专项训练05 二次函数中的特殊四边形存在性问题（巩固培优）新九年级数学新教材人教版

**基本信息** 聚焦二次函数中特殊四边形存在性问题，构建“思路-技巧-方法”三阶体系，以平行四边形为基础，层层递进至矩形、菱形、正方形，实现知识逻辑与解题方法的系统整合。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平行四边形存在性|2道典型题|中点坐标公式+向量平行，代数几何结合|以对边/对角线分类，奠定四边形存在性基础| |矩形存在性|2道典型题|中点公式+勾股定理/斜率积-1，先平行四边形再验直角|平行四边形+直角，特殊化拓展| |菱形存在性|2道典型题|距离公式+斜率积-1，先平行四边形再验邻边等/对角线垂直|平行四边形+邻边相等，特殊化拓展| |正方形存在性|2道典型题|距离公式+斜率积-1+中点重合，矩形/菱形再特殊化|矩形+菱形双重特殊化，知识逻辑终点|

专项训练05 二次函数中的特殊四边形存在性问题 【知识点1 二次函数中的平行四边形存在性问题】 1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P、Q，分以AB为边或对角线两类，利用平行四边形对边平行且相等或对角线互相平分性质分析。 2.解题技巧：用中点坐标公式（对角线中点重合）列方程，结合抛物线表达式消元；借向量平行（坐标差相等）简化关系，注意动点范围。 3.解题方法：代数法联立中点或向量方程求解；辅以几何法（平移定点得动点轨迹），验证四点不共线及图形合理性。 【知识点2 二次函数中的矩形存在性问题】 1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P、Q，分以AB为边或对角线，利用矩形“对角线互相平分且相等”或“平行四边形+一角为直角”的性质分析。 2.解题技巧：用中点坐标公式（对角线中点重合）和勾股定理（对角线等长）列方程，借抛物线表达式消元；结合斜率（垂直时积为-1）验直角，限定动点范围。 3.解题方法：代数法联立对角线条件方程求解；先证平行四边形再验证直角（斜率法），结合图形验合理性。 【知识点3 二次函数中的菱形存在性问题】 1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P、Q，分以AB为边（邻边相等）或对角线（对角线垂直平分）两类，利用菱形“四边相等”或“平行四边形+邻边相等”性质分析。 2.解题技巧：用距离公式表边长（四边相等），中点坐标公式（对角线平分），斜率乘积-1（对角线垂直）列方程，结合抛物线消元，限定动点范围。 3.解题方法：代数法联立平行四边形与邻边相等方程；先证平行四边形，再验四边相等或对角线垂直，结合图形验合理性。 【知识点4 二次函数中的正方形存在性问题】 1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P、Q，分以AB为边（邻边等且垂直）或对角线（对角线等且垂直平分），利用正方形“四边等+四角直”或“菱形+矩形”性质分析。 2.解题技巧：用距离公式（边等）、斜率积-1（垂直）、中点重合（对角线平分）列方程，借抛物线消元，结合图形限动点范围。 3.解题方法：代数法联立邻边等与垂直方程；先证矩形再验邻边等，或先菱形再验直角，结合图形验合理性。 【题型1 二次函数中的平行四边形存在性问题】 1．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)是直线下方抛物线上的一动点，连接，，当的面积最大时，求点的坐标； (3)是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的坐标是或或 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （１）由直线求出B，C坐标，再运用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）首先过点E作y轴的平行线交直线于点G，交x轴于点F，然后设点E的坐标是，则点G的坐标是，求出的值是多少；最后根据三角形的面积的求法，求出，进而判断出当面积最大时，点E的坐标； （3）在抛物线上存在点P，使得以P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形．然后分三种情况讨论，根据平行四边形的特征，求出使得以P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形的点P的坐标是多少即可． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与y轴交于点B， ∴点B，C的坐标分别为，． 把点，代入抛物线， 得：， 解之，得 ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图，过点E作轴，交直线于点G，交x轴于点F， 设点E的坐标为，则点的坐标为， ∴． ∴． ∴当时，的面积就最大． 此时点E的坐标为． （3）解：存在．由抛物线 ∴对称轴是直线． ∵Q是抛物线对称轴上的动点， ∴点Q的横坐标为1． ①当为边时，点B到点C的水平距离是4， ∴点Q到点P的水平距离也是4． ∴点P的横坐标是5或， ∴点P的坐标为或； ②当为对角线时，点到点C的水平距离是3， ∴点B到点P的水平距离也是3， ∴点P的坐标为． 综上所述，在抛物线上存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标是或或． 2．如图，抛物线与轴相交于、两点（点在点的左侧），与轴相交于点，顶点为，连接，与抛物线的对称轴交于点． (1)求点、点的坐标和抛物线的对称轴； (2)求直线的函数关系式； (3)点为线段上的一个动点，过点P作交抛物线于点．设点的横坐标为；用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时，四边形为平行四边形？ 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为，抛物线的对称轴为直线； (2)直线的函数关系式为； (3)线段的长为，当时，四边形为平行四边形． 【分析】（1）根据题意，分别将、与抛物线的解析式联立，即可得点、点的坐标，将系数代入即可得抛物线的对称轴； （2）设直线的函数关系式为，代入点、点的坐标可得和，即可得直线的函数关系式； （3）根据题意可知，点和点的横坐标均为，点和点的横坐标均为，代入对应的解析式，可得纵坐标，根据位置关系即可求得线段长度，由平行四边形的判定定理，，即可得的值． 【详解】（1）解：在中， 当时，， 当时，由，得，， 结合题意可得，，， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 答：点的坐标为，点的坐标为，抛物线的对称轴为直线． （2）解：设直线的函数关系式为， ∵，， ∴， 解得，， ∴， 答：直线的函数关系式为． （3）解：根据题意可知，点和点的横坐标均为，点和点的横坐标均为， 在中， 当时，， 当时，， ∴，， 在中， 当时，， 当时，， ∴，， ∵点在线段上， ∴点在点的上方， ∴， ∵， ∴当时，四边形为平行四边形， ∴，， ∴， 答：线段的长为，当时，四边形为平行四边形． 【题型2 二次函数中的矩形存在性问题】 3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴分别相交于A，B两点，与y轴交于点C，直线经过B、C两点． (1)求抛物线的表达式； (2)抛物线的顶点为M，点N是y轴上一点，点Q是平面内一点，是否存在以B、M、N、Q为顶点的四边形是以BM为边的矩形？若存在，请求出点N、Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与几何的综合等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． （1）先根据一次函数解析式求出点B、C的坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）先根据二次函数的性质求得顶点为，设，然后分、和三种情况，分别画出图形并运用矩形的对角线相等且相互平分列方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵B、C分别是直线与x轴，y轴的交点， ∴点B的坐标为，点C的坐标为， ∵B、C在抛物线上， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴顶点， 设， ①如图：当时， 则，解得：， ∴； ②如图：当时， 则，解得：， ∴． 所以或． 4．如图1，若二次函数的图象与x轴交于点、B，与y轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)求三角形的面积； (3)若点P是抛物线在一象限内上方一动点，连接，是否存在点P，使四边形的面积为18，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； (4)如图2，若点Q是抛物线上一动点，在平面内是否存在点K，使以点B、C、Q、K为顶点，为边的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)10； (3)存在，； (4)存在，或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活应用矩形和等腰直角三角形的性质是解题的关键． （1）将点和代入，解得，即可得解； （2）令，得，，又可知，再利用三角形的面积公式求； （3）由已知可得的面积为8，求出直线的解析式为，过P点作轴，交于点M，设，则，则，求出，则； （4）设，当当时时，过点Q作轴交H点，过K作轴交G点， ，证明，得到，则，所以；当时，与x轴的交点为F，与y轴的交点为H， 证明，则有，求得，则，可求． 【详解】（1）的图象过点和， ， 解得 抛物线的解析式的解析式为 （2）令，则，解得或， ∴， ∴， ∴； （3）存在，理由如下： ∵四边形的面积为18， ∴的面积为8， 设直线的解析式为， 将点代入，得， ∴直线的解析式为， 过P点作x轴，交于点M， 设，则， ， ∴， ∴； （4）存在，或． 理由如下： 设，当时，如图1， ∵矩形是以为边， ∴， 过点Q作轴交H点，过K作轴交G点， ∵， ， ， ， ∴或（舍）， ∴， ∴； 当时，如图2， ∵矩形是以为边， ∴， 设与x轴的交点为F，与y轴的交点为H， 过点Q作轴交G点，过K作轴交E点， ， ， ∴或（舍）， ∴， ∴ 综上，或； 【题型3 二次函数中的菱形存在性问题】 5．如图，抛物线 与x轴交于两点，与y轴交于点C，对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方的抛物线上一个动点，求四边形面积的最大值及此时P点的坐标； (3)点F是直线l上一点，点G是平面内一点，是否存在以为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形面积的最大值为9，此时点P的坐标为； (3)或或或 【分析】1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）连接，设点P的坐标为，再由四边形面积，结合二次函数的性质解答，即可求解； （3）设点F的坐标为，分两种情况： 当为边，为对角线时，；当为边，为对角线时，，即可求解． 【详解】（1）解：把点代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵点， ∴， 当时，， ∴点， ∴， 如图，连接， 设点P的坐标为， ∴四边形面积 ， ∵， ∴当时，四边形面积最大，最大值为9， 此时点P的坐标为； （3）解：∵点， ∴抛物线的对称轴为直线， 设点F的坐标为， 当为边，为对角线时，， 即， ∴， 解得：， ∴点F的坐标为或； 当为边，为对角线时，， 即， ∴， 解得：， ∴点F的坐标为或； 综上所述，点F的坐标为或或或． 6．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称． (1)求该抛物线的解析式； (2)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D ①当三角形面积最大时，请求出点C的坐标和三角形面积的最大值． ②在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①；  ②存在；或2 【分析】本题考查二次函数的综合应用，菱形的性质，两点间距离公式，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）①求出直线表达式为，设，则，，由得到，再转化为二次函数求最值； ②分为菱形的边和菱形的对角线两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称， ∴， 解得：， ∴； （2）解：①当， ∴ 设直线表达式为：， ∴， 解得：， ∴设直线表达式为， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，面积最大值为， ∴此时； ②存在点以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形， 此时，，， 当B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况： ①当为边时，则：，即， 解得：（舍去）或， 此时菱形的边长为； ②当为对角线时，则：，即：， 解得：或（舍去） 此时菱形的边长为：； 综上：存在以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或2． 【题型4 二次函数中的正方形存在性问题】 7．如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于，两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点是第二象限抛物线上的动点，轴，交直线于点，点在轴上，点在坐标平面内，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在点，点的坐标为或 【分析】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及性质，正方形的性质，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）将、两点坐标代入到中，利用待定系数法求函数解析式． （2）由题意和可得点坐标，与点坐标代入一次函数，中解出解析式，从而得出点坐标，再分两种情况：①当为正方形的一条边时，②当为正方形的对角线时，根据正方形的性质，即可求解． 【详解】（1）将，代入中， 得， 解得： 抛物线的函数表达式为． （2）由题意和可得， ， 可设直线的函数表达式为：， 将代入得：， ， 直线的函数表达式为. 设（），分两种情况： ①当为边时，如图1，四边形是正方形（点、可互换位置）. 则， 故的纵坐标与的纵坐标相等为， 将代入中，可得的横坐标为， 则点E的坐标为， ，即， 解得（，要舍）或， 点的坐标为． ②当为对角线时，如图2，连接，过点作轴于点H， ，， 易得， 则， 则的纵坐标为， 点的坐标为． 点在直线上， ， 解得或2（，要舍）， 点的坐标为． 综上可得：存在点，使以，，，为顶点的四边形是正方形，点的坐标为或． 8．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，D为抛物线的顶点． (1)求a，b的值． (2)如图2，连接，在线段上有一动点P（不与点O，B重合），过点P作轴，交直线于点E， ①当直线经过点D时，求的长； ②以为边在的左侧作正方形，当点F在抛物线上时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）直接利用待定系数法求解，即可解题； （2）①根据抛物线得到、的坐标，设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，进而推出点的坐标，即可解题； ②设点P的坐标为，进而得到点的坐标为，结合正方形性质得到点的坐标为，根据点F在抛物线上，建立等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：抛物线经过点，， ， 解得； （2）解：①由（1）知，抛物线解析式为， ，， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 轴， 当直线经过点D时， 有，则， ； ②设点P的坐标为， 轴， 点的坐标为， ， 在的左侧作正方形，且点F在抛物线上， ， 点的坐标为， 且， 整理得， 解得或， 动点P不与点O，B重合， ， 点P的坐标为． 1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴分别相交于A，B两点，与y轴交于点C，直线经过B、C两点． (1)求抛物线的表达式； (2)抛物线的顶点为M，点N是y轴上一点，点Q是平面内一点，是否存在以B、M、N、Q为顶点的四边形是以BM为边的矩形？若存在，请求出点N、Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与几何的综合等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． （1）先根据一次函数解析式求出点B、C的坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）先根据二次函数的性质求得顶点为，设，然后分、和三种情况，分别画出图形并运用矩形的对角线相等且相互平分列方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵B、C分别是直线与x轴，y轴的交点， ∴点B的坐标为，点C的坐标为， ∵B、C在抛物线上， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴顶点， 设， ①如图：当时， 则，解得：， ∴； ②如图：当时， 则，解得：， ∴． 所以或． 2．如图，已知抛物线：与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，，顶点为D． (1)求此函数的关系式； (2)在下方的抛物线上，是否存在一点N，使面积最大？最大面积是多少？ (3)E在对称轴上，F在抛物线上，若以A，O，E，F为顶点形成平行四边形，求出点E，F的坐标． 【答案】(1) (2)存在， (3)或或 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）求出坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，过点作轴于点，交于点，设点的坐标为，分割法表示出的面积，转化为二次函数求最值即可； （3）分为边，和为对角线，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：， ， 代入，得： ， 解得：； ∴此函数的解析式为； （2）解：存在．的面积最大为， 如图1，过点作轴于点，交于点， 设的解析式为，将代入，得：， ∴直线解析式为， 设点的坐标为， 则点的坐标为， ， ∴， ∴当时，此时，的面积最大为； （3）如图2，抛物线对称轴为， ①以为边，则，且． 设，则， ，解得， 当时，；当时，； 故或； ②以为对角线，则与互相平分， 设 的中点 ． 把代入，得． ， 综上所述，或或． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的函数解析式； (2)P为直线上方抛物线上一动点，当的面积最大时，求点P的坐标； (3)Q是对称轴上一动点，R是平面内任意一点，当以B，C，Q，R为顶点的四边形为菱形时，求点R的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或或 【分析】（1）将代入，再建立方程组求解即可； （2）先直线的函数解析式为．如图1，过点作轴于点，交直线于点，连接．的面积．当取得最大值时，的面积最大．设点的坐标为，则点的坐标为，再进一步建立二次函数求解即可； （3）如图2，设直线与轴交于点．可得．①当为对角线时，，②当为对角线时，如图3，过点作垂直于对称轴于点，则，③如图4，当为对角线时，设点的坐标为，再进一步利用菱形的性质建立方程求解即可． 【详解】（1）解： 抛物线与轴交于两点， 将代入， 得， 解得， ∴抛物线的函数解析式为． （2）解：令，则， 点． 设直线的函数解析式为． 将代入，得， 解得， 直线的函数解析式为． 如图1，过点作轴于点，交直线于点，连接． 的面积． 当取得最大值时，的面积最大． 设点的坐标为，则点的坐标为， ． ， 当时，取得最大值，的面积最大， 此时点的坐标为． （3）解：抛物线的对称轴为直线． 如图2，设对称轴与轴交于点． ， ， ． ①当为对角线时，， ， 点的坐标为，点的坐标为． 根据平移的性质，点向左平移2个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点， 点向左平移2个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点． 同理得到点； ②当为对角线时， 如图3，过点作垂直于对称轴于点， 则， ， 点的坐标为，点的坐标为， 同理，点，点； ③如图4，当为对角线时， 设点的坐标为， ，即，解得， 点的坐标为， 同理，点的坐标为． 综上，点的坐标为或或或或． 4．如图，在平面直角坐标系中，将一个正方形放在第一象限斜靠在两坐标轴上，且点，的坐标分别为，，抛物线经过点． (1)求点的坐标； (2)求抛物线的表达式，并求出其顶点坐标； (3)在抛物线上是否存在点与点（点，除外）使四边形为正方形？若存在，请求出，的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，顶点坐标为； (3)， 【分析】（1）如图，作轴于点，证明出，得到，，进而求解即可； （2）利用待定系数法求出抛物线的解析式为，即可得到顶点坐标为； （3）如图，以为边在的左侧作正方形，过作于，轴于，同（1）可证，求出点坐标为，点坐标为．然后分别代入抛物线验证即可． 【详解】（1）如图，作轴于点， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴点坐标为； （2）∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为 ∴顶点坐标为； （3）在抛物线上存在点、，使四边形是正方形． 如图，以为边在的左侧作正方形，过作于，轴于， 同（1）可证， ∴，， ∴点坐标为，点坐标为． 由（2）抛物线， 当时，；当时，． ∴、在抛物线上． 故在抛物线上存在点、，使四边形是正方形． 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）与轴交于、两点，与轴交于点，点是抛物线上一个动点． (1)求该抛物线的解析式： (2)若，请求出点的坐标； (3)连接，直线上有一动点，点为坐标平面上一个动点，若以、、、四点为顶点的四边形为正方形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)该抛物线的解析式为 (2)点的坐标为 或 (3)点的坐标为或 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，正方形的性质，分类讨论是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）设点的纵坐标为，由可得，求出，即可求解； （3）分两种情况讨论：当为正方形的对角线时，当为正方形的边时，即可求解． 【详解】（1）解：将、分别代入， 得：， 解得：， 该抛物线的解析式为：； （2），， ， 在抛物线中，令，则， ， 设点的纵坐标为， ， ， 即， 解得：， 当时，，解得：或， 点的坐标为 或， 当时，，方程无实数根， 综上所述，点的坐标为 或； （3），， ， 是等腰直角三角形， ， 若以、、、四点为顶点的四边形为正方形时，则为等腰直角三角形， 当为正方形的对角线时，即为等腰直角三角形的斜边时，如图，此时点与重合， ； 当为正方形的边时，， 设直线的解析式为， 将，代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 易得直线的解析式为， 联立， 解得：或（舍去）， ； 综上所述，点的坐标为或． 2．如图，抛物线的顶点为，与轴交于点，与轴交于，两点（点在点的左侧）． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，，，试证明为直角三角形； (3)若点在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点，使以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)见解析； (3)存在，或或． 【分析】本题考查了二次函数的性质，函数图象交点问题，待定系数法求解解析式，掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． （）利用待定系数法求解解析式即可； （）由解析式求出点的坐标分别为、，然后利用两点距离公式求出，，，最后通过勾股定理逆定理即可求解； （）分或或为对角线时即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴设， 将点的坐标代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）证明：∵抛物线的解析式为， ∴当时，，解得，， ∴点的坐标分别为、， 由点的坐标得，，，， ∴， ∴为直角三角形； （3）解：存在，理由： ∵抛物线的解析式为， ∴对称轴为直线x＝﹣1， ∴设点，点的横坐标为， 当为对角线时， 由中点坐标公式得：，则， 则点； 当或为对角线时， 同理可得：或，则或， ∴点或， 综上，或或． 3．综合与探究 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)图2中，对称轴直线与轴交于点H，连接，求四边形的面积； (3)点是直线上一点，点是平面内一点，是否存在以BC为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）因为抛物线经过点，两点，所以由待定系数法即可求解； （2）先待定系数法求出直线的表达式为：，再由四边形的面积，即可求解； （3）分两种情况：①当为边，为对角线时；②当为边，为对角线时，根据菱形的性质即可求解． 【详解】（1）抛物线经过点，两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为：． （2）解：由抛物线的表达式知，点，其对称轴为直线，点， 连接交直线于点， 设直线的表达式为 把，代入 得 解得 直线的表达式为：， 当时，， 即点， 则， 则四边形的面积 ； （3）解：由（2）得抛物线的对称轴为直线， 设点F的坐标为， ①当为边，为对角线时，， ， ， 解得， 点F的坐标为或； ②当为边，为对角线时，， ， ， 解得， 点F的坐标为或， 综上所述，点F的坐标为或或或． 4．如图，抛物线与轴交于，顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)为抛物线上一点，当时，求点坐标； (3)点是轴上的一个动点，点是坐标平面内一个动点，是否存在这样的点、，使得以为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出的坐标；若不存在说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，或，或，或，，使得以为顶点的四边形是矩形． 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）如图，把绕着点逆时针旋转到位置，过点作轴于点，可证，得到，，即可得，过点作的垂线交于点，交抛物线于点，可知，，利用中点坐标公式可得，再利用待定系数法求出直线的函数解析式，最后联立两函数解析式解方程组即可求解； （）先求出顶点的坐标，设，，分为矩形的对角线、为矩形的对角线和为矩形的对角线三种情况，画出图形，利用矩形的性质和勾股定理解答即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，把代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，把绕着点逆时针旋转到位置，过点作轴于点，则，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 过点作的垂线交于点，交抛物线于点， ∵，， ∴，， 即点为的中点， ∴， 即， 设直线的函数解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 由，解得，， ∴； （3）解：存在． ∵， ∴， 设，， ①当为矩形的对角线时，如图， ∵， ∴， 整理得，， 解得， ∴ ∴对角线交点的坐标为， ∴，， ∴，， ∴； ②当为矩形的对角线时，如图， ∵， ∴， 整理得，， ∴， ∴， ∴对角线交点的坐标为， ∴，， ∴，， ∴； ③当为矩形的对角线时，如图， ∵， ∴， 整理得，， 解得，， ∴或， ∵对角线交点的坐标为， ∴当时，，， ∴，， ∴； 当时，，， ∴，， ∴； 综上，存在，或，或，或，，使得以为顶点的四边形是矩形． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专项训练05二次函数中的特殊四边形存在性问题 知识复盘卡 【知识点1二次函数中的平行四边形存在性问题】 1解题思路：确定抛物线定点（如A、B),设动点P、Q,分以AB为边或对角线两类，利用平行四边形对 边平行且相等或对角线互相平分性质分析。 2解题技巧：用中点坐标公式（对角线中点重合)列方程，结合抛物线表达式消元；借向量平行（坐标差 相等)简化关系，注意动点范围。 3解题方法：代数法联立中点或向量方程求解：辅以几何法（平移定点得动点轨迹），验证四点不共线及 图形合理性。 【知识点2二次函数中的矩形存在性问题】 1解题思路：确定抛物线定点（如A、B),设动点P、Q,分以AB为边或对角线，利用矩形“对角线互相 平分且相等”或“平行四边形+一角为直角”的性质分析。 2.解题技巧：用中点坐标公式（对角线中点重合）和勾股定理（对角线等长）列方程，借抛物线表达式消 元；结合斜率（垂直时积为-1）验直角，限定动点范围。 3解题方法：代数法联立对角线条件方程求解；先证平行四边形再验证直角（斜率法），结合图形验合理 性。 【知识点3二次函数中的菱形存在性问题】 1解题思路：确定抛物线定点（如A、B),设动点P、Q,分以AB为边（邻边相等）或对角线（对角线垂 直平分)两类，利用菱形“四边相等”或“平行四边形+邻边相等”性质分析。 2解题技巧：用距离公式表边长（四边相等），中点坐标公式（对角线平分），斜率乘积-1（对角线垂 直)列方程，结合抛物线消元，限定动点范围。 3.解题方法：代数法联立平行四边形与邻边相等方程；先证平行四边形，再验四边相等或对角线垂直，结 合图形验合理性。 【知识点4二次函数中的正方形存在性问题】 1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B),设动点P、Q,分以AB为边（邻边等且垂直）或对角线（对角 119 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 线等且垂直平分)，利用正方形“四边等+四角直”或“菱形+矩形”性质分析。 2解题技巧：用距离公式（边等）、斜率积-1（垂直）、中点重合（对角线平分）列方程，借抛物线消元， 结合图形限动点范围。 3解题方法：代数法联立邻边等与垂直方程；先证矩形再验邻边等，或先菱形再验直角，结合图形验合理 性。 培优拓展训练 ★巩固提升练 【题型1二次函数中的平行四边形存在性问题】 1.如图，直线y=x-4与x轴交于点C,与y轴交于点B,抛物线y=x-x+C经过B,C两点. 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)E是直线BC下方抛物线上的一动点，连接BE,CE,当△BEC的面积最大时，求点E的坐标： (3)Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P,使得以P,Q,B,C为顶点的四边形是平行 四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 2.如图，抛物线y=-x+2x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C,顶点 为D,连接BC,BC与抛物线的对称轴交于点E, (1)求点B、点C的坐标和抛物线的对称轴： 219 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)求直线BC的函数关系式： (3)点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F.设点P的横坐标为m;用含m的代 数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？ 【题型2二次函数中的矩形存在性问题】 3.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=-x+br+C与x轴分别相交于A,B两点，与y轴交于点 C,直线y=-x+3经过B、C两点. B (1)求抛物线的表达式： (2)抛物线的顶点为M,点N是y轴上一点，点O是平面内一点，是否存在以B、M、N、Q为顶点的四边形 是以BM为边的矩形？若存在，请求出点N、Q的坐标；若不存在，请说明理由 4.如图1，若二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于点A(-1,0)、B,与y轴交于点C(0,4),连接 AC、BC B 图1 图2 (1)求抛物线的解析式. (2)求三角形ABC的面积： (3)若点P是抛物线在一象限内BC上方一动点，连接PB、PC,是否存在点P,使四边形ABPC的面积为 18,若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由： (④)如图2，若点Q是抛物线上一动点，在平面内是否存在点K,使以点B、C、Q、K为顶点，BC为边的 319 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标：若不存在，请说明理由. 【题型3二次函数中的菱形存在性问题】 5.如图，抛物线y=a2+bx-2与x轴交于A(-1,0),B(4,0)两点，与y轴交于点C,对称轴为直线1. YA B 图1 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)点P是直线BC下方的抛物线上一个动点，求四边形ACPB面积的最大值及此时P点的坐标； 3)点F是直线I上一点，点G是平面内一点，是否存在以BC为边，以点B,C,F,G为顶点的菱形？若 存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由， 6.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx+3经过点A(3,0),与y轴交于点B,且关于 直线x=1对称. (1)求该抛物线的解析式： (2)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线AB于点D ①当三角形ACB面积最大时，请求出点C的坐标和三角形ACB面积的最大值 ②在y轴上是否存在点E,使得以B,C,D,E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若 不存在，说明理由. 【题型4二次函数中的正方形存在性问题】 7.如图，已知抛物线y=a2+br+2(a<0)与y轴交于点C,与x轴交于A(-l,0),B(2,0)两点. 4/9 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 备用图 (1)求抛物线的函数表达式： (②)若点D是第二象限抛物线上的动点，DE‖x轴，交直线BC于点E,点G在x轴上，点F在坐标平面内， 是否存在点D,使以D,E,F,G为顶点的四边形是正方形？若存在，求点D的坐标：若不存在，请说 明理由. 8.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=r+br+4经过点A(-2,0),B(4,0),D为抛物线的顶点. y外D D B B衣 B 图1 图2 备用图 (1)求a,b的值 (2)如图2，连接BC,在线段OB上有一动点P(不与点O,B重合)，过点P作PE⊥x轴，交直线BC于 点E, ①当直线PE经过点D时，求DE的长； ②以PE为边在PE的左侧作正方形PEFG,当点F在抛物线上时，求点P的坐标. ★能力培优练 1.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=-x+br+C与x轴分别相交于A,B两点，与y轴交于点 C,直线y=-x+3经过B、C两点. 5/9 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (1)求抛物线的表达式： (2)抛物线的顶点为M,点N是y轴上一点，点Q是平面内一点，是否存在以B、M、N、Q为顶点的四边形 是以BM为边的矩形？若存在，请求出点N、Q的坐标；若不存在，请说明理由. 2.如图，已知抛物线：y=x+br+C与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,OA=OC=3,顶点为D. B A B x D 备用图 (1)求此函数的关系式： (2)在AC下方的抛物线上，是否存在一点N使△CAN面积最大？最大面积是多少？ (3)E在对称轴上，F在抛物线上，若以A,O,E,F为顶点形成平行四边形，求出点E,F的坐标 3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=+x+c与箱交于4-L0,B60)两点，与y轴交于 点C,连接BC, (1)求抛物线的函数解析式： (2)P为直线BC上方抛物线上一动点，当△BPC的面积最大时，求点P的坐标： (3)№是对称轴上一动点，R是平面内任意一点，当以B,C,O,R为顶点的四边形为菱形时，求点R的坐 6/9 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 标. 4.如图，在平面直角坐标系中，将一个正方形ABCD放在第一象限斜靠在两坐标轴上，且点A,B的坐标 分别为A(0,2),B(1,0),抛物线y=ax2-ax-2经过点C. (1)求点C的坐标： (2)求抛物线的表达式，并求出其顶点坐标： (3)在抛物线上是否存在点P与点Q(点C,D除外)使四边形ABPO为正方形？若存在，请求出P,O的 坐标；若不存在，请说明理由. ★】创新拓展练 1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c(b、c为常数)与x轴交于A(-3,0)、B(L,0)两点， 与y轴交于点C,点P是抛物线上一个动点 (1)求该抛物线的解析式： (②)若SPAB=2S4Bc,请求出点P的坐标； (3)连接AC,直线AC上有一动点F,点M为坐标平面上一个动点，若以A、P、M、F四点为顶点的 四边形为正方形时，请直接写出点P的坐标. 719 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.如图，抛物线y=a2+bx+c的顶点为D(-l,4),与y轴交于点C(0,-3),与x轴交于A,B两点（点 A在点B的左侧)， B D (1)求抛物线的解析式： (2)连接AC,CD,AD,试证明△ACD为直角三角形： (3)若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F,使以AB、E、F为顶点的四边形为平行四边形？ 若存在，求出所有满足条件的点F的坐标：若不存在，请说明理由。 3.综合与探究 如图，抛物线y=ax+br-2与x轴交于A(-l,O),B(4,0)两点，与y轴交于点C,抛物线的顶点为D,对 称轴为直线， B 万 图1 图2 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)图2中，对称轴直线I与x轴交于点H,连接AC,CD,BD,求四边形ACDB的面积： (3)点F是直线I上一点，点G是平面内一点，是否存在以BC为边，以点B,C,F,G为顶点的菱形？若 存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由. 4.如图，抛物线与x轴交于A(-1,0以B(3,0以C(0,-3),顶点为D. 8/9 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B不 D (1)求抛物线的解析式： (②)M为抛物线上一点，当∠CAM=45°时，求M点坐标： (3)点E是'轴上的一个动点，点F是坐标平面内一个动点，是否存在这样的点E、F,使得以 B、D、E、F为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出E、F的坐标；若不存在说明理由. 919