第七讲 三角恒等变换题型训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以公式体系为基础，以方法提炼为核心，通过高考真题分类训练实现三角恒等变换的系统性突破，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二倍角公式求值|4题|二倍角公式直接应用|从基础公式到变式应用，构建“公式-变形-求值”逻辑链| |两角和差公式化简求值|6题|角的拆分与公式逆用|结合角的变换技巧，强化公式灵活运用能力| |三角形内三角恒等综合|3题|正余弦定理与恒等变换结合|体现知识横向联系，培养综合解题思维| |辅助角公式求区间最值|1题|辅助角公式化一求最值|落实函数思想，提升模型应用意识| |半角公式与弦化切综合|1题|半角公式与弦切互化|深化公式体系，训练转化与化归能力| |正切倍角和角公式计算|2题|正切公式变形应用|聚焦公式专项突破，夯实运算基础| |多单位向量数量积与模长范围|1题|三角变换处理向量坐标|跨知识综合，发展数学应用意识|

高三一轮复习 第七讲 三角恒等变换高考题分类解析 【学习目标】理解记忆两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，并能利用上述公式进行简单的恒等变形. 【学习重点】应用三角函数恒等变换公式进行求值与化简． 【学习难点】熟练应用三角函数恒等变换公式求值与化简． 必掌握知识点 一．两角和与差的正余弦与正切 ①； ②； ③； 二．二倍角公式 ①； ②； ③； 三.降次（幂）公式 四.半角公式 五．辅助角公式 （其中）． 六.积化和差公式 七.和差化积公式： 八.万能公式： 九. 三倍角公式 . .. 十、sin()sin()=， cos()cos()==。 角的变换主要有：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如， ， ，等. 11. 特殊角函数值 , , , 解题方法总结: 1、两角和与差正切公式变形 ； ． 2、降幂公式与升幂公式 ； 3、其他常用变式 4、拆分角问题：①；；②；③； ④；⑤ 注意：特殊的角也看成已知角，如． 必考题型全归纳 题型一 二倍角公式求值（正弦、余弦、正切二倍角） 1．（2026·全国二卷·高考真题）已知为第二象限角，，则（     ） A． B． C． D． 2．（2025·全国二卷·高考真题）已知，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为锐角，，则（    ）． A． B． C． D． 4．（2022·浙江·高考真题）若，则__________，_________． 题型二 两角和差正弦、余弦、正切公式化简求值 5．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·全国甲卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 7．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ）． A． B． C． D． 8．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 9．（2022·北京·高考真题）若函数的一个零点为，则________；________． 10．（2025·上海·高考真题）已知，则__________． 题型三 三角形内三角恒等综合（面积、正余弦定理结合变换） 11．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 12．（2024·全国甲卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 13．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ）． A． B． C． D． 题型四 辅助角公式求区间最值 14．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在上的最大值是______． 题型五 半角公式、弦化切综合计算 15．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则_______. 题型六 正切倍角、和角公式简单计算 16．（2023·上海·高考真题）已知，则=__________. 17．（2022·上海·高考真题）已知，则_________. 题型七 多单位向量数量积、模长范围（三角变换处理坐标） 18．（2025·上海·高考真题）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是_______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三一轮复习 第七讲 三角恒等变换高考题分类解析 【学习目标】理解记忆两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，并能利用上述公式进行简单的恒等变形. 【学习重点】应用三角函数恒等变换公式进行求值与化简． 【学习难点】熟练应用三角函数恒等变换公式求值与化简． 必掌握知识点 一．两角和与差的正余弦与正切 ①； ②； ③； 二．二倍角公式 ①； ②； ③； 三.降次（幂）公式 四.半角公式 五．辅助角公式 （其中）． 六.积化和差公式 七.和差化积公式： 八.万能公式： 九. 三倍角公式 . .. 十、sin()sin()=， cos()cos()==。 角的变换主要有：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如， ， ，等. 11. 特殊角函数值 , , , 解题方法总结: 1、两角和与差正切公式变形 ； ． 2、降幂公式与升幂公式 ； 3、其他常用变式 4、拆分角问题：①；；②；③； ④；⑤ 注意：特殊的角也看成已知角，如． 必考题型全归纳 题型一 二倍角公式求值（正弦、余弦、正切二倍角） 1．（2026·全国二卷·高考真题）已知为第二象限角，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二倍角公式化简可得，结合角的范围分别求出，即可求解. 【详解】由，得： 因为是第二象限角，所以，， 化简得：，即，由于，解得：， 因为，所以，所以 2．（2025·全国二卷·高考真题）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二倍角余弦公式得，则，最后再根据两角差的正弦公式即可得到答案. 【详解】， 因为，则，则， 则.故选：D. 3．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为锐角，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出． 【详解】因为，而为锐角， 解得：．故选：D． 4．（2022·浙江·高考真题）若，则__________，_________． 【答案】 【分析】先通过诱导公式变形，得到的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求出，接下来再求． 【详解】[方法一]：利用辅助角公式处理 ∵，∴，即， 即，令，， 则，∴，即， ∴ ， 则.故答案为：；. [方法二]：直接用同角三角函数关系式解方程 ∵，∴，即， 又，将代入得，解得， 则.故答案为：；. 题型二 两角和差正弦、余弦、正切公式化简求值 5．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两角和的余弦可求的关系，结合的值可求前者，故可求的值. 【详解】因为，所以， 而，所以， 故即， 从而，故，故选：A. 6．（2024·全国甲卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解. 【详解】因为，所以，， 所以，故选：B. 7．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答. 【详解】因为，而，因此， 则， 所以.故选：B 【点睛】：三角函数求值的类型及方法 （1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数． （2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系． （3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围． 8．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解. 【详解】[方法一]：直接法 由已知得：, 即：， 即：所以故选：C [方法二]：特殊值排除法 解法一:设β=0则sinα +cosα =0，取，排除A, B； 再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β，排除D；选C. [方法三]：三角恒等变换 所以 即 故选：C. 9．（2022·北京·高考真题）若函数的一个零点为，则________；________． 【答案】 1 【分析】先代入零点，求得A的值，再将函数化简为，代入自变量，计算即可. 【详解】∵，∴ ∴， 故答案为：1， 10．（2025·上海·高考真题）已知，则__________． 【答案】 【分析】利用同角三角函数关系和余弦的两角和公式求解即可. 【详解】由可得， 所以，故答案为： 题型三 三角形内三角恒等综合（面积、正余弦定理结合变换） 11．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两角和的余弦可求的关系，结合的值可求前者，故可求的值. 【详解】因为，所以， 而，所以， 故即， 从而，故，故选：A. 12．（2024·全国甲卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解. 【详解】因为，所以，， 所以，故选：B. 13．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答. 【详解】因为，而，因此， 则， 所以.故选：B 【点睛】：三角函数求值的类型及方法 （1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数． （2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系． （3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围． 题型四 辅助角公式求区间最值 14．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在上的最大值是______． 【答案】2 【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可. 【详解】，当时，， 当时，即时，.故答案为：2 题型五 半角公式、弦化切综合计算 15．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则_______. 【答案】 【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得，再缩小的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案. 【详解】法一：由题意得， 因为，， 则，，又因为， 则，，则， 则，联立 ，解得. 法二： 因为为第一象限角，为第三象限角，则, ，， 则 故答案为：. 题型六 正切倍角、和角公式简单计算 16．（2023·上海·高考真题）已知，则=__________. 【答案】/ 【分析】由正切的倍角公式求解 【详解】已知，则.故答案为： 18．（2022·上海·高考真题）已知，则_________. 【答案】 【分析】由两角和的正切公式求解即可． 【详解】，故答案为： 题型七 多单位向量数量积、模长范围（三角变换处理坐标） 17．（2025·上海·高考真题）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】利用分段函数值分类讨论，可得，再根据数量积关系设出坐标，利用坐标运算，结合三角恒等变换求解模的范围可得. 【详解】若，则， 又三个向量均为平面内的单位向量，故向量两两垂直，显然不成立； 故.不妨设，则， 不妨设，，则，则， 则 ，由，， 则，，故.故答案为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $