第46讲 空间几何体的结构特征、表面积与体积专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 以“考点-考法”分层架构系统整合空间几何体结构、表面积与体积知识，通过14类考法实现从概念判断到综合应用的递进训练，突出空间观念与几何直观的核心素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |结构特征与直观图|4考法|结构特征判断、斜二测画法还原、欧拉公式应用|从几何体构成要素到直观图转化，建立空间概念认知基础| |表面积与展开图|4考法|组合体表面积计算、展开图转化、表面最短路径|基于结构特征延伸至度量计算，体现平面与空间转化思想| |体积|5考法|等体积法、割补法、体积比例与最值|深化度量计算，融合转化与函数思想解决复杂体积问题| |综合问题|1考法|分形几何与数列极限结合|跨知识整合，培养数学思维的系统性与推理能力|

第46讲 空间几何体的结构特征、表面积与体积 分类练习 考点一：空间几何体的结构特征与直观图 1 考法1：判断空间几何体的结构特征 1 考法2：计算空间几何体的基本量与欧拉公式 2 考法3：利用斜二测画法还原直观图并计算 2 考法4：空间几何体结构特征的综合应用 2 考点二：空间几何体的表面积与展开图 3 考法5：计算简单几何体或组合体的表面积 3 考法6：利用展开图计算表面积或基本量 4 考法7：利用展开图求解表面最短路径问题 4 考法8：表面积的比例与最值问题 5 考点三：空间几何体的体积 5 考法9：计算简单几何体或组合体的体积 5 考法10：利用等体积法或割补法计算体积 6 考法11：利用展开图计算体积 7 考法12：体积的比例与最值问题 7 考法13：体积与线面关系的综合应用 7 考点四：空间几何体的综合问题 8 考法14：结合数列极限求解分形几何问题 8 考点一：空间几何体的结构特征与直观图 考法1：判断空间几何体的结构特征 1.（2026·浙江金华·模拟）如图，汽车内胎（不考虑物体的内部结构）可以由下面某个图形绕轴旋转而成，这个图形是 A. B. C. D. 2.（2026·湖南长沙·模拟）已知某四棱锥的一条侧棱垂直于底面，其底面为平行四边形，且8条棱的长度构成的集合为，则满足条件的四棱锥的个数为 注：若两个几何体经过调整位置后重合或者关于某平面对称，算同种形状. A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 3.（2026·河南周口·一模）（多选）某同学用8块全等的三角形薄板（不计厚度），通过拼接得到一个封闭的几何体（薄板均在几何体的表面，且没有剩余），则 A. 该几何体可能是三棱锥 B. 该几何体可能是四棱柱 C. 用8块全等的等腰三角形可能拼接成一个三棱柱 D. 用8块全等的直角三角形可能拼接成一个三棱柱 考法2：计算空间几何体的基本量与欧拉公式 4.（2026·安徽鼎尖联考·模拟）若体积为的圆锥的高为1，则该圆锥的母线长为 A. B. C. D. 5.（2026·浙江温州·一模）（多选）如图，圆台上下底面半径分别为1和2，分别为上下底面圆周上的点，为圆台的轴截面且，则 A. 为母线 B. C. D. 平面与平面的夹角等于 考法3：利用斜二测画法还原直观图并计算 6.（2026·湖南长沙·模拟）如图，矩形是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中，，则原图形的周长为＿＿＿＿＿＿. 考法4：空间几何体结构特征的综合应用 7.（2026·安徽江淮十校·模拟）（多选）正三棱椎中，点分别是侧棱的中点，，则下列结论中正确的有 A. 平面 B. 过的平面截该三棱椎所得截面三角形周长的最小值为 C. 棱长为的正四面体可以在棱台内随意转动 D. 在三棱台中，若一质点从出发，每次等可能地沿着三棱台的棱向相邻的另一个顶点运动，设在次运动后质点仍停留在下底面的概率为，则 8.（2026·江西五市十校·联考）（多选）如图所示的空间几何体是由高度相等的半个圆柱和直三棱柱组合而成，，，是上的动点.则 A. 为的中点时，平面平面 B. 为的中点时，异面直线与之间的距离为 C. 三棱锥体积的最大值为 D. 