4.3　三角函数的图象与性质（9大题型）讲义-2027年新高考数学一轮总复习解题妙招精讲与题型整合（新高考专用）

该高中数学高考复习讲义聚焦三角函数的图象与性质核心考点，涵盖五点法作图、三角函数的周期性、奇偶性、单调性、对称性及平移伸缩变换，按“基础知识点梳理-方法技巧总结-经典题型归纳-真题回顾-课后拓展精练”的逻辑架构，通过考点梳理构建知识网络，方法指导（如整体思想）突破解题关键，真题训练强化考点对接，形成系统性复习体系。 资料以“题型分类+核心素养”为特色，如题型二“对称性与周期求解”通过变式5分析恒成立条件与对称轴关系，培养学生数学思维（推理能力），题型七“实际应用”结合简谐运动实例，引导学生用数学眼光（几何直观）抽象问题。设置基础巩固、能力提升、综合应用分层练习，配合即时反馈设计，确保学生高效掌握考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

4.3　三角函数的图象与性质 目录 01思维导图与题型归纳 2 02 基础知识点梳理 3 知识点一、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 3 知识点二、正弦、余弦、正切函数的图象与性质 3 知识点三、正弦函数的平移和伸缩变换 3 方法技巧总结1：整体思想 4 03 真题回顾 5 04 经典题型归纳总结 5 题型一：五点法作图 18 题型二：对称性与周期求解 18 题型三：单调区间与最值求解 29 题型四：三角函数解析式求解 32 题型五：函数奇偶性判断 38 题型六：三角函数图像平移伸缩 38 题型七：三角函数实际应用 44 题型八：三角最值常用解法 48 题型九：三角函数性质综合题型 48 05 课后拓展精练 63 知识点一、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 （1）在正弦函数，的图象中，五个关键点是：． （2）在余弦函数，的图象中，五个关键点是：． 知识点二、正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 图象 定义域 R R 值域 R 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 递减区间 无 对称中心 对称轴方程 直线 直线 无 知识点三、正弦函数的平移和伸缩变换 函数的图象可以通过下列两种方式得到： 1、 2、 关键：把握先移后缩和先缩后移的区别．类比可以得到：，的图像 定理：则平移单位为（注意平移方向） 方法技巧总结1：整体思想 周期 定义域 R R 最大值 1，当取得 A，当取得 最小值 -1，当取得 -A，当取得 单调增区间 单调减区间 对称轴 对称中心 1．（2026·北京·高考真题）（），将向轴正方向平移个单位，得到的函数图像与图像关于轴对称，则的取值个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】将向右平移个单位得 . 由题意，与的图像关于轴对称，即恒成立， 即. 分两种情形讨论： ①，对任意不恒成立，舍去； ②，化简得 ，即. 由得， 对应，因此的取值个数为3. 2．（2026·天津·高考真题）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意， 由题意及图得，函数为奇函数，且当时，， 对A选项，当时，，与图象不符，故A错误； 对B选项，当时，，与图象不符，故B错误； 对D选项，当时，，与图象不符，故D错误； 对C选项，在中， ，即该函数为奇函数， ，与图象相符，故C正确. 3．（2025·北京·高考真题）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】C 【解析】函数， 设函数的最小正周期为T，由可得， 所以，即； 又函数在上存在零点，且当时，， 所以，即； 综上，的最小值为4. 故选：C. 4．（2025·天津·高考真题），在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（   ） A． B． C．1 D．0 【答案】A 【解析】因为函数在上单调递增，且为它的一条对称轴， 所以时函数取最大值， 又因为是它的一个对称中心， 所以，， 设的最小正周期为，由正弦函数的对称性可知， 即， 又在上单调递增，则， ∴，则，， ∵，∴时，，∴， 当时，， 由正弦函数的单调性可知. 故选：A 5．（2025·全国一卷·高考真题）已知点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据正切函数的性质，的对称中心横坐标满足， 即的对称中心是， 即， 又，则时最小，最小值是， 即. 故选：B 6．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【解析】因为函数的最小正周期为， 函数的最小正周期为， 所以在上函数有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有6个交点. 故选：C 7．（2024·上海·高考真题）下列函数的最小正周期是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对A，，周期，故A正确； 对B，，周期，故B错误； 对于选项C，，是常值函数，不存在最小正周期，故C错误； 对于选项D，，周期，故D错误， 故选：A． 8．（2024·北京·高考真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由题意可知：为的最小值点，为的最大值点， 则，即， 且，所以. 故选：B. 9．（2024·天津·高考真题）已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【解析】因为函数的最小正周期为，则，所以， 即，当时，， 所以当，即时， 故选：D 10．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】解法一：令，即，可得， 令， 原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点， 注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上， 可得，即，解得， 若，令，可得 因为，则，当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点， 所以符合题意； 综上所述：. 解法二：令， 原题意等价于有且仅有一个零点， 因为， 则为偶函数， 根据偶函数的对称性可知的零点只能为0， 即，解得， 若，则， 又因为当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 即有且仅有一个零点0，所以符合题意； 故选：D. 11．（多选题）（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）对于函数和，下列说法中正确的有（    ） A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴 【答案】BC 【解析】A选项，令，解得，即为零点， 令，解得，即为零点， 显然零点不同，A选项错误； B选项，显然，B选项正确； C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确； D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足， 的对称轴满足， 显然图像的对称轴不同，D选项错误. 故选：BC 12．（2026·上海·高考真题）已知三角函数（，，，），若，当或时其导数为0，初始速度为0，且速度第一次达到4时用时为0.1秒，则__________． 【答案】 【解析】由题意知，和时，导数为0，即的最小值为0，最大值为4， 又， 所以，解得，故； 已知初速度为0，则，解得， 已知，则， 速度第一次达到4时用时秒，则，即， 此时． 13．（2026·全国一卷·高考真题）已知（，）是偶函数，在区间上单调递增．则__________，__________． 【答案】 【解析】设函数的最小正周期为，由题意可知， 因为函数在上单调递增，则，即， 可得，解得， 且，，则. 解法一：因为函数为偶函数， 则，，且， 则，， 若，则， 即或，不符合题意， 若，则， 即或，符合题意； 且或； 综上所述：，. 解法二：因为， 若函数为偶函数，则，即， 且，则， 若，则，， 即或在内恒成立， 可知函数在上单调递减，不符合题意， 若，则，， 即或在内恒成立， 可知函数在上单调递增，符合题意， 且或； 综上所述：，. 解法三：因为函数为偶函数，且函数在上单调递增， 可知在处取到极小值，则，，且， 则，，则， 即或，符合题意； 且或. 14．（2024·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为________． 【答案】/ 【解析】由题意，从而， 因为，所以的取值范围是，的取值范围是， 当且仅当，即时，取得最大值，且最大值为. 故答案为：. 15．（2023·北京·高考真题）已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为__________， _________． 【答案】 【解析】因为在上单调递增，若，则， 取， 则，即， 令，则， 因为，则， 即，则. 不妨取，即满足题意. 故答案为：. 16．（2026·北京·高考真题）已知函数，，．最小正周期为，且，． (1)求、的值； (2)求的单调递减区间． 【解析】（1）因为， 所以， 又的最小正周期为，， 所以，所以， 因为， 所以，， 所以，， 所以， 所以， （2）令，，可得，， 函数的单调递减区间为. 17．（2026·上海·高考真题）已知函数. (1)当，，求函数在处的切线方程； (2)若函数的最小正周期为，且在上恰好有1351个解，求的取值范围. 【解析】（1）当时，则， 根据可得，故，故， 由于，故，故， ，则， 故函数在处的切线方程为，故， （2）函数的最小正周期为，故，所以， 令，当，则， 令，则或， 当时，要使得有1351个实数根，则，解得， 当时，要使得有1351个实数根，则，解得， 当时，要使得有1351个实数根，则，无解， 综上可得或. 18．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数． (1)求; (2)设函数，求的值域和单调区间． 【解析】（1）由题意，所以； （2）由（1）可知， 所以 ， 所以函数的值域为， 令，解得， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为， 函数的单调递增区间为. 19．（2024·上海·高考真题）已知， (1)设，求解:的值域; (2)的最小正周期为，若在上恰有3个零点，求的取值范围. 【解析】（1）因为，所以， 因为，所以令， 由正弦函数性质得在上单调递增，在上单调递减， 所以，故， （2）由题意得，所以，可得， 当时，，，即，， 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， 所以， 即，故. 20．（2023·北京·高考真题）设函数． (1)若，求的值． (2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值． 条件①：； 条件②：； 条件③：在区间上单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【解析】（1）因为 所以， 因为，所以. （2）因为， 所以，所以的最大值为，最小值为. 若选条件①：因为的最大值为，最小值为，所以无解，故条件①不能使函数存在； 若选条件②：因为在上单调递增，且， 所以,所以,, 所以， 又因为，所以， 所以， 所以，因为，所以. 所以，； 若选条件③：因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得最小值，即. 以下与条件②相同． 题型一：五点法作图 【例题1】已知函数. (1)用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数在上的图象（要求列表），并直接写出图象的对称中心； (2)将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若，，当时，恒成立，求实数的最大值. 【解析】（1）列表： 0 1 2 0 0 1 描点，连线，画出在上的大致图像如图： 由图可知函数图像的对称中心为； （2）将函数的图象向右平移个单位， 得到， 由题意可知：函数在内单调递减，且的最小正周期， 则，即，解得， 因为，则， 且，则，， 可得，解得， 所以实数的最大值为. 【例题2】已知函数. (1)在下列网格纸中利用“五点作图法”作出函数的大致图象，要求：列表，描点，连线； (2)若方程在有两个不同的实数根，求的取值范围. 【解析】（1）因为， 则列表如下： 所以的图象如图， （2）因为，所以， 又，结合（1）中图象，可知在上的图象如图， 因为方程在有两个不同的实数根， 所以与的图象有两个交点，故或. 【变式1】已知函数． (1)用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数在上的图像； (2)若函数的图象向上平移一个单位长度，得到函数的图象，求不等式的解集． 【解析】（1）列表如下： x 0 y 1 2 0 0 1 函数在区间上的图象是： （2）由题意， 由， 得：， 即， 解得， 即不等式的解集是. 【变式2】已知函数． (1)根据五点作图法完善以下表格，并在如图所示的直角坐标系中作出函数在的图象； (2)若，求． (3)若，求的单调递减区间和对称轴． 【解析】（1）根据题意，列表得       再描点，得图象如下， （2）根据题意，，且， 解得， 又， 解得或 . （3）根据题意，，且， 则， 根据正弦函数的图像性质，令，， 解得，， 所以函数的单调递减区间为，， 令，，解得，， 所以函数的对称轴为，. 【变式3】设图象的一条对称轴是直线． (1)求，并求函数的单调增区间； (2)用“五点作图法”画出函数在区间上的图象． 【解析】（1）因为直线是函数的一条对称轴， 所以，则，解得， 又，所以， 所以. 令， 解得， 所以函数的单调增区间为. （2）由可知 故函数在区间上的图像如下： 题型二：对称性与周期求解 【例题3】下列函数中最小正周期为的有（   ）个 ①；②；③ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【解析】对，其最小正周期为，故①满足条件； 因为，其最小正周期为，故②满足条件. 对③，因为，所以不是函数的周期，故③不满足条件. 综上，函数中最小正周期为的有①②，共2个. 【例题4】已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．函数的定义域为且 B．函数的值域为 C．函数的最小正周期为 D．函数的图象关于直线对称 【答案】C 【解析】对于A，由正切函数的性质可得， 又由， 因此，函数的定义域为且，故A错误； 对于B，由 ， 因为函数的定义域为且， 所以且，即， 因此，所以，故B错误； 对于C，由上分析知，所以， 且的最小正周期为，因此函数的最小正周期为，故C正确； 对于D，由上分析知，所以， ， 显然等式不恒成立，因此函数的图象不关于直线对称，故D错误. 【变式4】将函数的图象向左平移个单位，所得的图象关于轴对称，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，将函数的图象向左平移个单位， 可得平移后的函数解析式为， 又平移后的函数图象关于轴对称， 所以，， 解得，， 因为，所以当时，可取最小值，即. 【变式5】设函数，若恒成立，且存在，使得，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】， 由恒成立，可得为正整数， 又存在，使得，则， 故，即， 因为，取时，，解得， ，故的最小值为3． 【变式6】设函数（），若对于任意的，都有，且的图象在上存在对称轴，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，因为，所以是的一个周期， 所以，即，其中； 令，则， 因为的图象在上存在对称轴，所以，即； 当时，不合题意；当时，解得，且为正整数， 所以的最小值为3，此时对称轴为，符合题意； 当时，解得，综上，的最小值为3. 【变式7】已知函数在区间上单调，其中为正整数，，且，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题知的最小正周期， 因为，所以直线为图象的一条对称轴， 由，则，又为正整数，所以1，2或3， 因为直线为图象的对称轴，所以， 因为，所以或， 若，则， 即，不存在整数使得1，2或3； 若，则， 即，不存在整数，使得1或3， 当时，2，此时，由， 所以当时，. 【变式8】已知函数，下列结论中：①函数恒满足；②直线是函数图象的一条对称轴；③点是函数图象的一个对称中心；④该函数在区间上单调递减.所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【解析】对于①，函数的最小正周期为， 则函数恒满足，故①正确； 对于②，由， 则直线是函数图象的一条对称轴，故②正确； 对于③，由， 则点不是函数图象的一个对称中心，故③错误； 对于④，令，即， 当时，函数的单调减区间为，故④正确. 【变式9】已知函数，，若为奇函数，则下列结论正确的是（    ） A．是函数的一个周期 B．的图象关于直线对称 C．函数的一个零点为 D．在上单调递增 【答案】C 【解析】因为，所以， 由为奇函数，所以，即， 因为，所以当时，， 所以， 对于A，由，所以的最小正周期为，故A错误； 对于B，由，解得：， 令，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，当时，，由函数在上单调递减， 所以函数在上单调递减，故D错误. 【变式10】（2026·高三·湖南·阶段检测）函数的图象关于直线对称，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【解析】函数的图象关于直线对称， 所以，，得，， 因为，所以当时，取最小值，为， 故选：A. 题型三：单调区间与最值求解 【例题5】求函数，的单调减区间___________． 【答案】 【解析】令，的单调递减区间为， 则，解得， 取，得递减区间，与的公共部分为． 【例题6】已知函数的一条对称轴为，且函数在上具有单调性，，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】因为的一条对称轴为， 所以不妨设，代入解析式中，得到， 而，得到，则， 解得，令，得到， 则，令， 解得，则关于中心对称， 因为，且函数在上具有单调性， 所以由正弦函数性质得，解得， 故，当时，取得最小值，且最小值为. 故答案为： 【变式11】（2026·高三·北京·阶段检测）已知函数，若，则的最小值是______________. 【答案】/ 【解析】根据周期性和对称性，不妨取，即，则， 对一确定的，取同一单调区间内时有最小， 不妨取，， 故， ，函数在上单调递增， 故最小时，最小， ，，故， 当，时等号成立， 故答案为： 【变式12】函数的严格减区间为____________. 【答案】. 【解析】因为对数函数底数，外函数为增函数， 故函数的减区间即为内函数在定义域内的减区间， 即且是减函数， ， 解得， 故函数的严格减区间为： . 【变式13】如图所示的是函数的部分图象，，则函数的单调递增区间是___________，其图象的对称轴方程为___________． 【答案】 【解析】由题图可知，，则，， 又因为过点，则， 则，又，则，所以， 令，解得， 所以函数的单调递增区间是． 令，得， 故函数的图象的对称轴方程为． 故答案为：； 【变式14】若函数的单调递减区间是__________. 【答案】. 【解析】因为函数，令， 要求的单调递减区间，则是求的单调递增区间. 那么有，解得. 所以函数的单调递减区间是. 故答案为：. 题型四：三角函数解析式求解 【例题7】如图是的图象的一部分，则它的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据图像信息，逐步确定函数的参数： 函数的最大值为，最小值为得； 图像中从到为一个完整周期， 故，则； 根据以上信息可知函数形式为，代入点得： ，，解得， 则最终解析式为：. 【例题8】已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由函数的图象，可得，可得， 所以，则， 又由，可得， 可得，解得， 因为，所以，则， 所以. 【变式15】函数在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由于由图可知：，故可得，因为最大值为2，且，故， 此时函数解析式为，因为图中最高点的坐标是， 所以，，解得，． 又因为，所以， 所以函数解析式为 【变式16】已知，，，函数 的部分图象如图所示，则该函数的表达式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由 ，，，的图象可知， . 因函数图象过最高点，且随后经过点， 所以函数的最小正周期满足，解得，因为，所以 . 即函数表达式为 . 将点 代入上式，得，化简得. 所以，因为，可得. 所以该函数的表达式是 . 【变式17】函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．函数在区间上单调递增 C．的图象关于点对称 D．若在区间上恰有一个最大值2和一个最小值，则实数的取值范围为 【答案】D 【解析】由图可得， 函数的最小正周期， 又，所以， 则，由， 得，解得， 又，所以，故A错误； 由上分析，得， 令， 解得， 故函数的单调递增区间为； 令，解得， 故函数的单调递减区间为， 则函数在区间上单调递减，在上单调递增，故B错误； 因为， 故函数的图象不关于点对称，故C错误； 当时，则， 要使在区间上恰有一个最大值2和一个最小值，需使，解得，故D正确． 【变式18】已知函数的部分图象如图所示，满足，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由得， 结合函数图象不妨设，依题意有， 则有，， 由，， 结合五点法作图，有，所以， 则有. 【变式19】（2026·高三·河南·期末）函数 的部分图象如图所示， 是正三角形，其中 ， 两点为图象与 轴的交点， 为图象的最高点，且 ，则 （   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 过点作轴于点，则由题意得. 因为是正三角形，所以. 设函数的最小正周期为，则. 因为，所以，所以. 因为，所以，，所以，，， 所以，，解得，. 因为，所以，所以， 则， 所以. 故选：B. 题型五：函数奇偶性判断 【例题9】 ，且则______. 【答案】18 【解析】令，则为奇函数， 又，故， 由，得， 故. 故答案为：18 【例题10】将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数是奇函数，则的最小值为________. 【答案】 【解析】由题意可知， 因为为奇函数，所以， 则，而时，；时，， 则的最小值为． 【变式20】已知函数，将曲线向左平移个单位长度后，所得图象关于原点对称，则的最小值为_______. 【答案】 【解析】将曲线向左平移个单位长度后，所得曲线解析式为：， 因为的图象关于原点对称，所以，即， 因为，所以当时，取得最小值. 故答案为： 【变式21】已知为奇函数，其中，则__________. 【答案】 【解析】易知函数为奇函数，所以，， 当时，， 故答案为：. 【变式22】（2026·广东深圳·一模）若是偶函数，则有序实数对可以是__________.（写出你认为正确的一组数即可）. 【答案】（答案不唯一，满足条件即可） 【解析】 ， 注意到是偶函数， 所以当时，是偶函数， 所以有序实数对可以是. 故答案为：（答案不唯一，满足条件即可） 【变式23】已知为奇函数，则当正数取最小值时，函数的图象的对称轴方程是______． 【答案】 【解析】因为为奇函数，所以， 所以，即，所以当时，正数取得最小值， 此时．令，则， 故所求函数的图象的对称轴方程是． 【变式24】将函数的图像向左平移个单位长度后，所得到的图像关于y轴对称，则m的最小值为______． 【答案】/ 【解析】把图像上所有的点向左平移m个单位长度后， 得到的图像， 此图像关于y轴对称． 则， 解得， 又因为， 所以m的最小值为． 题型六：三角函数图像平移伸缩 【例题11】（2026·四川眉山·二模）为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（    ） A．先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 B．先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度 C．先将横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度 D．先将横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 【答案】A 【解析】A选项，先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到， 再向右平移个单位长度，得到，A正确； B选项，先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到， 再向左平移个单位长度，得到，B错误； C选项，先将横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到， 再向左平移个单位长度，得到，C错误； D选项，先将横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到， 再向右平移个单位长度，得到，D错误； 【例题12】将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的倍，得到函数的图象，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数的图象向左平移个单位长度，则， 横坐标缩短到原来的，则， 纵坐标伸长到原来的倍，则. 故选：A 【变式25】（2026·高三·河北·阶段检测）已知函数的一个零点是，为了得到的图象，需要将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】A 【解析】依题意，得，得， 所以，，， 需要将函数的图象向左平移个单位长度. 故选：A. 【变式26】如图是函数在区间上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将的图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 【答案】A 【解析】由题图象知， 所以．所以， 又图象过点，由五点法知，所以， 所以． 故将函数的图象先向左平移个单位后，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不度），可得函数的图象． 故答案为：A. 【变式27】将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则的解析式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将函数的图象向左平移个单位长度，可得的图象， 再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍（纵坐标不变）， 可得的图象， 令，得，可得， ． 【变式28】要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的（   ） A．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 B．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 C．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 D．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 【答案】D 【解析】，将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到；而将横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到，AB选项排除； C选项：将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到， 再向左平移个单位长度，得到,不符合要求； D选项：将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到， 再向左平行移动个单位长度，得到，满足要求，故D选项正确. 故选：D 题型七：三角函数实际应用 【例题13】一个在竖直平面内的水上游乐转轮半径为，转轮中心距离水面，已知转轮按逆时针方向转动，每120秒转一圈.当转轮上点到达最高点时开始计时，当秒时，点离水面的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题知转轮转动的角速度为，因为转轮的半径为3，转轮中心距离水面为6，设点到水面的高度为，根据匀速圆周运动的数学模型有：，当秒时，，所以点离水面的高度是. 【例题14】一列高铁列车在平直铁轨上沿水平向右的方向做匀速直线运动，速度大小为米/秒，列车车轮半径为米，当秒时，车轮上的点恰好与铁轨表面接触（即位于最低点）．设经过时间秒，点到铁轨表面的高度为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据得，当秒时，点位于最低点， 则经过时间秒后车轮转过的角度， 则点到铁轨表面的高度为. 得到符合初始条件. 【变式29】我们来看一个简谐运动的实验：将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆．在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴，把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图象．它表示了漏斗对平衡位置的位移（纵坐标）随时间（横坐标）变化的情况．如图所示．已知一根长为的线一端固定，另一端悬挂一个漏斗，漏斗摆动时离开平衡位置的位移（单位：cm）与时间（单位：s）的函数关系是，其中，，则估计线的长度应当是（精确到0.1cm）（   ） A．3.6cm B．3.9cm C．4.0cm D．4.5cm 【答案】C 【解析】因为函数的图象过，所以，即， 因为是摆动的第一个最高点，所以， 所以． 【变式30】筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．若一半径为2米的筒车水轮圆心O距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图3中点）开始计时，经过t秒后点P距离水面的高度为h米，且，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D．当点P运动秒时，距水面的高度为米 【答案】D 【解析】筒车半径为2米，故振幅为，圆心距水面1米，故平衡位置，故A正确； 已知每分钟转4圈，周期秒，角速度，故B正确； 时，点在水面，，代入公式，解得， ，且在第四象限，，故C正确； 秒时，， 米，故D错误． 【变式31】如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，，小球从最低点出发，经过2秒后，第一次到达最高点，则下列说法中正确的是（   ） A． B．当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 C．秒与秒时小球偏离平衡位置的距离之比为2 D．小球在秒时位于平衡位置 【答案】B 【解析】由题，小球运动的周期， 又，所以，解得， 当时，，即，， 所以，则，故A错误； 若，则， 又当时，小球有且只有三次到达最高点， 所以，解得，即，故B正确； 因为，， 所以秒与秒时小球偏离平衡位置的距离之比为，故C错误； 因为，， 这时是最高点不是平衡位置，故D错误. 【变式32】如图，单位圆与射线在第二象限交于点，一动点在圆上以点为起始点，沿逆时针方向运动，每2秒转一圈．则该动点纵坐标关于运动时间的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意：， 又射线对应的角满足， 可取：， 则． 题型八：三角最值常用解法 【例题15】函数的最大值与最小值之和为___________． 【答案】 【解析】令，已知，由正弦函数的性质可得： 在该区间的最小值为，最大值为，因此， 故原式化为：，开口向上，对称轴为，因此函数在上单调递增， 时，，时， 最大值与最小值之和为：. 【例题16】（2026·高三·北京·开学考试）若函数的最小值为，则常数的一个取值为______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】因为， 要想的最小值为， 需要同时成立， 由得到，， 不妨取，则，即， 解得，取，得. 故答案为：（答案不唯一） 【变式33】已知实数满足，则的最大值和最小值之和为__________. 【答案】4 【解析】由题设，令，，且， 所以，且， 所以的最大、最小值分别为、，故它们的和为4. 故答案为：4. 【变式34】若函数，则的最大值为______，的单调递减区间为______． 【答案】 【解析】 ， ． 令， ， 的单调递减区间为． 故答案为：；. 【变式35】已知，满足，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】，，; ，即， 又， ，当时，取到最大值. 的最大值为. 【变式36】函数的最大值与最小值之差为_______. 【答案】4 【解析】. 因为，则，所以 所以最大值与最小值之差为4. 【变式37】已知，且满足等式，则的最小值为______． 【答案】/ 【解析】因为，故，而， 且，故且， 故且，故， 故，故， 故的最小值为， 故答案为：. 【变式38】函数的值域为______________. 【答案】 【解析】法一：设，则， 由辅助角公式得， 所以. 解得. 法二：函数， 函数值等价于点到单位圆上一点连线的斜率， 如图所示： 设直线方程为：，即， 当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径， 即，解得， 故. 【变式39】如图，扇形的半径为1，且，点在弧上运动，若，则的最小值是______．    【答案】1 【解析】由题意得，，，， 由，等式两边同时平方，得， 所以，令，则， 则，其中， 因为，所以，所以， 即的最小值为1. 【变式40】（2026·山西忻州·模拟预测）已知实数x，y满足，则的最大值为__________． 【答案】/ 【解析】因为，则可设，， 所以， 又， 所以， 故当，，即，时，取最大值为， 即当，或，时，取最大值为. 【变式41】函数的值域为______. 【答案】 【解析】解法一：， 因为，所以， 因此或， 则或， 故的值域为. 解法二：由化简可得， 易知，所以， 则，解得或， 故的值域为. 题型九：三角函数性质综合题型 【例题17】已知函数（）的图像关于点对称． (1)求的值和在区间上的值域； (2)若，函数在区间上单调递增，求的值； (3)设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围． 【解析】（1）由题意可知时， （）， 即 ，又，所以， 即， 当时，， 易知在上单调递增，在上单调递减， 则此时，所以在区间上的值域为； （2）由上知，所以，显然，即， 当时，， 若要符合题意需， （）， 解不等式得，易知，则，此时． （3）因为对任意的，，都有，所以． 因为，所以，所以，所以， ， 令，则，．对称轴为， 所以①，可得， ②，可得， ③，可得， 综上． 【例题18】已知函数． (1)求函数的周期、单调增区间、对称中心； (2)当时，求函数的值域； (3)当时，方程有3个不同的实数根，求实数的取值范围． 【解析】（1）先化简函数： . 所以函数的周期. 由，， 所以单调增区间为，. 由横坐标为，，纵坐标为， 所以对称中心为，. （2）由，得，，所以. （3），解得， 所以当有3个实数根时，依次为，，； 当有4个实数根，此时为临界点， 由条件可知临界点为开区间，为满足条件，可知. 【变式42】设函数. (1)求函数在上的最大值； (2)若不等式在上恒成立，求的取值范围； (3)若方程在上有四个不相等的实数根，求的取值范围. 【解析】（1）令， 则变为， ①当，即时，， ②当，即时，， ③当，即时，， 综上可知，. （2）若要，则需， 当时，， 函数变为， 所求问题变为恒成立， 易知的图象是开口向下的抛物线的一部分， 最小值一定在区间端点处取得，所以有 ， 解得，故的取值范围是； （3）令.由题意可知，当时， 关于的方程在时有两个不等实数解， 所以原题可转化为在内有两个不等实数根， 令，则有， 解得，即的取值范围是. 【变式43】已知向量，，函数. (1)求函数的解析式和图象的对称中心； (2)若函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，且关于x的方程在上有3个不同的解，求实数的取值范围. 【解析】（1）由题， 令， 所以函数图象的对称中心为. （2）由题得， 因为方程在上有3个不同的解， 所以由二倍角公式得在上有3个不同的解， 因为时，，故是方程的一个解， 所以在上有2个不同的解， 此时，所以即在上有2个不同的解， 图像如下： 所以由三角函数图像可知，即. 故方程在上有3个不同的解，则实数的取值范围为. 【变式44】对于分别定义在，上的函数，以及实数，若任取，存在，使得，则称函数与具有关系.其中称为的像. (1)若，；，，判断与是否具有关系，并说明理由； (2)若，；，，且与具有关系，求的像； (3)若，；，，且与具有关系，求实数的取值范围. 【解析】（1）与不具有关系， 理由如下：时，，，所以， 则与不具有关系； (2)或或； (3)或， （2）由题意可知 ， 所以， 又，所以， 解之得或或， 即的像为或或； （3）对于，则，所以， 即， 因为与具有关系， 所以要满足题意需，使得即可. 令， 令，则，设， ①若，即时，， 则， ②若，即时，， 则， ③若，即时，， 则或，显然无解， ④若，即时，， 则或，显然无解， 综上所述：或， 【变式45】定义：非零向量的“特征三角函数”为，向量称为函数的“特征向量”. (1)若，求的“特征向量”的坐标； (2)设向量的“特征三角函数”为，若关于x的方程在上有两个不同的实根，求k的取值范围； (3)设向量的“特征三角函数”为，若函数的最小值不小于，求a的取值范围. 【解析】（1）由题意可得： ， 则的“特征向量”. （2）由题意可得，其中（）. 因为关于x的方程在上有两个不同的实根， 所以关于x的方程在上有两个不同的实根. 当时，， 则在上单调递增，在上单调递减. 因为，，， 所以，即. （3）由题意可得. 设， 则，所以（）. 当，即时，在上单调递增， 则，解得， 因为，所以； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 则，解得； 当，即时，在上单调递减， 则，解得， 因为，所以. 综上，a的取值范围是. 【变式46】（2026·高三·湖北·开学考试）已知函数. (1)求的最小正周期; (2)若，求出的单调递减区间. 【解析】（1） . 的最小正周期为 . （2）令 ，则 ， 又函数 在 上单调递减，即 时，的单调递减， 当 时，的单调减区间为. 【变式47】（2026·高三·北京·阶段检测）已知函数，且． (1)求a的值； (2)求函数的最小正周期及单调递增区间； (3)若对于任意的，总有，直接写出m的最大值． 【解析】（1）因为，，所以，所以，所以，所以， （2）由(1) ，化简得， 所以， 所以函数的最小正周期， 由，，得，， 所以函数的单调递增区间为，； （3）由，可得，所以，所以，，化简可得 由对于任意的，总有可得的最大值为. 1．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数的最小正周期为，则在区间上的最小值为（  ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】因为， 所以，解得，于是． 当时，． 余弦函数在该区间内单调递减，所以在上单调递增， 所以． 2．（2026·云南曲靖·二模）若曲线的一个对称中心为，则不可能是（   ） A．2 B．5 C．8 D．12 【答案】D 【解析】， ， 当时，，A满足； 当时，，B满足； 当时，，C满足； 当时，，D不满足． 3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数图象相邻的两个对称中心间的距离为，若，则函数图象的一个对称中心为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可得，，又，所以， 所以，则， 则，又，则，故， 令，解得， 结合选项可得当时，， 故是图象的一个对称中心，其余选项皆不符合. 4．记函数的最小正周期为T，若，且的图像关于点中心对称，则（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】A 【解析】因为函数的最小正周期为，且， 可得， 又因为函数的图像关于点中心对称，可得，且， 所以，即，可得， 解得，由，可得，，即， 所以． 5．已知函数的图象关于直线对称，若将函数的图像向左或向右平移个单位长度后，得到函数的图象关于轴对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，则， 则由可得，当将的图象向左平移个单位， 可得， 由于的图象关于轴对称，故为偶函数，所以， 故，由于，所以的最小值， 当将的图象向右平移个单位，可得， 由于的图象关于轴对称，故为偶函数， 所以，故， 由于，所以时，的最小值. 综上的最小值. 6．（2026·海南儋州·二模）若函数图象的一条对称轴为，函数图象上到直线距离最小的一个对称中心为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设该函数的最小正周期为， 因为函数图象上到直线距离最小的一个对称中心为， 所以， 又因为， 所以，即， 又因为该函数图象的一个对称中心为， 所以， 又因为， 所以令，得. 7．（2026·天津滨海新区·三模）已知函数，对任意的满足且恒成立，若在上单调递增，则当时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知，对任意的，恒成立，说明是的最小值， 即，是的零点； 对任意的，恒成立，说明是的最大值，即是的最值点. 两点横坐标差为，零点对应的点到相邻最值点的距离为，则. 对，周期，得. 由得，故 ， 结合，得，. 验证单调性：，当时，则， 由于在单调递增，且，满足在该区间单调递增. 则当时，，在的最小值为， 因此. 8．（2026·湖北武汉·三模）为了得到函数的图象，只需把函数图象上的（    ） A．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 B．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 C．每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 D．每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 【答案】B 【解析】对函数做横坐标伸缩变换，将图像上每个点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变， 得到新函数的图象， 根据平移变换的“左加右减”规则，将变形为目标函数：， 可知需要将的图象向右平移个单位，即可得到目标函数的图象， B选项正确. 9．（多选题）（24-25高三上·福建厦门·阶段检测）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．的图象可由曲线向左平移个单位长度得到 C．的图象关于直线对称 D．在上的值域为 【答案】ACD 【解析】由函数的图象可知：, 又因为,即则得,故A正确； 因,结合函数图象可得 所以,即． 而曲线向左平移个单位长度得到,故B错误； 当时,可得,故的图象关于直线对称,故C正确； 当时,,则,故D正确． 10．（多选题）（2026·云南·三模）将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若的图象与的图象关于轴对称，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．是的一条对称轴 D．对任意的，都存在，使得 【答案】ACD 【解析】对于A，根据题意得，， 因为的图象与的图象关于轴对称，所以， 即， 可得或， 因,则得，又因，所以，故A正确； 对于B，由A得，所以，故B错误； 对于C，由，可得，当时，，故C正确； 对于D，当时，，此时， 而当时，，此时 所以，故D正确. 11．（多选题）（2026·河南·二模）将函数图象向左平移个单位长度后得到一偶函数图象，则当取最小值时，下列说法正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数为奇函数 C．函数在区间单调递增 D．函数的图象在处的切线斜率为1 【答案】ACD 【解析】由题意将函数向左平移个单位得到的函数解析式为 ，若其为偶函数， 则，，解得，， 又因为，所以最小值为2，． 函数的最小正周期为，故A正确； 函数为非奇非偶函数，故B错误； ，又在上单调递增， 所以函数在区间单调递增，故C正确； ， 所以函数在图象处的切线斜率为1，故D正确． 12．（2026·江苏无锡·三模）将函数的图象向左平移个单位，得到的图象关于轴对称，则_______． 【答案】 【解析】将函数的图象向左平移个单位， 得到，由于此函数的图象关于轴对称， 则，即， 又，则. 13．（2026·北京海淀·三模）已知函数，则的最大值为______，将函数图象向右平移个单位得到函数，若对任意，都有成立，则常数的最小值为______． 【答案】 / 【解析】∵ ， 由平方差公式及余弦二倍角公式可得： ， ∵ ， ∴ 的最大值为. 将函数的图象向右平移个单位，可得： ， ∵ 对任意，都有，即， ∴ 是定义在上的奇函数， ∴ ， 即， 又∵ ， ∴ 当时，取得最小值. 14．（2026·北京丰台·二模）已知函数的部分图象如图所示，则___________；若将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，请写出的图象的一条对称轴方程：___________. 【答案】 2 （答案不唯一，满足即可） 【解析】设函数的最小正周期为， 则，即， 且，则，所以； 由图可知：为函数的对称轴， 结合函数的周期可知函数的对称轴为， 又因为将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象， 所以函数的图象的对称轴方程为， 所以的图象的一条对称轴方程为. 15．（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知函数，图象的相邻对称轴之间的距离为． (1)求函数的单调递增区间； (2)将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位得的图象，若关于的方程在上只有一个解，求实数的取值范围． 【解析】（1）， ， ，， 因为图象的相邻对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为， 所以，得，所以． 令．则， 所以的单调递增区间为． （2）由（1）知， 将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长为原来的2倍， 得到函数的图象， 再向左平移个单位得的图象． 令，，则， 所以， 因为在上只有一个解， 由的图象（如图）可得，或， 所以的取值范围是. 16．（2026·辽宁·模拟预测）已知函数，将曲线向左平移个单位长度，得到曲线． (1)求的单调递增区间； (2)在中，内角，，的对边分别为，，，锐角满足，的面积为，求的最小值． 【解析】（1）函数， 由，，解得，， 所以函数的单调递增区间为. （2）由（1）得，由，得， 由，得，则，解得， 由的面积为，得，解得， 由余弦定理得，当且仅当时取等号， 因此，所以a的最小值为2. 17．已知函数，且的图像过点. (1)求的值及函数的最小正周期； (2)将的图像向右平移个单位，得到函数的图像，已知，求的值. 【解析】（1）函数. 因为的图像过点，所以， 所以，，即.再结合，可得， 所以，故它的最小正周期为. （2）将的图像向右平移个单位， 得到函数的图像. 因为，所以， 所以. 18．（2026·陕西咸阳·三模）已知函数的最小正周期为，. (1)求和； (2)若将的图象向左平移个单位长度，得到的图象，求在的最小值. 【解析】（1）已知函数最小正周期，， 由，得，解得， 将 代入 ，得 ，即， 因此 ，，即，， 又，令，得，满足条件， 故，； （2）由（1）知， 将图象向左平移个单位长度， 得， 当 时，， 由正弦函数性质可知，当，即时，函数有最小值， 所以在的最小值为. 19．（2026·江苏扬州·三模）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 (1)求函数的解析式； (2)将图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，且其图象关于轴对称，求在上的解集． 【解析】（1）根据五点法完善表格部分数据如下： 0 0 2 0 0 由题意知，解得，， 又，解得，所以． （2）因为为偶函数， 所以 ， ， 又，所以时，. ，， 所以，即， 又，所以 . 则，解得. 所以在上的解集为. 20．（2026·辽宁锦州·二模）某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 (1)请将表中数据补充完整，并直接写出函数的解析式； (2)将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象.当时，求函数的值域； (3)设函数的图象与直线在区间上的两个交点的横坐标分别为、，求. 【解析】（1）由题意可得，解得， 又因为，故， 由可得；由可得；由可得. 完善表格如下： （2）由题可得，   当时，，则，   函数的值域为. （3）函数的图象与直线在区间上的两个交点的横坐标分别为、， 当时，，由可得， 所以直线是的一个对称轴，而区间的区间长度为一个周期. 所以两个交点关于直线对称，且， 所以，   所以 . 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3　三角函数的图象与性质 目录 01思维导图与题型归纳 2 02 基础知识点梳理 3 知识点一、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 3 知识点二、正弦、余弦、正切函数的图象与性质 3 知识点三、正弦函数的平移和伸缩变换 3 方法技巧总结1：整体思想 4 03 真题回顾 5 04 经典题型归纳总结 5 题型一：五点法作图 9 题型二：对称性与周期求解 9 题型三：单调区间与最值求解 13 题型四：三角函数解析式求解 13 题型五：函数奇偶性判断 16 题型六：三角函数图像平移伸缩 16 题型七：三角函数实际应用 18 题型八：三角最值常用解法 20 题型九：三角函数性质综合题型 20 05 课后拓展精练 25 知识点一、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 （1）在正弦函数，的图象中，五个关键点是：． （2）在余弦函数，的图象中，五个关键点是：． 知识点二、正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 图象 定义域 R R 值域 R 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 递减区间 无 对称中心 对称轴方程 直线 直线 无 知识点三、正弦函数的平移和伸缩变换 函数的图象可以通过下列两种方式得到： 1、 2、 关键：把握先移后缩和先缩后移的区别．类比可以得到：，的图像 定理：则平移单位为（注意平移方向） 方法技巧总结1：整体思想 周期 定义域 R R 最大值 1，当取得 A，当取得 最小值 -1，当取得 -A，当取得 单调增区间 单调减区间 对称轴 对称中心 1．（2026·北京·高考真题）（），将向轴正方向平移个单位，得到的函数图像与图像关于轴对称，则的取值个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2026·天津·高考真题）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（     ） A． B． C． D． 3．（2025·北京·高考真题）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 4．（2025·天津·高考真题），在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（   ） A． B． C．1 D．0 5．（2025·全国一卷·高考真题）已知点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 7．（2024·上海·高考真题）下列函数的最小正周期是的是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·北京·高考真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（2024·天津·高考真题）已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（   ） A． B． C．0 D． 10．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 11．（多选题）（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）对于函数和，下列说法中正确的有（    ） A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴 12．（2026·上海·高考真题）已知三角函数（，，，），若，当或时其导数为0，初始速度为0，且速度第一次达到4时用时为0.1秒，则__________． 13．（2026·全国一卷·高考真题）已知（，）是偶函数，在区间上单调递增．则__________，__________． 14．（2024·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为________． 15．（2023·北京·高考真题）已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为__________， _________． 16．（2026·北京·高考真题）已知函数，，．最小正周期为，且，． (1)求、的值； (2)求的单调递减区间． 17．（2026·上海·高考真题）已知函数. (1)当，，求函数在处的切线方程； (2)若函数的最小正周期为，且在上恰好有1351个解，求的取值范围. 18．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数． (1)求; (2)设函数，求的值域和单调区间． 19．（2024·上海·高考真题）已知， (1)设，求解:的值域; (2)的最小正周期为，若在上恰有3个零点，求的取值范围. 20．（2023·北京·高考真题）设函数． (1)若，求的值． (2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值． 条件①：； 条件②：； 条件③：在区间上单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 题型一：五点法作图 【例题1】已知函数. (1)用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数在上的图象（要求列表），并直接写出图象的对称中心； (2)将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若，，当时，恒成立，求实数的最大值. 【例题2】已知函数. (1)在下列网格纸中利用“五点作图法”作出函数的大致图象，要求：列表，描点，连线； (2)若方程在有两个不同的实数根，求的取值范围. 【变式1】已知函数． (1)用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数在上的图像； (2)若函数的图象向上平移一个单位长度，得到函数的图象，求不等式的解集． 【变式2】已知函数． (1)根据五点作图法完善以下表格，并在如图所示的直角坐标系中作出函数在的图象； (2)若，求． (3)若，求的单调递减区间和对称轴． 【变式3】设图象的一条对称轴是直线． (1)求，并求函数的单调增区间； (2)用“五点作图法”画出函数在区间上的图象． 题型二：对称性与周期求解 【例题3】下列函数中最小正周期为的有（   ）个 ①；②；③ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【例题4】已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．函数的定义域为且 B．函数的值域为 C．函数的最小正周期为 D．函数的图象关于直线对称 【变式4】将函数的图象向左平移个单位，所得的图象关于轴对称，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式5】设函数，若恒成立，且存在，使得，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式6】设函数（），若对于任意的，都有，且的图象在上存在对称轴，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【变式7】已知函数在区间上单调，其中为正整数，，且，，则（     ） A． B． C． D． 【变式8】已知函数，下列结论中：①函数恒满足；②直线是函数图象的一条对称轴；③点是函数图象的一个对称中心；④该函数在区间上单调递减.所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．③④ C．①②④ D．①③④ 【变式9】已知函数，，若为奇函数，则下列结论正确的是（    ） A．是函数的一个周期 B．的图象关于直线对称 C．函数的一个零点为 D．在上单调递增 【变式10】（2026·高三·湖南·阶段检测）函数的图象关于直线对称，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 题型三：单调区间与最值求解 【例题5】求函数，的单调减区间___________． 【例题6】已知函数的一条对称轴为，且函数在上具有单调性，，则的最小值为_______． 【变式11】（2026·高三·北京·阶段检测）已知函数，若，则的最小值是______________. 【变式12】函数的严格减区间为____________. 【变式13】如图所示的是函数的部分图象，，则函数的单调递增区间是___________，其图象的对称轴方程为___________． 【变式14】若函数的单调递减区间是__________. 题型四：三角函数解析式求解 【例题7】如图是的图象的一部分，则它的解析式为（    ） A． B． C． D． 【例题8】已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【变式15】函数在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式16】已知，，，函数 的部分图象如图所示，则该函数的表达式是（     ） A． B． C． D． 【变式17】函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．函数在区间上单调递增 C．的图象关于点对称 D．若在区间上恰有一个最大值2和一个最小值，则实数的取值范围为 【变式18】已知函数的部分图象如图所示，满足，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式19】（2026·高三·河南·期末）函数 的部分图象如图所示， 是正三角形，其中 ， 两点为图象与 轴的交点， 为图象的最高点，且 ，则 （   ）    A． B． C． D． 题型五：函数奇偶性判断 【例题9】 ，且则______. 【例题10】将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数是奇函数，则的最小值为________. 【变式20】已知函数，将曲线向左平移个单位长度后，所得图象关于原点对称，则的最小值为_______. 【变式21】已知为奇函数，其中，则__________. 【变式22】（2026·广东深圳·一模）若是偶函数，则有序实数对可以是__________.（写出你认为正确的一组数即可）. 【变式23】已知为奇函数，则当正数取最小值时，函数的图象的对称轴方程是______． 【变式24】将函数的图像向左平移个单位长度后，所得到的图像关于y轴对称，则m的最小值为______． 题型六：三角函数图像平移伸缩 【例题11】（2026·四川眉山·二模）为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（    ） A．先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 B．先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度 C．先将横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度 D．先将横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 【例题12】将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的倍，得到函数的图象，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式25】（2026·高三·河北·阶段检测）已知函数的一个零点是，为了得到的图象，需要将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【变式26】如图是函数在区间上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将的图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 【变式27】将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则的解析式可以为（    ） A． B． C． D． 【变式28】要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的（   ） A．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 B．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 C．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 D．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 题型七：三角函数实际应用 【例题13】一个在竖直平面内的水上游乐转轮半径为，转轮中心距离水面，已知转轮按逆时针方向转动，每120秒转一圈.当转轮上点到达最高点时开始计时，当秒时，点离水面的高度为（   ） A． B． C． D． 【例题14】一列高铁列车在平直铁轨上沿水平向右的方向做匀速直线运动，速度大小为米/秒，列车车轮半径为米，当秒时，车轮上的点恰好与铁轨表面接触（即位于最低点）．设经过时间秒，点到铁轨表面的高度为，则（    ） A． B． C． D． 【变式29】我们来看一个简谐运动的实验：将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆．在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴，把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图象．它表示了漏斗对平衡位置的位移（纵坐标）随时间（横坐标）变化的情况．如图所示．已知一根长为的线一端固定，另一端悬挂一个漏斗，漏斗摆动时离开平衡位置的位移（单位：cm）与时间（单位：s）的函数关系是，其中，，则估计线的长度应当是（精确到0.1cm）（   ） A．3.6cm B．3.9cm C．4.0cm D．4.5cm 【变式30】筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．若一半径为2米的筒车水轮圆心O距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图3中点）开始计时，经过t秒后点P距离水面的高度为h米，且，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D．当点P运动秒时，距水面的高度为米 【变式31】如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，，小球从最低点出发，经过2秒后，第一次到达最高点，则下列说法中正确的是（   ） A． B．当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 C．秒与秒时小球偏离平衡位置的距离之比为2 D．小球在秒时位于平衡位置 【变式32】如图，单位圆与射线在第二象限交于点，一动点在圆上以点为起始点，沿逆时针方向运动，每2秒转一圈．则该动点纵坐标关于运动时间的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 题型八：三角最值常用解法 【例题15】函数的最大值与最小值之和为___________． 【例题16】（2026·高三·北京·开学考试）若函数的最小值为，则常数的一个取值为______． 【变式33】已知实数满足，则的最大值和最小值之和为__________. 【变式34】若函数，则的最大值为______，的单调递减区间为______． 【变式35】已知，满足，则的最大值为__________. 【变式36】函数的最大值与最小值之差为_______. 【变式37】已知，且满足等式，则的最小值为______． 【变式38】函数的值域为______________. 【变式39】如图，扇形的半径为1，且，点在弧上运动，若，则的最小值是______．    【变式40】（2026·山西忻州·模拟预测）已知实数x，y满足，则的最大值为__________． 【变式41】函数的值域为______. 题型九：三角函数性质综合题型 【例题17】已知函数（）的图像关于点对称． (1)求的值和在区间上的值域； (2)若，函数在区间上单调递增，求的值； (3)设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围． 【例题18】已知函数． (1)求函数的周期、单调增区间、对称中心； (2)当时，求函数的值域； (3)当时，方程有3个不同的实数根，求实数的取值范围． 【变式42】设函数. (1)求函数在上的最大值； (2)若不等式在上恒成立，求的取值范围； (3)若方程在上有四个不相等的实数根，求的取值范围. 【变式43】已知向量，，函数. (1)求函数的解析式和图象的对称中心； (2)若函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，且关于x的方程在上有3个不同的解，求实数的取值范围. 【变式44】对于分别定义在，上的函数，以及实数，若任取，存在，使得，则称函数与具有关系.其中称为的像. (1)若，；，，判断与是否具有关系，并说明理由； (2)若，；，，且与具有关系，求的像； (3)若，；，，且与具有关系，求实数的取值范围. 【变式45】定义：非零向量的“特征三角函数”为，向量称为函数的“特征向量”. (1)若，求的“特征向量”的坐标； (2)设向量的“特征三角函数”为，若关于x的方程在上有两个不同的实根，求k的取值范围； (3)设向量的“特征三角函数”为，若函数的最小值不小于，求a的取值范围. 【变式46】（2026·高三·湖北·开学考试）已知函数. (1)求的最小正周期; (2)若，求出的单调递减区间. 【变式47】（2026·高三·北京·阶段检测）已知函数，且． (1)求a的值； (2)求函数的最小正周期及单调递增区间； (3)若对于任意的，总有，直接写出m的最大值． 1．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数的最小正周期为，则在区间上的最小值为（  ） A． B． C． D．1 2．（2026·云南曲靖·二模）若曲线的一个对称中心为，则不可能是（   ） A．2 B．5 C．8 D．12 3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数图象相邻的两个对称中心间的距离为，若，则函数图象的一个对称中心为（   ） A． B． C． D． 4．记函数的最小正周期为T，若，且的图像关于点中心对称，则（    ） A．1 B． C． D．3 5．已知函数的图象关于直线对称，若将函数的图像向左或向右平移个单位长度后，得到函数的图象关于轴对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·海南儋州·二模）若函数图象的一条对称轴为，函数图象上到直线距离最小的一个对称中心为，则（    ） A． B． C． D． 7．（2026·天津滨海新区·三模）已知函数，对任意的满足且恒成立，若在上单调递增，则当时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·湖北武汉·三模）为了得到函数的图象，只需把函数图象上的（    ） A．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 B．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 C．每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 D．每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 9．（多选题）（24-25高三上·福建厦门·阶段检测）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．的图象可由曲线向左平移个单位长度得到 C．的图象关于直线对称 D．在上的值域为 10．（多选题）（2026·云南·三模）将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若的图象与的图象关于轴对称，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．是的一条对称轴 D．对任意的，都存在，使得 11．（多选题）（2026·河南·二模）将函数图象向左平移个单位长度后得到一偶函数图象，则当取最小值时，下列说法正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数为奇函数 C．函数在区间单调递增 D．函数的图象在处的切线斜率为1 12．（2026·江苏无锡·三模）将函数的图象向左平移个单位，得到的图象关于轴对称，则_______． 13．（2026·北京海淀·三模）已知函数，则的最大值为______，将函数图象向右平移个单位得到函数，若对任意，都有成立，则常数的最小值为______． 14．（2026·北京丰台·二模）已知函数的部分图象如图所示，则___________；若将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，请写出的图象的一条对称轴方程：___________. 15．（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知函数，图象的相邻对称轴之间的距离为． (1)求函数的单调递增区间； (2)将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位得的图象，若关于的方程在上只有一个解，求实数的取值范围． 16．（2026·辽宁·模拟预测）已知函数，将曲线向左平移个单位长度，得到曲线． (1)求的单调递增区间； (2)在中，内角，，的对边分别为，，，锐角满足，的面积为，求的最小值． 17．已知函数，且的图像过点. (1)求的值及函数的最小正周期； (2)将的图像向右平移个单位，得到函数的图像，已知，求的值. 18．（2026·陕西咸阳·三模）已知函数的最小正周期为，. (1)求和； (2)若将的图象向左平移个单位长度，得到的图象，求在的最小值. 19．（2026·江苏扬州·三模）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 (1)求函数的解析式； (2)将图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，且其图象关于轴对称，求在上的解集． 20．（2026·辽宁锦州·二模）某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 (1)请将表中数据补充完整，并直接写出函数的解析式； (2)将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象.当时，求函数的值域； (3)设函数的图象与直线在区间上的两个交点的横坐标分别为、，求. 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $