第45讲直线、平面垂直的判定与性质专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦直线、平面垂直的判定与性质，以题载法构建“概念辨析-模型应用-综合证明”三阶训练体系，强化空间观念与逻辑推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念辨析|4题（如第1-4题）|线面垂直性质转化、空间位置关系判定|线线垂直→线面垂直概念生成| |空间模型应用|3题（正方体/棱锥等）|辅助线构造、动态垂直关系分析|从特殊几何体到一般空间关系推导| |综合证明计算|3题（如第14-16题）|线面垂直判定定理应用、二面角定义法计算|判定定理→性质应用→度量计算拓展|

第45讲　直线、平面垂直的判定与性质 (时间:45分钟) 1.已知直线a⊥平面α,b∥α,则 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.a⊥b,且a与b相交 B.a⊥b,且a与b不相交 C.a⊥b D.a与b不一定垂直 2.[2024·苏北七市二调] 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列关系正确的是 (　 ) A.AD⊥B1C B.A1D⊥BD C.AC1⊥A1C D.AC1⊥CD1 3.设a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,若a⊂α,b⊂β,α⊥β,则“a⊥β”是“a⊥b”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线m,n分别在平面ABCD和ABB1A1上,且m⊥n,则下列说法中正确的是 (　 ) A.若m垂直于AB,则n垂直于AB B.若m垂直于AB,则n不垂直于AB C.若m不垂直于AB,则n垂直于AB D.若m不垂直于AB,则n不垂直于AB 5.《蝶恋花·春景》是北宋大文豪苏轼所写的一首词作.其下阙为:“墙里秋千墙外道,墙外行人,墙里佳人笑,笑渐不闻声渐悄,多情却被无情恼.”如图所示,假如将墙看作一个平面,墙外的道路、秋千绳、秋千板看作是直线,那么道路和墙面线面平行,秋千静止时,秋千板与墙面线面垂直,秋千绳与墙面线面平行.那么当佳人在荡秋千的过程中,下列说法错误的是 (　 ) A.秋千绳与墙面始终平行 B.秋千绳与道路始终垂直 C.秋千板与墙面始终垂直 D.秋千板与道路始终垂直 6.已知α,β是两个不同的平面,m,n是平面α及β之外的两条不同直线,给出下列四个论断: ①m⊥n;②m⊥α;③n⊥β;④α⊥β. 请你根据上面四个论断写出一个真命题:　　　　　　　　.  7.[2024·湖北新高考协作体联考] 已知a,b是不同的直线,α,β是不同的平面,给出下列四个结论: ①若a∥α,a∥β,则α∥β; ②若a∥b,a∥α,则b∥α; ③若a⊥α,a⊥β,则α∥β; ④若α⊥β,a∥α,则a⊥β. 其中正确结论的序号是　　　　.  8.已知点P,Q分别在平面ABCD的两侧,四棱锥P-ABCD与四棱锥Q-ABCD的所有侧棱长均为2,则下列结论正确的是 (　 ) A.四边形ABCD可能是AB=AC=2的菱形 B.四边形ABCD一定是正方形 C.四边形ABCD不可能是直角梯形 D.平面APQ不一定与平面ABCD垂直 9.在某次数学探究活动中,小明先将一副三角板按照图①的方式进行拼接,然后他又将三角板ABC折起,使得二面角A-BC-D为直二面角,得到如图②所示的四面体A-BCD.小明对四面体A-BCD中的直线、平面的位置关系作出了如下判断,其中不正确的是 (　 ) A.CD⊥平面ABC B.AB⊥平面ACD C.平面ABD⊥平面ACD D.平面ABD⊥平面BCD 10.过△ABC所在平面α外的一点P,作PO⊥α,垂足为O,若点P到直线AB,AC和BC的距离都相等,则点O是△ABC的 (　 ) A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 11.(多选题)[2024·山西吕梁二模] 如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是正方形,O为A1C1与B1D1的交点,则下列条件中能成为“AC1=A1C”的必要条件的有 (　 ) A.四边形ACC1A1是矩形 B.平面ABB1A1⊥平面ACC1A1 C.平面BDD1B1⊥平面ABCD D.直线OA,BC所成的角与直线OC,AB所成的角相等 12.如图所示,已知正方形ABCD和正方形DCEF不在同一平面内,M,N分别为AB,DF的中点.若CD=2,平面ABCD⊥平面DCEF,则MN=　　　　.  13.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,点E为线段CD的中点,沿直线AE将△ADE翻折,点D运动到点P的位置.当平面PAE⊥平面ABCE时,三棱锥P-ABC的体积为　　　　.  14.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,点O为AD的中点, ∠APD=90°且AD=PB,求证:OB⊥平面PAD. 15.[2024·安徽合肥一中期末] 如图,多面体ABCDEF是由一个正四棱锥A-BCDE与一个三棱锥F-ADE拼接而成的,AF∥CD,在棱DE上找一点G,使得平面ABC⊥平面AFG,并证明你的结论. 16.[2024·巴蜀中学模拟] 如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,BB1=,D为AC的中点. (1)证明:AB1⊥BC1; (2)求三棱锥D-BCC1的体积; (3)求平面DBC1与平面BCC1夹角的大小. 参考答案 第45讲　直线、平面垂直的判定与性质 1.C　[解析] ∵b∥α,∴b平行于α内的某一条直线,设为b',∵a⊥平面α,且b'⊂平面α,∴a⊥b',∴a⊥b,但a与b可能相交,也可能异面.故选C. 2.D　[解析] 如图,对于A选项,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AD∥BC,显然BC与B1C不垂直,故AD与B1C不垂直,故A错误;对于B选项,连接A1B,可知△A1BD为等边三角形,故A1D与BD成60°角,故B错误;对于C选项,连接A1C1,AC,易知四边形ACC1A1为矩形,故AC1与A1C不垂直,故C错误;对于D选项,连接C1D,因为AD⊥平面CDD1C1,CD1⊂平面CDD1C1,所以AD⊥CD1,又CD1⊥C1D,C1D∩AD=D,C1D,AD⊂平面ADC1,所以CD1⊥平面ADC1,又AC1⊂平面ADC1,所以AC1⊥CD1,故D正确.故选D. 3.A　[解析] 若a⊥β,由b⊂β可知a⊥b成立;若a⊥b,可能a∥β或a与β相交,故不一定有a⊥β.所以“a⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件.故选A. 4.C　[解析] 若m垂直于AB,由平面ABCD⊥平面ABB1A1,得平面ABB1A1内的所有直线均与m垂直,无法证明AB和n的关系,故A,B错误;若m不垂直于AB,因为BB1⊥m,所以当m⊥n时,BB1∥n,又因为BB1⊥AB,所以n垂直于AB,故C正确,D错误.故选C. 5.B　[解析] 显然,在荡秋千的过程中,秋千绳与墙面始终平行,但与道路所成的角在变化,秋千板与墙面垂直,故也与道路始终垂直.故选B. 6.m⊥α,n⊥β,α⊥β⇒m⊥n(或m⊥n,m⊥α,n⊥β⇒α⊥β)　[解析] 由α,β是两个不同的平面,m,n是平面α及β之外的两条不同直线,构造命题:m⊥α,n⊥β,α⊥β⇒m⊥n.由面面垂直的性质定理得m⊥n.构造命题:m⊥n,m⊥α,n⊥β⇒α⊥β,由面面垂直的判定定理得α⊥β.构造命题:α⊥β,n⊥β,m⊥n⇒m⊥α,但这里m与α相交、平行或m⊂α,故得不出m⊥α.构造命题:m⊥n,α⊥β,m⊥α⇒n⊥β,但这里n与β相交、平行或n⊂β,故得不出n⊥β. 7.③　[解析] 对于①,设α∩β=l,当a∥l,a⊄α,a⊄β时,a∥α,a∥β,所以α与β不一定平行,所以①不正确;对于②,若a∥b,a∥α,则b∥α或b⊂α,所以②不正确;对于③,由a⊥α,a⊥β,根据垂直于同一直线的两个平面平行,得α∥β,所以③正确;对于④,若α⊥β,a∥α,则a与β的位置关系不确定,所以④不正确. 8.C　[解析] 因为四棱锥P-ABCD与四棱锥Q-ABCD的所有侧棱长均为2,所以点P,Q在底面ABCD上的射影都是四边形ABCD的外心,所以两射影重合,即有PQ⊥平面ABCD,且四边形ABCD有外接圆.对于选项A,当四边形ABCD是AB=AC=2的菱形时,四边形ABCD没有外接圆,所以选项A错误;对于选项B,当四边形ABCD是矩形时,显然满足题意,所以选项B错误;对于选项C,因为直角梯形没有外接圆,所以选项C正确;对于选项D,因为PQ⊥平面ABCD,又PQ⊂平面APQ,所以平面APQ⊥平面ABCD,所以选项D错误.故选C. 9.D　[解析] 对于A,因为二面角A-BC-D为直二面角,所以平面ABC⊥平面BCD,又因为平面ABC∩平面BCD=BC,CD⊥BC,且CD⊂平面BCD,所以CD⊥平面ABC,所以A中判断正确;对于B,由CD⊥平面ABC,AB⊂平面ABC,可得CD⊥AB,又因为AB⊥AC,且AC∩CD=C,AC,CD⊂平面ACD,所以AB⊥平面ACD,故B中判断正确;对于C,因为AB⊥平面ACD,且AB⊂平面ABD,所以平面ABD⊥平面ACD,故C中判断正确;对于D,因为CD⊥平面ABC,CD⊂平面BCD,所以平面ABC⊥平面BCD,若平面ABD⊥平面BCD,且平面ABC∩平面ABD=AB,则AB⊥平面BCD,又BC⊂平面BCD,可得AB⊥BC,因为AB与BC不垂直,矛盾,所以平面ABD与平面BCD不垂直,故D中判断不正确.故选D. 10.A　[解析] 如图,过P作PE⊥AB于E,PF⊥BC于F,PD⊥AC于D,则PE=PF=PD,连接OD,OE,OF,∵PO⊥平面ABC,AC⊂平面ABC,AB⊂平面ABC,BC⊂平面ABC,∴PO⊥AC,PO⊥AB,PO⊥BC,又PO∩PD=P,PO∩PE=P,PO∩PF=P,∴AC⊥平面POD,AB⊥平面POE,BC⊥平面POF,又OD⊂平面POD,OE⊂平面POE,OF⊂平面POF,∴AC⊥OD,AB⊥OE,BC⊥OF.在Rt△POD,Rt△POE,Rt△POF中,OD=,OE=,OF=,∵PE=PF=PD,∴OD=OE=OF,故O一定是△ABC的内心.故选A. 11.ACD　[解析] 要成为“AC1=A1C”的必要条件,则该条件可由“AC1=A1C”推出.对于A,因为在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1∥CC1,AA1=CC1,所以四边形ACC1A1为平行四边形,又AC1=A1C,所以四边形ACC1A1为矩形,故A正确;对于B,假设平面ABB1A1⊥平面ACC1A1,由选项A可知四边形ACC1A1为矩形,则AC⊥AA1,又平面ABB1A1∩平面ACC1A1=AA1,AC⊂平面ACC1A1,所以AC⊥平面ABB1A1,因为AB⊂平面ABB1A1,所以AC⊥AB,与四边形ABCD为正方形矛盾,故B错误;对于C,因为四边形ABCD是正方形,所以AC⊥BD,因为AC⊥AA1,AA1∥BB1,所以AC⊥BB1,又BB1∩BD=B,BB1,BD⊂平面BDD1B1,所以AC⊥平面BDD1B1,又AC⊂平面ABCD,所以平面BDD1B1⊥平面ABCD,故C正确;对于D,因为四边形ACC1A1为矩形,O为A1C1的中点,易得OA=OC,又正方形ABCD中,AD=CD,OD是公共边,所以△OAD≌△OCD,则∠OAD=∠OCD,又BC∥AD,AB∥CD,所以∠OAD,∠OCD分别为直线OA,BC所成的角(或其补角)与直线OC,AB所成的角(或其补角),则直线OA,BC所成的角与直线OC,AB所成的角相等,故D正确.故选ACD. 12.　[解析] 如图,取CD的中点G,连接MG,NG.因为四边形ABCD,四边形DCEF均为正方形,且边长为2,所以MG⊥CD,MG=2,NG=.因为平面ABCD⊥平面DCEF,平面ABCD∩平面DCEF=CD,MG⊂平面ABCD,所以MG⊥平面DCEF,又NG⊂平面DCEF,所以MG⊥NG,所以MN==. 13.　[解析] 如图,取AB的中点F,连接DF交AE于点H,连接PH,EF.易知四边形DEFA为正方形,则DF⊥AE,由翻折前后的不变性可知,PH⊥AE,当平面PAE⊥平面ABCE时,又平面PAE∩平面ABCE=AE,PH⊂平面PAE,所以PH⊥平面ABCE.由题意可知,S△ABC=4,PH=DF=×=,所以VP-ABC=××4=. 14.证明:连接OP,BD,如图.由底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,得AD=AB=BD,又因为O为AD的中点,所以OB⊥AD.因为在△APD中,∠APD=90°,O为AD的中点, 所以PO=AD=AO. 设AD=PB=2a,则OB=a,PO=OA=a,即PO2+OB2=4a2=PB2,所以OB⊥OP, 又因为OP∩AD=O,OP⊂平面PAD,AD⊂平面PAD, 所以OB⊥平面PAD. 15.解:当点G为DE的中点时,平面ABC⊥平面AFG,证明如下: 因为四棱锥A-BCDE是正四棱锥,所以AD=AE,AG⊥DE,又因为在正方形BCDE中,DE∥BC,所以AG⊥BC. 在正方形BCDE中,CD⊥BC,因为AF∥CD,所以AF⊥BC,因为AF∩AG=A,AF,AG⊂平面AFG,所以BC⊥平面AFG,因为BC⊂平面ABC, 所以平面ABC⊥平面AFG. 16.解:(1)证明:如图,取BC的中点E,连接B1E,AE,则AE⊥BC,又因为ABC-A1B1C1为正三棱柱,所以平面ABC⊥平面B1BCC1, 又平面ABC∩平面B1BCC1=BC,所以AE⊥平面B1BCC1,又BC1⊂平面B1BCC1,所以AE⊥BC1.又AB=2,BB1=,所以tan∠EB1B==, tan∠B1C1B==, 所以 tan∠EB1B= tan∠B1C1B,所以∠EB1B=∠B1C1B,又∠B1C1B+∠B1BC1=90°,所以B1E⊥BC1, 又AE∩B1E=E,所以BC1⊥平面AB1E,所以AB1⊥BC1. (2)过点D作DF⊥BC于点F,如图, 由(1)知AE⊥平面B1BCC1,所以AE∥DF,所以DF⊥平面B1BCC1. 又D为AC的中点,所以AE=2DF, 因为AB=2,所以AE=,所以DF=,又=×2×=, 所以=××DF=××=. (3)过点F作FG⊥BC1于点G,连接DG,如图,因为DF⊥平面B1BCC1,且FG⊥BC1,所以∠DGF即为平面DBC1与平面BCC1的夹角. 又sin∠FBG===,且BF=,所以GF=, 所以 tan∠DGF==1,所以平面DBC1与平面BCC1夹角的大小为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $