第四章 第5节 第一课时 三角函数的定义域、值域和单调性 训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦三角函数定义域、值域、单调性，通过分层题型系统整合概念应用与性质分析，渗透换元法、整体代换等核心方法，培养逻辑推理与数学思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义域|单选1+多选8|不等式求解、正切函数定义域限制|从基础概念出发，结合三角函数有界性与定义域限制条件| |值域|单选2、4|换元法（二次函数最值）、三角函数有界性|由定义域拓展到函数值范围，衔接代数与三角性质| |单调性|单选3、5、7+填空11|整体代换（复合函数）、图象分析|通过整体代换将复杂函数转化为基本三角函数单调性问题| |综合应用|解答题13、14|周期公式、单调区间求解、方程求解|整合定义域、值域、单调性，形成“概念-性质-应用”完整逻辑链|

第5节　三角函数的图象与性质 第一课时　三角函数的定义域、值域和单调性 一、单选题 1.函数f(x)＝的定义域为(　　) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 2.函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为(　　) A.2－ B.0 C.－1 D.－1－ 3.已知函数f(x)＝cos，则f(x)在[－2，0]上(　　) A.单调递增 B.单调递减 C.先增后减 D.先减后增 4.函数f(x)＝3sin x＋cos 2x的最大值是(　　) A.2 B. C.3 D. 5.(2026·石家庄模拟)已知函数f(x)＝sin＋cos 2x，则f(x)的一个单调递减区间是(　　) A. B. C. D. 6.若函数f(x)＝sin x＋2cos x取最小值时x＝θ，则sin θ＝(　　) A.－ B.－ C. D. 7.已知函数f(x)＝2cos，设a＝f， b＝f，c＝f，则a，b，c的大小关系是(　　) A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.b>a>c 二、多选题 8.下列各函数的定义域正确的是(　　) A.函数y＝tan的定义域为 B.函数y＝的定义域为(k∈Z) C.函数y＝的定义域 D.函数y＝lg(sin 2x)＋的定义域为∪ 9.(2024·新高考Ⅱ卷)对于函数f(x)＝sin 2x和g(x)＝sin，下列说法中正确的有(　　) A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值 C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 三、填空题 10.比较大小:sin　　　　sin.  11.函数y＝|tan x|在上的单调递减区间为　　　　　　　　.  12.(2024·北京卷)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于原点对称.若α∈，则cos β的最大值为　　　　.  四、解答题 13.已知函数f(x)＝2sin(ω>0)的最小正周期为π. (1)求f的值; (2)求函数f(x)的单调递减区间. 14.已知函数f(x)＝2sin＋a＋1. (1)求函数f(x)的单调递增区间; (2)当x∈时，f(x)的最大值为4，求a的值; (3)在(2)的条件下，求满足f(x)＝1，且x∈[－π，π]的x的取值集合. 第5节　三角函数的图象与性质 第一课时　三角函数的定义域、值域和单调性 一、单选题 1.函数f(x)＝的定义域为(　　) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 答案　B 解析　由题意，得2sin x－1≥0， x∈(k∈Z)， 则x∈(k∈Z). 2.函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为(　　) A.2－ B.0 C.－1 D.－1－ 答案　A 解析　因为0≤x≤9，则－≤≤， 所以sin∈. 即y∈[－，2]，所以ymax＋ymin＝2－. 3.已知函数f(x)＝cos，则f(x)在[－2，0]上(　　) A.单调递增 B.单调递减 C.先增后减 D.先减后增 答案　D 解析　∵x∈[－2，0]， ∴2x－∈， ∵－<－4－<－π<－<0， ∴函数f(x)＝cos在[－2，0]上先减后增. 4.函数f(x)＝3sin x＋cos 2x的最大值是(　　) A.2 B. C.3 D. 答案　B 解析　因为f(x)＝3sin x＋cos 2x， 所以f(x)＝3sin x＋1－2sin2x， 令t＝sin x，则t∈[－1，1]， 所以g(t)＝－2t2＋3t＋1＝－2， 所以当t＝时，g(t)max＝， 即当sin x＝时f(x)max＝. 5.(2026·石家庄模拟)已知函数f(x)＝sin＋cos 2x，则f(x)的一个单调递减区间是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　f(x)＝sin＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin. 由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)， 得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)， 所以f(x)的一个单调递减区间为. 6.若函数f(x)＝sin x＋2cos x取最小值时x＝θ，则sin θ＝(　　) A.－ B.－ C. D. 答案　B 解析　f(x)＝sin x＋2cos x＝sin(x＋φ)， 其中sin φ＝，cos φ＝， 因为当x＝θ时，f(x)取得最小值， 所以θ＋φ＝＋2kπ(k∈Z)， 故sin θ＝sin＝－sin＝－cos φ＝－. 7.已知函数f(x)＝2cos，设a＝f， b＝f，c＝f，则a，b，c的大小关系是(　　) A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.b>a>c 答案　A 解析　a＝f＝2cos， b＝f＝2cos， c＝f＝2cos， 因为y＝cos x在[0，π]上单调递减， 又0<<<<π， 所以a>b>c. 二、多选题 8.下列各函数的定义域正确的是(　　) A.函数y＝tan的定义域为 B.函数y＝的定义域为(k∈Z) C.函数y＝的定义域 D.函数y＝lg(sin 2x)＋的定义域为∪ 答案　AD 解析　对于A，函数y＝tan＝－tan， 令x－≠＋kπ，k∈Z， 解得x≠＋kπ，k∈Z， ∴函数y的定义域为，A正确; 对于B，由cos x－≥0，得cos x≥， ∴2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，B错误; 对于C，要使函数式有意义，必须有sin x－cos x≥0. 在同一平面直角坐标系中画出[0，2π]内y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示.在[0，2π]内，满足sin x＝cos x的x为，结合正、余弦函数的周期是2π， 可得所求定义域为 ，C错误; 对于D，由题意可知 即 解得－3≤x<－或0<x<，D正确. 9.(2024·新高考Ⅱ卷)对于函数f(x)＝sin 2x和g(x)＝sin，下列说法中正确的有(　　) A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值 C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 答案　BC 解析　对于A，令f(x)＝0，则x＝，k∈Z， 又g≠0，故A错误; 对于B，f(x)与g(x)的最大值都为1，故B正确; 对于C，f(x)与g(x)的最小正周期都为π，故C正确; 对于D，f(x)图象的对称轴方程为2x＝＋kπ，k∈Z，即x＝，k∈Z， g(x)图象的对称轴方程为2x－＋kπ，k∈Z，即x＝，k∈Z， 故f(x)与g(x)的图象的对称轴不相同，故D错误.故选BC. 三、填空题 10.比较大小:sin　　　　sin.  答案　> 解析　因为y＝sin x在上单调递增且0>－>－>－， 故sin>sin. 11.函数y＝|tan x|在上的单调递减区间为　　　　　　　　.  答案　和 解析　如图，观察图象可知，y＝|tan x|在. 12.(2024·北京卷)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于原点对称.若α∈，则cos β的最大值为　　　　.  答案　－ 解析　因为α与β的终边关于原点对称， 所以β＝2kπ＋π＋α(k∈Z)， 所以cos β＝cos(2kπ＋π＋α)＝－cos α. 因为α∈， 所以cos α∈， 所以cos β∈， 所以cos β的最大值为－. 四、解答题 13.已知函数f(x)＝2sin(ω>0)的最小正周期为π. (1)求f的值; (2)求函数f(x)的单调递减区间. 解　(1)∵f(x)＝2sin的最小正周期为π， ∴＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝2sin， ∴f＝2sin＝2sin＝2. (2)令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)， ∴＋2kπ≤2x≤＋2kπ(k∈Z)， ∴＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)， ∴函数f(x)的单调递减区间 为(k∈Z). 14.已知函数f(x)＝2sin＋a＋1. (1)求函数f(x)的单调递增区间; (2)当x∈时，f(x)的最大值为4，求a的值; (3)在(2)的条件下，求满足f(x)＝1，且x∈[－π，π]的x的取值集合. 解　(1)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z， 所以f(x)的单调递增区间为 ，k∈Z. (2)因为当x＝时，f(x)取得最大值， 即f＝2sin ＋a＋1＝a＋3＝4， 解得a＝1. (3)由f(x)＝2sin＋2＝1， 可得sin＝－， 则2x＋＋2kπ，k∈Z或 2x＋＋2kπ，k∈Z， 即x＝＋kπ，k∈Z或x＝＋kπ，k∈Z， 又x∈[－π，π]， 可解得x＝－，－， 所以x的取值集合为. 学科网（北京）股份有限公司 $