26.2.3 二次函数 y = ax2＋bx＋c的图象和性质 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数一般式\(y = ax^2 + bx + c\)的图象和性质，通过复习特殊二次函数的顶点坐标、对称轴和最值，引出一般式的转化问题，搭建从已知到未知的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于以配方法和公式法为核心，通过具体例子演示“提、配、化”步骤并推导一般公式，培养学生的推理能力和抽象能力。结合“小试牛刀”“当堂检测”分层练习，强化运算能力与应用意识，学生能系统掌握知识，教师可提升教学效率。

顶点坐标 对称轴 最值 y=-2x2 y=-2x2-5 y=-2(x+2)2 y=-2(x+2)2-4 y=(x-4)2+3 (0，0) y轴 0 (0，-5) y轴 -5 (-2，0) 直线x=-2 0 (-2，-4) 直线x=-2 -4 (4，3) 直线x=4 3 ? ? ? ? ? ? y=-x2+2x y=3x2+x-6 复习导入 22051 26.2.3 二次函数 y = ax2＋bx＋c的图象和性质 22051 情境引入 1.会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-h)2+k. 2.会求二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴. 学习目标 22051 将一般式y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x-h)2+k 问题 怎样将 化成y=a(x-h)2+k的形式？ （1）x2-12x+36=_____________; 填一填 （2）x2-12x=_____________ . (x-6)2 (x-6)2-36 新知讲解 22051     (1)“提”：提出二次项系数； (2)“配”：括号内配成完全平方； (3)“化”：化成顶点式. 配方的方法及步骤是什么？ 提示：配方后的表达式通常称为配方式或顶点式. 思考 22051 我们如何用配方法将一般式y=ax2+bx+c(a≠0)化成顶点式y=a(x-h)2+k？ y=ax²+bx+c 22051 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 一般地，二次函数y=ax2+bx+c可以通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式，即 因此，抛物线y=ax2+bx+c 的顶点坐标是： 对称轴是：直线 归纳小结 22051 (1) (2) x y O x y O 如果a>0，当x< 时，y随x的增大而减小； 当x> 时，y随x的增大而增大. 如果a<0，当x< 时，y随x的增大而增大； 当x> 时，y随x的增大而减小. 归纳小结 22051 问题1 你能说出 的对称轴及顶点坐标吗？ 对称轴是直线x=6，顶点坐标是（6，3）. 问题2 二次函数 可以看作是由 怎样平移得到的？ 平移方法1： 先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的； 平移方法2： 先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的. 新知讲解 22051 5 10 x y 5 10 问题3 如何画二次函数 的图象？ … … … … 9 8 7 6 5 4 3 x 先利用图形的对称性列表 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 然后描点画图， 得到图象如右图. O 新知讲解 22051 问题4 结合二次函数 的图象，说出其性质. 5 10 x y 5 10 x=6 当x<6时，y随x的增大而减小； 当x>6时，y随x的增大而增大. 当=6时，取最小值，最小值是3. O 新知讲解 22051 1.将下列二次函数的一般式用配方法化成顶点式y=a(x-h)2+k的形式，并指出其顶点坐标． (1)y=x2-2x+1； (2)y=2x2-4x+6． 解：(1) y=x2-2x+1=(x-1)2，顶点坐标为(1，0)； (2) y=2x2-4x+6=2(x-1)2+4，顶点坐标为(1，4). 小试牛刀 22051 A. y3>y2>y1 B. y3>y1=y2 C. y1>y2>y3 D. y1=y2>y3 2.点P1(-1，y1)，P2(3，y2)，P3(5，y3)均在二次函数 y=-x2+2x+c 的图象上，则y1，y2，y3 的大小关系是( ) D 解：因为 y=-x2+2x+c=-(x-1)2+1+c， 所以图象的开口向下，对称轴是直线x=1， 而P1(-1，y1)和P2(3，y2)到直线x=1的距离都为2，P3(5，y3)到直线x=1的距离为4， 所以y1=y2＞y3． 小试牛刀 22051 x y O 二次函数 的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空： a1 ___ 0 b1___ 0 c1___ 0 a2___ 0 b2___ 0 c2___ 0 ＞ ＞ ＞ ＞ ＜ ＝ 开口向上，a＞0 对称轴在y轴左侧，x＜0 对称轴在y轴右侧，x＞0 x=0时，y=c. ＞0 ＜0 二次函数字母系数与图象的关系 新知讲解 22051 x y O a3___ 0 b3___ 0 c3___ 0 a4___ 0 b4___ 0 c4___ 0 ＜ ＝ ＞ ＜ ＞ ＜ 开口向下，a＜0 对称轴是y轴，x=0 对称轴在y轴右侧，x＞0 x=0时，y=c. 二次函数 的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空： 二次函数字母系数与图象的关系 新知讲解 22051 二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系 字母符号 图象的特征 a＞0 开口_____________________ a＜0 开口_____________________ b=0 对称轴为_____轴 a、b同号 对称轴在y轴的____侧 a、b异号 对称轴在y轴的____侧 c=0 经过原点 c＞0 与y轴交于_____半轴 c＜0 与y轴交于_____半轴 向上 向下 y 左 右 正 负 归纳小结 22051 3.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是 (　　) A．1　　　B．2　　　　C．3　　　D．4 D 由图象上横坐标为 x＝－2的点在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正确； 由图象上x＝1的点在第四象限得a＋b＋c＜0，由图象上x＝－1的点在第二象限得出 a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，故④正确． 【解析】由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左侧可得b＜0，由图象与y轴交于正半轴可得 c＞0，则abc＞0，故①正确； 由对称轴x>－1可得2a－b＜0，故②正确； 小试牛刀 22051 顶点： 对称轴： y=ax2+bx+c(a ≠0) (一般式) 配方法 公式法 (顶点式) 课堂小结 22051 1.抛物线 y＝－x2＋4x＋7 的顶点坐标为(　　 ) A．(－2，3) B．(2，11) C．(－2，7) D．(2，－3) B 2.已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（ ） A．b≥－1 B．b≤－1 C．b≥1 D．b≤1 D 当堂检测 基础 22051 O y x –1 –2 3 3.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论： （1）a、b同号； （2）当x= –1和x=3时，函数值相等； （3） 4a+b=0； （4）当y= –2时，x的值只能取0； 其中正确的是 . 直线x=1 （2） 当堂检测 基础 22051 20 4．已知抛物线y＝2x2－12x＋13． （1）当x为何值时，y有最小值？最小值是多少？ （2）当x为何值时，y随x的增大而减小？ （3）将该抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，请直接写出新抛物线的解析式． 解：∵y＝2x2－12x＋13＝2(x－3)2－5， ∴抛物线开口向上，顶点为(3，－5)，对称轴为直线x＝3． （1）当x＝3时，y有最小值，最小值为－5． （2）当x＜3时，y随x的增大而减小． （3）新抛物线的解析式为y＝2(x－5)2－3． 当堂检测 提升 22051 解：∵，∴抛物线的对称轴为直线， ∵，∴， 令关于直线对称的点坐标为，则， ∴， ∵，∴当时，随的增大而增大， ∴. 5.在平面直角坐标系xOy中，已知点，，在抛物线上，若，求，，的大小关系（用“＜”表示）. 当堂检测 提升 22051 $