15.1.2 线段的垂直平分线课件2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦线段垂直平分线的性质与判定，通过观察直线上点到线段两端距离关系，类比角平分线性质导入，衔接轴对称图形知识，以“观察-猜想-验证-应用”为支架构建学习脉络。 其亮点在于注重探究与推理，通过观察思考、尺规作图等活动发展几何直观和空间观念，利用全等证明培养推理能力，例题结合实际问题强化模型意识。采用类比迁移和分层例题，帮助学生理解知识，教师可直接用于教学提升效率。

15.1.2 线段的垂直平分线 第十五章 轴对称 第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定 学习目标 1. 理解线段垂直平分线的性质和判定． 2. 能运用线段垂直平分线的性质和判定解决实际问题． 3.了解互逆命题、互逆定理的概念. 探究与应用 如图15-1-12,直线l垂直平分线段AB,点P1,P2,P3,…在l上,分别比较点P1,P2,P3,…与点A的距离和这些 点与点B的距离,你有什么发现? 活动1　掌握并能运用线段的垂直平分线的性质 观察思考 解: P1A=P1B,P2A=P2B,P3A=P3B,…. 图15-1-12 三角形三边的垂直平分线交于一点,且该点到三个顶点的距离相等.如图,△ABC三边的垂直平分线相交于点P,则PA=PB=PC. 记 拓展 角的对称轴是该角的 平分线所在的直线. 线段的对称轴是 其垂直平分线. 轴对称图形的对称轴是连接其对称点的线段的垂直平分线. 线段和角是轴对称图形，你能画出它们的对称轴吗？ 角平分线的性质是什么？ 线段和角是轴对称图形，你能画出它们的对称轴吗？ E D P 角平分线的性质是什么？ 角的平分线上的点到 角两边的距离相等. 类比角的平分线，线段的垂直平分线上的点与线段的两个端点的距离的关系是什么？ 新课讲授 知识点1 线段垂直平分线的性质 探究 如图，直线l垂直平分线段AB，点P1，P2，P3，…在l 上，分别比较点P1，P2，P3，… 与点A的距离和这些点与点B的距离，你有什么发现？请猜想点P1，P2，P3，… 到点A与点B的距离之间的数量关系． A B l P1 P2 P3 P1A ____P1B P2A ____ P2B P3A ____ P3B ＝ ＝ ＝ 猜想： 点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离分别相等． 结论：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 由此你能得到什么结论？ 你能验证这一结论吗？ 发现：P1A=P1B，P2A=P2B，P3A=P3B，… 活动一：探究线段的垂直平分线的性质 如果把线段AB沿直线l对折，线段P1A与P1B、线 段P2A与P2B、线段P3A与P3B……都是重合的，因此它们也分别相等. 如图，直线l垂直平分线段AB，点P1，P2，P3，…在l上，分别比 较点P1，P2，P3，…与点A的距离和这些点与点B的距离，你有什 么发现？ 探究： 下图中的六角星有几条对称轴？如何作出这些对称轴呢？ A B 作法： (1)找出六角星的一对对称点A和B，连接AB． (2)作出线段AB的垂直平分线 l． 则l 就是这个六角星的一条对称轴． l 用同样的方法，一共可以找出六条对称轴， 所以六角星有六条对称轴． 验证结论 　 已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上． 求证：PA =PB． 　证明：当点P与点C不重合时， ∵ l⊥AB， ∴∠PCA =∠PCB． 　　又 AC =CB，PC =PC， 　　∴△PCA≌△PCB（SAS）． 　　∴ PA =PB． A B P C l 例1 如图，在△ABC中，AC＝5，AB的垂直平分线 DE交AB，AC于点E，D. （1）若△BCD的周长为 8，求BC的长； （2） 若BC＝4，求△BCD的周长． 分析：由DE是AB的垂直平分线，得AD＝BD，所以BD与CD 的长度和等于AC的长，所以由△BCD的周长可求BC的长，同样由BC的长也可求△BCD的周长． 例题解读 例1 如图，在△ABC中，AC＝5，AB的垂直平分线 DE交AB，AC于点E，D. （1）若△BCD的周长为 8，求BC的长； （2） 若BC＝4，求△BCD的周长． 解： ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AD＝BD，∴BD＋CD＝AD＋CD＝AC＝5. （1）∵△BCD的周长为8， ∴BC＝△BCD的周长－(BD＋CD)＝8－5＝3. （2）∵BC＝4， ∴△BCD的周长＝BC＋BD＋CD＝5＋4＝9. (教材补充例题)已知:如图15-1-15,MN是△ABC的边AC的垂直平分线,MN与AB,AC分别相交于点D,E,连接CD. (1)若CD=3,则AD的长为　　　　;  (2)若AB=5,BD=2,则CD的长为　　　　;  (3)若△BDC的周长为10,BC=4,则AB的长为 __________.　　　　 理解应用 例 1 图15-1-15 3 3 6 问题1　如果把线段的垂直平分线的性质的题设和结论反过来,你将得到一个怎样的命题? 