2.3.2 两点间的距离公式 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦两点间的距离公式，通过“校园寻宝”游戏导入，将实际距离问题抽象为数学问题，引导学生用向量法和勾股定理推导公式，衔接初中知识与高中向量应用，构建知识支架。 以探究活动和生活情境激发学习兴趣，培养数学眼光，坐标法应用实现几何问题代数化，发展数学思维，光的反射及最值问题结合实际，提升数学语言表达与应用意识，典例变式与解题感悟助力学生掌握方法，提升学习效率。

2.3.2 两点间的距离公式 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 ★学习目标　1.掌握距离公式在几何证明中的应用. 2.掌握光的反射问题的求法. 3.会利用对称性求距离的最值问题. 一、两点间的距离公式 探究1　学校的年度文化节即将来临，学生会策划了一场特别的“校园寻宝”游戏.游戏中，参与者需要根据一系列提示找到隐藏在校园各处的宝藏.而每个提示都是一个谜题，解开谜题后会得到两个地点的坐标（如智慧楼标记为A（5，3），创新楼标记为B（10，8）），以及一个挑战——计算这两个地点之间的直线距离，作为通往下一个宝藏的线索. 我们知道了校园内两个地点的坐标，我们该如何计算距离呢？ 将上述问题抽象为数学问题，即如图，已知平面内两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），如何用平面向量的知识求P1，P2间的距离？ 探究2　若两个点中，其中一个为原点O（0，0），另一个为P（x，y），则等于多少？ 探究3　除了向量法，还能借助其他知识，推导两点间的距离公式吗？ 探究4　此公式与两点的先后顺序有关吗？ ★梳理教材 　两点间的距离公式 （1）P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点间的距离公式｜P1P2｜＝. （2）原点O（0，0）与任一点P（x，y）间的距离｜OP｜＝. ★温馨提示　（1）特殊的两点间距离 当直线P1P2平行于x轴时，｜P1P2｜＝｜x2－x1｜. 当直线P1P2平行于y轴时，｜P1P2｜＝｜y2－y1｜. 当点P1，P2中有一个是原点，另一个点的坐标为（x，y）时，｜P1P2｜＝. （2）已知斜率为k（k≠0）的直线上的两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），由两点间的距离公式可得｜P1P2｜＝＝｜x2－x1｜·＝｜y2－y1｜·. （3）此公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可以写成｜P1P2｜＝，利用此公式可以将有关的几何问题转化为代数问题进行研究. ★判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）表示的是平面内点P（x，y）到点（1，0）的距离.（ 　） （2）平面内两点间的距离公式与坐标顺序有关.（ 　） （3）当A，B两点的连线与坐标轴垂直时，两点间的距离公式不适用.（ 　） 【典例1】　（1）（多选）对于，下列说法正确的是（ 　） A.可看作点（x，0）与点（1，2）间的距离 B.可看作点（x，0）与点（－1，－2）间的距离 C.可看作点（x，0）与点（－1，2）间的距离 D.可看作点（x，－1）与点（－1，1）间的距离 （2）已知四边形ABCD各顶点的坐标分别为A（－7，0），B（2，－3），C（5，6），D（－4，9），则这个四边形的形状为 . 【变式探究】　将本典例（2）中D点坐标改为（0，21），判断此四边形的形状. ★解题感悟 计算两点间距离的方法 （1）对于任意两点P1（x1，y1）和P2（x2，y2），｜P1P2｜＝. （2）对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解. 【练习1】　已知A(a，2)，B(－2，－3)，C(1，6)三点，且|AB|＝|AC|，则实数a的值为（ ） A．－2 B．－1 C．1 D．2 二、坐标法的应用 探究5　为了判定某三角形的形状，我们将之放入平面直角坐标系中，并已知三个顶点A（－3，1），B（3，－3），C（1，7），请给出结论. ★梳理教材 坐标法的概念：坐标法又称解析法，它是把几何问题转化为代数问题，通过建立适当的平面直角坐标系，加以分析研究解决问题的方法. 【典例2】　在△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：｜AB｜2＋｜AC｜2＝2（｜AD｜2＋｜DC｜2）. ★解题感悟 用坐标法证明平面几何问题时的关注点 （1）解题关键：结合图形的特征，建立恰当的平面直角坐标系. （2）建系原则： ①让尽可能多的点落在坐标轴上； ②如果条件中有互相垂直的两条线，要考虑将它们作为坐标轴；如果图形为中心对称图形，可考虑将中心作为原点；如果图形为轴对称图形，可考虑将对称轴作为坐标轴. 提醒：证明过程中要不失一般性. 【练习2】　如图，△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形，试用坐标法证明：｜AE｜＝｜CD｜. 三、光的反射问题 【典例3】　一束光线从原点O（0，0）出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P（－4，3），求反射光线的方程及光线从O点到达P点所走过的路程. ★解题感悟 　　根据平面几何知识和光学知识，知入射光线所在直线、反射光线所在直线上对应的点是关于法线对称的.利用点的对称关系可以求解光的反射问题. 【练习3】　如图所示，已知点A（4，0），B（0，4），从点P（2，0）射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是（ 　） A.2 B.6 C.3 D.2 四、利用对称性解决有关最值问题 【典例4】　已知直线l：3x－y－1＝0及点A（4，1），B（0，4），C（2，0）. （1）试在l上求一点P，使｜AP｜＋｜CP｜最小； （2）试在l上求一点Q，使｜AQ｜－｜BQ｜最大. ★解题感悟 利用对称性求距离的最值问题 由平面几何知识（三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差的绝对值小于第三边）可知，要解决在直线l上求一点，使这点到两定点A，B的距离之差最大的问题，若这两点A，B位于直线l的同侧，则只需求出直线AB的方程，再求它与已知直线l的交点，即得所求的点的坐标；若A，B两点位于直线l的异侧，则先求A，B两点中的某一点关于直线l的对称点，如A关于直线l的对称点A'，得直线A'B的方程，再求其与直线l的交点即可.对于在直线l上求一点P，使P到平面上两点A，B的距离之和最小的问题可用类似方法求解. 【练习4】　函数f（x）＝＋的值域是（ 　） A.[3＋1，＋∞） B.[3＋，＋∞） C.[5，＋∞） D.[4，＋∞） ★课堂达标 1.已知A（2，1），B（－1，b），｜AB｜＝5，则b＝（ 　） A.－3 B.5 C.－3或5 D.－1或3 2.已知点A（x，5）关于点（1，y）的对称点为（－2，－3），则点P（x，y）到原点的距离是（ 　） A.2 B.4 C.5 D. 3.已知A（－3，8），B（2，2），若在x轴上有一点M，使｜AM｜＋｜BM｜的值最小，则点M的坐标是（ 　） A.（－1，0） B.（1，0） C.（，0） D.（0，） 4.已知△ABC的顶点坐标为A（－1，5），B（－2，－1），C（2，3），则BC边上的中线长为. 解析版 ★学习目标　1.掌握距离公式在几何证明中的应用. 2.掌握光的反射问题的求法. 3.会利用对称性求距离的最值问题. 一、两点间的距离公式 探究1　学校的年度文化节即将来临，学生会策划了一场特别的“校园寻宝”游戏.游戏中，参与者需要根据一系列提示找到隐藏在校园各处的宝藏.而每个提示都是一个谜题，解开谜题后会得到两个地点的坐标（如智慧楼标记为A（5，3），创新楼标记为B（10，8）），以及一个挑战——计算这两个地点之间的直线距离，作为通往下一个宝藏的线索. 我们知道了校园内两个地点的坐标，我们该如何计算距离呢？ 将上述问题抽象为数学问题，即如图，已知平面内两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），如何用平面向量的知识求P1，P2间的距离？ 提示：从平面向量的知识入手，考虑求法： 由点P1（x1，y1），P2（x2，y2）， 得＝（x2－x1，y2－y1）.于是＝.由此得到P1，P2两点间距离公式｜P1P2｜＝. 探究2　若两个点中，其中一个为原点O（0，0），另一个为P（x，y），则等于多少？ 提示：＝. 探究3　除了向量法，还能借助其他知识，推导两点间的距离公式吗？ 提示：回顾初中勾股定理的知识，进行作图求解： 如图，在Rt△P1P2Q中，易知，｜P1P2｜＝. 即两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的距离｜P1P2｜＝. 探究4　此公式与两点的先后顺序有关吗？ 提示：无关. ★梳理教材 　两点间的距离公式 （1）P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点间的距离公式｜P1P2｜＝. （2）原点O（0，0）与任一点P（x，y）间的距离｜OP｜＝. ★温馨提示　（1）特殊的两点间距离 当直线P1P2平行于x轴时，｜P1P2｜＝｜x2－x1｜. 当直线P1P2平行于y轴时，｜P1P2｜＝｜y2－y1｜. 当点P1，P2中有一个是原点，另一个点的坐标为（x，y）时，｜P1P2｜＝. （2）已知斜率为k（k≠0）的直线上的两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），由两点间的距离公式可得｜P1P2｜＝＝｜x2－x1｜·＝｜y2－y1｜·. （3）此公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可以写成｜P1P2｜＝，利用此公式可以将有关的几何问题转化为代数问题进行研究. ★判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）表示的是平面内点P（x，y）到点（1，0）的距离.（　√　） （2）平面内两点间的距离公式与坐标顺序有关.（　✕　） （3）当A，B两点的连线与坐标轴垂直时，两点间的距离公式不适用.（　✕　） 【典例1】　（1）（多选）对于，下列说法正确的是（　BCD　） A.可看作点（x，0）与点（1，2）间的距离 B.可看作点（x，0）与点（－1，－2）间的距离 C.可看作点（x，0）与点（－1，2）间的距离 D.可看作点（x，－1）与点（－1，1）间的距离 （2）已知四边形ABCD各顶点的坐标分别为A（－7，0），B（2，－3），C（5，6），D（－4，9），则这个四边形的形状为　正方形　. 解析：（1）对于A，点（x，0）与点（1，2）间的距离为＝，故A错误； 对于B，点（x，0）与点（－1，－2）间的距离为＝，故B正确； 对于C，点（x，0）与点（－1，2）间的距离为＝，故C正确； 对于D，点（x，－1）与点（－1，1）间的距离为＝，故D正确.故选BCD. （2）∵kAB＝－，kCD＝－，kAD＝3，kBC＝3， ∴AB∥CD，AD∥BC，即四边形ABCD为平行四边形. 又kAB·kAD＝－1，∴AB⊥AD，即平行四边形ABCD为矩形. ∵｜AB｜＝＝3， ｜AD｜＝＝3， ∴｜AB｜＝｜AD｜，即矩形ABCD为正方形， 故四边形ABCD为正方形. 【变式探究】　将本典例（2）中D点坐标改为（0，21），判断此四边形的形状. 解：∵kAB＝－，kCD＝－3，kAD＝3，kBC＝3， ∴AD∥BC，且AB⊥AD.又∵｜AB｜＝3， ｜CD｜＝＝5， 即｜AB｜≠｜CD｜，∴四边形ABCD为直角梯形. ★解题感悟 计算两点间距离的方法 （1）对于任意两点P1（x1，y1）和P2（x2，y2），｜P1P2｜＝. （2）对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解. 【练习1】　已知A(a，2)，B(－2，－3)，C(1，6)三点，且|AB|＝|AC|，则实数a的值为（　A　） A．－2 B．－1 C．1 D．2 二、坐标法的应用 探究5　为了判定某三角形的形状，我们将之放入平面直角坐标系中，并已知三个顶点A（－3，1），B（3，－3），C（1，7），请给出结论. 提示：｜AB｜＝＝2，同理｜AC｜＝2，｜BC｜＝2，于是｜AB｜＝｜AC｜，且｜AB｜2＋｜AC｜2＝｜BC｜2，故△ABC为等腰直角三角形. ★梳理教材 坐标法的概念：坐标法又称解析法，它是把几何问题转化为代数问题，通过建立适当的平面直角坐标系，加以分析研究解决问题的方法. 【典例2】　在△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：｜AB｜2＋｜AC｜2＝2（｜AD｜2＋｜DC｜2）. 证明：以边BC所在直线为x轴，D为原点，建立平面直角坐标系，如图所示，设A（b，c），C（a，0），则B（－a，0），D（0，0）， 因为｜AB｜2＝（－a－b）2＋（－c）2，｜AC｜2＝（a－b）2＋（－c）2，｜AD｜2＝（－b）2＋（－c）2，｜DC｜2＝a2，所以｜AB｜2＋｜AC｜2＝2（a2＋b2＋c2），又｜AD｜2＋｜DC｜2＝b2＋c2＋a2， 所以｜AB｜2＋｜AC｜2＝2（｜AD｜2＋｜DC｜2）. ★解题感悟 用坐标法证明平面几何问题时的关注点 （1）解题关键：结合图形的特征，建立恰当的平面直角坐标系. （2）建系原则： ①让尽可能多的点落在坐标轴上； ②如果条件中有互相垂直的两条线，要考虑将它们作为坐标轴；如果图形为中心对称图形，可考虑将中心作为原点；如果图形为轴对称图形，可考虑将对称轴作为坐标轴. 提醒：证明过程中要不失一般性. 【练习2】　如图，△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形，试用坐标法证明：｜AE｜＝｜CD｜. 证明：如图所示，以点B为坐标原点，AC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy. 设△ABD和△BCE的边长分别为a和c.则A（－a，0），C（c，0），E（，），D（－，）， 由两点间距离公式， 得｜AE｜＝＝， ｜CD｜＝＝， 所以｜AE｜＝｜CD｜. 三、光的反射问题 【典例3】　一束光线从原点O（0，0）出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P（－4，3），求反射光线的方程及光线从O点到达P点所走过的路程. 解：如图所示，设原点关于l的对称点A的坐标为（a，b）， 由直线OA与l垂直以及线段AO的中点在l上得 解得所以点A的坐标为（4，3）. 因为反射光线的反向延长线过点A（4，3）， 又由反射光线过点P（－4，3），A，P两点纵坐标相等， 故反射光线所在直线的方程为y＝3. 联立解得 由于反射光线为射线， 故反射光线的方程为y＝3（x≤）. 由光学性质可知，光线从O点到P点的路程即为线段AP的长度｜AP｜，由A（4，3），P（－4，3）知｜AP｜＝4－（－4）＝8， 即光线从O点出发经直线l反射后到达P点所走过的路程为8. ★解题感悟 　　根据平面几何知识和光学知识，知入射光线所在直线、反射光线所在直线上对应的点是关于法线对称的.利用点的对称关系可以求解光的反射问题. 【练习3】　如图所示，已知点A（4，0），B（0，4），从点P（2，0）射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是（　A　） A.2 B.6 C.3 D.2 解析：如图所示，分别作出点P关于直线AB的对称点P'，点P关于y轴的对称点P″， 则点P'，Q，M，P″在同一条直线上，线段P'P″的长｜P'P″｜即为所求. 易知P″（－2，0），直线AB的方程为x＋y＝4. 设点P'（a，b），则解得a＝4，b＝2，∴点P'（4，2）. ∴光线所经过的路程是｜P'P″｜＝＝2.故选A. 四、利用对称性解决有关最值问题 【典例4】　已知直线l：3x－y－1＝0及点A（4，1），B（0，4），C（2，0）. （1）试在l上求一点P，使｜AP｜＋｜CP｜最小； （2）试在l上求一点Q，使｜AQ｜－｜BQ｜最大. 解：（1）如图1，设点C关于直线l的对称点为C'（a，b），则＝－， 图1 且3·－－1＝0，解得C'（－1，1）.连接AC'，则AC'所在的直线方程为y＝1. 由得AC'与l的交点为（，1），记此点为P，连接PC， 此时｜AP｜＋｜CP｜取最小值，最小值为｜AC'｜＝5. （2）如图2，设B关于l的对称点为B'（m，n），则＝－，且3·－－1＝0，解得m＝3，n＝3，即B'（3，3）. 图2 连接AB'，则AB'所在的直线方程为2x＋y－9＝0. 联立得直线AB'与l的交点为（2，5），记此点为Q，连接BQ， 此时｜AQ｜－｜BQ｜取最大值，最大值为｜AB'｜＝. ★解题感悟 利用对称性求距离的最值问题 由平面几何知识（三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差的绝对值小于第三边）可知，要解决在直线l上求一点，使这点到两定点A，B的距离之差最大的问题，若这两点A，B位于直线l的同侧，则只需求出直线AB的方程，再求它与已知直线l的交点，即得所求的点的坐标；若A，B两点位于直线l的异侧，则先求A，B两点中的某一点关于直线l的对称点，如A关于直线l的对称点A'，得直线A'B的方程，再求其与直线l的交点即可.对于在直线l上求一点P，使P到平面上两点A，B的距离之和最小的问题可用类似方法求解. 【练习4】　函数f（x）＝＋的值域是（　C　） A.[3＋1，＋∞） B.[3＋，＋∞） C.[5，＋∞） D.[4，＋∞） 解析：依题意，f（x）＝＋，即f（x）表示坐标平面内x轴上的点P（x，0）到定点A（0，3），B（3，－1）距离的和，而｜AB｜＝＝5，如图. 线段AB与x轴交于点C，有｜PA｜＋｜PB｜≥｜AB｜＝5，当且仅当点P与点C重合时取等号，即f（x）min＝5，所以函数f（x）＝＋的值域是[5，＋∞），故选C. ★课堂达标 1.已知A（2，1），B（－1，b），｜AB｜＝5，则b＝（　C　） A.－3 B.5 C.－3或5 D.－1或3 解析：∵｜AB｜＝＝5， ∴b＝－3或b＝5. 2.已知点A（x，5）关于点（1，y）的对称点为（－2，－3），则点P（x，y）到原点的距离是（　D　） A.2 B.4 C.5 D. 解析：根据中点坐标公式得到＝1且＝y，解得x＝4，y＝1，所以点P的坐标为（4，1），则点P（4，1）到原点的距离d＝＝. 3.已知A（－3，8），B（2，2），若在x轴上有一点M，使｜AM｜＋｜BM｜的值最小，则点M的坐标是（　B　） A.（－1，0） B.（1，0） C.（，0） D.（0，） 4.已知△ABC的顶点坐标为A（－1，5），B（－2，－1），C（2，3），则BC边上的中线长为　. 解析：线段BC的中点坐标D为（0，1），则BC边上的中线长为｜AD｜＝＝. 页 学科网（北京）股份有限公司 $