2026年暑假新人教版八年级数学上册第13章三角形讲义

2026年暑假 新人教版初二数学上册 第13章三角形讲义资料 ( A 部分 课堂精讲 ) ( 第1 讲 三角形初步 1 ) ( Ⅰ 认识三角形 ) ( 知识梳理 三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形． 三角形的边：组成三角形的线段叫做三角形的边． 三角形的顶点：相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点． 三角形的角：相邻两边组成的角叫做三角形的内角；三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． A c b B a C D 认识三角形 三角形具有稳定性． 三角形的分类： 锐角三角形 按角分类  直角三角形 Rt Δ;  按边分类  钝角三角形  不等边三角形 等腰三角形   等腰三角形等边三角形 ) ( 1 )三角形的稳定性 下列图形中不具有稳定性的是 ( ) A. B. C. D. 答案：A ( 第 10 页 ) ( 初二数学 ) 学科网（北京）股份有限公司 ( 1 )下列图形不具有稳定性的是 ( ) A. B. C. D. ( 2 )港珠澳大桥全长约为 55 千米，集桥、岛、隧于一体，是连接香港、珠海、澳门的超大型跨海通道，是迄今世界最长的跨海大桥． 如图是港珠澳大桥中的斜拉索桥，索塔、斜拉索、桥面构成了三角形，这样做应用的数学原理是三角形具有 ． 参考答案：1、A 2、稳定性 ( 2 )三角形的分类 如果一个三角形中最长的边所对的角是锐角，那这个三角形是 ( ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上皆有可能 ( 1 观察下面的三角形，其中哪些是锐角三角形，哪些是直角三角形，哪些是钝角三角形？ ) 答案：A ( 2 )已知△ABC 的三边长分别为 a， b， c． (1) 若 a， b， c 满足（a -b )²+ = 0，试判断△ABC 的形状； (2) 若 a = 6， b = 2，且 c 为整数，求△ABC 的周长． 答案：1、锐角三角形：③⑤ 直角三角形：①④⑥ 钝角三角形：②⑦ 2、（1）等边三角形 （2）13、14、15 ( Ⅱ 三角形的主要线段 ) 知识梳理 3. 三角形的三边关系： (1) 三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边． (2) 在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． |b - c| < a < b + c 2．三角形的主要线段 (1) 三角形的高：从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． ① 任意三角形的三条 交于一点，叫做这个三角形的垂心。 ②垂心的性质：锐角三角形的垂心在三角形内部；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外部。 A A C E ( D )F E D C B B D C A B F (2) 三角 线：三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． ① 任意三角形的三条 交于三角形内一点，叫做这个三角形的内心。 ② 内心的性质：三角形的内心是三角形 的圆心 ③ 三角形 到三边距离相等 A F E B D C A A F E F E B D C B D C (3) 三角形的中线：三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． A F O E B D C A A ( F ) ( O )F E E O B D C B D C ① 任意三角形的三条 交于三角形内一点，叫做这个三角形的重心。 ② 重心的性质：若 AD、 BE、 CF 为三角形三边上的中线， O 为三角形的重心，则 AO OD = BO OE = CO OF = 2 1 (4) 三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段． ( 3 )三角形三边关系 下列各组长度的线段中，不能组成三角形的是 ( ) A. 2、 4、 5 B. 3、 3、 6 C. 5、 5、 5 D. 3、 4、 5 答案：B ( 1 )已知等腰三角形的两边长是 5 和 11，则此三角形的周长是 ( ) A. 21 B. 27 C. 23 D. 21 或 27 ( 2 )若 a、 b、 c 为三角形的三边，且 a、 b 满足（a -5 ）2 + （b -3 ）2 = 0，则第三边 c 的取值范围 2<c<8 ． ( 3 )小明用边长分别为 4， 8， x(单位： cm) 长的铁丝围成一个三角形铁架． (1) 若 x 为奇数，求 x 的值； (2) 若围成的三角形铁架为等腰三角形，求这个等腰三角形的周长． 答案：1、B 2、2<c<8 3.(1)5、7、9、11 （2）20cm ( 4 )三角形的高线 如图，四个图形中，线段 BE 是△ABC 的高的图是 ( ) A. B. C. D. 答案：D ( 1 )△ABC 中 BC 边上的高的作法正确的是 ( ) A. B. C. D. ( 2 )如图， △ABC 的边 AB 上的高是 ( ) A. DB B. CF C. AF D. BE 答案：1、D 2、B ( 5 )三角形的角平分线 如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，那么这个三角形是 ． 答案：直角三角形 ( 1 )如图，为了促进旅游业的发展，某地要在三条公路围成的一块三角形平地上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，度假村应建在 ( ) A. 这个三角形任意两个内角平分线的交点处 B. 这个三角形任意两条边垂直平分线的交点处 C. 这个三角形任意两条高线的交点处 D. 这个三角形任意两条中线的交点处 ( 6 )三角形的中线 如图，若 AD 是△ABC 的中线， BD = 4，则 BC 的长度为 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 答案：5、A 6、D 1 如图，在△ABC 中， AD 是△ABC 的高， AE 是△ABC 的中线，若 AD = 6， △ABE 的面积为 15，则 BC 的长为 ( ) A. 10 B. 12 C. 13 D. 14 ( 2 )如图，将三角形纸片 PMN 按下列方式折叠，所得 PQ 为△PMN 中线的是 ( ) A. B. C. D. 3 如图， 已知 AD 、 CE 分别是 △ ABC 、 △ ACD 的中线， AB = 12 cm， AC = 9 cm， △ACD 的周长为 27cm，则△ABD 的周长为 cm，若 S△ACE = 1，则 S△ABC = ． ( 4 )在 △ ABC 中， AB = 15 , AC = 11 ， AD 为中线， 则 △ ABD 与 △ ACD 的周长之差为 ． ( 5 )如图， G 为 △ ABC 的重心， 连结 AG 并延长交 BC 于点 D ， 若 AG = 6 ， 则 AD = ． 6 如图，在△ABC 中，点 O 为三角形的重心， D 为 OC 中点，若△ABC 的面积为 24，则 △BOD 的面积是 ． 变式练习答案：1、A 2、C 3、30，4 4，4 5、9 6、4 ( 7 )三角形三线综合 下列叙述正确的个数为( )． ①三角形的中线、角平分线都是射线； ②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形； ③三角形的三条高交于一点； ④三角形的三条角平分线交于一点． A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 答案：C 1 如图， △ABC 中， ∠1 = ∠2， G 为 AD 的中点，延长 BG 交 AC 于点 E， F 为 AB 边上一点，且 CF ⊥ AD 于点 H ，下列说法错误的是 ( ) A. BG 是△ABD 中边 AD 上的中线 B. AD 是△ABE 中∠BAE 的平分线 C. CH 是△ACH 中 AH 边上的高 D. AH 是△ACF 的角平分线和高 ( 2 )如图， AD 为△ABC 的中线， BE 为△ABD 的中线．若△ABC 的面积为 30,BD = 5，则 △BDE 中 BD 边上的高是 ( ) A. 2 B. 3 C. 6 D. 3 2 ( 3 )如图，下面是三位同学的折纸示意图，则 AD 依次是△ABC 的 ( ) A. 角平分线、高线、中线 B. 中线、高线、角平分线 C. 