重点强化练(四)导数的几何意义及其应用专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦导数几何意义，以题载法构建从概念到综合应用的逻辑链条，强化数学思维与表达。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|选择1-5、填空12|切线斜率与方程、隐函数求导|从导数几何意义（斜率）到切线方程推导| |综合提升|选择6-8、填空13-14|切线条数、公切线、距离最值|结合函数单调性与方程思想拓展应用| |拓展探究|多选9-11、解答15-17|斜率范围、切线与曲线交点、牛顿迭代法|融合导数与不等式、数列等知识综合考查|

重点强化练(四) 导数的几何意义及其应用 一、选择题:本题共8小题.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的. 1.[2024·福建厦门一模] 已知直线l与曲线y=x3-x在原点处相切,则l的倾斜角为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A. B. C. D. 2.[2025·湖南永州模拟] 函数f(x)=x2+ln x的图象在点(1,1)处的切线方程是 (　 ) A.3x-y-2=0 B.2x-y-2=0 C.3x+y-2=0 D.2x+y-2=0 3.[2024·四川宜宾三模] 若曲线y=ex+a的一条切线方程是y=x-1,则a= (　 ) A.-2 B.1 C.-1 D.e 4.已知函数f(x)=xex+1,过点P(2,1)可作曲线y=f(x)的切线的条数为 (　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 5.[2024·河北邢台一模] 如果方程F(x,y)=0能确定y是x的函数,那么称这种方式表示的函数是隐函数.隐函数的求导方法如下:在方程F(x,y)=0中,把y看成x的函数y=y(x),则方程可看成关于x的恒等式F(x,y(x))=0,在等式两边同时对x求导,然后解出y'(x)即可.例如:求由方程x2+y2=1(y<0)所确定的隐函数的导数y',将方程x2+y2=1(y<0)的两边同时对x求导,则2x+2y·y'=0(y是x的函数,需要用复合函数的求导法则求导),得y'=-(y<0).利用隐函数求导方法可求得曲线xy+ln y=2在点(2,1)处的切线方程为 (　 ) A.x-3y+1=0 B.x+3y-5=0 C.3x-y-5=0 D.2x+3y-7=0 6.已知函数f(x)=若f(x)≥kx恒成立,则k的取值范围是 (　 ) A.(-∞,0] B.(-∞,5] C.(0,5] D.[0,5] 7.已知m>0,n>0,直线y=x+m(m为常数)与曲线y=ln x-n+4(n为常数)相切,则+的最小值是 (　 ) A.4 B.3 C.2 D.1 8.[2025·山东新高考联合质检联考] 若过点(1,m)可以作函数y=(x+1)ex的图象的三条切线,则实数m的取值范围是 (　 ) A.(-4e-2,0) B.(-6e-3,0) C.(-6e-3,2e) D.(e,2e) 二、选择题:本题共3小题.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 9.已知函数f(x)=x3-3x2+1的图象在点(m,f(m))处的切线为lm,则 (　 ) A.lm的斜率的最小值为-2 B.lm的斜率的最小值为-3 C.l0的方程为y=1 D.l-1的方程为y=9x+6 10.已知直线y=kx(k>0)交曲线y=ex于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,其中x1<x2,O为坐标原点,过A,B分别作曲线y=ex的切线,斜率分别为k1,k2,则 (　 ) A.k的取值范围是(e,+∞) B.存在k∈(0,+∞),使A为OB的中点 C.y1+y2>2 D.存在k∈(0,+∞),使两条切线互相垂直 11.[2024·长沙一模] 英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点.如图,在横坐标为x1的点处作f(x)的图象的切线,切线与x轴交点的横坐标为x2,用x2代替x1重复上面的过程得到x3,一直进行下去,得到数列{xn},叫作牛顿数列.若函数f(x)=x2-x-6,an=ln,且a1=1,xn>3,数列{an}的前n项和为Sn,则下列说法正确的是 (　 ) A.xn+1=xn- B.数列{an}是递减数列 C.数列{an}是等比数列 D.S2025=22025-1 三、填空题:本题共3小题. 12.[2025·江苏无锡模拟] 曲线y=在点M(-π,0)处的切线方程为　　　　.  13.[2025·广东深圳中学模拟] 若直线y=kx+b(k,b为常数)与函数y=ex-1和y=ex-2的图象都相切,则b=　　　　.  14.已知A,B分别是曲线y=ln x-和直线y=2x上的点,则|AB|的最小值为　　　　.  四、解答题:本题共3小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.[2025·武汉模拟] 已知f(x)=f'(1)x2-x+2ln x. (1)求f'(1)并写出f(x)的表达式; (2)记g(x)=[f(x)+x2+x]+a,若曲线y=ex+2x在点(0,1)处的切线也是曲线y=g(x)的切线,求a的值. 16.已知函数f(x)=2xln x-+x-1. (1)求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程; (2)若曲线y=f(x)在点A处的切线为l1,函数g(x)=ex-e-x的图象在点B处的切线为l2,l1∥l2,求直线AB的方程. 17.已知函数f(x)=ln x,g(x)=2ex. (1)若直线y=kx+b为曲线y=g(x)的一条切线,求出b与k的函数关系式; (2)当m>1时,过点(m,f(m))的曲线y=f(x)的切线l也与曲线y=g(x)相切,试求直线l的条数. 参考答案 重点强化练(四) 1.C　[解析] 由y'=3x2-1,得y'|x=0=-1,即直线l的斜率为-1,根据倾斜角与斜率关系及其范围知,l的倾斜角为.故选C. 2.A　[解析] 由f(x)=x2+ln x,得f'(x)=2x+,所以f'(1)=2+1=3,所以f(x)=x2+ln x的图象在点(1,1)处的切线方程是y-1=3(x-1),即3x-y-2=0. 3.A　[解析] 由y=ex+a,得y'=ex,设切点坐标为(t,et+a),由et=1,得t=0,∴切点坐标为(0,1+a),代入y=x-1,得1+a=-1,即a=-2. 4.B　[解析] 由f(x)=xex+1,得f'(x)=(x+1)ex.设切点坐标为(x0,x0+1),则切线方程为y-x0-1=(x0+1)(x-x0),把(2,1)代入可得-x0=(x0+1)(2-x0),即-2x0-2=0,因为Δ=12>0,所以该方程有2个不同的实数解,故切线有2条. 5.B　[解析] 由给定定义得,将xy+ln y=2的两边同时对x求导,可得y+xy'+×y'=0,将(2,1)代入,得1+2y'+y'=0,解得y'=-,故切线斜率为-,则切线方程为y-1=-(x-2),即x+3y-5=0.故选B. 6.D　[解析] 设直线y=mx与y=x2+5x(x≥0)的图象相切于点P(x0,y0)(x0≥0),y'=2x+5,则m=2x0+5,所以切线方程为y=(2x0+5)x,又切线过P(x0,y0),所以+5x0=(2x0+5)x0,解得x0=0,所以P(0,0),m=5.作出y=f(x)的图象及直线y=5x,如图,由图象可知,当0≤k≤5时,f(x)≥kx恒成立. 7.D　[解析] 因为y=ln x-n+4,所以y'=,令=,可得x=e,结合题设,将x=e代入,得·e+m=ln e-n+4,即m+n=4,则+=·=≥×(2+2)=1,当且仅当m=n=2时,等号成立,故+的最小值是1. 8.B　[解析] 依题意,设切点坐标为(t,(t+1)et),由y=(x+1)ex,得y'=(x+2)ex,则函数y=(x+1)ex的图象在点(t,(t+1)et)处的切线方程为y-(t+1)et=(t+2)et(x-t),由切线过点(1,m),得m=(t+1)et+(t+2)et(1-t)=(-t2+3)et,令g(t)=(-t2+3)et,依题意,直线y=m与函数y=g(t)的图象有三个交点,g'(t)=(-t2-2t+3)et=-(t+3)(t-1)et,当t<-3或t>1时,g'(t)<0,当-3<t<1时,g'(t)>0,所以函数g(t)在(-∞,-3),(1,+∞)上单调递减,在(-3,1)上单调递增.当t=-3时,函数g(t)取得极小值g(-3)=-6e-3,当t=1时,函数g(t)取得极大值g(1)=2e,当x→-∞时,g(x)<0且g(x)→0,当x→+∞时,f(x)→-∞,因此当-6e-3<m<0时,直线y=m与函数y=g(t)的图象有三个交点,所以实数m的取值范围是(-6e-3,0).故选B. 9.BCD　[解析] 因为f'(x)=3x2-6x=3(x-1)2-3≥-3,所以lm的斜率的最小值为-3,故A错误,B正确.因为f'(0)=0,f(0)=1,所以l0的方程为y=1,故C正确.因为f'(-1)=9,f(-1)=-3,所以l-1的方程为y+3=9(x+1),即y=9x+6,故D正确.故选BCD. 10.ABC　[解析] 在同一坐标系中作出曲线y=ex与直线y=kx(k>0),如图所示.当直线y=kx(k>0)与曲线y=ex相切时,设切点坐标为(a,ea),因为y'=ex,所以k==ea,解得a=1,k=e,因为直线y=kx(k>0)交曲线y=ex于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,所以有k>e,故A正确;当k从e开始增大时,观察图象可知从|OB|<2|OA|变化到|OB|>2|OA|,故必存在一个k,使得|OB|=2|OA|,即A为OB的中点,故B正确;由题得0<x1<x2,所以y1+y2=+>2=2,故C正确;k1=>0,k2=>0,故k1k2≠-1,故D错误.故选ABC. 11.ACD　[解析] f'(x)=2x-1,所以f(x)的图象在点(xn,f(xn))处的切线方程为y-f(xn)=f'(xn)(x-xn),令y=0,得xn+1=xn-=xn-=,故A正确;==,故ln=2ln,即an+1=2an,所以数列{an}是以1为首项,2为公比的等比数列,故B错误,C正确;S2025==22025-1,故D正确.故选ACD. 12.x-πy+π=0　[解析] y'=,可得曲线在点M(-π,0)处的切线斜率k==,所以曲线在点M(-π,0)处的切线方程为y=(x+π),即x-πy+π=0. 13.-2ln 2　[解析] 设直线y=kx+b与函数y=ex-1和y=ex-2的图象的切点分别为P1(x1,),P2(x2,-2),令f(x)=ex-1,g(x)=ex-2,因为f'(x)=ex-1,g'(x)=ex,所以曲线y=ex-1在点P1处的切线方程为y-=(x-x1),整理得y=x+(1-x1),曲线y=ex-2在点P2处的切线方程为y-(-2)=(x-x2),整理得y=x+(1-x2)-2. 因为直线y=kx+b是两函数图象的公切线,所以 由①可得x1-1=x2,代入②得-x2=(1-x2)-2,整理得=2,所以x2=ln 2,代入②得b=(1-ln 2)eln 2-2=-2ln 2. 14.　[解析] 设直线y=2x+c与曲线y=ln x-相切,切点坐标为(t>0),由y=ln x-,求导得y'=+,由+=2,即2t2-t-1=0,得t=1,因此切点坐标为(1,-1),所以|AB|的最小值为=. 15.解:(1)由f(x)=f'(1)x2-x+2ln x,求导可得f'(x)=2f'(1)x-1+, 所以f'(1)=2f'(1)-1+2,解得f'(1)=-1,则f(x)=-x2-x+2ln x. (2)g(x)=[f(x)+x2+x]+a=ln x+a,求导可得g'(x)=.由y=ex+2x得y'=ex+2,故曲线y=ex+2x在点(0,1)处的切线斜率k=e0+2=3,所以曲线y=ex+2x在点(0,1)处的切线方程为y-1=3(x-0),化简可得y=3x+1.令g'(x)==3,解得x=,将其代入切线方程y=3x+1,可得y=2,又g=ln+a,所以ln+a=2,解得a=2+ln 3. 16.解:(1)f(1)=0-+1-1=-,f'(x)=2ln x+2-x2+1=2ln x-x2+3,则f'(1)=2, 所以曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y+=2(x-1),即y=2x-. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),令h(x)=2ln x-x2+3,则h'(x)=-2x=.当0<x<1时,h'(x)>0;当x>1时,h'(x)<0,所以h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以h(x)=2ln x-x2+3在x=1时取得最大值2,即f'(x)≤2. g'(x)=ex+e-x≥2=2,当且仅当x=0时,等号成立,所以g'(x)的最小值为2.因为l1∥l2,所以f'(x1)=g'(x2)=2,得x1=1,x2=0,所以A,B(0,0),所以直线AB的方程为y-0=(x-0),即y=-x. 17.解:(1)设切点为(x0,y0),则y0=2,g'(x)=2ex,则切线方程为y-2=2(x-x0),整理可得y=2x-2x0+2,可得k=2,b=-2x0+2,则x0=ln,可得b=k,故b与k的函数关系式为b=k. (2)f'(x)=,则过点(m,f(m))的曲线y=f(x)的切线方程为y-ln m=(x-m),整理可得y=x+ln m-1. 设直线l与曲线y=g(x)相切于点(x1,2),则有y-2=2(x-x1), 所以2=,即x1=-ln(2m),所以可得y=++,结合方程y=x+ln m-1,可得+=ln m-1,整理可得ln m=1+. 画出y=ln x与y=1+(x>1)的图象,如图所示,当x>1时,两图象只有一个交点,所以ln m=1+在(1,+∞)上只有一个解,即直线l只有一条. 1 学科网（北京）股份有限公司 $