为所在直线上的动点，则的最大值为 考点二：空间几何体的表面积与展开图 考法5：计算简单几何体或组合体的表面积 9.（2026·山东德州·三模）圆锥的底面直径和高均是，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，剩下几何体的表面积是 A. B. C. D. 10.（2026·山东菏泽·二模）如图，在直角梯形中，，，，，以直线为轴，其余各边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的表面积为 A. B. C. D. 11.（2026·福建厦门·检测）如图，已知正方体的棱长为1.平面，平面和平面将该正方体分割成若干个多面体，则其中顶点所在的多面体的表面积为 A. B. C. D. 考法6：利用展开图计算表面积或基本量 12.（2026·广东汕头·一模）圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为 A. B. C. D. 13.（2026·浙江台州·二模）已知一个圆锥的底面半径为，高为1，则下列对该圆锥的表述正确的是 A. 体积为 B. 表面积为 C. 两条母线的夹角的最大值为 D. 过顶点的截面面积的最大值为2 考法7：利用展开图求解表面最短路径问题 14.（2025·安徽皖北协作体·一模）在正四棱柱中，，分别为侧棱上一点，则的最小值为 A. B. C. D. 15.（2026·广东深圳·二模）如图，已知圆锥的底面直径，其中为底面圆心，母线，动点从点出发，在圆锥的侧面上绕轴一周后回到点，其轨迹为.求长度的最小值； 考法8：表面积的比例与最值问题 16.（2026·安徽省十教育·模拟）已知轴截面为正三角形的圆锥的表面积与球的表面积相等，则圆锥的体积与球的体积的比为 A. B. C. D. 17.（2026·河北石家庄·一模）（多选）圆柱的轴截面为正方形，则下列结论正确的有 A. 圆柱内切球的半径与图柱底面半径相等 B. 圆柱内切球的表面积与圆柱表面积比为 C. 圆柱内接圆锥的表面积与圆柱表面积比为 D. 圆柱内切球的体积与圆柱体积比为 18.（2026·浙江Z20联盟·检测）设圆台的上下底面半径分别为和，母线长为，圆台的侧面积等于上下底面的面积之和，当取到最小值时，＿＿＿＿＿＿. 考点三：空间几何体的体积 考法9：计算简单几何体或组合体的体积 19.（2026·江西吉安·一模）已知圆台的上下底面半径分别为1和2，母线与底面夹角的余弦值为，则该圆台的体积为 A. B. C. D. 20.（2026·安徽A10联盟·模拟）“方斗”是中国古代盛米的一种重要容器，其形状是一个上大下小的正四棱台.如图，在一个盛满米的“方斗”容器中，，若从中取出米后，米的高度下降一半，则剩余米的质量为 A. B. C. D. 21.（2026·广东江门·二模）正三棱柱的棱长均为2，分别是棱的中点，过点的平面分别交直线于点，则三棱柱与三棱锥公共部分的体积为＿＿＿＿＿＿. 考法10：利用等体积法或割补法计算体积 22.（2026·江西G20联盟·联考）如图，为一个五面体，底面是矩形，底面，侧面和侧面为全等的等腰三角形，侧面和侧面为全等的等腰梯形，其中，，，，设，，，则下列选项正确的是 A. B. C. D. 23.（2025·江西三新·联考）如图，直线相互平行，且两两之间的距离为1.平面平面，且平面与平面之间的距离为3.直线与平面所成的角为，则三棱柱的体积为 A. B. C. D. 24.（2026·江苏南通·检测）若四面体中，，，，则四面体的体积是＿＿＿＿＿＿. 考法11：利用展开图计算体积 25.（2025·广东深圳·检测）已知圆锥的侧面展开图是圆心角为且弧长为的扇形，则该圆锥的体积为 A. B. C. D. 26.（2026·安徽安庆·二模）三棱锥的底面为边长为1的等边三角形，三个侧面三角形中至少有两个为等腰直角三角形，则该三棱锥的体积不可能是 A. B. C. D. 考法12：体积的比例与最值问题 27.（2025·广东久洵杯·检测）已知圆柱与圆锥体积与侧面积均相等，若的轴截面为等腰直角三角形，则与的底面半径之比为 A. B. C. D. 28.（2025·河南金科新未来·联考）在三棱锥中，，点在平面上的投影是的垂心，平面，若，则三棱锥的体积的最大值为＿＿＿＿＿＿. 29.（2026·湖南常德·一模）如图，圆柱的轴截面为正方形，、分别是圆柱上、下底面圆的直径，且四面体的体积的最大值为36，则该圆柱的侧面积为＿＿＿＿＿＿. 考法13：体积与线面关系的综合应用 30.（2026·湖北黄冈·模拟）（多选）在四面体中，是边长为2的等边三角形，，均为等腰直角三角形，则该四面体的体积可能是 A. B. C. D. 31.（2026·湖南天壹联盟·模拟）（多选）在直四棱柱中，四边形是菱形，，则 A. 四棱柱的体积为162 B. 四棱柱的表面积为 C. 点到平面的距离为 D. 直线与所成角的余弦值为 考点四：空间几何体的综合问题 考法14：结合数列极限求解分形几何问题 32.（2026·福建泉州·一模）科赫四面体是一种借助递归迭代生成的分形几何体.其构造过程是：从一个正四面体开始，在该几何体的每个正三角形面上，移除以各边中点为顶点的小三角形，并以此小三角形为底面，向外构建小正四面体.如图，持续重复对新生成的几何体执行上述操作，最终得到科赫四面体. 现有一种高效吸附材料，其结构为科赫四面体模型，此模型是由棱长为的正四面体经过持续重复上述操作得到的.记第次操作后生成的几何体为，设的表面积为，体积为. （1） 求； （2） 在材料科学中，物料的表面积与体积之比被定义为比表面积，其值越大，吸附能力越强.根据比表面积随的变化趋势，说明该材料吸附能力强的原因. （3） 是否存在一个球形容器，能够使该材料整体放入其中？若存在，求其半径的最小值；若不存在，请说明理由. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第46讲 空间几何体的结构特征、表面积与体积 分类练习（解析卷） 考点一：空间几何体的结构特征与直观图 1 考法1：判断空间几何体的结构特征 1 考法2：计算空间几何体的基本量与欧拉公式 3 考法3：利用斜二测画法还原直观图并计算 5 考法4：空间几何体结构特征的综合应用 5 考点二：空间几何体的表面积与展开图 7 考法5：计算简单几何体或组合体的表面积 7 考法6：利用展开图计算表面积或基本量 9 考法7：利用展开图求解表面最短路径问题 10 考法8：表面积的比例与最值问题 11 考点三：空间几何体的体积 12 考法9：计算简单几何体或组合体的体积 12 考法10：利用等体积法或割补法计算体积 14 考法11：利用展开图计算体积 16 考法12：体积的比例与最值问题 17 考法13：体积与线面关系的综合应用 18 考点四：空间几何体的综合问题 20 考法14：结合数列极限求解分形几何问题 20 答案速查表 1 2 3 4 5 C C AC A BCD 6 7 8 9 10 14 ABD ABD C D 11 12 13 14 15 D B D A 16 17 18 19 20 B ABD B C 21 22 23 24 25 C A 2 C 26 27 28 29 30 D C BCD 31 32 ABD 见解析 考点一：空间几何体的结构特征与直观图 考法1：判断空间几何体的结构特征 1.（2026·浙江金华·模拟）如图，汽车内胎（不考虑物体的内部结构）可以由下面某个图形绕轴旋转而成，这个图形是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】A选项中的图形旋转得到的是同心球，外面一个大球，里面一个小球； B选项中的图形旋转得到的是空心环状几何体； C选项中的图形旋转得到的是内胎； D选项中的图形旋转得到的是球. 【点拨】本题考查旋转体的结构特征，根据图形的旋转特点进行判断即可. 2.（2026·湖南长沙·模拟）已知某四棱锥的一条侧棱垂直于底面，其底面为平行四边形，且8条棱的长度构成的集合为，则满足条件的四棱锥的个数为（　　） 注：若两个几何体经过调整位置后重合或者关于某平面对称，算同种形状. A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】作出所有可能的四棱锥，如图， 【点拨】本题考查四棱锥的结构特征，结合条件画出符合题意的图形即可. 3.（2026·河南周口·一模）（多选）某同学用8块全等的三角形薄板（不计厚度），通过拼接得到一个封闭的几何体（薄板均在几何体的表面，且没有剩余），则（　　） A. 该几何体可能是三棱锥 B. 该几何体可能是四棱柱 C. 用8块全等的等腰三角形可能拼接成一个三棱柱 D. 用8块全等的直角三角形可能拼接成一个三棱柱 【答案】AC 【解析】对于A，可用两块含角的直角三角形薄板拼成一块等边三角形薄板， 像这样得到4个等边三角形，即可拼成正四面体（三棱锥），A正确； 对于B，四棱柱一共有6个面，每个面都是四边形，至少需要12个三角形才能得到，故B错误； 对于C，如图，先用6个等腰三角形（腰为，底为）拼成三棱柱的三个侧面， 要构成三棱柱，将平行四边形和分别沿和折起， 必须使A与G重合，B与H重合，只要取合适的值，使侧面展开图中垂直即可， 实际上，当时，， 在中，， 则， 则，即可得，即此时即可满足题意，C正确； 对于D，由C的分析可知等腰三角形不符合题意，故考虑非等腰的直角三角形， 设三角形三边长为，同样先考虑侧面，需要6个直角三角形，假设三棱柱的侧棱为a， 因为每个侧面有两条边为侧棱，所以这6个直角三角形的a边都为侧棱， 则棱柱的上、下底面就不可能出现a边，因此直角三角形不符合条件，故D错误. 【点拨】本题考查空间几何体的结构特征与拼接，需结合各几何体的面数及形状进行分析. 考法2：计算空间几何体的基本量与欧拉公式 4.（2026·安徽鼎尖联考·模拟）若体积为的圆锥的高为1，则该圆锥的母线长为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设圆锥的底面半径为，则，解得，故所求母线长为. 【点拨】本题考查圆锥的体积与母线长的计算，熟记圆锥体积公式及母线、高、底面半径的关系是解题关键. 5.（2026·浙江温州·一模）（多选）如图，圆台上下底面半径分别为1和2，分别为上下底面圆周上的点，为圆台的轴截面且，则（　　） A. 为母线 B. C. D. 平面与平面的夹角等于 【答案】BCD 【解析】由母线概念可知，不是母线，所以A错误； 如图所示，作上底面圆心，下底面圆心，线段中点， 连接， 可知，∵，∴， ∵为中点，为中点，∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵平面，∴平面，∴， ∵为中点，∴，所以B正确； ∵平面，∴，∵， 又∵面，面，， ∴平面，∴，所以C正确； ∵四边形为平行四边形，∴， ∵平面，平面，∴面， ∴平行于平面与平面的交线， ∵平面，， ∴是平面与平面的夹角的平面角， 可知，所以D正确. 【点拨】本题考查圆台的结构特征及线面关系，通过作辅助线构建平行四边形和直角三角形是解题关键. 考法3：利用斜二测画法还原直观图并计算 6.（2026·湖南长沙·模拟）如图，矩形是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中，，则原图形的周长为＿＿＿＿＿＿. 【答案】14 【解析】由斜二测画法的规则知平面图形为平行四边形，且原图形中，设与交于点，由，得原图中，则，则原图形的周长是. 【点拨】本题考查斜二测画法，根据规则将直观图还原为原图形并计算边长即可. 考法4：空间几何体结构特征的综合应用 7.（2026·安徽江淮十校·模拟）（多选）正三棱椎中，点分别是侧棱的中点，，则下列结论中正确的有（　　） A. 平面 B. 过的平面截该三棱椎所得截面三角形周长的最小值为 C. 棱长为的正四面体可以在棱台内随意转动 D. 在三棱台中，若一质点从出发，每次等可能地沿着三棱台的棱向相邻的另一个顶点运动，设在次运动后质点仍停留在下底面的概率为，则 【答案】ABD 【解析】易知为正四面体，均为等边三角形，又均为中点平面，故A对.由①知，故是A到PB最短距离，，故也是C到PB最短距离，是所有截面中周长最短的且，故B对.对C：假设C成立，则该正四面体应有一个外接球能在三棱台内任意转动.那么该外接球直径，又而此三棱台内能放下的球直径不大于，显然，故放不下，故C错.对D：据题意，故D对. 【点拨】本题考查正四面体的性质、截面周长最值、内切球及概率递推，综合性强. 8.（2026·江西五市十校·联考）（多选）如图所示的空间几何体是由高度相等的半个圆柱和直三棱柱组合而成，，，是上的动点.则（　　） A. 为的中点时，平面平面 B. 为的中点时，异面直线与之间的距离为 C. 三棱锥体积的最大值为 D. 为所在直线上的动点，则的最大值为 【答案】ABD 【解析】对于A，当为的中点时，连接，则， 又，，所以，所以， 即，又平面，平面，所以， 又，所以平面， 又平面，所以平面平面，故A正确； 对于B，由A知平面，又平面， 过作于，则平面， 又平面，且， 所以即为异面直线与之间的距离， 在中，，所以， 所以，故B正确； 对于C，三棱锥的体积， 其中， 当到平面的距离最大时，体积最大， 易知当为的中点时，最大，此时， 所以体积的最大值为，故C错误； 对于D，将平面与平面展开到一个平面内， 当三点共线时，取得最大值，即为， 连接，在中，， 由余弦定理得， 所以，故D正确. 【点拨】本题考查组合体的结构特征、面面垂直、异面直线距离、体积最值及表面展开图求最值. 考点二：空间几何体的表面积与展开图 考法5：计算简单几何体或组合体的表面积 9.（2026·山东德州·三模）圆锥的底面直径和高均是，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，剩下几何体的表面积是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设圆锥的底面半径为，高为，母线长为， 则，解得， 母线长， 圆锥的侧面积，底面积， 过的中点作平行于底面的截面，截面圆的半径， 挖去的圆柱的高， 圆柱的侧面积， 剩下几何体的表面积等于圆锥的侧面积、圆锥的底面积与圆柱的侧面积之和， 即. 【点拨】本题考查组合体的表面积，明确剩下几何体的表面构成是解题关键. 10.（2026·山东菏泽·二模）如图，在直角梯形中，，，，，以直线为轴，其余各边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的表面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题意知，旋转后得到的几何体是一个圆柱挖去一个圆锥， 圆柱的底面半径为，高为， 圆锥的底面半径为，高为，母线长为， 所以该几何体的表面积为. 【点拨】本题考查旋转体的表面积，判断出几何体的结构特征是解题关键. 11.（2026·福建厦门·检测）如图，已知正方体的棱长为1.平面，平面和平面将该正方体分割成若干个多面体，则其中顶点所在的多面体的表面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】连接，易知三条体对角线交于一点，记为点. 则分割后顶点所在的多面体为六面体，其表面分别是. 根据正方体的性质，知， 所以. 中，边上的高为，所以的面积为； 的面积为. 所以顶点所在的多面体的表面积为. 【点拨】本题考查正方体的截面与多面体表面积，明确分割后多面体的各个面的形状是解题关键. 考法6：利用展开图计算表面积或基本量 12.（2026·广东汕头·一模）圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设底面半径为，母线长为， 由侧面展开图是一个半圆，得，解得， 则侧面展开图的面积， 所以圆锥的表面积，解得. 【点拨】本题考查圆锥的表面积与侧面展开图，利用展开图的弧长等于底面周长求出母线与半径的关系是解题关键. 13.（2026·浙江台州·二模）已知一个圆锥的底面半径为，高为1，则下列对该圆锥的表述正确的是（　　） A. 体积为 B. 表面积为 C. 两条母线的夹角的最大值为 D. 过顶点的截面面积的最大值为2 【答案】D 【解析】对于 A，圆锥的体积为，故 A 错误； 对于 B，圆锥的母线长为， 故圆锥的表面积为，故 B 错误； 对于 C，设圆锥轴截面顶角为，则， 而为锐角，故，故，故两条母线的夹角的最大值为，故 C 错误； 对于 D，设两条母线的夹角为，则过顶点的截面面积为， 而，故当，，故 D 正确. 【点拨】本题考查圆锥的基本量计算及截面面积最值，掌握圆锥的几何性质是解题关键. 考法7：利用展开图求解表面最短路径问题 14.（2025·安徽皖北协作体·一模）在正四棱柱中，，分别为侧棱上一点，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】如图所示： 将正四棱柱（图1）的侧面展开，得到展开图（图2）， 当五点共线时，取得最小值， 且最小值为. 【点拨】本题考查空间中的最短路径问题，将侧面展开为平面图形，利用两点之间线段最短求解. 15.（2026·广东深圳·二模）如图，已知圆锥的底面直径，其中为底面圆心，母线，动点从点出发，在圆锥的侧面上绕轴一周后回到点，其轨迹为.求长度的最小值； 【答案】 【解析】沿圆锥的母线，将圆锥的侧面展开，得侧面展开图扇形， 其中为的中点，与在圆锥中是同一点. 因为轨迹在圆锥的侧面上， 所以，在侧面展开图中，轨迹是扇形上连接与两点的曲线. 又是最短路径，而平面上连接两点之中，线段最短， 所以，轨迹是侧面展开图扇形上连接与两点的线段，即线段. 由于，所以的长度为，又，所以. 所以，在等腰三角形中，，即的长度为. 【点拨】本题考查圆锥侧面上的最短路径问题，将圆锥侧面展开为扇形，利用两点之间线段最短求解. 考法8：表面积的比例与最值问题 16.（2026·安徽省十教育·模拟）已知轴截面为正三角形的圆锥的表面积与球的表面积相等，则圆锥的体积与球的体积的比为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设圆锥的底面半径为，球的半径为，由圆锥与球的表面积相等，得，所以， 圆锥的高为，所以圆锥的体积与球的体积的比为. 【点拨】本题考查圆锥与球的表面积和体积的计算，根据表面积相等求出半径之比是解题关键. 17.（2026·河北石家庄·一模）（多选）圆柱的轴截面为正方形，则下列结论正确的有（　　） A. 圆柱内切球的半径与图柱底面半径相等 B. 圆柱内切球的表面积与圆柱表面积比为 C. 圆柱内接圆锥的表面积与圆柱表面积比为 D. 圆柱内切球的体积与圆柱体积比为 【答案】ABD 【解析】设圆柱的底面半径为，则圆柱的高为，所以内切球的半径为，A 正确； 圆柱的表面积为，内切球的表面积为，所以圆柱内切球的表面积与圆柱表面积比为，B 正确； 圆柱内接圆锥的表面积为，圆柱内接圆锥的表面积与圆柱表面积比为，C 错误； 圆柱内切球的体积，圆柱的体积，所以，D 正确. 【点拨】本题考查圆柱、圆锥及球的表面积与体积的比例关系，设出基本量进行计算即可. 18.（2026·浙江Z20联盟·检测）设圆台的上下底面半径分别为和，母线长为，圆台的侧面积等于上下底面的面积之和，当取到最小值时，＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】由题意得，即， 所以， 则， 设，则， 当且仅当，即时等号成立. 【点拨】本题考查圆台的侧面积与底面积关系，利用基本不等式求最值是解题关键. 考点三：空间几何体的体积 考法9：计算简单几何体或组合体的体积 19.（2026·江西吉安·一模）已知圆台的上下底面半径分别为1和2，母线与底面夹角的余弦值为，则该圆台的体积为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设圆台的高为，母线长为， 则，得， 所以， 则该圆台的体积. 【点拨】本题考查圆台的体积计算，作出轴截面求出高是解题关键. 20.（2026·安徽A10联盟·模拟）“方斗”是中国古代盛米的一种重要容器，其形状是一个上大下小的正四棱台.如图，在一个盛满米的“方斗”容器中，，若从中取出米后，米的高度下降一半，则剩余米的质量为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】如图，从“方斗”中取出米后，米的高度下降一半至平面处，由题意得，正四棱台和的高相等，设为.因为，所以，则， .设剩余的米的质量为，则，解得.故选C. 【点拨】本题考查正四棱台的体积计算及实际应用，利用体积比等于质量比求解是解题关键. 21.（2026·广东江门·二模）正三棱柱的棱长均为2，分别是棱的中点，过点的平面分别交直线于点，则三棱柱与三棱锥公共部分的体积为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】如图，连接并延长，与的延长线交于点，连接， 延长与的延长线交于点，连接，交于点，连接. 因为， 所以，所以， 同理可得. 三棱柱和三棱锥的公共部分为几何体， 其体积为三棱台的体积和三棱锥的体积之差， 即. 【点拨】本题考查空间几何体的截面与体积计算，利用补体法将公共部分转化为三棱台与三棱锥的体积差是解题关键. 考法10：利用等体积法或割补法计算体积 22.（2026·江西G20联盟·联考）如图，为一个五面体，底面是矩形，底面，侧面和侧面为全等的等腰三角形，侧面和侧面为全等的等腰梯形，其中，，，，设，，，则下列选项正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】过作底面的垂线，垂足为，过作于点，连接、、， 则五面体可分为四棱锥和三棱锥. 由题意知，， 在中，， 在中，，即五面体的高为. 如图取、三等分点、、、， 连接、、、、、， 则五面体可分为三棱柱、四棱锥和四棱锥， 且. ， ， . ，，. 【点拨】本题考查多面体的体积计算，通过作高和分割几何体求出各部分体积是解题关键. 23.（2025·江西三新·联考）如图，直线相互平行，且两两之间的距离为1.平面平面，且平面与平面之间的距离为3.直线与平面所成的角为，则三棱柱的体积为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为平面与平面之间的距离为3，直线与平面所成的角为，所以.四边形的面积为.因为直线相互平行，且两两之间的距离为1，所以直线到平面的距离为.三棱柱的体积为. 【点拨】本题考查三棱柱的体积计算，利用等体积法将三棱柱视为以侧面为底面的棱柱进行计算是解题关键. 24.（2026·江苏南通·检测）若四面体中，，，，则四面体的体积是＿＿＿＿＿＿. 【答案】2 【解析】以四面体的各棱为长方体的面对角线作出长方体，如图所示， 设， 则，解得， . 【点拨】本题考查四面体的体积计算，利用割补法将四面体补成一个长方体是解题关键. 考法11：利用展开图计算体积 25.（2025·广东深圳·检测）已知圆锥的侧面展开图是圆心角为且弧长为的扇形，则该圆锥的体积为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为， 由题意得，侧面展开图的弧长为，则底面圆的周长为，解得， 又侧面展开图的圆心角为，则，解得， 所以， 所以该圆锥的体积为. 【点拨】本题考查圆锥的体积计算，利用侧面展开图的弧长和圆心角求出底面半径和母线长是解题关键. 26.（2026·安徽安庆·二模）三棱锥的底面为边长为1的等边三角形，三个侧面三角形中至少有两个为等腰直角三角形，则该三棱锥的体积不可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】如下图形依次为：，故选D. 【点拨】本题考查三棱锥的体积计算，根据条件构造出符合题意的三棱锥模型是解题关键. 考法12：体积的比例与最值问题 27.（2025·广东久洵杯·检测）已知圆柱与圆锥体积与侧面积均相等，若的轴截面为等腰直角三角形，则与的底面半径之比为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设圆锥和圆柱的底面半径分别为，高分别为， 因为圆锥 轴截面是等腰直角三角形，所以圆锥的母线长为，所以， 所以圆锥的体积为，圆柱的体积为， 所以圆锥的侧面积为，圆柱的侧面积为， 所以，化简得， 所以圆柱和圆锥的底面半径之比为， 故选:C. 【点拨】本题考查圆柱与圆锥的体积和侧面积的计算，设出基本量并列出方程组是解题关键. 28.（2025·河南金科新未来·联考）在三棱锥中，，点在平面上的投影是的垂心，平面，若，则三棱锥的体积的最大值为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】设中点为，则有，与相似，则，.因为平面，所以，因为平面，所以，由射影定理得，，则，当且仅当，即时取等号，故三棱锥体积的最大值为. 【点拨】本题考查三棱锥的体积最值问题，利用射影定理和基本不等式求最值是解题关键. 29.（2026·湖南常德·一模）如图，圆柱的轴截面为正方形，、分别是圆柱上、下底面圆的直径，且四面体的体积的最大值为36，则该圆柱的侧面积为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】设圆柱的底面半径为，则高， 四面体的体积， 当且仅当时等号成立，所以，解得， 所以该圆柱的侧面积为. 【点拨】本题考查圆柱的侧面积及四面体体积的最值，利用体积公式求出底面半径是解题关键. 考法13：体积与线面关系的综合应用 30.（2026·湖北黄冈·模拟）（多选）在四面体中，是边长为2的等边三角形，，均为等腰直角三角形，则该四面体的体积可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】分，，三种情况求出体积即可. 若， 因为平面，所以平面， 因为，均为等腰直角三角形，，所以， 所以该四面体的体积为； 若， 因为平面，所以平面， 因为，均为等腰直角三角形，， 所以，则，则， 所以该四面体的体积为； 若， 因为，均为等腰直角三角形，， 所以， 取线段的中点，连接，则， 因为平面，所以平面， 因为，，所以点到直线的距离为， 则， 所以该四面体的体积为. 【点拨】本题考查四面体体积的计算，根据等腰直角三角形的直角顶点进行分类讨论是解题关键. 31.（2026·湖南天壹联盟·模拟）（多选）在直四棱柱中，四边形是菱形，，则（　　） A. 四棱柱的体积为162 B. 四棱柱的表面积为 C. 点到平面的距离为 D. 直线与所成角的余弦值为 【答案】ABD 【解析】对于 A，记棱柱的高为，由勾股定理得，由得是等边三角形，可得，于是，解得，故棱柱的体积，故 A 正确； 对于 B，表面积，故 B 正确； 对于 C，记点到平面的距离为，由得，由余弦定理得，由得，故，故 C 错误； 对于 D，由知所求角为的补角，可知余弦值为，故 D 正确；故选 ABD. 【点拨】本题考查直四棱柱的体积、表面积、点到平面的距离及异面直线所成角的计算，综合性较强. 考点四：空间几何体的综合问题 考法14：结合数列极限求解分形几何问题 32.（2026·福建泉州·一模）科赫四面体是一种借助递归迭代生成的分形几何体.其构造过程是：从一个正四面体开始，在该几何体的每个正三角形面上，移除以各边中点为顶点的小三角形，并以此小三角形为底面，向外构建小正四面体.如图，持续重复对新生成的几何体执行上述操作，最终得到科赫四面体. 现有一种高效吸附材料，其结构为科赫四面体模型，此模型是由棱长为的正四面体经过持续重复上述操作得到的.记第次操作后生成的几何体为，设的表面积为，体积为. （1） 求； （2） 在材料科学中，物料的表面积与体积之比被定义为比表面积，其值越大，吸附能力越强.根据比表面积随的变化趋势，说明该材料吸附能力强的原因. （3） 是否存在一个球形容器，能够使该材料整体放入其中？若存在，求其半径的最小值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2）见解析 （3）存在，. 【解析】（1） 正四面体的表面积为. 依题意，得； ； 正四面体的体积为. ； （2） 依题意每次操作后，几何体的表面积变为上一次的倍， 故数列是首项为，公比为的等比数列， 所以； 依题意得，， 所以 ； 又当时， 故. 又为递增数列，且当时，为递增数列， 且当时，，所以当时，， 故由此解释，该结构吸附能力强.（或，故当时，，类似说法亦可）； （3） 存在，的最小值即为正四面体的外接球半径为. 理由如下： 过点作平面于点，因为四面体为正四面体， 故为外心，即重心，内心，垂心，则在上，且， 同理得在上，且，则为四面体的外接球球心和内切球球心， 设四面体棱长为，则， 所以，则由，解得， 所以. 记第 1 次操作后构造的任一正四面体（即四面体）的外接球球心为，连结. 则平面，设垂足为，则为的外心，重心，垂心， 故在上，且，故与重合， 所以共线，则平面，故. 以此类推，几何体最新构造的任一四面体及其在上对应的四面体，棱长分别为和，其外接球球心为别为和，半径为和，记正四面体的中心为，则. 因为，所以，故. 记球体内（含表面）所有点的集合为， 因为，所以， 故，所以， 因为球为四面体的外接球，即对上的任一点，都有， 所以，即， 故的最小值即为正四面体的外接球半径为. 【点拨】本题考查分形几何体的表面积与体积计算，以及外接球问题.利用等比数列求和公式处理迭代过程是解题关键. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $