26.2.2 二次函数y=a(x−h)²+k的图象和性质（第4课时） 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数\(y = a(x - h)^2 + k\)的图象与性质，通过复习\(y = ax^2 + k\)和\(y = a(x - h)^2\)的平移规则，以猜想搭建学习支架，衔接新旧知识，引导学生掌握其开口方向、对称轴等性质及平移关系。 其亮点在于采用探究式教学，通过具体函数画图分析培养几何直观，归纳平移规则和性质推导发展推理意识，喷水池问题应用强化模型意识。小结用表格和简记规则助总结，学生提升自主探究能力，教师获得清晰教学流程与多样化练习。

第二十六章 二次函数 26.2.2 二次函数的图象和性质 （第3课时） （第4课时） 学习目标 1、掌握二次函数 的图象与性质，能说出其开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性和最值。 2、理解二次函数 与 图象之间的平移关系； 向上k 个单位 向下k 个单位 抛物线y=ax2+k与抛物线y=a(x-h)2由抛物线y=ax2怎样平移得到? y=ax2 y=ax2+k y=ax2-k y=a(x+h)2 向左h个单位 y=a(x-h)2 向右h个单位 上加下减常数项 括号内左加右减 注：假设k＞0，h＞0. 猜想： 抛物线y=a(x-h)2+k由抛物线y=ax2怎样平移得到? 复习回顾 探究新知 (1)画出函y=−(x+1)2−1的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点. (2)抛物线y=−(x+1)2−1与抛物线y=−x2有什么关系？ x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 … y= -(x+1)2-1 … -5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 … 描点、连线，画出函数的图象. y=-(x+1)2-1 开口_______， 对称轴是_________， 顶点坐标是_________. 向下 直线x=-1 (-1, -1) y=-(x+1)2 思考：抛物线y=-(x+1)2-1与抛物线y=- x2有什么关系？ y=- x2 y=- x2 y=- (x+1)2 向左平移1个单位 y=- (x+1)2-1 向下平移1个单位 还有其他的平移方法吗？ y=-(x+1)2-1 y=- x2 向下平移1个单位 y=- x2-1 向左平移1个单位 y=- (x+1)2-1 y=-x2 y=-x2-1 y=-(x+1)2-1 探究新知 一般地，抛物线  与  形状相同，位置不同. 把抛物线  向上（或向下）、向左（或向右）平移，可以得到抛物线 .平移的方向、距离要根据  的值来决定. 抛物线  有如下特点： (1)当  时，开口向上；当  时，开口向下. (2)对称轴是 . (3)顶点是 （h,k）. 抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2 (a≠0)有什么关系？ 归纳小结 y=ax2 y=a(x-h)2 向右(h>0)或向左(h<0)平移| h |个单位长度 y=a(x-h)2+k 向上(k>0)或向下(k<0)平移| k |个单位长度 y=ax2+k 向右(h>0)或向左(h<0)平移| h |个单位长度 向上(k>0)或向下(k<0)平移| k |个单位长度 向右(h>0)或向左(h<0)平移| h |个单位长度， 再向上(k>0)或向下(k<0)平移| k |个单位长度 简记为： 上下平移，括号外上加下减； 左右平移，括号内左加右减. 二次项系数a不变. 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 y=a(x-h)2+k a>0，h>0 a>0，h<0 a<0，h>0 a<0，h<0 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最值 当x<h时，y随x增大而减小； 当x>h时，y随x增大而增大. 向上 直线x=h （h,k） x=h时，y最小值=k 当x<h时，y随x增大而增大； 当x>h时，y随x增大而减小. 向下 直线x=h （h,k） x=h时，y最大值=k 顶点式 课堂练习 1、 对于抛物线 ，给出下列结论： ① 抛物线  可由抛物线  先向左平移 2 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度得到； ② 对称轴为直线 ； ③ 顶点坐标为 (-2，3)； ④ 当  时， 随  的增大而增大. 其中结论正确的序号是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ②④ C 课堂练习 1、已知抛物线的顶点坐标是(1,2)，且经过点(3，-6)，则抛物线的解析式是__________________. y=-2(x-1)2+2 2、 将抛物线y= x2向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为( ). A. y= (x-2)2+3 B. y= (x+3)2+2 C. y= (x-3)2+2 D. y= (x+2)2+3 C 探究新知 待定系数法求二次函数解析式的步骤 一设：先设出二次函数的解析式，如 y=a(x-h)2+k. 二代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程（组）. 三解：解此方程（组），求待定系数. 四还原：将求出的待定系数还原到解析式中. 课堂练习 例2 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1.6m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3.6m，水管的长应为多少？ 课堂练习 解：如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为  轴，水管所在直线为  轴，建立平面直角坐标系. 点（1.6,3）是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数解析式为  （ ）. 课堂练习 由这段抛物线经过点 (3.6,0) ，可得  . 解得 a=﹣ 因此 （ ）. 当x=0时，y=1.08，也就是说，水管的长应为1.08 m. 课堂小结 二次函数 y=a(x-h)2+k 的图象和性质 图象特点 平移规律 当a>0，开口向上；当a<0，开口向下. 对称轴：直线x=h， 顶点坐标是（h，k） 左右平移：括号内左加右减； 上下平移：括号外上加下减 1.说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，以及随着x的增大，y的变化情况： （1）y=2(x+3)2+5； （2）y=-3(x-1)2-2； （3）y=4(x-3)2+7； （4）y=-5(x+2)2-6. 【教材P41练习第1题】 开口向上，对称轴为x=-3，顶点坐标为（-3，5），当x<-3时，y随x的增大而减小，当x>-3时，y随x的增大而增大. 开口向下，对称轴为x=1，顶点坐标为（1，-2），当x<1时，y随x的增大而增大，当x>1时，y随x的增大而减小. 开口向上，对称轴为x=3，顶点坐标为（3，7），当x<3时，y随x的增大而减小，当x>3时，y随x的增大而增大. 开口向下，对称轴为x=-2，顶点坐标为（-2，-6），当x<-2时，y随x的增大而增大，当x>-2时，y随x的增大而减小. 巩固练习 【教材P41练习第2题】 2.说出下列二次函数的最大值或最小值： (1) y= (x+2)²－2; (2) y= － (x － 1)²+2. 当x=-2时， y最小值=-2. 当x=1时， y最大值=2. 巩固练习 巩固练习 3.对称轴是直线x=-2的抛物线是( ). A.y=-2x2-2 B.y=-2x2＋2 C.y=-(x+2)2-2 D.y=-5(x-2)2-6 4.将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为( ). A.y=3(x-2)2-1 B.y=3(x-2)2+1 C.y=3(x+2)2-1 D.y=3(x+2)2+1 5.若抛物线的顶点为(3,5) ,则此抛物线的解析式可设为( ). A.y=a(x+3)2+5 B.y=a(x-3)2+5 C.y=a(x-3)2-5 D.y=a(x+3)2-5 C C B 巩固练习 6.小敏在某次投篮中，球的运动线路是抛物线y=- x2+3.5的一部分（如图），若命中篮圈中心，则她与篮底的距离l是( ). A.3.5 m B.4 m C.4.5 m D.4.6 m B $