD，所以PB＝PD，即PB＝PD等价于AB＝AD，由AC⊥BD不能推出AB＝AD，即AC⊥BD不能推出PB＝PD，故B错误，C正确．故选AC. 9、BC【解析】在正三棱柱中，为中点. 对于选项，取中点，连接，，因为，，所以与不垂直，即与不垂直，故错误； 对于选项，，，，平面，故正确； 对于选项，，平面，平面，平面，故正确； 对于选项，，，与不平行，故错误．故选． 10、③⑤；②⑤【解析】根据面面平行的特征可得，若mα，α∥β，则m∥β；根据线面垂直以及面面平行的特征可得，若m⊥α，α∥β，则m⊥β. 11．【解析】因为A1B1∥AB，所以A1B1∥平面ABC1D1，因此点E到平面ABC1D1的距离等于点B1到平面ABC1D1的距离．连接B1C，交BC1于点O．由于B1O⊥BC1，B1O⊥AB，AB∩BC1＝B，所以B1O⊥平面ABC1D1，所以B1O为点E到平面ABC1D1的距离．由正方形的性质可知B1O＝B1C＝×2＝． 12．2【解析】由题意，M是边AB上的一动点，则PM长的最小值，就是P到AB的距离，即PM⊥AB．如图所示，因为PC⊥平面ABC，PM⊥AB，由三垂线定理的逆定理，得CM⊥AB，则△PCM是直角三角形，故PM2＝PC2＋CM2，所以当CM⊥AB时，CM的长最小，此时PM也最小.由条件知AC＝4，BC＝4，故CM长的最小值为2．又PC＝4，则PM长的最小值为＝2． 13．【证明】(1)因为平面PAD⊥平面ABCD，且PA⊂平面PAD，PA⊥AD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PA⊥平面ABCD. (2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E是CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE，所以四边形ABED是平行四边形，所以AD∥BE. 因为BE平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BE∥平面PAD. 因为E和F分别是CD和PC的中点，所以EF∥PD.因为EF平面PAD，PD⊂平面PAD，所以EF∥平面PAD. 因为BE∩EF＝E，BE，EF⊂平面BEF，所以平面BEF∥平面PAD. (3)因为AB⊥AD，所以平行四边形ABED是矩形，所以BE⊥CD，AD⊥CD，由(1)知PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD. 因为PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF，所以CD⊥EF.又因为BE∩EF＝E，所以CD⊥平面BEF.因为CD⊂平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD. 14.（1）【证明】由直三棱柱的性质得平面ABC⊥平面BB1C1C，又AB⊥BC，平面ABC∩平面BB1C1C＝BC，AB⊂平面ABC，所以AB⊥平面BB1C1C.又B1D⊂平面BB1C1C，所以AB⊥B1D．因为BC＝CD＝DC1＝B1C1＝2，所以在Rt△DCB和Rt△DC1B1中，∠BDC＝∠B1DC1＝45°，所以∠BDB1＝90°，即B1D⊥BD．又AB∩BD＝B，AB，BD⊂平面ABD，所以B1D⊥平面ABD． （2）【解】由题知EB1＝B1F＝1，所以在Rt△EB1F中，∠FEB1＝45°，又∠DBB1＝45°，所以EF∥BD．因为BD⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，所以EF∥平面ABD．因为G，F分别为A1C1，B1C1的中点，所以GF∥A1B1．又A1B1∥AB，所以GF∥AB，因为AB⊂平面ABD，GF⊄平面ABD，所以GF∥平面ABD．因为EF⊂平面EFG，GF⊂平面EFG，EF∩GF＝F，所以平面EFG∥平面ABD．因为B1D⊥平面ABD，所以B1D⊥平面EGF，所以HD为平面EFG与平面ABD之间的距离，所以HD＝B1D－B1H＝2－＝，即平面EFG与ABD之间的距离为． . 学科网（北京）股份有限公司 $