角平分线、中线、高线 D. 中线、角平分线、高线 ( 4 )如图，在△ABC 中， AD， AF 分别是△ABC 的中线和高， BE 是△ABD 的角平分线． (1) 若 AB = 6， AC = 4，则△ABD 与△ACD 的周长差为 ； (2) 若∠BED = 40°， ∠BAD = 26°，求∠DAF 的大小． 变式答案：1、B 2、B 3、A 4、2，36° ( Ⅲ 与三角形有关的角 ) ( 知识梳理 1 ．三角形内角和定理：三角形内角和是 180° ． A 2 3 1 A 3 2 2 B 1 C B 1 3 2 C D 2. 三角形的外角定理： 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 【注意】三角形的外角和为 360° ； A 3 2 B 1 3 2 C D ) ( 8 )三角形内角和定理 如图：已知 AB ∥ CD， EF ⊥ BD， ∠1 = 50°，则∠2 = ． 答案：40° ( 1 )△ABC 的三边长分别为 a， b， c，由下列条件能判断△ABC 为直角三角形的是 ( ) A. ∠C = ∠A + ∠B B. a:b:c = 2:3:4 C. ∠A + ∠B + ∠C = 180° D. a:b:c = 1:1:2 ( 2 )如图， △ABC 与△AB C 关于直线 l 对称， ∠B = 35°， ∠C = 50°，则∠A 的大小为 ( ) A. 85° B. 90° C. 95° D. 105° ( 3 )如图，在△ABC 中， BO、 CO 分别平分∠ABC 、 ∠ACB．若∠BOC = 120°，则∠A = ． 4 如图，在△ABC 中， AD 是∠BAC 的平分线， DE ⊥ AC，垂足为 E， ∠BAC = 50°，求 ∠ADE 的度数． 变式答案：1、A 2、C 3、60° 4、65° ( 9 )三角形外角定理 如图， ∠1 = 130°， ∠E = 70°，则∠A 的大小是 ( ) A. 10° B. 40° C. 60° D. 80° 答案：C ( 1 )如果一个三角形的三个外角之比为 2:3:4，则与之对应的三个内角度数之比为 ( ) A. 4:3:2 B. 5:3:1 C. 3:2:4 D. 3:2:1 2 如图，在△AEC 中， D 为边 AC 上一点， B 为 CE 延长线上一点，连接 BD 交 AE 于点 F，若∠B = 45°， ∠C = 38°， ∠A = 25°，则∠AFD 等于 ( ) A. 97° B. 83° C. 93° D. 72° ( 3 )某同学将两块三角板按如图所示放置，则下列四个结论：① ∠BAD = ∠CAE ；②若 ∠BFD = ∠C，则 BC ∥ AD；③若∠BAE = 30°，则 AC ∥ DE；④若∠BAE = 45°，则 BC ∥ AD．其中正确的有 ( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 ( 4 )如图， ∠ABD， ∠ACD 的角平分线交于点 P，若∠A = 48°， ∠D = 10°，则∠P 的度数 ( ) A. 19° B. 20° C. 22° D. 25° ( 5 )如图是一个“燕尾形”，已知∠ADC = 105°， ∠ABC = 63°， ∠BAD = 22°，则∠BCD 的度数为 ( ) A. 15° B. 20° C. 22° D. 42° ( 6 )如图，在五角星 ABCDE 中， ∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E = ( ) A. 120° B. 150° C. 180° D. 360° 7 如图， ∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E = °． ( 8 )如图， ∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠F + ∠G + ∠H = ． 变式答案：1、B 2、D 3、C 4、A 5、B 6、C 7、180° 8、720° Bi 变式答案： ( Ⅳ 多边形四大结论 ) 知识梳理 1. 多边形的有关概念： 多边形：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. 凸多边形：如果多边形的任何一边所在直线都使余下的边都在这条直线的同一侧，则称它为凸多边形。 正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.；正 n 边形有 n 条对称轴 多边形的内角：多边形相邻两边所组成的在多边形内部的角叫做多边形的内角，简称多边形的 角. 多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角，叫做多边形的外角.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线. 从 n 边 个 - 3 ，这 对 把多 成 (n - 2 角 nn - 一个 边形共有 条对角线 2. 多边形的内角和、外角和： 多边形内角和定理： n 边形的内角和为 - 2 18 ° 多边形外角和定理：多边形的外角和等于 ，与边数的多少没有关系. 1. 过一点做对角线：连接除本身和相邻顶点以外的其他顶点 2. 一点的对角线将多边形分割成n-2 个三角形→求内角和 3. 外角和=n个平角-内角和=360° ( 10 )多边形对角线 如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将这个多边形分成 4 个三角形，那么从这个多边形的一个顶点出发对角线有 ( ) A. 2 条 B. 3 条 C. 4 条 D. 5 条 答案：B ( 1 )若从多边形的一个顶点可以引出九条对角线，则这个多边形是 ( ) A. 十二边形 B. 十一边形 C. 十边形 D. 九边形 ( 2 )六边形的对角线的条数是 ( ) A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 变式答案1、A 2、B ( 11 )多边形角度问题 八边形的外角和为 ( ) A. 360° B. 720° C. 900° D. 1080° 答案：A ( 1 )一个正 n 边形的每一个内角都是 144°，则 n 的值为 ( ) A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 ( 2 )一个多边形的内角和是其外角和的 4 倍，则这个多边形的边数是 ． 3 如图，五边形 ABCDE 为正五边形， MN ∥ PQ，则∠2 - ∠1 的值为 ( ) A. 36° B. 45° C. 72° D. 90° 4 正六边形 ABCDEF 与正五边形 BGHIJ 按如图方式摆放，点 A， B， G 在一条直线上，则∠JBC 的度数为 ． ( 5 )正五边形 ABCDE 和正方形 CDFG 按如图所示摆放，连接 BG，则∠CBG = ． 变式答案：1、D 2、10 3、C 4、48° 5、81° ( B 部分 课后作业 ) ( 1 )下列说法正确的是 ( ) A. 三角形的三条高所在直线交于一点 B. 三角形的外角大于任何一个内角 C. 三角形的重心是三边中垂线交点 D. 等腰三角形的三条高、三条中线、三条角平分线各自互相重合 ( 2 )如图，将三角形纸片按下面方式折叠，则 AD 分别是△ABC 的 ( ) A. 中线，高，角平分线 B. 高，中线，角平分线 C. 高，角平分线，中线 D. 角平分线，中线，高 ( 3 )下列各组长度的线段，首尾顺次连接可以围成三角形的是 ( ) A. 15， 6， 7 B. 15， 6， 9 C. 15， 6， 12 D. 15， 6， 22 ( 4 )如图， CD、 AE、 CF 分别是△ABC 的高线、角平分线、中线，则下列结论中错误的是 ( ) A. CD ⊥ AB B. ∠CAE = 1 ∠CAB 2 C. AF = BF D. BE = CE ( 5 )从七边形一个顶点出发，最多可引 条对角线． ( 6 )平面上 A、 B、 C 、 D、 E、 F 六点，构成如图所示的图形，则∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠F 度数是 ( ) A. 180° B. 360° C. 540° D. 720° ( 7 )一个三角形的三边长分别为 2， 3a + 1， 11，则 a 的取值范围是 ． ( 8 )命题“三角形的外角一定大于它的内角”，这是 命题． (填“真”或“假”) ( 9 )若一个正多边形的每一个外角都是 36°，则这个多边形的边数是 ． ( 10 )如图，在△ABC 中， ∠A = 80°， ∠B = 60°．若 D 为 BC 延长线上一点，则∠ACD的度数为 ． ( 11 )如图，在△ABC 中， ∠A = 72°， ∠BCD = 31°， CD 平分∠ACB，求∠B 的度数． 课后练习答案;1、A 2、B 3、C 4、D 5、4 6、B 7、<a<4 8、假 9、10 10、140° 11、46° ( A 部分 模型积累 ) ( 第2 讲 三角形初步 2 ) ( Ⅰ 三角形面积等高模型 ) E A B C 同底等高—平行线等积变形 D SΔABC = SΔBCD = SΔBCE （平行线之间距离处处相等） B A A E D C B D 同底等高—中线平分面积 C ∵ AD 为 BC 边上中线 ∴ SΔABD = SΔADC; SΔABE = SΔACE; SΔBDE = SΔDEC 若E点为ΔABC的重心,SΔABE =2SΔBDE A S1 S2 S3 B a b c C 等高不同底—面积比= 底边比 S1:S2:S3 = a:b:c ( 知识梳理 ) ( 1 )平行线等积变形 如图，已知直线 l1 ∥ l2， BC = 3cm， S△ABC = 3cm2，则△A1BC 的高是 ( ) A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 6cm 答案：B ( 第 27 页 ) ( 初二数学 ) 学科网（北京）股份有限公司 ( 1 )如图，已知直线 l1 ∥ l2，点 C1 在直线 l1 上，并且 C1A ⊥ l2， A 为垂足， C2， C3 是直线 l1上任意两点，点 B 在直线 l2 上．设△ABC1 的面积为 S1， △ABC2 的面积为 S2， △ABC3 的面积为 S3，则 S1， S2， S3 的大小关系是( ) A. S1 = S2 = S3 B. S3 > S2 > S1 C. S2 > S3 > S1 D. S2 > S1 > S3 ( 2 )如图，直线 AB ∥ CD， AB = 3，若△ABC 的面积为 8， △BCD 的面积为 20，则线段 CD的长度是 ( ) A. 5 B. 6 C. 6.5 D. 7.5 ( 3 )如图， AB ∥ CD ， AB : CD = 2 : 3 ， △ ABC 的面积是 8 ， 则四边形 ABDC 的面积是 ． 变式答案;1、A 2、D 3、20 ( 2 )面积比= 底边比 如图， △ABC 的面积是 12，点 D、 E、 F、 G 分别是 BC 、 AD 、 BE 、 CE 的中点，则 △AFG 的面积是 ( ) A. 4.5 B. 5 C. 5.5 D. 6 答案：A ( 1 )如图，在△ABC 中， G 是边 BC 上任意一点， D、 E、 F 分别是 AG、 BD、 CE 的中点， S△ABC = 48，则 S△DEF 的值为 ( ) A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 2 如图，在△ABC 中，已知 D， E， F 分别为 BC， AD， CE 的中点，且 S△ABC = 12，则 △BEF 的面积为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3 如图，在 △ABC 中， BD 是边 AC 上的中线， E 是 BD 的中点，连接 AE ， CE ．若 △ABC 的面积为 18，则阴影部分的面积为 ( ) A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 4 在△ABC 中，点 D 是 BC 边上一点，且 CD:BD = 1:2，连接 AD，点 F 为 AD 中点，连接 BF 并延长，交 AC 于点 E．若 S△AEF = 2cm2，则 S△ABC = cm2. 5 如图， D， E， F 分别是△ABC 的边 AB， BC， AC 的中点，连接 AE， BF， CD 交于点 G， △ABC 的面积为 6，设△BDG 的面积为 S1， △CGF 的面积为 S2，则 S1 + S2 = ． ( 6 )如图，在△ABC 中 ， CD 是△ABC 的中线， E 是 BC 上的一点，连接 AE 交 CD 于点 F，若 AF = 3EF，记△AFC 的面积为 S1，四边形 BEFD 的面积为 S2，则 S1 S2 的值为 ． 7 如图， AD 是△ABC 的中线， E 是 AD 的中点，连接 BE， CE．如果△ABC 的面积是 16， 那么图中阴影部分的面积为 ． 变式答案：1、A 2、C 3、B 4、30 5、2 6、 7、 8 ( Ⅱ 三角形倒角模型 ) A D B C 飞镖模型/ 燕尾模型 ∠D = ∠A + ∠B + ∠C B 证明： A D C A D B C A C O B D 八字倒角模型 ∠A + ∠B = ∠C + ∠D 证明： ※推论： ∵ ∠A = ∠C ∴ ∠B = ∠D ∵ ∠A = ∠D ∴ ∠B = ∠C; AB//CD A B 3 4 1 2 C 冰山模型 ∠1 + ∠2 = ∠A + 180° 证明 ( 知识梳理 ) ( 3 )飞镖模型 如图，在△ABC 中， ∠A = 20°， ∠ABC 与∠ACB 的角平分线交于 D1， ∠ABD1 与∠ACD1 的角平分线交于点 D2，依此类推， ∠ABD4 与∠ACD4 的角平分线交于点 D5，则∠BD5C 的度数是 ( ) A. 24° B. 25° C. 30° D. 36° 答案：B ( 1 )如图，已知 BE， CF 分别为△ABC 的两条高， BE 和 CF 相交于点 H ，若∠BAC = 50°，则∠BHC 为 ( ) A. 115° B. 120° C. 125° D. 130° ( 2 )在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果∠A = 52°,∠B = 25°， ∠C = 30°,∠D = 35°,∠E = 72°，那么∠F 的度数是( )． A. 72° B. 70° C. 65° D. 60° 3 如图所示， ∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E 的结果为 ( ) A. 90° B. 360° C. 180° D. 无法确定 ( 4 )如图，若∠EOC = 115°，则∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠F = ． 变式答案：1、D 2、B 3、C 4、230° ( 4 )八字倒角 如图， AB 和 CD 相交于点 O， ∠A = ∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是 ( ) A. ∠B = ∠D B. ∠1 = ∠A + ∠D C. ∠2 > ∠D D. ∠C = ∠D 答案：D ( 1 )如图所示，求∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠F = . 2 如图，求∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 + ∠6 = ． 变式答案：1、360° 2、360° 3 【模型探究】(1) 如图①，已知线段 AD、 BC 相交于点 O，连接 AB、 CD，则有∠A + ∠B = ∠C + ∠D．我们把形如这样的图形称为“八字”模型．甲乙两名同学给出两种不同证明过程如下： 甲同学证明： ∵ ∠A + ∠B + ∠AOB = 180° (① )， ∴ ∠A + ∠B = 180° -∠AOB 同理可得， ∠C + ∠D = 180° -∠COD，又∵ ∠AOB = ∠COD， ∴ ∠A + ∠B = ∠C + ∠D． 乙同学证明： ∵ ∠AOC = ∠A + ∠B(② )， ∠AOC = ∠C + ∠D， ∴ ∠A + ∠B = ∠C + ∠D． 甲同学证明过程的理论依据是：① ；乙同学证明过程的理论依据是：② ． 【模型应用】(2) 如图②，已知线段 AD、 BC 相交于点 O，连接 AB、 CD， AP、 CP 分别平分∠BAD、 ∠BCD． ①若∠B = 30°， ∠D = 20°，求∠P 的度数．补全下面求解过程． 解： ∵ AP、 CP 分别平分∠BAD、 ∠BCD， ∴ ∠1 = ∠2， ∠3 = ∠4．由“八字”模型知， 求解过程缺失 ②若∠B = α， ∠D = β，直接写出∠P = (用含有 α 和 β 的代数式表示)． 【模型拓展】(3) 如图③，已知线段 AD、 BC 相交于点 O，连接 AB、 CD， AP、 CP 分别为 ∠BAD、 ∠BCD 的三等分线， ∠PAD = 1 ∠BAD， ∠PCB = 1 ∠BCD，若∠B = 25°， ∠D = 38°， 3 3 ∠BAD + ∠BCD = 105°，直接写出∠P 的度数= ． 答案：（1）三角形内角和定理，三角形的外角性质（2）25°， （3）49° ( 5 )冰山模型 如图， △ BC 中， ∠A = 65°，直线 DE 交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，则∠BDE + ∠CED = ( )． A. 180° B. 215° C. 235° D. 245° 答案：D ( 1 )如图， 在 △ ABC 中， ∠ B = 58 °， 三角形两外角的角平分线交于点 E ， 则 ∠ AEC = ． 答案：61° ( Ⅲ 三角形中的折叠倒角 ) B 【结论】 ∠A = 1 ∠1 +∠2 2 证明： A 1 E 2 C D A 不压边 B 【结论】 ∠A = 1 ∠1 -∠2 2 证明： E 1 C 2 D A A 压一边 A 【结论】 ∠A = 1 ∠1 +∠2 2 证明： B C D 1 2 E B C 压两边 ( 知识梳理 ) ( 6 )不压边 如图，将△ABC 纸片沿 DE 折叠，使点 A 落在点 A' 处，且 A'B 平分∠ABC， A'C 平分∠ACB，若∠BA'C = 120°，则∠1 + ∠2 的度数为 ( ) A. 90° B. 100° C. 110° D. 120° 答案：D ( 1 )如图, 将△ABC 沿着 DE 翻折, 使 B 点与 B' 点重合, 若∠1 + ∠2 = 80°, 则∠B 的度数为 ( ) A. 20° B. 30° C. 40° D. 50° 答案：C ( 7 )压一边 如图，将三角形纸片 ABC 沿 DE 折叠．当点 A 落在四边形 BCED 的外部时，测量得到∠1 = 70°, ∠2 = 138°，则∠A 的度数为 ( ) A. 28° B. 40° C. 42° D. 52° 答案：A ( 1 )如图，把△ABC 纸片沿 DE 折叠，使点 A 落在图中的 A′ 处，若∠A = 29°， ∠BDA′ = 90°，则∠A′EC 的大小为 ． 答案：32° 2 如图，在△ABC 中， ∠C = 46°，将△ABC 沿直线 l 折叠，点 C 落在点 D 的位置，则∠1 - ∠2 的度数是( )． A. 23° B. 92° C. 46° D. 无法确定 答案：B ( 8 )压两边 如图，把△ABC 沿 EF 对折，折叠后的图形如图所示， ∠A = 60°， ∠1 = 96°，则∠2 的度数为 ( ) A. 30° B. 24° C. 25° D. 26° 答案：B 1 如图，把△ABC 沿 EF 对折，叠合后的图形如图所示．若∠A = 55°， ∠1 = 95°，则∠2 的度数为( )． A. 14° B. 15° C. 28° D. 30° 答案：B ( B 部分 课后作业 )1 已知直线 a ∥ b，点 A、 B、 C 在直线 a 上，点 D、 E、 F 在直线 b 上， AB = EF = 3．若△CEF 的面积为 7，则△ABD 的面积为 ( ) A. 3 B. 6 C. 7 D. 14 2 如图，点 D， E 分别是△ABC 边 BC ， AC 上一点， BD = 2CD， AE = CE，连接 AD， BE 交于点 F，若△ABC 的面积为 18，则△BDF 与△AEF 的面积之差 S△BDF - S△AEF 等于 ( ) A. 3 B. 18 5 C. 9 2 D. 6 3 如图，三角形纸片 ABC 中， ∠A = 65°,∠B = 75°，将∠C 沿 DE 翻折，使点 C 落在 △ABC 外的点 C 处．若∠1 = 20°，则∠2 的度数为 ． ( 4 )如图是一块面积为 10 的三角形纸板，点 D、 E、 F 分别是线段 AF、 BD、 CE 的中点，则阴影部分的面积为 ． ( 5 )如图， △ ABC 的中线 AD 、 BF 交于点 O， 连接 OC ， 若 SΔCOD = 3 ， 则 SΔABF = ． 6 如图， BP 平分∠ABC ，交 CD 于点 F ， DP 平分∠ADC 交 AB 于点 E， AB 与 CD 相交于点 G， ∠A = 42°． (1) 若∠ADC = 60°，求∠AEP 的度数； (2) 若∠C = 38°，求∠P 的度数． ( 7 )如图， AD 为△ABC 的中线， BE 为△ABD 的中线． (1)∠ABE = 15°,  ∠BAD = 26°，求∠BED 的度数； (2) 若△ABC 的面积为 40， BD = 5，则△BDE 中 BD 边上的高为多少． 课后练习答案：1、C 2、A 3、100° 4、 5、9 6、（1）72° （2）40° 7、（1）41° （2)4 $