活动2　掌握并能运用点在线段的垂直平分线上的判定 问题情境 解:与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 对称轴的作法： 对于轴对称图形，只要找到任意一组对称点，作出对称点所连线段的垂直平分线，即能得此图形的对称轴. 归纳方法 【结论】线段垂直平分线的判定:与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 符号语言： ∵PA =PB， ∴点P 在AB 的垂直平分线上． A B l ┐ O P 总结 本题运用了转化思想，用线段垂直平分线的性质把BD的长转化成AD的长，从而把未知的BD与CD的长度和转化成已知的线段AC的长．本题中AC的长、BC的长及△BCD的周长三者可互相转化，知其二可求第三者． 知识点2 线段垂直平分线的判定 思考 把上面线段的垂直平分线的性质的题设和结论反过来，得到的命题还成立吗？即如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？ 已知：如图，线段AB外任意一点P到点A，点B的距离相等. 求证：点P在线段AB的垂直平分线上. P A B 证明：过点P 作线段AB 的垂线PC， 垂足为点C．则∠PCA =∠PCB =90°． 在Rt△PCA 和Rt△PCB 中， PA =PB， PC =PC， ∴ Rt△PCA≌Rt△PCB（HL）． ∴ AC =BC． 又 PC⊥AB， ∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上． P A B C 问题3　你能证明你在问题2中的结论吗? 解:已知:线段AB和一点P,且PA=PB. 求证:点P在线段AB的垂直平分线上. 证明:当点P在线段AB上时, ∵PA=PB,∴P为线段AB的中点. ∴点P在线段AB的垂直平分线上. 当点P在线段AB外时, 过点P作PM⊥AB,垂足为M,如图所示, 则∠PMA=∠PMB=90°. 在Rt△PMA和Rt△PMB中, ∴Rt△PMA≌Rt△PMB(HL).∴AM=BM. 又∵PM⊥AB,∴PM垂直平分线段AB, 即点P在线段AB的垂直平分线上.综上所述,与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 1、从上面两个结论可以看出，在线段AB的垂直平分线l上的点与点A，B的距离都相等. 2、反过来，与A，B的距离相等的点都在l上，所以直线 l 可以看成与两点A，B的距离相等的所有点的集合. A B l ┐ O P 证明： （1）如图,当点P在线段AB上时，若PA=PB,则点P为线段AB的中点,点P必在线段AB的垂直平分线上. 已知： PA=PB， 求证：点P为线段AB垂直平分线上的点. 线段的垂直平分线的判定 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 应用格式： ∵ PA =PB， ∴ 点P 在AB 的垂直平分线上． P A B 作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 　这些点能组成什么几何图形？ 你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？能找到多少个到线段AB 两端点距离相等的点？ 　与A，B 的距离相等的点都在直线l上，所以直线l 可以看成与A、B两点的距离相等的所有点的集合. P A B C l (教材补充例题)已知:如图15-1-16,AB=AC,MB=MC. 求证:直线AM是线段BC的垂直平分线. 理解应用 例 2 图15-1-16 证明:∵AB=AC, ∴点A在线段BC的垂直平分线上. ∵MB=MC, ∴点M在线段BC的垂直平分线上. ∴直线AM是线段BC的垂直平分线. 问题1　分析上面关于线段的垂直平分线的两个命题,它们的题设和结论有什么关系? 活动3　互逆命题、互逆定理 问题情境 解:这两个命题的题设、结论正好相反. 例3 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线. 已知：直线 AB 和 AB 外一点 C . 求作：AB 的垂线，使它经过点 C. A B C 分析：假设所求作直线已经作出， 则它不仅过点 C 与直线 AB 垂直，而且是连接 AB 上与垂足距离相等的两点的线段的垂直平分线. 先确定这两点 在直线 AB 上且与点 C 的距离相等即可 A B C 作法：如图. (1)以点 C 为圆心，适当长为半径作弧，交直线 AB 于点 D 和点 E. E D 由(1)可知，点 C 在线段 DE 的垂直平分线上. 因而再作出与 D，E 距离相等的另一点 F，就能得到线段 DE 的垂直平分线． 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理. 小结 线段的垂直平分线的性质与判定 性质 判定 内容 作用 内容 作用 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 见垂直平分线，得线段相等 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 判断一个点是否在线段的垂直平分线上 互逆命题 $