4.1　三角函数的概念、诱导公式（7大题型）（讲义+精练）-2027年新高考数学一轮总复习解题妙招精讲与题型整合（新高考专用）

该高中数学高考复习讲义聚焦三角函数概念、诱导公式及应用等核心考点，按任意角与弧度制、三角函数定义、诱导公式的逻辑层次梳理知识点，通过方法总结（三角完全平方公式、齐次式转化）、真题回顾、题型归纳（七类典型题型）等环节，帮助学生系统构建知识网络，突破同角关系、诱导公式综合应用等难点。 讲义以数学思维培养为核心，创新采用“知识点-方法-题型”三阶复习模式，如通过齐次式转化和弦化切方法指导，帮助学生掌握三角运算技巧。设置基础梳理、真题演练、拓展精练分层练习，配合题型分类解析，有效提升学生解题效率，为教师把控复习节奏、落实高考要求提供实用教学资源。

4.1　三角函数的概念、诱导公式 目录 01思维导图与题型归纳 2 02 基础知识点梳理 3 知识点一、任意角与弧度制 3 知识点二、任意角的三角函数 4 知识点三、三角函数的诱导公式 4 方法总结1：三角完全平方公式 5 方法总结2：齐次式转化 5 03 真题回顾 6 04 经典题型归纳总结 7 题型一：角的概念及表示方法 12 题型二：弧度制的定义与应用 15 题型三：三角函数的基本定义 17 题型四：同角三角函数基础关系式 19 题型五：三角函数诱导公式 21 题型六：同角关系式与诱导公式综合应用 23 题型七：割圆术类问题 27 05 课后拓展精练 31 知识点一、任意角与弧度制 1、各种角的集合： 角的集合 角度制 弧度制 ①与角终边相同的角的集合(含角) ②终边在轴的非负半轴上的角的集合 ③终边在轴上的角的集合 ④终边在坐标轴上的角的集合 ⑤终边在第一(二三四)象限的角的集合 2、注意角与角及的象限关系． （1)图中序号表示角的象限，序号所在区域为角(或）的终边所在区域． （2）由角的象限推理角及的象限，列不等式对进行赋值判断即可． 3、角度与弧度的互化公式：①，②，③ 4、①弧长公式：， ②扇形面积公式：，其中． 知识点二、任意角的三角函数 1、任意角的三角函数的定义： (1)借助单位圆来定义 设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点， 则：，，． (2)设角终边上任意一点的坐标为，它到原点的距离为， 则：，，． ①定义域、值域：，定义域都是，值域都是；定义域是，值域为． ②三角函数的值在各个象限的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． ③点又可表示为，在已知或的情形下使用，这将给解题带来方便． 2、单位圆中的三角函数线(有向线段)：，，(如下图)． 3、同角三角函数的基本关系式： (1)平方关系：； (2)商数关系：． 知识点三、三角函数的诱导公式 1、诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 正弦 余弦 正切 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 2、“奇变偶不变，符号看象限” (1)奇、偶是指中的奇偶．奇函数名改变，偶函数名不变 ①正弦和余弦互相变， ②正切需先化为正弦余弦比值再进行诱导． (2)默认为第一象限角 (3)观察整个角度所在象限，从而判断该角度所对应三角函数的正负情况． 方法总结1：三角完全平方公式 ① ② ③ 方法总结2：齐次式转化 ①一次分式齐次同除以进行弦化切． ②二次整式齐次除以1，再除以进行弦化切． 1．（2026年高考全国1卷数学高考真题）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，， 即集合，且集合，所以. 2．（2025年高考天津卷数学真题）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由，则“”是“”的充分条件； 又当时，，可知， 故“”不是“”的必要条件， 综上可知，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以，， 所以， 故选：B. 4．（2022年新高考浙江数学高考真题）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为可得： 当时，，充分性成立； 当时，，必要性不成立； 所以当，是的充分不必要条件. 故选：A. 5．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，连接， 因为是的中点， 所以， 又，所以三点共线， 即， 又， 所以， 则，故， 所以. 故选：B. 6．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ， ，，，解得， ，. 故选：A. 7．（2021年全国新高考I卷数学试题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将式子进行齐次化处理得： ． 故选：C． 8．（2025年高考北京卷数学真题）已知，且，.写出满足条件的一组的值________，_________． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【解析】因为，， 所以的终边关于轴对称，且不与轴重合， 故且， 即， 故取可满足题设要求； 故答案为：；（答案不唯一） 9．（2024年北京高考数学真题）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为________． 【答案】/ 【解析】由题意，从而， 因为，所以的取值范围是，的取值范围是， 当且仅当，即时，取得最大值，且最大值为. 故答案为：. 10．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）若，则________． 【答案】 【解析】因为，则， 又因为，则， 且，解得或（舍去）， 所以. 故答案为：. 11．（2022年新高考浙江数学高考真题）若，则__________，_________． 【答案】 【解析】[方法一]：利用辅助角公式处理 ∵，∴，即， 即，令，， 则，∴，即， ∴ ， 则. 故答案为：；. [方法二]：直接用同角三角函数关系式解方程 ∵，∴，即， 又，将代入得，解得， 则. 故答案为：；. 题型一：角的概念及表示方法 【典例1-1】下列说法正确的是（     ） A．时钟经过四个小时，时针转过的角度是 B．若是第二象限角，则也是第二象限角 C．终边落在直线上的角的集合是 D．若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为 【答案】D 【解析】对于A，规定逆时针旋转形成的角为正角，顺时针旋转形成的角为负角， 时钟时针为顺时针旋转，每小时转过的角度为， 4小时转过的角度为，故A错误； 对于B，若为第二象限角，则， 所以，则是第一或第三象限角，故B错误； 对于C，终边落在直线上的角满足，故C错误； 对于D，若圆心角为的扇形的面积为， 设扇形的圆心角为，半径为，弧长为，则， 由，故D正确． 【典例1-2】下列说法正确的是（     ） A．第一象限角都比第二象限角小 B．小于的角是锐角 C．终边相同的角一定相等 D．终边在轴非负半轴上的角的集合是 【答案】D 【解析】选项A.是第一象限角，是第二象限角，但是，错误. 选项B.，但它不是锐角，错误. 选项C.终边相同的角相差的整数倍，不一定相等，错误. 选项D.终边在轴非负半轴上的角，就是加上的整数倍，集合表示为，正确. 【变式1-1】下列各角中，与终边相同的角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】与终边相同的角为， 当时，， 故下列各角中，与终边相同的角为． 【变式1-2】若角和的终边关于轴对称，则必有（   ） A． B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】如图，设，分别是角，终边相同的角， 由角和的终边关于轴对称，得，所以，． 【变式1-3】如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合用弧度制可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先将角度转化为弧度，， 所以终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合用弧度制可表示为. 【变式1-4】若，则是（   ） A．第二或第四象限角 B．第三象限角 C．第二象限角 D．第一或第三象限角 【答案】A 【解析】由，，则是第三象限角， 即， 所以， 当，即为偶数时， ，此时是第二象限角； 当，即为奇数时， ，此时是第四象限角； 综上是第二或第四象限角. 【变式1-5】若是第二象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第四象限角 D．第一象限或第二象限或第四象限角 【答案】D 【解析】，， ，， 当时，，是第一象限角； 当时，，是第二象限角； 当时，，是第四象限角. 故选：D. 题型二：弧度制的定义与应用 【典例2-1】已知某扇形的圆心角为，半径为12，则此扇形的弧长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】已知圆心角，半径， 利用扇形弧长公式得： . 【典例2-2】现有一把纸折扇，其结构如图所示.已知折扇两端的扇骨长（即大扇形半径）均为，完全展开时扇骨间的夹角为.若扇面的上弧长与下弧长之比为，将该扇面围成一个圆台，则该圆台的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆台的上下底面半径分别为，，由题知扇面的外径为，内径为， 所以圆台的母线长，上弧长，则， 下弧长，则， 则圆台的高. 【变式2-1】当代水墨画常以扇环形构图.如图，若，，，则此扇环形水墨画的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知：，，， 所以此扇环形水墨画的面积为. 【变式2-2】已知一扇形的周长为8，当该扇形的面积最大时，其圆心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设扇形的圆心角为，半径为，则扇形的周长为， 所以，所以扇形的面积为， 因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以， 所以当时，扇形的面积取得最大值. 【变式2-3】第31届世界大学生夏季运动会的官方体育图标是十八墨宝，射箭项目体育图标为水墨熊猫（如图所示），它是以真实的射箭运动为原型，拉满弓箭时，弓臂为圆弧形，弧中点到弦中点的距离为，弦长为，求弓形的面积约为（    ）（参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示，设扇形所在圆的半径为， 则弦长的一半为，弦的中点到圆心的距离为， 根据勾股定理得，整理得，解得， 设扇形所对的圆心角为，因为弦长为， 在直角中，可得，所以，即 所以扇形的面积为， 三角形的面积为， 因为，所以弓形的面积为. 题型三：三角函数的基本定义 【典例3-1】若角的终边上有一点，且，则（   ） A．1 B． C．或1 D．或 【答案】B 【解析】由题意得：， 所以，解得. 【典例3-2】（2026·高三·山西太原·阶段检测）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，点在角的终边上，则角可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，, 且为第四象限角，则， 根据各选项逐一代值检验，只有C项符合题意. 【变式3-1】（2026·江苏无锡·三模）在平面直角坐标系中，已知锐角的终边与单位圆交于，角的终边与单位圆交于，若，则的值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【解析】因为锐角的终边与单位圆交于，角的终边与单位圆交于， 所以，由三角函数的定义知，，，， 因为， 所以，即， 所以， 因为锐角，， 所以，， 所以 ， 因为，所以，， 所以， 所以 【变式3-2】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知角的终边过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意可得，则. 【变式3-3】（2026·广西贵港·三模）若角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由角的终边经过点，得， 所以. 【变式3-4】（2026·河北保定·二模）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边落在直线上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当角的终边落在第二象限时，取一点， 则， 所以； 当角的终边落在第四象限时，取一点， 则， 所以， 综上所述：. 题型四：同角三角函数基础关系式 【典例4-1】已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】. 【典例4-2】若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题得整理可得，注意到，则． 【变式4-1】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，可得， 代入，化简得， 又，，所以， 则有，. 【变式4-2】已知 ，则 （     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知，若，等式不成立； 若，则， ． 【变式4-3】已知，则（    ） A． B．7 C． D．3 【答案】A 【解析】由，则， 所以. 【变式4-4】已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 所以. 【变式4-5】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 . 题型五：三角函数诱导公式 【典例5-1】若角的终边经过，则__________. 【答案】/ 【解析】根据三角函数的定义得，又因为，所以. 【典例5-2】已知为第三象限角，，则___． 【答案】/ 【解析】因为为第三象限角，， 所以， 则. 【变式5-1】已知，则 _________. 【答案】 【解析】由， 所以，解得. 【变式5-2】求值：=_____. 【答案】 【解析】原式＝ . 【变式5-3】（2026·北京·三模）已知，，且，．则满足条件的一组，的值可以是________，________． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【解析】由诱导公式知，所以，即 ① ， ，即 ②， 因为，，故，由①得，因此， 由②得，因此， 由诱导公式知，又，与的取值范围一致，因此， 取，则，代入①②验证均成立，符合条件， 则满足条件的一组，的值可以是，.（答案不唯一） 【变式5-4】已知，则的值为_____. 【答案】 【解析】因为， 所以， 可得 . 【变式5-5】（2026·山东日照·模拟预测）已知，，则________. 【答案】 【解析】因为，所以，又， 所以，所以， 所以. 题型六：同角关系式与诱导公式综合应用 【典例6-1】已知，，则________，________． 【答案】 / / 【解析】由，平方得， 即，所以， 又因为，所以，， 则，所以； 由，， 则，， 故. 【典例6-2】（2026·山东烟台·模拟预测）若，，则的值为______． 【答案】/ 【解析】因为分子： 分母：，. 所以原式. 已知，两边同时平方可得： ， 所以. 【变式6-1】已知，，则的值为___________． 【答案】 【解析】因为，则，在等式两边平方得， 所以，故，所以， 故，故. 【变式6-2】已知，且为第二象限角，则______. 【答案】 【解析】因为为第二象限角，所以，所以. 对两边同时平方得 ，即， 所以，所以. 所以， 所以（负值舍去）. 【变式6-3】已知为第二象限角，且，则___________． 【答案】 【解析】同时平方可得，， 因为为第二象限角，所以， ，解得， 所以. 故答案为： 【变式6-4】已知，且，则________，________． 【答案】 /0.96 / 【解析】因为，则，解得 又，且，所以， 又，所以， 由，解得，所以， 则. 【变式6-5】已知，则的值为___________． 【答案】 【解析】展开得，即， 因为 且， 所以，即 ，故， 因此， 因为，所以， 【变式6-6】已知，则______. 【答案】 【解析】由，得， 得， 故， 因为，所以， 又因为，所以， 所以， ， 故 . 故答案为：. 题型七：割圆术类问题 【典例7-1】公元3世纪，刘徽发现可以用圆内接正多边形的周长近似地表示圆的周长.如图所示，他首先在圆内画一个内接正六边形，再不断地增加正多边形的边数；当边数越多时，正多边形的周长就越接近于圆的周长.刘徽在《九章算术》中写道：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”我们称这种方法为刘徽割圆术，它开启了研究圆周率的新纪元.小牧通过圆内接正边形，使用刘徽割圆术，得到的近似值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，圆的内接正多边形被半径分成个如图所示的等腰三角形， 其顶角为，即， 作于点，则， 设半径为的圆内接正边形的周长为，圆的直径为， 则， 在中，，即，所以， 即，所以， 又因为，所以. 【典例7-2】公元3世纪，刘徽提出“割圆术”，用圆内接正多边形的周长逼近圆周长来求圆周率的近似值.设圆的半径为，圆内接正边形的周长为，下列说法错误的是（   ） A．圆内接正边形的边长为 B．用近似圆周长时， C．当时，的近似值为3 D．边数越大，的值越小于 【答案】D 【解析】对于A：圆内接正边形的中心角为，用正边形的一边与圆心构成等腰三角形， 则边长为，A正确. 对于B：正边形的周长，圆周长为， 用近似圆周长时，，即，B正确. 对于C：当时，圆内接正六边形的边长等于半径，周长， 近似圆周长，得，C正确. 对于D：边数越大，正边形的周长越接近圆周长，会越来越接近，而不是“越小于”，D错误. 【变式7-1】公元3世纪，刘徽发现可以用圆内接正多边形的周长近似的表示圆的周长．如图所示，他首先在圆内画一个内接正六边形，再不断地增加正多边形的边数；当边数越多时，正多边形的周长就越接近于圆的周长．刘徽在《九章算术》中写道：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”我们称这种方法为刘徽割圆术，它开启了研究圆周率的新纪元．小牧通过圆内接正边形，使用刘徽割圆术，得到的近似值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆内接正边形的边长为，圆的半径为， 如图所示，连接，取中点，连，令， 易知，，得到， 由题意知，周长（近似）为，所以， 得到， 故选：A. 【变式7-2】（2026·贵州铜仁·模拟预测）魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正24576边形，求出圆周率约等于，和相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才被打破．若已知的近似值还可以表示成，则的值约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将代入， 可得 . 故选：C. 【变式7-3】（2026·高三·安徽合肥·阶段检测）在3世纪中期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术可以视为将一个圆内接正边形等分成个等腰三角形（如图所示），当越大，等腰三角形的面积之和越近似等于圆的面积.运用割圆术的思想，可得到的近似值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在单位圆中作内接正三十六边形，则每个等腰三角形的顶角为，底边约为， 由题意得， 故选：C 1．两个相互啮合的齿轮，大轮有60齿，小轮有45齿．已知大轮的转速为（转/分钟），小轮圆周的半径为，那么小轮圆周上一点每转过的弧长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】大轮有60齿，小轮有45齿，当大轮转动一周时小轮转动周， 当大轮的转速为时，小轮转速为， 小轮周上一点每1s转过的弧度数为：. 又小轮的半径为，所以小轮周上一点每1s转过的弧长为：. 2．折扇始于宋元、盛行于明清，寓向善之意，而扇面书画艺术于明清发展至巅峰．图1为故宫博物院藏明代文徵明的《兰花图》扇页，以金笺为底；水墨写意，格调高洁．若某扇页展开所得扇环恰为一圆台侧面展开图（图2），该扇环圆心角为，扇环外半径与内半径之差为，且圆台侧面积为，则圆台上底面半径与下底面半径之比为（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设扇环内半径为，外半径为，圆心角， 扇环面积等于圆台侧面积：，则， 已知，则，即， 解得， 又， 故． 3．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，历来中国有“制扇王国”之称．打开一把折扇，测得其周长为，面积为，则其圆心角弧度数为（     ） A．1 B．2 C．4 D．1或4 【答案】D 【解析】设扇形的圆心角为，半径为，弧长为. 由题意得，，解得，或， 由得，或. 4． 为坐标原点，角θ的终边经过点，且，则的单位向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设点到原点的距离为，则， 由任意角的正弦函数定义，得， 又已知，故. 因为，解得，则得，故向量， 则，故的单位向量为. 5．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】. 因为，所以， 又因为，所以，所以. 所以， 故. 6．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题设有， 故， 因为， 所以若，则，与矛盾； 故 . 7．已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 又因为，则，， 可得，所以. 8．角的终边上有一点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由任意角的三角函数定义可知，则， 所以，， 又， 则， 所以， 即. 9．（多选题）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，若的终边经过点，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】因为的终边经过点，则， 可得，，，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 10．（多选题）下列命题正确的有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【解析】A选项，若，则，A错误； B选项，若，则，B正确； C选项，若， 则，C错误； D选项，若，则， 即，，，D正确. 11．（多选题）已知角终边上， 且，则的值可能为（   ）． A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由于，故，解得或. 当时，，则，； 当 ，则， 12．（多选题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】由可得， 进而可得，所以，故，A正确， 由于，故，结合，因此，因此，C正确， ，D正确， ，B错误. 13．（多选题）已知，则下列各式中正确的有（     ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】由，则，且是第二或第四象限角， 结合，则，故或， 所以，，， 综上，A错，B、C、D对. 14．设点是平面直角坐标系内的一个动点，它从初始位置出发，绕原点按逆时针方向转动角后到达点，然后继续绕原点按逆时针方向转动角到达点；若的横坐标是，则的坐标是______． 【答案】 【解析】设是角终边上一点，且， 因为点到原点的距离：，所以. 由题意知点，的横坐标为， 所以 ，即. 由，得， 所以. 所以 ， ， 所以点的坐标为，即. 15．已知，且，则______． 【答案】 【解析】由，则，而， 所以，故，即， 所以. 16．已知，则的值为______． 【答案】或， 【解析】由，得，即， 所以或，， 解得或，． 17．（2026·上海黄浦·三模）已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的横坐标为________． 【答案】 【解析】设，则以为终边的角为， 又，， 所以， 所以点的横坐标为 18．角的终边与单位圆的交点A位于第一象限，其横坐标为，点A沿单位圆逆时针运动到点B，所经过的弧长为，则点B的横坐标为______． 【答案】 【解析】由三角函数的定义可知，单位圆上点的横坐标为对应角的余弦值，因此， 因为角的终边在第一象限，根据同角三角函数的平方关系， 可得： ， 单位圆的半径，点逆时针运动经过的弧长为，由弧长公式，得点转过的圆心角， 因此点B对应的角为，点B的横坐标为，. 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1　三角函数的概念、诱导公式 目录 01思维导图与题型归纳 2 02 基础知识点梳理 3 知识点一、任意角与弧度制 3 知识点二、任意角的三角函数 4 知识点三、三角函数的诱导公式 4 方法总结1：三角完全平方公式 5 方法总结2：齐次式转化 5 03 真题回顾 6 04 经典题型归纳总结 7 题型一：角的概念及表示方法 9 题型二：弧度制的定义与应用 10 题型三：三角函数的基本定义 11 题型四：同角三角函数基础关系式 12 题型五：三角函数诱导公式 12 题型六：同角关系式与诱导公式综合应用 13 题型七：割圆术类问题 13 05 课后拓展精练 16 知识点一、任意角与弧度制 1、各种角的集合： 角的集合 角度制 弧度制 ①与角终边相同的角的集合(含角) ②终边在轴的非负半轴上的角的集合 ③终边在轴上的角的集合 ④终边在坐标轴上的角的集合 ⑤终边在第一(二三四)象限的角的集合 2、注意角与角及的象限关系． （1)图中序号表示角的象限，序号所在区域为角(或）的终边所在区域． （2）由角的象限推理角及的象限，列不等式对进行赋值判断即可． 3、角度与弧度的互化公式：①，②，③ 4、①弧长公式：， ②扇形面积公式：，其中． 知识点二、任意角的三角函数 1、任意角的三角函数的定义： (1)借助单位圆来定义 设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点， 则：，，． (2)设角终边上任意一点的坐标为，它到原点的距离为， 则：，，． ①定义域、值域：，定义域都是，值域都是；定义域是，值域为． ②三角函数的值在各个象限的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． ③点又可表示为，在已知或的情形下使用，这将给解题带来方便． 2、单位圆中的三角函数线(有向线段)：，，(如下图)． 3、同角三角函数的基本关系式： (1)平方关系：； (2)商数关系：． 知识点三、三角函数的诱导公式 1、诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 正弦 余弦 正切 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 2、“奇变偶不变，符号看象限” (1)奇、偶是指中的奇偶．奇函数名改变，偶函数名不变 ①正弦和余弦互相变， ②正切需先化为正弦余弦比值再进行诱导． (2)默认为第一象限角 (3)观察整个角度所在象限，从而判断该角度所对应三角函数的正负情况． 方法总结1：三角完全平方公式 ① ② ③ 方法总结2：齐次式转化 ①一次分式齐次同除以进行弦化切． ②二次整式齐次除以1，再除以进行弦化切． 1．（2026年高考全国1卷数学高考真题）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．（2025年高考天津卷数学真题）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（2022年新高考浙江数学高考真题）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（    ） A． B． C． D． 6．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）若，则（    ） A． B． C． D． 7．（2021年全国新高考I卷数学试题）若，则（    ） A． B． C． D． 8．（2025年高考北京卷数学真题）已知，且，.写出满足条件的一组的值________，_________． 9．（2024年北京高考数学真题）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为________． 10．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）若，则________． 11．（2022年新高考浙江数学高考真题）若，则__________，_________． 题型一：角的概念及表示方法 【典例1-1】下列说法正确的是（     ） A．时钟经过四个小时，时针转过的角度是 B．若是第二象限角，则也是第二象限角 C．终边落在直线上的角的集合是 D．若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为 【典例1-2】下列说法正确的是（     ） A．第一象限角都比第二象限角小 B．小于的角是锐角 C．终边相同的角一定相等 D．终边在轴非负半轴上的角的集合是 【变式1-1】下列各角中，与终边相同的角为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】若角和的终边关于轴对称，则必有（   ） A． B．， C．， D．， 【变式1-3】如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合用弧度制可表示为（   ） A． B． C． D． 【变式1-4】若，则是（   ） A．第二或第四象限角 B．第三象限角 C．第二象限角 D．第一或第三象限角 【变式1-5】若是第二象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第四象限角 D．第一象限或第二象限或第四象限角 题型二：弧度制的定义与应用 【典例2-1】已知某扇形的圆心角为，半径为12，则此扇形的弧长为（   ） A． B． C． D． 【典例2-2】现有一把纸折扇，其结构如图所示.已知折扇两端的扇骨长（即大扇形半径）均为，完全展开时扇骨间的夹角为.若扇面的上弧长与下弧长之比为，将该扇面围成一个圆台，则该圆台的高为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】当代水墨画常以扇环形构图.如图，若，，，则此扇环形水墨画的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知一扇形的周长为8，当该扇形的面积最大时，其圆心角为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】第31届世界大学生夏季运动会的官方体育图标是十八墨宝，射箭项目体育图标为水墨熊猫（如图所示），它是以真实的射箭运动为原型，拉满弓箭时，弓臂为圆弧形，弧中点到弦中点的距离为，弦长为，求弓形的面积约为（    ）（参考数据：，） A． B． C． D． 题型三：三角函数的基本定义 【典例3-1】若角的终边上有一点，且，则（   ） A．1 B． C．或1 D．或 【典例3-2】（2026·高三·山西太原·阶段检测）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，点在角的终边上，则角可以为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·江苏无锡·三模）在平面直角坐标系中，已知锐角的终边与单位圆交于，角的终边与单位圆交于，若，则的值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【变式3-2】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知角的终边过点，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026·广西贵港·三模）若角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-4】（2026·河北保定·二模）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边落在直线上，则（   ） A． B． C． D． 题型四：同角三角函数基础关系式 【典例4-1】已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【典例4-2】若，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知 ，则 （     ） A． B． C． D． 【变式4-3】已知，则（    ） A． B．7 C． D．3 【变式4-4】已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式4-5】已知，则（    ） A． B． C． D． 题型五：三角函数诱导公式 【典例5-1】若角的终边经过，则__________. 【典例5-2】已知为第三象限角，，则___． 【变式5-1】已知，则 _________. 【变式5-2】求值：=_____. 【变式5-3】（2026·北京·三模）已知，，且，．则满足条件的一组，的值可以是________，________． 【变式5-4】已知，则的值为_____. 【变式5-5】（2026·山东日照·模拟预测）已知，，则________. 题型六：同角关系式与诱导公式综合应用 【典例6-1】已知，，则________，________． 【典例6-2】（2026·山东烟台·模拟预测）若，，则的值为______． 【变式6-1】已知，，则的值为___________． 【变式6-2】已知，且为第二象限角，则______. 【变式6-3】已知为第二象限角，且，则___________． 【变式6-4】已知，且，则________，________． 【变式6-5】已知，则的值为___________． 【变式6-6】已知，则______. 题型七：割圆术类问题 【典例7-1】公元3世纪，刘徽发现可以用圆内接正多边形的周长近似地表示圆的周长.如图所示，他首先在圆内画一个内接正六边形，再不断地增加正多边形的边数；当边数越多时，正多边形的周长就越接近于圆的周长.刘徽在《九章算术》中写道：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”我们称这种方法为刘徽割圆术，它开启了研究圆周率的新纪元.小牧通过圆内接正边形，使用刘徽割圆术，得到的近似值为（    ） A． B． C． D． 【典例7-2】公元3世纪，刘徽提出“割圆术”，用圆内接正多边形的周长逼近圆周长来求圆周率的近似值.设圆的半径为，圆内接正边形的周长为，下列说法错误的是（   ） A．圆内接正边形的边长为 B．用近似圆周长时， C．当时，的近似值为3 D．边数越大，的值越小于 【变式7-1】公元3世纪，刘徽发现可以用圆内接正多边形的周长近似的表示圆的周长．如图所示，他首先在圆内画一个内接正六边形，再不断地增加正多边形的边数；当边数越多时，正多边形的周长就越接近于圆的周长．刘徽在《九章算术》中写道：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”我们称这种方法为刘徽割圆术，它开启了研究圆周率的新纪元．小牧通过圆内接正边形，使用刘徽割圆术，得到的近似值为（ ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2026·贵州铜仁·模拟预测）魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正24576边形，求出圆周率约等于，和相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才被打破．若已知的近似值还可以表示成，则的值约为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2026·高三·安徽合肥·阶段检测）在3世纪中期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术可以视为将一个圆内接正边形等分成个等腰三角形（如图所示），当越大，等腰三角形的面积之和越近似等于圆的面积.运用割圆术的思想，可得到的近似值为（    ） A． B． C． D． 1．两个相互啮合的齿轮，大轮有60齿，小轮有45齿．已知大轮的转速为（转/分钟），小轮圆周的半径为，那么小轮圆周上一点每转过的弧长是（   ） A． B． C． D． 2．折扇始于宋元、盛行于明清，寓向善之意，而扇面书画艺术于明清发展至巅峰．图1为故宫博物院藏明代文徵明的《兰花图》扇页，以金笺为底；水墨写意，格调高洁．若某扇页展开所得扇环恰为一圆台侧面展开图（图2），该扇环圆心角为，扇环外半径与内半径之差为，且圆台侧面积为，则圆台上底面半径与下底面半径之比为（     ）    A． B． C． D． 3．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，历来中国有“制扇王国”之称．打开一把折扇，测得其周长为，面积为，则其圆心角弧度数为（     ） A．1 B．2 C．4 D．1或4 4． 为坐标原点，角θ的终边经过点，且，则的单位向量为（   ） A． B． C． D． 5．已知，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知，则（ ） A． B． C． D． 7．已知，且，则（   ） A． B． C． D． 8．角的终边上有一点，则的值为（     ） A． B． C． D． 9．（多选题）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，若的终边经过点，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（多选题）下列命题正确的有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．（多选题）已知角终边上， 且，则的值可能为（   ）． A． B． C． D． 12．（多选题）若，则（    ） A． B． C． D． 13．（多选题）已知，则下列各式中正确的有（     ） A． B． C． D． 14．设点是平面直角坐标系内的一个动点，它从初始位置出发，绕原点按逆时针方向转动角后到达点，然后继续绕原点按逆时针方向转动角到达点；若的横坐标是，则的坐标是______． 15．已知，且，则______． 16．已知，则的值为______． 17．（2026·上海黄浦·三模）已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的横坐标为________． 18．角的终边与单位圆的交点A位于第一象限，其横坐标为，点A沿单位圆逆时针运动到点B，所经过的弧长为，则点B的横坐标为______． 27/27 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $