3.3 导数与函数的极值、最值（6大题型）（讲义+精练）-2027年新高考数学一轮总复习解题妙招精讲与题型整合（新高考专用）

该高中数学讲义聚焦导数与函数极值、最值核心考点，按定义、判断方法、求解步骤逻辑梳理知识点，通过基础梳理、方法总结、真题回顾、题型归纳等环节，帮助学生构建从概念到应用的知识体系，突破极值判定、参数求解等难点。 讲义采用题型分层教学法，如通过“由极值条件逆向求参”题型培养数学思维，结合真题案例强化数学语言表达，设置基础到拓展的分层练习，助力学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

3．3　导数与函数的极值、最值 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识点梳理 3 知识点一、函数的极值 3 知识点二、函数的最值 3 方法总结1：极值的判断方法 3 方法总结2：利用导数研究函数极值的步骤 3 方法总结3：极值与最值关系 4 方法总结4：已知极值(点)求参数 4 方法总结5：利用导数研究函数最值 4 03 真题回顾 5 04 经典题型归纳总结 27 题型一：结合函数图象判定极值 27 题型二：给定函数的极值求解 29 题型三：由极值（点）条件逆向求参 32 题型四：无参函数的最值求解 35 题型五：含参函数的最值讨论 37 题型六：极值与最值综合应用问题 42 05 课后拓展精练 49 知识点一、函数的极值 极小值：若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，，而且在点附近的左侧，右侧，则把点叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值． 极大值：若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，，而且在点附近的左侧，右侧，则把点叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值． 极小值点、极大值点统称为极值点（的值，不是坐标），极小值、极大值统称为极值． 知识点二、函数的最值 1、函数在区间上有最值的条件： 如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． 2、一般地，求函数在区间上的最大值和最小值的步骤如下： ⑴求函数在区间上的极值； ⑵将函数的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，其中最小的一个是最小值． 方法总结1：极值的判断方法 一般地，求函数的极值的方法是：解方程．当时： ⑴如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值； ⑵如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值． 方法总结2：利用导数研究函数极值的步骤 第一步：确定函数的定义域 第二步：求，并可适当整理；尽量将整理成之积商的形式 第三步：解出方程在定义域内的所有实数根 第四步：将函数，随的变化情况分段标注在数轴上 第五步：确定的极值． 方法总结3：极值与最值关系 函数在有最值在有极值在有解． 方法总结4：已知极值(点)求参数 根据函数的极值(点)求参数的两个要领 (1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解. (2)验证：求解后验证根的合理性. 方法总结5：利用导数研究函数最值 求函数在闭区间上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值，与的各极值进行比较得到函数的最值． 1．（2026·全国一卷·高考真题）已知函数的最大值为1，则（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解析】法1：（1）当时，由，解得， 故函数定义域为. ①当时，， 当，则，故不存在最大值，不合题意； ②当时，此时，， 故最大值不为，不合题意； ③当时，， 当，则，故不存在最大值，不合题意； （2）当时，则，则函数定义域为. 且由最大值为可知，， 即对任意恒成立，且等号能取到. 设，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 故，当且仅当时，， 由对任意恒成立，可知， 又当时，恒有，取不到等号，所以有， 故选：B. 法2：， 由选项知，则定义域为， 故最大值必在极值点处取到，不妨设此极值点为， 由， 则由，可得①， 且，即②， 联立①②解得. 验证：当时，， 则， 设，则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； ，且， 且当，；当，； 作出函数的大致图象， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 则，满足题意，故. 法3：由选项知，则定义域为， 由，解得. 同法2验证可得，故满足题意，由选项唯一可得.. 法4：由选项知，则定义域为， 由，解得. 验证：当时，由不等式可得， 故，当且仅当时等号成立， 故满足题意，由选项唯一可得. 2．（2024·上海·高考真题）已知函数的定义域为，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（   ） A．存在是偶函数 B．存在在处取最大值 C．存在是增函数 D．存在在处取到极小值 【答案】B 【解析】对于A选项：时，， 当时，， 任意的，恒成立， 若时偶函数，此时矛盾，故A选项错误； 对于B选项：若函数图像如下： 当时，，时，，当，， ∴存在在处取最大值，故B选项正确； 对于C选项：在时，若函数严格递增，则集合的取值不会是， 而是全体定义域，故C选项错误； 对于D选项：若存在在处取到极小值，则在在左侧存在，，与集合定义矛盾，故D选项错误. 故选：B 3．（多选题）（2025·全国二卷·高考真题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 【答案】ABD 【解析】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确； 对B，当时，，则，故B正确； 对C，， 故C错误； 对D，当时，，则， 令，解得或（舍去）， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 则是极大值点，故D正确； 故选：ABD. 4．（多选题）（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【解析】对A，因为函数的定义域为R，而， 易知当时，，当或时， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确； 对B，当时，，所以， 而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减， 所以，即，正确； 对D，当时，， 所以，正确； 故选：ACD. 5．（多选题）（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 【答案】AD 【解析】A选项，，由于， 故时，故在上单调递增， 时，，单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，，则， 根据零点存在定理在上有一个零点， 又，，则， 则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确； B选项，，时，，单调递减， 时，单调递增， 此时在处取到极小值，B选项错误； C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴， 即存在这样的使得， 即， 根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为， 于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误； D选项， 方法一：利用对称中心的表达式化简 ，若存在这样的，使得为的对称中心， 则，事实上， ， 于是 即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确. 