球的表面积与体积(一) 专项训练--2026届高三数学一轮复习

球的表面积与体积（一） 一、正方体与长方体模型 1.正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半。 2.长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半。 3.补成长方体 （1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图 1 所示。 （2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图 2 所示。 （3）正四面体P − ABC 可以补形为正方体且正方体的棱长a ，如图 3 所示。 （4）若三棱锥的对。棱。两。两。相。等。，则可将其放入某个长方体内，如图 4 所示 图 1 图 2 图 3 图 4 二、正四面体以及正棱锥模型 设正四面体ABCD 的棱长为 a . 将其放入正方体中，则正方体的棱长为 a . 显然正四面体和正方体有相同的外接球。正方体外接球半径为Ra ，即正四面体外接球半径为Ra ． 三、共斜边拼接模型 如图，在四面体ABCD 中，AB 丄 AD ， CB 丄 CD ，此四面体可以看成由两个共斜边是由直角三角形拼接而形成的，BD为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型 ”命名之．设点O 为 公共斜边 BD 的 中 点 ，根据直角三 角形斜边 中线等 于斜边 的一半 的结论可 知， OA = OC = OB = OD ，即点O 到A ，B , C , D 四点的距离相等，故点O 就是四面体ABCD外接球的球心，公共的斜边BD就是外接球的一条直径。 四、有一条侧棱垂直与底面的椎体模型 五、有两个面互相垂直的椎体模型 1．已知三棱锥P − BCD 中，BC 丄 CD ，PB 丄 底面BCD ，BC = 1 , PB = CD = 2 ，则该三棱锥的外接球的体积为( ) A ． B ． C ． D ． 【答案】B 2.已知正三棱锥 S − ABC 的三条侧棱两两垂直，且侧棱长为 ，则此三棱锥的外接球的表面积为( ) A ． π B ．3π C ．6π D ．9π 【答案】C 3.已知正四面体 ABCD 的表面积为 2 ，且 A ，B ，C ，D 四点都在球 O 的球面上，则球 2 / 3 讲义 2/3 学科网（北京）股份有限公司 O 的体积为______。 【答案】 4.在三棱锥 P − ABC 中，PA = BC PB = AC AB = PC = 5 ，则三棱锥P − ABC的外接球的表面积是______。 【答案】 29π 5 . 已知三棱锥 O − ABC 中， A, B C 三点在以 O 为球心的球面上， 若 AB = BC = 2 , ABC = ，且三棱锥O − ABC 的体积为 ，则球O 的表面积为________。 【答案】 52π 学科网（北京）股份有限公司 球的表面积与体积 (一)巩固解析 【答案】 1:C 2:A 1. 已知正四棱锥P − ABCD的所有顶点都在球O的球面上，且正四棱锥P − ABCD的底面面积为6，侧面积 为6，则球O的表面积为 ( ) A. π B. π C. 16π D. 32π 【答案】C 【解析】【解析】解：设底面边长为a，侧棱长为b， 由底面面积为6得；a2 = 6，得a= ∵侧面积为6， 连接AC，BD交于点O1，连接PO1，则易知PO1 ⊥平面ABCD 故四棱锥P − ABCD的高PO1 == 3，且点O在直线PO1上， 连接OA，设球的半径为R， : R2 = (3 − R)2 + (√3)2， R = 2， :球O的表面积为4πR2 = 16π, 故选：C． 2. 已知三棱锥A-BCD的所有顶点都在球O的球面上，且AB⊥平面BCD，AB=2，AC=AD=4，CD=2，则球O的表面积为 ( ) A. 20π B. 18π C. 36π D. 24π 【答案】A 【解析】解：如图， ∵AB⊥平面BCD，BC、BD⊂平面BCD， ∴AB⊥BC，AB⊥BD， ∵AB=2，AC=AD=4，∴BC=BD = 2， 又CD=2√2，∴BC2+BD2 =CD2，即BC⊥BD， 取CD中点G，则G为△BCD的外心，设球O的半径为R，三角形BCD的外接圆半径为r,则r= CD= ，R= =， ∴球O的表面积为S=4πR2 =20π。故选：A． 球的表面积与体积 (一)加强解析 【答案】 1:D 2:C 3:D 4:C 5:A 6:A 1. 在三棱锥A-BCD中，平面ACD⊥平面BCD，△ACD是以CD为斜边的等腰直角三角形，M为CD中点， BM⊥BC，AC=2BC=4，则该三棱锥的外接球的表面积为 ( ) A. 16π B. 24π C. 32π D. 40π 【答案】D 【解析】解：∵△ACD是以CD为斜边的等腰直角三角形，M为CD中点，AC=4， ∴AM⊥CD，且AM = MC =2 ∵2BC=4，∴BC=2，又BM ⊥BC， ∴由勾股定理得BM = r = 2，∴BM=BC， ∴△BCM为等腰直角三角形，∴∠BMC=45°, ∠BMD=135°, 由题意得：球心O在平面ACD的投影与M点重合， ∵平面ACD⊥平面BCD，∴球心O在平面BCD上， 过点M作MH⊥CD，交BD于点H，易知∠BMH=135°, ∵球心O在HM的延长线上，设OM=x, 由余弦定理得：OB2 =OM2+BM2-2OM•BM•cos∠BMH=x2 + 4 + 2x， ∴AO2 =AM2+OM2 =8+x2， 由OB2 =AO2，可得x2 + 4 + 2x=8+x2， 解得x = ， 设外接球半径为R，则R =8+2=10， 故该三棱锥的外接球的表面积为4πR2 =40π . 故选：D． 2. 在三棱锥A-BCD，平面ACD⊥平面BCD，△ACD是以CD为斜边的等腰直角三角形，△BCD为等边三角形，AC=4，则该三棱锥的外接球的表面积为 ( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：过点B作CD的垂线，垂足为E， ∵△ACD是以CD为斜边的等腰直角三角形， ∴△ACD的外接圆的圆心为E， 设△BCD的外接圆圆心为O，其半径为R，则O在BE上， ∴OC=OB=OD，由面面垂直的性质，可知BE⊥平面ACD， ∴OC=OD=OA，即O为该三棱锥的外接球的球心，CD = 4由正弦定理可知 = 2R，R = ， 故该三棱锥的外接球的表面积为： S = 4πR2 = 4π × = ． 故选：C． 3. 已知菱形ABCD的各边长为2，∠B=60° 。将△ABC沿AC折起，折起后记点B为P，连接PD，得到三棱锥P-ACD，如图所示，当三棱锥P-ACD的表面积最大时，三棱锥P-ACD的外接球体积为 ( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：菱形ABCD的各边长为2，∠B=60° 。将△ABC沿AC折起，折起后记点B为P，连接PD，得到三棱锥 P-ACD， 如图所示， 当三棱锥P-ACD的表面积最大时，即△PCD和△PAD的面积和最大即可， 即当PC⊥CD和PA⊥AD时， 所以PD= 2， 即三棱锥体PACD的外接球的直径由PD充当， 所以外接球的半径为r= = ． 故选：D． ( 4. 如图 ，△ ABC 中 ，∠ BAC =90 ° , AB = AC = ， D 为 BC 的中点 ， 将 △ ABC 沿 AD 折叠成三棱锥 A - BCD ， 则当该三棱锥体积最 )大时它的外接球的表面积为 ( ) A. π B. 2π C. 3π D. 4π 【答案】C 【解析】解：在△ABC中，∠BAC=90°, AB=AC= ，D为BC的中点， 所以：BD=CD=AD=1， 将△ABC沿AD折叠成三棱锥A-BCD， 当BD⊥CD时，三棱锥的体积最大； 且三棱锥的外接球的半径满足（2r）2 =++， ( 3 4 )解得r = ，所以S球 = 4 ∙ π ∙故选：C． = 3π . 5. 如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D 1的棱长为2，点E是棱B1C1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且BF⊥平面CDE，当△CDF的外接圆面积最小时，则三棱锥D-BCF的外接球的表面积为 ( ) A. 8π B. 9π C. 10π D. 12π 【答案】A 【解析】解：在正方体ABCD-A1B1C1D 1中，取CC1的中点G，连BG，如图： 因点E是棱B1C1的中点，则tan∠C1 CE = = tan∠CBG， 即有∠C1CE=∠CBG，∠C1CE+∠CGB=∠CBG+∠CGB=90°, 因此，BG⊥CE，而DC⊥平面BCC1B1，BG⊂平面BCC1B1，则BG⊥DC，又DC∩CE=C，DC，CE⊂平面CDE，于是得BG⊥平面CDE， 因BF⊥平面CDE，点F在平面BCC1B1， 则点F在线段BG上，△DCF是直角三角形， 其外接圆面积最小，当且仅当线段DF长最短， 而DF 则有线段CF长最短， 当且仅当CF⊥BG，即点F是BG与CE的交点， 取BD中点O，连CO，FO， 在Rt△BCD与Rt△BFD中，CO=BO=DO=FO， 因此点O是三棱锥D-BCF的外接球球心，球半径r = BD = 所以三棱锥D-BCF的外接球的表面积S=4πr2 =8π。 故选：A． 6. 已知四棱锥S-ABCD，底面ABCD为矩形，AB=2BC=2，平面SAD⊥平面ABCD，△SAD为正三角形．则四棱锥S-ABCD的外接球的体积为 ( ) A. π B. π C. π D. π 【答案】A 【解析】解：根据题意： 如图所示： 由于：AB=2BC=2， 所以SH 点P为△SAD的中心，连接AC和BD；交于点K， 所以过点P和K点分别作两个相交平面的垂线，交于点O，即外接球的球心，所以PH 所以R 解得R ． 故V球 ． 故选：A． $ 球的表面积与体积(一) 一、正方体与长方体模型 1．正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． 2．长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． 3．补成长方体 （1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图 1 所示． （2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图 2 所示． （3）正四面体P − ABC 可以补形为正方体且正方体的棱长a ，如图 3 所示． （4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图 4 所示 图 1 图 2 图 3 图 4 二、正四面体以及正棱锥模型 设正四面体ABCD 的的棱长为a，将其放入正方体中，则正方体的棱长为a，显然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为R = ，即正四面体外接球半径为Ra ． 三、共斜边拼接模型 如图，在四面体ABCD 中，AB 丄 AD ， CB 丄 CD ，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形拼接而形成的，BD为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型 ”命名之．设点O 为 公共斜边 BD 的 中 点 ，根据直角三 角形斜边 中线等 于斜边 的一半 的结论可 知， OA = OC = OB = OD ，即点O 到A ，B ，C ，D 四点的距离相等，故点O 就是四面体ABCD外接球的球心，公共的斜边BD就是外接球的一条直径． 四、有一条侧棱垂直与底面的椎体模型 五、有两个面互相垂直的椎体模型 1．已知三棱锥P − BCD 中，BC 丄 CD ，PB 丄 底面BCD ，BC = 1 ，PB = CD = 2 ，则该三棱锥的外接球的体积为( ) A ． B ． C ． D ． 2．已知正三棱锥S − ABC 的三条侧棱两两垂直，且侧棱长为 ，则此三棱锥的外接球的表面积为( ) A ． π B ．3π C ．6π D ．9π 3．已知正四面体 ABCD 的表面积为2 ，且 A ，B ，C ，D 四点都在球 O 的球面上，则球O 的体积为______． 4．在三棱锥P − ABC 中，PA = BC PB = AC ，AB = PC = 5 ，则三棱锥P − ABC的外接球的表面积是______． 5 ． 已知三棱锥 O − ABC 中， A, B, C 三点在以 O 为球心的球面上， 若 AB = BC = 2 ，ABC = ，且三棱锥O − ABC 的体积为 ，则球O 的表面积为________． 球的表面积与体积() 巩固 1. 已知正四棱锥P − ABCD的所有顶点都在球O的球面上，且正四棱锥P − ABCD的底面面积为6，侧面积为6，则球O的表面积为 ( ) A. π B C. 16π D. 32π 2. 已知三棱锥A-BCD的所有顶点都在球O的球面上，且AB⊥平面BCD，AB=2，AC=AD=4，CD=2，则球O的表面积为 ( ) A. 20π B. 18π C. 36π D. 24π 球的表面积与体积() 加强 1. 在三棱锥A-BCD中，平面ACD⊥平面BCD，△ACD是以CD为斜边的等腰直角三角形，M为CD中点， BM⊥BC，AC=2BC=4，则该三棱锥的外接球的表面积为 ( ) A. 16π B. 24π C. 32π D. 40π 2. 在三棱锥A-BCD，平面ACD⊥平面BCD，△ACD是以CD为斜边的等腰直角三角形，△BCD为等边三角形，AC=4，则该三棱锥的外接球的表面积为 ( ) A. B. C. D. 3. 已知菱形ABCD的各边长为2，∠B=60° . 将△ABC沿AC折起，折起后记点B为P，连接PD，得到三棱锥P-ACD，如图所示，当三棱锥P-ACD的表面积最大时，三棱锥P-ACD的外接球体积为 ( ) A. B. C. D. ( 4. 如图 ，△ ABC 中 ，∠ BAC =90 ° , AB = AC = √ 2 ， D 为 BC 的中 点 ， 将 △ ABC 沿 AD 折叠成三棱锥 A - BCD ， 则当该三棱锥体积最 )大时它的外接球的表面积为 ( ) A. π B. 2π C. 3π D. 4π 5. 如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D 1的棱长为2，点E是棱B1C1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且BF⊥平面CDE，当△CDF的外接圆面积最小时，则三棱锥D-BCF的外接球的表面积为 ( ) A. 8π B. 9π C. 10π D. 12π 6. 已知四棱锥S-ABCD，底面ABCD为矩形，AB=2BC=2，平面SAD⊥平面ABCD，△SAD为正三角形．则四棱锥S-ABCD的外接球的体积为 ( ) A. π B. π C. π D. π 学科网（北京）股份有限公司 $