2.3.1 两条直线的交点坐标 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦两条直线的交点坐标，通过探究点与直线方程关系、方程组解与位置关系联系导入，从直线方程到交点求解、位置判断、参数问题，构建递进学习支架。 以探究问题驱动学习，结合典例解析与变式训练，培养学生抽象能力（数学眼光）、推理能力（数学思维）和应用意识（数学语言），练习分层设计兼顾基础与提升，助力自主学习与教学评估。

2.3.1 两条直线的交点坐标 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 ★学习目标　1.结合教材实例学会求两条直线的交点坐标. 2.掌握两点间的距离公式及应用. 3.能利用距离公式解决与交点相关的问题，能用坐标法证明简单的几何问题. 一、求相交直线的交点坐标 探究1　若点P在直线l上，则点P的坐标与直线l的方程Ax＋By＋C＝0有什么关系？ 探究2　已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，它们的交点坐标P与直线l1，l2的方程有什么关系？ 探究3　从代数角度，将以上直线l1和l2的方程联立，组成方程组，会有什么结论？ ★梳理教材 已知两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，设这两条直线的交点为P，则点P既在直线 上，也在直线 上.所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标就是方程组的解. ★温馨提示　（1）解方程组时需注意，消元法的使用，可用加减消元或代入消元. （2）图象可以大致判断交点位置，解方程组更为准确. ★判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）若点A（a，b）在直线l：Ax＋By＋C＝0上，则点A的坐标一定适合直线l的方程.（ 　） （2）x＋2y－5＝0与2x－y＋4＝0的交点坐标为（1，2）.（ 　） 【典例1】　（1）若直线2x＋3y－k＝0与直线x－ky＋12＝0的交点在y轴上，则k的值为（ 　） A.－24 B.6 C.±6 D.24 （2）直线x＋2y－4＝0与直线2x－y＋2＝0的交点坐标是 . ★解题感悟 　　1.求两直线的交点坐标可直接联立方程组求解，并可利用解的个数判断直线的位置关系. 2.当多条直线相交于同一点时，先选两直线求交点，此点必须满足其他直线. 【练习1】　（1）直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点为（ 　） A.（4，3） B.（－4，3） C.（－4，－3） D.（4，－3） （2）已知三条直线mx＋2y＋7＝0，y＝14－4x和2x－3y＝14相交于一点，则m的值为 . 二、判断两直线位置关系 探究4　由两直线方程联立解方程组，若方程组有唯一解，说明两条直线是什么关系？若无解或有无数组解呢？ 探究5　你能用直线的斜率判断各对直线的位置关系吗？比较用斜率判断和解方程组这两种方法，你会优先选择哪一种？ 探究6　解方程组判断直线位置关系真的一无是处吗？有没有优点？ ★梳理教材 　方程组解的个数与两直线的位置关系 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 0个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 ★温馨提示　（1）虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用. （2）两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0. ★判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）两直线l1：3x＋4y＋5＝0与l2：6x＋8y＋10＝0重合.（ 　） （2）若两条直线相交，则交点坐标一定是两条直线的方程组成的二元一次方程组的解.（ 　） 【典例2】　分别判断下列直线的位置关系，若相交，求出交点坐标. （1）l1：2x－y－7＝0和l2：3x＋2y－7＝0； （2）l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0； （3）l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3. ★解题感悟 两条直线相交、平行与重合的判定方法 设两条直线的方程分别为l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0. （1）若A1B2－A2B1≠0或≠（A2B2≠0），则两直线相交. （2）若A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0（或B1C2－B2C1≠0）或＝≠（A2B2C2≠0），则两直线平行. （3）若A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1＝0（或B1C2－B2C1＝0）或＝＝（A2B2C2≠0），则两直线重合. 【练习2】　判断下列两条直线的位置关系： （1）l1：4x＋3y－5＝0，l2：4x－2y＋3＝0； （2）l1：3x＋4y－5＝0，l2：6x＝7－8y； （3）l1：2y＝7，l2：3y＋5＝0. 三、利用两条直线的位置关系求参数 【典例3】　已知两条直线l1：ax－y＋a＋2＝0，l2：ax＋（a2－2）y＋1＝0，当a为何值时，l1与l2：（1）相交；（2）平行；（3）重合. ★解题感悟 已知一般式判断两条直线的位置关系有两种思路 （1）若斜率存在，可化为斜截式，利用斜率求解. （2）利用一般式相交、平行、重合的条件求解. 【练习3】　已知：l1：x＋my＋6＝0，l2：（m－2）x＋3y＋2m＝0，当m为何值时，l1与l2：（1）相交；（2）平行；（3）重合. 四、直线系的应用 【典例4】　求过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程. 【变式探究】　本典例中若将“平行”改为“垂直”，又如何求解？ ★解题感悟 过两条直线交点的直线方程的求法 （1）常规解法（方程组法）：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程. （2）特殊解法（直线系法）：利用平行直线系、垂直直线系或交点直线系，通过待定系数法求直线方程，常见的直线系有： ①过已知点P（x0，y0）的直线系y－y0＝k（x－x0）（k为参数）. ②斜率为k的平行直线系方程y＝kx＋b（b为参数）. ③与已知直线Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0）平行的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0（λ为参数，λ≠C）. ④与已知直线Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0）垂直的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0（λ为参数）. ⑤过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0（＋≠0）与l2：A2x＋B2y＋C2＝0（＋≠0）的交点的直线系方程为l：A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0（λ∈R），但不包含直线l2. 【练习4】　已知两直线l1：x＋2y－6＝0和l2：x－2y＋2＝0的交点为P.求： （1）过点P与Q（1，4）的直线方程； （2）过点P且与直线x－3y－1＝0平行的直线方程. 五、直线系过定点问题 探究7　在直线的点斜式方程y－y0＝k（x－x0）中，如果k为变量，则该直线恒过定点吗？ 探究8　方程A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0代表直线吗？它有什么特征？ ★梳理教材 （1）平行于直线Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0）的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0（λ≠C）. （2）垂直于直线Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0）的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0. （3）过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0（＋≠0），A2x＋B2y＋C2＝0（＋≠0）交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0（λ∈R），但不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0. ★温馨提示　一般情况下，若直线方程中含有一个参数，则该直线过定点. ★判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）直线x－x0＝k（y－y0）必过点（x0，y0）.（ 　） （2）过直线A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程可设为λ（A1x＋B1y＋C1）＋μ（A2x＋B2y＋C2）＝0，λ，μ∈R.（ 　） 角度1　定点的求解 【典例5】　已知方程（m＋2）x＋（m－3）y＋4＝0（m∈R）所表示的直线恒过定点，试求该定点的坐标. 角度2　过定点的直线系问题 【典例6】　求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程. ★解题感悟 解决过定点问题常用的方法 （1）特殊值法：给方程中的参数取两个特殊值，可得关于x，y的两个方程，从中解出x，y的值，即为所求定点的坐标. （2）点斜式法：将含参数的直线方程写成点斜式y－y0＝k（x－x0），则直线必过定点（x0，y0）. （3）分离参数法：将含参数的直线方程整理为过交点的直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0（λ∈R）的形式，则该方程表示的直线必过直线A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0的交点，而此交点就是定点. 比较这三种方法可知，特殊值法计算较烦琐，点斜式法变形较困难，分离参数法最简便因而也最常用. 【练习5】　已知直线l：kx－y＋2＋k＝0（k∈R）. （1）证明：直线l过定点； （2）若直线不经过第四象限，求k的取值范围. ★课堂达标 1.两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为（ 　） A.（3，2） B.（2，3） C.（－2，－3） D.（－3，－2） 2.若直线l：y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（ 　） A.［，） B.（，） C.（，） D.［，］ 3.过两条直线2x－y－5＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程为 . 4.直线（2k－1）x－（k＋3）y－（k－11）＝0（k∈R）经过的定点是 . 解析版 ★学习目标　1.结合教材实例学会求两条直线的交点坐标. 2.掌握两点间的距离公式及应用. 3.能利用距离公式解决与交点相关的问题，能用坐标法证明简单的几何问题. 一、求相交直线的交点坐标 探究1　若点P在直线l上，则点P的坐标与直线l的方程Ax＋By＋C＝0有什么关系？ 提示：Ax0＋By0＋C＝0. 探究2　已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，它们的交点坐标P与直线l1，l2的方程有什么关系？ 提示：因为点P为直线l1，l2的交点，所以点P在直线l1上⇒A1x0＋B1y0＋C1＝0；点P在直线l2上⇒A2x0＋B2y0＋C2＝0. 探究3　从代数角度，将以上直线l1和l2的方程联立，组成方程组，会有什么结论？ 提示：解方程组，可以得到x0，y0，即可以得到交点P的坐标. ★梳理教材 已知两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，设这两条直线的交点为P，则点P既在直线　l1　上，也在直线　l2　上.所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标就是方程组的解. ★温馨提示　（1）解方程组时需注意，消元法的使用，可用加减消元或代入消元. （2）图象可以大致判断交点位置，解方程组更为准确. ★判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）若点A（a，b）在直线l：Ax＋By＋C＝0上，则点A的坐标一定适合直线l的方程.（　√　） （2）x＋2y－5＝0与2x－y＋4＝0的交点坐标为（1，2）.（　✕　） 【典例1】　（1）若直线2x＋3y－k＝0与直线x－ky＋12＝0的交点在y轴上，则k的值为（　C　） A.－24 B.6 C.±6 D.24 （2）直线x＋2y－4＝0与直线2x－y＋2＝0的交点坐标是　（0，2）　. 解析：（1）方法一：联立方程 消去y得x＝（k≠－）. 由题意知＝0，解得k＝±6. 方法二：显然k≠0，在2x＋3y－k＝0中， 令x＝0，得y＝， 在x－ky＋12＝0中，令x＝0，得y＝， 由题意可得＝，解得k＝±6. （2）解方程组得 即直线x＋2y－4＝0与直线2x－y＋2＝0的交点坐标是（0，2）. ★解题感悟 　　1.求两直线的交点坐标可直接联立方程组求解，并可利用解的个数判断直线的位置关系. 2.当多条直线相交于同一点时，先选两直线求交点，此点必须满足其他直线. 【练习1】　（1）直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点为（　B　） A.（4，3） B.（－4，3） C.（－4，－3） D.（4，－3） （2）已知三条直线mx＋2y＋7＝0，y＝14－4x和2x－3y＝14相交于一点，则m的值为　－　. 解析：（1）解方程组得 所以两直线交点坐标为（－4，3）. （2）解方程组得 所以这两条直线的交点坐标为（4，－2）. 由题意知点（4，－2）在直线mx＋2y＋7＝0上， 将（4，－2）代入，得4m＋2×（－2）＋7＝0， 解得m＝－. 二、判断两直线位置关系 探究4　由两直线方程联立解方程组，若方程组有唯一解，说明两条直线是什么关系？若无解或有无数组解呢？ 提示：若有唯一解，则两直线相交；若无解，则两直线平行；若有无数组解，则两直线重合. 探究5　你能用直线的斜率判断各对直线的位置关系吗？比较用斜率判断和解方程组这两种方法，你会优先选择哪一种？ 提示：用斜率判断. 探究6　解方程组判断直线位置关系真的一无是处吗？有没有优点？ 提示：不是，在判断相交关系时，斜率法只能判断是否相交，而解方程组法，还可以直接把交点坐标求出来. ★梳理教材 　方程组解的个数与两直线的位置关系 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 0个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 ★温馨提示　（1）虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用. （2）两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0. ★判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）两直线l1：3x＋4y＋5＝0与l2：6x＋8y＋10＝0重合.（　√　） （2）若两条直线相交，则交点坐标一定是两条直线的方程组成的二元一次方程组的解.（　√　） 【典例2】　分别判断下列直线的位置关系，若相交，求出交点坐标. （1）l1：2x－y－7＝0和l2：3x＋2y－7＝0； （2）l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0； （3）l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3. 解：（1）方程组得 因此直线l1和l2相交，交点坐标为（3，－1）. （2）因为l2的方程化简后与l1的方程相同，所以l1与l2重合. （3）方程组无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2. ★解题感悟 两条直线相交、平行与重合的判定方法 设两条直线的方程分别为l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0. （1）若A1B2－A2B1≠0或≠（A2B2≠0），则两直线相交. （2）若A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0（或B1C2－B2C1≠0）或＝≠（A2B2C2≠0），则两直线平行. （3）若A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1＝0（或B1C2－B2C1＝0）或＝＝（A2B2C2≠0），则两直线重合. 【练习2】　判断下列两条直线的位置关系： （1）l1：4x＋3y－5＝0，l2：4x－2y＋3＝0； （2）l1：3x＋4y－5＝0，l2：6x＝7－8y； （3）l1：2y＝7，l2：3y＋5＝0. 解：（1）∵l1：y＝－x＋，l2：y＝2x＋， ∴l1与l2的斜率不相等，则l1与l2相交. （2）∵l1：y＝－＋，l2：y＝－＋， ∴l1与l2的斜率相等，但在y轴上的截距不相等，则l1与l2平行. （3）∵l1：y＝，l2：y＝－， ∴l1与l2的斜率相等，在y轴上的截距不相等，则l1与l2平行. 三、利用两条直线的位置关系求参数 【典例3】　已知两条直线l1：ax－y＋a＋2＝0，l2：ax＋（a2－2）y＋1＝0，当a为何值时，l1与l2：（1）相交；（2）平行；（3）重合. 解：首先由a（a2－2）＝（－1）a， 得a＝0或a＝－1或a＝1. ∴当a≠0且a≠－1且a≠1时两直线相交， 当a＝0时，代入计算知l1∥l2， 当a＝－1时，代入计算知l1与l2重合， 当a＝1时，代入计算知l1∥l2. 因此，（1）当a≠－1且a≠0且a≠1时，l1与l2相交. （2）当a＝0或a＝1时，l1与l2平行. （3）当a＝－1时，l1与l2重合. ★解题感悟 已知一般式判断两条直线的位置关系有两种思路 （1）若斜率存在，可化为斜截式，利用斜率求解. （2）利用一般式相交、平行、重合的条件求解. 【练习3】　已知：l1：x＋my＋6＝0，l2：（m－2）x＋3y＋2m＝0，当m为何值时，l1与l2：（1）相交； （2）平行；（3）重合. 解：当m＝0时，则l1：x＋6＝0，l2：－2x＋3y＝0，∴l1，l2相交. 当m＝2时，则l1：x＋2y＋6＝0，l2：3y＋4＝0，∴l1，l2相交. 当m≠0且m≠2时，＝，＝，＝. 若＝，则m＝－1或m＝3.若＝，则m＝3. ∴（1）当m≠－1且m≠3（即≠）时，l1与l2相交. （2）当m＝－1（即＝≠）时，l1与l2平行. （3）当m＝3（即＝＝）时，l1与l2重合. 四、直线系的应用 【典例4】　求过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程. 解：方法一：解方程组 得所以两直线的交点坐标为（－，－）. 又所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，所以所求直线的斜率为－3.故所求直线方程为y＋＝－3（x＋）. 即15x＋5y＋16＝0. 方法二：设所求直线方程为（2x－3y－3）＋λ（x＋y＋2）＝0， 即（2＋λ）x＋（λ－3）y＋（2λ－3）＝0.（*） 因为所求直线与直线3x＋y－1＝0平行， 所以 得λ＝，代入（*）式得（2＋）x＋（－3）y＋（2×－3）＝0，即15x＋5y＋16＝0. 【变式探究】　本典例中若将“平行”改为“垂直”，又如何求解？ 解：设所求直线方程为（2x－3y－3）＋λ（x＋y＋2）＝0，即（2＋λ）x＋（λ－3）y＋（2λ－3）＝0， ① 由于所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直，则3（2＋λ）＋（λ－3）×1＝0，得λ＝－，代入①式得x－y－＝0，即5x－15y－18＝0. ★解题感悟 过两条直线交点的直线方程的求法 （1）常规解法（方程组法）：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程. （2）特殊解法（直线系法）：利用平行直线系、垂直直线系或交点直线系，通过待定系数法求直线方程，常见的直线系有： ①过已知点P（x0，y0）的直线系y－y0＝k（x－x0）（k为参数）. ②斜率为k的平行直线系方程y＝kx＋b（b为参数）. ③与已知直线Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0）平行的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0（λ为参数，λ≠C）. ④与已知直线Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0）垂直的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0（λ为参数）. ⑤过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0（＋≠0）与l2：A2x＋B2y＋C2＝0（＋≠0）的交点的直线系方程为l：A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0（λ∈R），但不包含直线l2. 【练习4】　已知两直线l1：x＋2y－6＝0和l2：x－2y＋2＝0的交点为P.求： （1）过点P与Q（1，4）的直线方程； （2）过点P且与直线x－3y－1＝0平行的直线方程. 解：设过直线l1和l2交点P的直线方程为 x＋2y－6＋m（x－2y＋2）＝0， 即（m＋1）x＋（2－2m）y＋2m－6＝0. ① （1）把点Q（1，4）代入方程①， 化简得3－5m＝0，解得m＝， 所以过点P与Q（1，4）的直线方程为x＋y－＝0， 即2x＋y－6＝0. （2）由两直线平行， 得－3（m＋1）＝2－2m， 解得m＝－5， 所以所求直线的方程为－4x＋12y－16＝0， 即x－3y＋4＝0. 五、直线系过定点问题 探究7　在直线的点斜式方程y－y0＝k（x－x0）中，如果k为变量，则该直线恒过定点吗？ 提示：恒过定点（x0，y0）. 探究8　方程A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0代表直线吗？它有什么特征？ 提示：化成（A1＋λA2）x＋（B1＋λB2）y＋（C1＋λC2）＝0，即为直线方程；表示恒过A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线. ★梳理教材 （1）平行于直线Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0）的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0（λ≠C）. （2）垂直于直线Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0）的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0. （3）过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0（＋≠0），A2x＋B2y＋C2＝0（＋≠0）交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0（λ∈R），但不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0. ★温馨提示　一般情况下，若直线方程中含有一个参数，则该直线过定点. ★判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）直线x－x0＝k（y－y0）必过点（x0，y0）.（　√　） （2）过直线A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程可设为λ（A1x＋B1y＋C1）＋μ（A2x＋B2y＋C2）＝0，λ，μ∈R.（　√　） 角度1　定点的求解 【典例5】　已知方程（m＋2）x＋（m－3）y＋4＝0（m∈R）所表示的直线恒过定点，试求该定点的坐标. 解：方法一（特殊值法）：令m＝－2，则方程变为－5y＋4＝0，故y＝. 令m＝3，则方程变为5x＋4＝0，故x＝－.依题意可知直线恒过定点（－，）. 方法二（分离参数法）：将方程变形为m（x＋y）＋2x－3y＋4＝0.依题意定点的坐标与m的取值无关，于是此定点的坐标（x，y）必然满足x＋y＝0且2x－3y＋4＝0. 解方程组得 所以该定点的坐标为（－，）. 角度2　过定点的直线系问题 【典例6】　求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程. 解：方法一：解方程组 得即P（0，2）. 设l：4x＋3y＋c＝0，将（0，2）代入，得c＝－6， ∴l：4x＋3y－6＝0. 方法二：设l：x－2y＋4＋λ（x＋y－2）＝0， 即（1＋λ）x＋（λ－2）y＋4－2λ＝0， ① ∵l3的斜率为， ∴－＝－，得λ＝11， 代入①中，整理得所求直线l的方程为4x＋3y－6＝0. ★解题感悟 解决过定点问题常用的方法 （1）特殊值法：给方程中的参数取两个特殊值，可得关于x，y的两个方程，从中解出x，y的值，即为所求定点的坐标. （2）点斜式法：将含参数的直线方程写成点斜式y－y0＝k（x－x0），则直线必过定点（x0，y0）. （3）分离参数法：将含参数的直线方程整理为过交点的直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0（λ∈R）的形式，则该方程表示的直线必过直线A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0的交点，而此交点就是定点. 比较这三种方法可知，特殊值法计算较烦琐，点斜式法变形较困难，分离参数法最简便因而也最常用. 【练习5】　已知直线l：kx－y＋2＋k＝0（k∈R）. （1）证明：直线l过定点； （2）若直线不经过第四象限，求k的取值范围. 解：（1）证明：直线l：kx－y＋2＋k＝0， 即k（x＋1）＋（－y＋2）＝0， 联立解得 故直线l过定点（－1，2）. （2）直线l：kx－y＋2＋k＝0，即y＝kx＋2＋k， ∵直线不经过第四象限， ∴解得k≥0， 故k的取值范围是[0，＋∞）. ★课堂达标 1.两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为（　B　） A.（3，2） B.（2，3） C.（－2，－3） D.（－3，－2） 解析：解方程组得 2.若直线l：y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（　B　） A.［，） B.（，） C.（，） D.［，］ 解析：设直线l的倾斜角为α.易知直线l过定点A（0，－）， 直线2x＋3y－6＝0过点B（0，2），C（3，0），连接AC（图略）， ∵交点位于第一象限， ∴k＞kAC，∴k＞，∴＜α＜，故选B. 3.过两条直线2x－y－5＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程为　3x＋y＝0　. 4.直线（2k－1）x－（k＋3）y－（k－11）＝0（k∈R）经过的定点是　（2，3）　. 解析：原方程变形得k（2x－y－1）＋（－x－3y＋11）＝0， 所以定点坐标满足解得定点为（2，3）. 页 学科网（北京）股份有限公司 $