方法二：直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， ，，， 由，于是该三次函数的对称中心为， 由题意也是对称中心，故， 即存在使得是的对称中心，D选项正确. 故选：AD 6．（2026·北京·高考真题）已知，给出下列四个结论： ①在上有最小值和最大值； ②，时，有最大值； ③，有3个解； ④，与有4个交点. 其中正确结论的序号是________． 【答案】①②③④ 【解析】由题意， ①在中，，， ，函数为偶函数， 在中，， ∴函数单调递增， ∵， ∴当时，，当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴函数在处取最小值，， 在中， ，为偶函数， 当在内有零点时， 即，，使得， 此时在，上单调递减，在，上单调递增， ，，， ∵， ∴， ∴在和处取最小值，， 在处取最大值， 当在内无零点时，， 在上单调递增，在上单调递减， ∴在处取得最小值，， 在处取得最大值，， 故①正确； ②当时， ，，， 由①可得，在上单调递增， ∵，， ∴，使得， ∴在中，， 此时在上单调递减，在上单调递增， ∴在处取最大值， ②正确； ③同①可得推广结论， 在中，， ，为偶函数， 即，，使得，， 此时在，上单调递减，在，上单调递增， ∴在和处取极小值， 当时，，，， ∵在上单调递减，， ∴，使得， ∵在上单调递增，， ∴，使得， ∴当时，， ∴，有3解， 故③正确； ④由③可得， 在中，， 此时在，上单调递减，在，上单调递增， 在中，， ，开口向上， ∴函数，即恒成立， ∴ ∴在下方， ∵， ∴在轴上方， 此时与有4个交点， 故④正确. 7．（2025·全国二卷·高考真题）若是函数的极值点，则___________ 【答案】 【解析】由题意有， 所以， 因为是函数极值点，所以，得， 当时，， 当单调递增，当单调递减， 当单调递增， 所以是函数的极小值点，符合题意； 所以. 故答案为：. 8．（2026·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求，的值； (2)求的极值点个数； (3)求与交点个数． 【解析】（1），则， ，又，解得； （2）由（1）得，则， 令，则， 令，解得， 则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 又， ，， 故存在，使得，且有， 则当时，，当时，， 故在、上单调递减，在上单调递增， 故有两个极值点； （3）令，则， 令，则； 若，则恒成立（不恒为零）， 故在上单调递减，又， 当时，，故在上有唯一零点， 即与有唯一交点； 若时，有两个实根， 设这两个实根分别为、，且，则、， 则当时，，当时，， 故在、上单调递减，在上单调递增， 故为的极小值，为的极大值，且， 由，则， 则 ， 由，则， 则有、， 故，则， 又时，，故在上存在唯一零点， 即与有唯一交点； 综上所述：与交点个数为. 9．（2025·上海·高考真题）已知． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 【解析】（1）因为，故，故，故， 故即为， 设，则，故在上为增函数， 而即为，故， 故原不等式的解为. （2）在有极大值即为有极大值点. ， 若，则时，，时，， 故为的极小值点，无极大值点，故舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 若，则时，，无极值点，舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 综上，且. 10．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数，其中． (1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； (2)设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数.证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 【解析】（1）证明：由题得， 因为，所以，设， 则在上恒成立，所以在上单调递减， ，令， 所以当时，，则；当时，，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上存在唯一极值点， 对函数有在上恒成立， 所以在上单调递减， 所以在上恒成立， 又因为，时， 所以时， 所以存在唯一使得，即在上存在唯一零点. （2）（i）（i）证明：由（1）知，则，， ， 则 ， ， ， 即在上单调递减. （ii），证明如下： 由（i）知：函数在区间上单调递减， 所以即，又， 由（1）可知在上单调递减，，且对任意， 所以. （ii）略 11．（2025·全国一卷·高考真题）（1）求函数在区间的最大值； （2）给定和，证明：存在使得； （3）设，若存在使得对恒成立，求b的最小值． 【解析】（1）法1：， 因为，故，故， 当时，即， 当时，即， 故在上为增函数，在为减函数， 故在上的最大值为. 法2：我们有 . 所以： . 这得到，同时又有， 故在上的最大值为，在上的最大值也是. （2）法1：由余弦函数的性质得的解为，， 若任意与交集为空， 则且，此时无解， 矛盾，故无解；故存在，使得， 法2：由余弦函数的性质知的解为， 若每个与交集都为空， 则对每个，必有或之一成立. 此即或，但长度为的闭区间上必有一整数， 该整数不满足条件，矛盾. 故存在，使得成立. （3）法1：记， 因为， 故为周期函数且周期为,故只需讨论的情况. 当时，， 当时，， 此时， 令，则， 而， ，故， 当，在（2）中取，则存在，使得， 取，则，取即， 故，故， 综上，可取，使得等号成立. 综上，. 法2：设. ①一方面，若存在，使得对任意恒成立， 则对这样的，同样有. 所以对任意恒成立，这直接得到. 设，则根据恒成立，有 所以均不超过， 再结合， 就得到均不超过. 假设，则， 故. 但这是不可能的，因为三个角和单位圆的交点将单位圆三等分， 这三个点不可能都在直线左侧. 所以假设不成立，这意味着. ②另一方面，若，则由（1）中已经证明， 知存在，使得. 从而满足题目要求. 综合上述两个方面，可知的最小值是. 12．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域是．对于，定义集合． (1)，求； (2)对于集合，若对任意都有，则称是对称集．若是对称集，证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”； (3)若，．求的取值范围，使得对于任意，都有． 【解析】（1）由定义得，. （2）证明： 必要性：因为函数是偶函数，所以对任意，， 对任意，若，即，则， 所以，所以对任意，是对称集. 充分性：若对任意，是对称集， 因为对任意，，所以，即①， 又，所以，即②. 由①②得，对任意，， 所以函数是偶函数. 综上，“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”，得证. （3）因为对于任意，都有， 所以若，则，即若，则， 所以，所以在上单调不减， 所以对任意，恒成立. 当时，显然成立，； 当时，恒成立，令，， 所以在单调递减，单调递增，所以； 当时，恒成立，此时 因为在上单调递减，当时，， 时，， 所以； 综上，. 13．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)求的单调区间； (2)当时，证明：当时，恒成立． 【解析】（1）定义域为， 当时，，故在上单调递减； 当时，时，，单调递增， 当时，，单调递减. 综上所述，当时，的单调递减区间为； 时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2），且时，， 令，下证即可. ，再令，则， 显然在上递增，则， 即在上递增， 故，即在上单调递增， 故，问题得证 14．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，，求的取值范围． 【解析】（1）当时，， 故， 因为在上为增函数， 故在上为增函数，而， 故当时，，当时，， 故在处取极小值且极小值为，无极大值. （2）， 设， 则， 当时，，故在上为增函数， 故，即， 所以在上为增函数，故. 当时，当时，， 故在上为减函数，故在上， 即在上即为减函数， 故在上，不合题意，舍. 当，此时在上恒成立， 同理可得在上恒成立，不合题意，舍； 综上，. 15．（2024·天津·高考真题）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若对任意成立，求实数的值； (3)若，求证：． 【解析】（1）由于，故. 所以，，所以所求的切线经过，且斜率为，故其方程为. （2）设，则，从而当时，当时. 所以在上递减，在上递增，这就说明，即，且等号成立当且仅当. 设，则 . 当时，的取值范围是，所以命题等价于对任意，都有. 一方面，若对任意，都有，则对有 ， 取，得，故. 再取，得，所以. 另一方面，若，则对任意都有，满足条件. 综合以上两个方面，知的值是2. （3）先证明一个结论：对，有. 证明：前面已经证明不等式，故， 且， 所以，即. 由，可知当时，当时. 所以在上递减，在上递增. 不妨设，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论. 情况一：当时，有，结论成立； 情况二：当时，有. 对任意的，设，则. 由于单调递增，且有 ， 且当，时，由可知 . 所以在上存在零点，再结合单调递增，即知时，时. 故在上递减，在上递增. ①当时，有； ②当时，由于，故我们可以取. 从而当时，由，可得 . 再根据在上递减，即知对都有； 综合①②可知对任意，都有，即. 根据和的任意性，取，，就得到. 所以. 情况三：当时，根据情况一和情况二的讨论，可得，. 而根据的单调性，知或. 故一定有成立. 综上，结论成立. 16．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 【解析】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. （2）解法一：因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为； 解法二：因为的定义域为，且， 若有极小值，则有零点， 令，可得， 可知与有交点，则， 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建， 因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. 17．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的单调区间； (3)求的极值点个数． 【解析】（1）因为，所以， 因为在处的切线方程为， 所以，， 则，解得， 所以. （2）由（1）得， 则， 令，解得，不妨设，，则， 易知恒成立， 所以令，解得或；令，解得或； 所以在，上单调递减，在，上单调递增， 即的单调递减区间为和，单调递增区间为和. （3）由（1）得，， 由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增， 当时，，，即 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增； 所以在上有一个极小值点； 当时，在上单调递减， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减； 所以在上有一个极大值点； 当时，在上单调递增， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增； 所以在上有一个极小值点； 当时，， 所以，则单调递增， 所以在上无极值点； 综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个极值点. 题型一：结合函数图象判定极值 【典例1-1】已知函数的图像是一条连续不断的曲线，且在定义域内处处可导，若为的导函数，则“在处取极值”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．不充分不必要条件 【答案】A 【解析】充分性：已知函数在定义域内处处可导，若在处取极值，所以，故充分性成立. 必要性：若，无法推出在处取极值，例如：函数， 其导函数满足，但在上单调递增，处不存在极值，故必要性不成立. 因此“在处取极值”是“”的充分不必要条件. 【典例1-2】已知函数（）的导函数是，导函数的图像如图所示，则在内只有（    ） A．1个驻点 B．1个极值点 C．1个极小值点 D．1个极大值点 【答案】C 【解析】由导函数的图像可知，在区间内： 驻点为的点，由图像可得的点有4个，故A错误； 分析各零点处的符号变化： 第一个零点：左侧，右侧，为的极大值点； 第二个零点：左侧，右侧，为的极小值点； 处：左右两侧均为正，符号不变，不是极值点； 第三个零点：左侧，右侧，为的极大值点； 因此在内有2个极大值点，1个极小值点，共3个极值点，故B、D错误，C正确. 【变式1-1】（2026·高三·贵州遵义·阶段检测）已知函数的定义域为且导函数为，函数的图象如图，则下列说法正确的是（   ） A．函数的增区间是 B．函数的减区间是 C．是函数的极大值点 D．是函数的极大值点 【答案】D 【解析】根据的图象可知：当时，； 当时，，当时，，当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 因此函数在时取得极小值，在时取得极大值.故ABC错误，D正确. 故选：D 【变式1-2】如图，已知直线与曲线相切于两点，则有（    ）． A．1个极大值点，2个极小值点 B．2个极大值点，1个极小值点 C．3个极大值点，无极小值点 D．2个极小值点，无极大值点 【答案】A 【解析】作出与直线平行且与的图象相切的直线， 设切点的横坐标从小到大依次为， 则方程有三个根，即， 因， 则结合图象可知， 当时；时，； 时，；时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增， 故和为极小值点，为极大值点， 故有个极小值点，个极大值点. 故选：A. 【变式1-3】函数的导函数的图象如图所示，给出下列选项正确的是（    ） A．是函数的极大值点； B．是函数的最小值点； C．在区间上单调递增； D．在处切线的斜率小于零． 【答案】C 【解析】由函数的导函数的图象可知， A．左侧的导数小于0，而右侧的导数大于0，所以是函数的极小值点，故错误，不符合题意； B．左侧的导数大于0，右侧的导数大于0，不是函数的最小值点，故B错误，不符合题意； C．当时，，单调递增，故C正确，符合题意； D．由图象得，所以在处切线的斜率大于零，故D错误，不符合题意； 故选：C． 题型二：给定函数的极值求解 【典例2-1】已知函数在处有极大值，则的极小值为（    ） A．4 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【解析】，，解得：或； 当时，，， 当时，；当时，； 在，上单调递增，在上单调递减， 是的极小值点，不符合题意； 当时，，， 当时，；当时，； 在，上单调递增，在上单调递减， 是的极大值点，符合题意， 此时函数在时取极小值，极小值为， 综上所述：的极小值为. 【典例2-2】若是函数的极大值点，则的极小值为（   ） A． B． C．0 D．4 【答案】A 【解析】，所以， 因为是函数的极大值点，所以，解得， 所以，则， 令，或，，， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 所以是函数的极大值点，是函数的极小值点， ， 所以函数的极小值为. 【变式2-1】已知三次函数的导函数为，若，则函数的极大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得：，所以，解得， 所以， 所以， 令，解得或， 由或，由， 所以在单调递减，在单调递增， 所以的极大值为：. 【变式2-2】已知函数，则的极小值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解析】函数的定义域为， 令，解得，列表如下， 2 0 单调递减 极小值 单调递增 所以的极小值为． 【变式2-3】（2026·高三·湖南株洲·阶段检测）函数的极小值是____． 【答案】 【解析】的定义域为. ，令，解得或. 极大值 极小值 的极小值为 题型三：由极值（点）条件逆向求参 【典例3-1】已知函数在处取得极大值0，则________. 【答案】/ 【解析】，由题意得，即，故， 且，解得或， 当时，，则， 令得，令得，故为极大值点，满足要求， 所以， 当时，，则， 令得，令得，故为极小值点，不满足要求， 综上，. 【典例3-2】若函数有大于1的极值点，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】函数的定义域为， ， 令，解得，即， 由于在上单调递增， 所以当时，；当时，， 所以是函数的极小值点， 因此，解得， 所以的取值范围是． 【变式3-1】（2026·云南昭通·模拟预测）已知函数有2个极值，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】由题意的定义域为，且， 因为有2个极值，所以有2个变号零点， 令，可得， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 当时，，当时，， 而，可得，解得， 故的取值范围是. 【变式3-2】（2026·四川·模拟预测）已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围为_________. 【答案】 【解析】函数的定义域为，求导得， 由函数既有极大值又有极小值，得方程有两个不等的正根， 则，解得，令是的两个正根， ，则，当或时，； 当时，，函数在处取得极大值，在处取得极小值，符合题意， 所以实数a的取值范围为. 【变式3-3】已知函数在处取极值，且，则的值为____. 【答案】 【解析】因为，所以， 因为函数在处取极值，且， 所以，解得或， 当，时，，，此时函数有极值点； 当，时，，此时函数在上为增函数，无极值点. 所以，，故. 【变式3-4】已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】由题意可得，，所以等价于， 即在时，有两个不同的解，所以，令， 问题转化为直线与有两个交点时，的取值范围，所以， 令，解得，解得，当时，，单调递增， 当时，，单调递减，因此在处，取得最大值，所以， 当时，，当时，，所以. 【变式3-5】已知，函数在处取得极大值，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】函数的定义域为，对求导可得 . 令，解得或. ①当，即时， 当或时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取得极大值，在处取得极小值，符合题意； ②当，即时，恒成立， 所以在上单调递增，无极值，不符合题意； ③当，即时， 当或时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取得极大值，在处取得极小值，不符合题意， 综上，的取值范围是. 题型四：无参函数的最值求解 【典例4-1】函数的最小值为______． 【答案】 【解析】令，求导得，令，解得， 时，，单调递减； 时，，单调递增； 故在处取得最小值，故 ，求导得，令，解得， 时，，单调递减； 时，，单调递增； 故在处取得最小值： ． 【典例4-2】函数在上的最大值为__________． 【答案】 【解析】由题可知，， 令， 解得，（舍去负数）， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以最大值在两个端点处， 代值计算可得，， 因为， 所以， 故最大值为. 【变式4-1】函数的最小值为______. 【答案】 【解析】求导得：， 所以时，，此时函数单调递增， 时，，即此时函数单调递减， 所以. 即该函数的最小值为 【变式4-2】设函数，，若存在，，使得，则的最大值为________． 【答案】0 【解析】由题意，即，所以， 由，所以在上单调递增，则，可得， 所以， 令，函数定义域为，则， 令，有在上恒成立， 所以在上单调递减，即在上单调递减， 由，则时，；时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则，即的最大值为0. 【变式4-3】函数，的最小值是______． 【答案】 【解析】因为，，则， 令，则，解得；令，则，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 且，，即， 所以函数在上的最小值为. 【变式4-4】（2026·宁夏银川·模拟预测）函数的最小值为______. 【答案】0 【解析】. 设，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则， 令，，则， 因为函数开口向上，对称轴为， 所以在上单调递增， 所以当时，取得最小值，且最小值为， 即函数的最小值为0. 题型五：含参函数的最值讨论 【典例5-1】已知函数． (1)当时，求的图象在处的切线方程； (2)当时，求在区间上的最大值． 【解析】（1）当时，， 求导得， 所以，， 所以切线方程为， 所以函数的图象在处的切线方程为. （2）由题知，， 求导得， 令，则， 因为，所以，， 所以当时，恒成立， 所以在上单调递增， 即在上单调递增， 计算得，， ①当，即时， 恒成立， 所以在上单调递增， ②当，即时， 因为，， 所以，存在唯一使得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为，， ． 综上所述，函数在区间的最大值为． 【典例5-2】已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若，求函数在区间上的最大值． 【解析】（1）因为，所以， 令，解得或， 当时，恒成立，所以函数在上单调递增； 当时，，所以当或时，， 当时，， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，，所以当或时，， 当时，， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； （2）由（1）可知，当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，所以函数在上单调递减， 所以函数在区间上的最大值为； 当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在区间上的最大值为和中的较大者， 因为，， 解，得，解，得， 所以当时，函数在区间上的最大值为； 当时，函数在区间上的最大值为； 综上，当时，函数在区间上的最大值为； 当时，函数在区间上的最大值为2． 【变式5-1】已知函数（）． (1)讨论的单调性； (2)当时，求在上的最小值． 【解析】（1）由题意可得：的定义域是，且， 令，则或, ①当时，若或，则，若，则， 所以在和上单调递增，在上单调递减， ②当时，因为，所以在上单调递增， ③当时，若或，则，若，则， 所以在和上单调递增，在上单调递减. （2）当时，由（1）可得：在上单调递减， 所以，①当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得最小值，为， ②当时，在上单调递减， 所以在处取得最小值，为． 综上，． 【变式5-2】已知函数 (1)求函数的单调区间和极值； (2)若方程恰有一个实数解，求实数a的取值范围. (3)若函数在区间存在最大值，求m的取值范围. 【解析】（1）， 则的解为，的解为或， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为，；单调递减区间为； 在处取得极大值，极大值为， 在处取得极小值，极小值为 （2）由（1）可得，函数的简要图像如下： 方程恰有一个实数解， 则或； （3）令，即， 解得或， 又函数在区间存在最大值，则最大值要在处取得， ，解得． 【变式5-3】（2026·福建泉州·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若在上的最小值为，求. 【解析】（1）函数的定义域为，     当时，在恒成立，在上单调递增；     当时，由得，由，得， 所以在上单调递减；在上单调递增     综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）可知，当时，在上单调递增，则，由题意得， 解得，与矛盾，舍去； 当时，在上单调递增，则，由题意得， 解得，与矛盾，舍去；     当时，在上单调递减，在上单调递增，则， 由题意得，解得，符合，所以.     当时，在上单调递减，则，由题意得， 解得，与矛盾，舍去.     综上可得，实数的值为. 【变式5-4】已知函数． (1)当时，判断经过点的曲线的切线有多少条； (2)若在区间上的最小值为，求实数a的值． 【解析】（1）由题可知的定义域为， 当时，， 所以曲线在点处的切线方程为： ． 将代入上式，得， 化简得． 令，则，设，则， 令，得，所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，在上有唯一的零点， 所以经过点的曲线的切线仅有1条． （2）， 令，得，令，得． ①当时，在上恒成立，故在上单调递增， 所以，不符合题意； ②当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，由，解得； ③当时，在上恒成立，在上单调递减， 所以，不符合题意，舍去． 综上，． 题型六：极值与最值综合应用问题 【典例6-1】设函数在处取得极值. (1)求a的值，并求的单调区间； (2)若，有，求b的取值范围. 【解析】（1）因为在处取得极值，且， 则，所以，则， 又的定义域为， 所以时，，时，， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为 （2）因为，有，则， 即恒成立，令，则 求导，， 当时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则， 所以，即b的取值范围为. 【典例6-2】已知函数，. (1)当时，求的单调区间； (2)若曲线在点处的切线l方程为. （i）求a，k的值； （ii）已知点，（，）在曲线上，若直线AB与l平行，求m. 【解析】（1）当时，，定义域为， 求导得，令，即，解得. 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 综上，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）（i），，所以， 所以，在点处的切线为， 故，，所以. （ii）由（i）可知，定义域为，则，， 所以，即， 令，定义域为，求导得， 令，定义域为，求导得， 所以在上单调递增， 又，所以当时，，当时，. 所以当，，单调递增；当，，单调递减， 当时，；当时，， 所以有两根，其中一根为，另一根为，且. 因为，所以； 又且，所以， 所以， 因为在上单调递减，所以， 又，，所以. 【变式6-1】已知函数． (1)求的单调区间； (2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围； (3)若是函数的极值点，求证：． 【解析】（1）由函数，可得其定义域为， 求导得，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． （2）由，其中 可得，即， 由对任意恒成立，即在恒成立， 令，可得， 令，解得， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，即实数的取值范围为. （3）证明：由， 可得， 令，可得在上恒成立， 所以函数在上单调递增，即函数在上单调递增， 因为是的极值点，所以存在使得，即， 又由，所以， 则， 所以. 【变式6-2】已知函数，（）． (1)当时，求的单调区间； (2)当时，若存在极小值点，证明：； (3)若对任意，都有，求的取值范围． 【解析】（1）当时，， 则， 令，解得，或， 当时，，，则，所以在上单调递减； 当时，，，则，所以在上单调递增； 当时，，，则，所以在上单调递减， 综上，在上单调递减；在上单调递增；在上单调递减． （2）由， 令，解得，或， 当时，， 当时，，，则，所以在上单调递减； 当时，，，则，所以在上单调递增； 当时，，，则，所以在上单调递减， 此时是的极小值点，而是的极大值点； 则，所以，得证； 当时，，， 当时，，，则，所以在上单调递减； 当时，，，则，所以在上单调递减， 此时无极值点，更无极小值点； 当时，， 当时，，，则，所以在上单调递减； 当时，，，则，所以在上单调递增； 当时，，，则，所以在上单调递减， 此时是的极小值点，而是的极大值点； 则，所以，得证． 综上，当时，若存在极小值点，必有，得证． （3）对任意，有，即， 当时，恒成立，此时的取值范围为， 当时，， 令，，则， 令，，则， 所以在上单调递增，且， 所以当时，，即，所以在上单调递减； 当时，，即，所以在上单调递增， 所以，即， 综上，当时，；当时，． 故对任意，都有时，的取值范围为． 【变式6-3】已知函数 、 (1)当，时，求曲线在点 处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围. 【解析】（1）当，时，，则，故切点为. 由，得，所以， 由点斜式得切线方程为，即. （2）对求导，得. 当时，恒成立，故恒成立，在上单调递增，无极值，不符合题意； 当时，令，解得，当时，， 单调递减；当时，，单调递增， 故的极小值为， 由题设极小值小于0，得， 即对任意成立. 令，则， 令，解得，所以，当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 故的最大值为，因此，即的取值范围为. 【变式6-4】（2026·广西柳州·二模）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，记的极小值为，证明：. 【解析】（1）当时，， 所以的定义域为，，， 所以，即在点处的切线斜率为. 由点斜式可知曲线在点处的切线方程为，即 . （2）由知的定义域为，且. ①当时，恒成立，是增函数，没有极小值，不符合题意. ②当时，若，则，所以在上单调递减； 若，则，所以在上单调递增， 所以有极小值，且极小值为，所以. 要证，即，只需证. 令，则， 由复合函数的单调性知在上单调递增， 又， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以在时取得极小值，也是最小值， 所以，即， 即. 1．函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】求导得：， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以当时函数取得最大值为. 2．若函数有唯一极值点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 若函数有唯一极值点，等价于有唯一的变号零点， 当时，，函数在上单调递增， 此时函数无极值点，不满足题意， 当时，由，又因为，所以， 令，问题转化为函数与函数图象只有一个交点， 由， 令，解得：或， 当时，，则函数在上单调递减， 当时，，则函数在上单调递增， 当时，，则函数在上单调递减， 所以函数的极小值为，极大值为， 且当时，，当时，， 即函数的大致图象为： 当时，与有三个交点，不满足题意； 当时，与有两个交点， 一个点的横坐标为，此点为直线与函数的切点， 且在此处不变号；另一个点的横坐标，在此处变号，满足题意； 当时，与只有一个交点，满足题意. 综上所述，的取值范围为：. 3．已知函数有两个极值点，若，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为有两个极值点，且， 所以有两个不等正根， 即， 则，即， 设，则， 因为，所以， 则转化为，解得， 因为，所以， 因为，所以， 则， 令， ， 设， ， 当时，，在 单调递减， 则， 则，在单调递减， 当时（临界），取最大值为， 当，由洛必达法则可知， 综上可得， 令，， 当时，，在单调递增， 因为，所以 因为，所以， 因为在处取得最大值， 方程有两个正根的充要条件是， 因为， 所以. 则取值范围为，故选项B正确. 4．已知函数的最大值为，则的最小值为（    ） A． B． C． D．e 【答案】B 【解析】因为，所以， 若，则恒成立，无最大值. ，令，解得，所以在单调递增，在单调递减， 所以. 那么. ，解得，所以在单调递减，单调递增， 所以. 5．（2026·山东烟台·模拟预测）已知函数，，若，，有，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，，，， 即，则，， 令， ，当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 作函数的草图如下， 由图可知，当时，有唯一解， 故，且，， ∴， 设，，则，令，解得， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 故，即的最大值为. 6．如图是函数的导函数的图象，则在下列区间内，一定存在最大值的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图象可知，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 对于A，在开区间先减后增，无最大值，A错误. 对于B，结合在开区间上的单调性，知为极大值点，开区间内，无法确定端点函数值与极大值的大小关系，故不一定存在最大值，B错误. 对于C，在开区间先增后减，一定有最大值，C正确. 对于D，结合在开区间上的单调性，知为极大值点，开区间内，无法确定端点值与极大值的大小关系，故不一定存在最大值，D错误. 7．已知函数，则的最小值是（    ） A． B． C． D．e 【答案】A 【解析】函数的定义域为，， 令，解得， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以. 8．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数.若关于的方程在区间内恰有两个不同实根，则（    ） A． B．0 C．2 D．或2 【答案】D 【解析】函数，， 当单调递增，当单调递减，当单调递增， 所以的极大值为，的极小值为，且，， 所以的最大值为2，的最小值为， 所以若关于的方程在区间内恰有两个不同实根，则或. 9．（多选题）已知函数有两个极值点，，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】由于，， 设，， ①若，，此时只有一个极值点，矛盾； ②若，，在上单调递增，且， (i)若，则当时，，则，故在上单调递增； 当时，，则，故在上单调递增； 于是在上单调递增，无极值点，不合题意； (ii)若，则，， 于是存在，使，即， 时，，，，在上单调递增； 时，，，，在上单调递减； 时，，，，在上单调递增； 于是，； (iii)若，则，， 于是存在，，， 时，，，，在上单调递增； 时，，，，在上单调递减； 时，，，，在上单调递增； 于是，； ③ 若，由于， 由得；由得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则取得极小值， 若，即时，，，，不合题意； 若，则，， 由零点存在定理，不妨设，存在，， 则，即，， 则在，上单调递增，在上单调递减， 令，则，，则， 于是，， 设，， 取，设，， 则在上单调递增，于是，则， 于是在单调递减， 且，则，且，则. 于是当时，；当时，； 当时，. 若，由于，，则A不可能； 若，，则A有可能； 若，则，若，则有解，故B正确； 若，则；若，由于，若， 由于的解，而且， 则在上无解，从而C错误； 若，则；若，考虑到，则D错误. 10．（多选题）已知函数，下列说法正确的是（   ） A．当， 时，函数的极大值为 B．当， 时，函数存在零点 C．当，不等式恒成立，则 的取值范围为 D．若函数与的图象有交点，则 的取值范围为 【答案】ACD 【解析】对于A，当， 时，， 定义域为，则， 因为， 则，，函数单调递增， ，，函数单调递减， 所以函数的极大值点为 ，极大值为，A正确； 对于B，当， 时，， 则， 当 时， ，当时， ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减， 所以，所以函数不存在零点，B错误； 对于C，当，， 因为不等式恒成立，即，也就是， 令，则， 令，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 即 的取值范围为，C正确； 对于D，当时函数与的图象有交点， 即， 令，则有， 其中函数图象如下， 在单调递减，单调递增， 当时，，，即：，则， 而在上单调递增，所以，即：， 所以由图可知： 当时，两个交点，， 当时一个交点，， 当时，没有交点，故不符合题意， 所以 的取值范围为，D正确. 11．（多选题）设函数，，则下列说法正确的是（    ） A．是偶函数 B．在处取得极小值 C．方程有且仅有一个实根 D．对任意，都有 【答案】ABC 【解析】A.定义域关于原点对称， ，满足偶函数定义，A 正确； B. ， 时，， 单调递减； 时，， 单调递增， 故 是极小值点，在处取得极小值，B 正确； C.构造 ，， 在 上严格单调递减； ，， 由零点存在定理， 在 有唯一零点，方程仅有一个实根，C 正确； D.构造 ， ， ， 令 ，则， 则单调递减， 所以，， 递增；，， 递减， 故 在取最大值，即，D错误. 12．函数的所有极值点之和为_____. 【答案】 【解析】∵，∴ 令得或， 所以当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以为的极大值点，为的极小值点. 函数的所有极值点之和为. 13．若函数（，且）既有极大值又有极小值，则下列说法正确的是________． ①    ②    ③    ④    ⑤ 【答案】①③ 【解析】，定义域为， ， 函数既有极大值又有极小值，所以在定义域上有两个不同的变号零点， 即方程在上有两个不同正根， 所以 由且，可得，， 所以，又，所以，①正确； ，所以，②错误； ，③正确； ，所以，④错误； 由，，可得， 若，，若，，⑤错误. 14．若函数没有极值点，则ab的最大值为________． 【答案】/ 【解析】因为， 则或恒成立， 因为当时，，故只能是恒成立； 令，则，则， 当时，，单调递增，此时无最小值； 当时，由解得； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 故在处取最小值，故， 则，因为，故， 令，则求的最大值即可； ， 令，解得； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减，故的最大值为，故，ab的最大值为． 15．若函数在区间存在最大值，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】因为，所以，令，得或， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取到极大值4. 要使函数在区间存在最大值，则，解得， 所以满足条件的. 16．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数 . (1)判断 的单调性. (2)设 ，其中 . （i）证明： 在 上有唯一的极值点； （ii）若 为 在 上的零点， 为 在 上的极值点，比较 与 的大小，并说明理由. 【解析】（1）函数的定义域为 ， 因， 故 在上单调递增. （2）（i）略（ii）略 17．已知函数． (1)当时，求的极值； (2)若在区间的最小值为7，求实数的值． 【解析】（1）当时，，定义域. ，令得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 因此仅在处取得极小值，极小值为，无极大值. （2）求导得. 因，导数符号由决定，分类讨论： ① 若，即，此时在恒成立，单调递增， 最小值为，令，解得，符合条件； ② 若，即，令，得 . 当 时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以在处取得最小值，即， 令 ，则， 故在上单调递增，又，故，无解. 综上，实数的值为. 18．已知函数． (1)当时，求函数在上的最小值； (2)若是的导函数的极大值点，求的取值范围； (3)证明：． 【解析】（1）当时，，求导得， 令，则， 因，则，，则， 即，故函数在上单调递减， 又因，故存在唯一，使． 当时，，故在上单调递增； 当时，，故在上单调递减； 又， 因为，故在上的最小值为； （2）令， 则， 令，易知，故为奇函数， 而， 当时，有，又因为，有，故在单调递减， 因为为奇函数，则在也单调递减，且， 即当时，，则在单调递增， 当时，，则在单调递减， 又因为，则是的极大值点； 当时，有，令，则， 又因为，有，，故， 则在上单调递减，因为为偶函数，则在上单调递增， 又因为，， 由零点存在性定理，可得在和上各有一个零点，分别记为与， 则当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在单调递增； 又因为，则是的极小值点，不符合题意； 综上所述，，即实数的取值范围是； （3）证明：因为， 由（2）知，当时，在单调递减，， 所以，则函数在上单调递减， 故，即，所以， 所以． 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $ 3．3　导数与函数的极值、最值 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识点梳理 3 知识点一、函数的极值 3 知识点二、函数的最值 3 方法总结1：极值的判断方法 3 方法总结2：利用导数研究函数极值的步骤 3 方法总结3：极值与最值关系 4 方法总结4：已知极值(点)求参数 4 方法总结5：利用导数研究函数最值 4 03 真题回顾 5 04 经典题型归纳总结 9 题型一：结合函数图象判定极值 9 题型二：给定函数的极值求解 10 题型三：由极值（点）条件逆向求参 10 题型四：无参函数的最值求解 11 题型五：含参函数的最值讨论 11 题型六：极值与最值综合应用问题 13 05 课后拓展精练 15 知识点一、函数的极值 极小值：若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，，而且在点附近的左侧，右侧，则把点叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值． 极大值：若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，，而且在点附近的左侧，右侧，则把点叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值． 极小值点、极大值点统称为极值点（的值，不是坐标），极小值、极大值统称为极值． 知识点二、函数的最值 1、函数在区间上有最值的条件： 如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． 2、一般地，求函数在区间上的最大值和最小值的步骤如下： ⑴求函数在区间上的极值； ⑵将函数的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，其中最小的一个是最小值． 方法总结1：极值的判断方法 一般地，求函数的极值的方法是：解方程．当时： ⑴如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值； ⑵如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值． 方法总结2：利用导数研究函数极值的步骤 第一步：确定函数的定义域 第二步：求，并可适当整理；尽量将整理成之积商的形式 第三步：解出方程在定义域内的所有实数根 第四步：将函数，随的变化情况分段标注在数轴上 第五步：确定的极值． 方法总结3：极值与最值关系 函数在有最值在有极值在有解． 方法总结4：已知极值(点)求参数 根据函数的极值(点)求参数的两个要领 (1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解. (2)验证：求解后验证根的合理性. 方法总结5：利用导数研究函数最值 求函数在闭区间上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值，与的各极值进行比较得到函数的最值． 1．（2026·全国一卷·高考真题）已知函数的最大值为1，则（     ） A． B．1 C． D．2 2．（2024·上海·高考真题）已知函数的定义域为，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（   ） A．存在是偶函数 B．存在在处取最大值 C．存在是增函数 D．存在在处取到极小值 3．（多选题）（2025·全国二卷·高考真题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 4．（多选题）（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 5．（多选题）（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 6．（2026·北京·高考真题）已知，给出下列四个结论： ①在上有最小值和最大值； ②，时，有最大值； ③，有3个解； ④，与有4个交点. 其中正确结论的序号是________． 7．（2025·全国二卷·高考真题）若是函数的极值点，则___________ 8．（2026·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求，的值； (2)求的极值点个数； (3)求与交点个数． 9．（2025·上海·高考真题）已知． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 10．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数，其中． (1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； (2)设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数.证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 11．（2025·全国一卷·高考真题）（1）求函数在区间的最大值； （2）给定和，证明：存在使得； （3）设，若存在使得对恒成立，求b的最小值． 12．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域是．对于，定义集合． (1)，求； (2)对于集合，若对任意都有，则称是对称集．若是对称集，证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”； (3)若，．求的取值范围，使得对于任意，都有． 13．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)求的单调区间； (2)当时，证明：当时，恒成立． 14．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，，求的取值范围． 15．（2024·天津·高考真题）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若对任意成立，求实数的值； (3)若，求证：． 16．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 17．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的单调区间； (3)求的极值点个数． 题型一：结合函数图象判定极值 【典例1-1】已知函数的图像是一条连续不断的曲线，且在定义域内处处可导，若为的导函数，则“在处取极值”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．不充分不必要条件 【典例1-2】已知函数（）的导函数是，导函数的图像如图所示，则在内只有（    ） A．1个驻点 B．1个极值点 C．1个极小值点 D．1个极大值点 【变式1-1】（2026·高三·贵州遵义·阶段检测）已知函数的定义域为且导函数为，函数的图象如图，则下列说法正确的是（   ） A．函数的增区间是 B．函数的减区间是 C．是函数的极大值点 D．是函数的极大值点 【变式1-2】如图，已知直线与曲线相切于两点，则有（    ）． A．1个极大值点，2个极小值点 B．2个极大值点，1个极小值点 C．3个极大值点，无极小值点 D．2个极小值点，无极大值点 【变式1-3】函数的导函数的图象如图所示，给出下列选项正确的是（    ） A．是函数的极大值点； B．是函数的最小值点； C．在区间上单调递增； D．在处切线的斜率小于零． 题型二：给定函数的极值求解 【典例2-1】已知函数在处有极大值，则的极小值为（    ） A．4 B．2 C．1 D．0 【典例2-2】若是函数的极大值点，则的极小值为（   ） A． B． C．0 D．4 【变式2-1】已知三次函数的导函数为，若，则函数的极大值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知函数，则的极小值为（   ） A．2 B． C． D． 【变式2-3】（2026·高三·湖南株洲·阶段检测）函数的极小值是____． 题型三：由极值（点）条件逆向求参 【典例3-1】已知函数在处取得极大值0，则________. 【典例3-2】若函数有大于1的极值点，则的取值范围是________． 【变式3-1】（2026·云南昭通·模拟预测）已知函数有2个极值，则的取值范围是________. 【变式3-2】（2026·四川·模拟预测）已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围为_________. 【变式3-3】已知函数在处取极值，且，则的值为____. 【变式3-4】已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围是________． 【变式3-5】已知，函数在处取得极大值，则的取值范围是________． 题型四：无参函数的最值求解 【典例4-1】函数的最小值为______． 【典例4-2】函数在上的最大值为__________． 【变式4-1】函数的最小值为______. 【变式4-2】设函数，，若存在，，使得，则的最大值为________． 【变式4-3】函数，的最小值是______． 【变式4-4】（2026·宁夏银川·模拟预测）函数的最小值为______. 题型五：含参函数的最值讨论 【典例5-1】已知函数． (1)当时，求的图象在处的切线方程； (2)当时，求在区间上的最大值． 【典例5-2】已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若，求函数在区间上的最大值． 【变式5-1】已知函数（）． (1)讨论的单调性； (2)当时，求在上的最小值． 【变式5-2】已知函数 (1)求函数的单调区间和极值； (2)若方程恰有一个实数解，求实数a的取值范围. (3)若函数在区间存在最大值，求m的取值范围. 【变式5-3】（2026·福建泉州·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若在上的最小值为，求. 【变式5-4】已知函数． (1)当时，判断经过点的曲线的切线有多少条； (2)若在区间上的最小值为，求实数a的值． 题型六：极值与最值综合应用问题 【典例6-1】设函数在处取得极值. (1)求a的值，并求的单调区间； (2)若，有，求b的取值范围. 【典例6-2】已知函数，. (1)当时，求的单调区间； (2)若曲线在点处的切线l方程为. （i）求a，k的值； （ii）已知点，（，）在曲线上，若直线AB与l平行，求m. 【变式6-1】已知函数． (1)求的单调区间； (2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围； (3)若是函数的极值点，求证：． 【变式6-2】已知函数，（）． (1)当时，求的单调区间； (2)当时，若存在极小值点，证明：； (3)若对任意，都有，求的取值范围． 【变式6-3】已知函数 、 (1)当，时，求曲线在点 处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围. 【变式6-4】（2026·广西柳州·二模）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，记的极小值为，证明：. 1．函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．若函数有唯一极值点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．已知函数有两个极值点，若，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 4．已知函数的最大值为，则的最小值为（    ） A． B． C． D．e 5．（2026·山东烟台·模拟预测）已知函数，，若，，有，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 6．如图是函数的导函数的图象，则在下列区间内，一定存在最大值的是（   ） A． B． C． D． 7．已知函数，则的最小值是（    ） A． B． C． D．e 8．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数.若关于的方程在区间内恰有两个不同实根，则（    ） A． B．0 C．2 D．或2 9．（多选题）已知函数有两个极值点，，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）已知函数，下列说法正确的是（   ） A．当， 时，函数的极大值为 B．当， 时，函数存在零点 C．当，不等式恒成立，则 的取值范围为 D．若函数与的图象有交点，则 的取值范围为 11．（多选题）设函数，，则下列说法正确的是（    ） A．是偶函数 B．在处取得极小值 C．方程有且仅有一个实根 D．对任意，都有 12．函数的所有极值点之和为_____. 13．若函数（，且）既有极大值又有极小值，则下列说法正确的是________． ①    ②    ③    ④    ⑤ 14．若函数没有极值点，则ab的最大值为________． 15．若函数在区间存在最大值，则的取值范围为__________. 16．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数 . (1)判断 的单调性. (2)设 ，其中 . （i）证明： 在 上有唯一的极值点； （ii）若 为 在 上的零点， 为 在 上的极值点，比较 与 的大小，并说明理由. 17．已知函数． (1)当时，求的极值； (2)若在区间的最小值为7，求实数的值． 18．已知函数． (1)当时，求函数在上的最小值； (2)若是的导函数的极大值点，求的取值范围； (3)证明：． 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $