15.1.2线段的垂直平分线 课件 2026--2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件围绕线段垂直平分线的性质、判定、互逆命题及应用展开，通过回顾线段和角的轴对称性、角平分线性质，类比提出线段垂直平分线的性质问题，搭建前后知识的学习支架。 其亮点在于通过对折探究性质、分类证明判定定理，培养学生的几何直观与推理意识，结合尺规作图和医院选址等实例渗透模型意识。小结简洁梳理知识脉络，学生能深化理解，教师可提升教学效率。

人教版（2024）八年级数学上册 第十五章 轴对称 15.1.2线段的垂直平分线 学习目标 1. 理解线段垂直平分线的性质和判定． 2. 能运用线段垂直平分线的性质和判定解决实际问题． 3.了解互逆命题、互逆定理的概念. 角的对称轴是该角的 平分线所在的直线. 线段的对称轴是 其垂直平分线. 轴对称图形的对称轴是连接其对称点的线段的垂直平分线. 线段和角是轴对称图形，你能画出它们的对称轴吗？ 角平分线的性质是什么？ 线段和角是轴对称图形，你能画出它们的对称轴吗？ E D P 角平分线的性质是什么？ 角的平分线上的点到 角两边的距离相等. 类比角的平分线，线段的垂直平分线上的点与线段的两个端点的距离的关系是什么？ 发现：P1A=P1B，P2A=P2B，P3A=P3B，… 活动一：探究线段的垂直平分线的性质 如果把线段AB沿直线l对折，线段P1A与P1B、线 段P2A与P2B、线段P3A与P3B……都是重合的，因此它们也分别相等. 如图，直线l垂直平分线段AB，点P1，P2，P3，…在l上，分别比 较点P1，P2，P3，…与点A的距离和这些点与点B的距离，你有什 么发现？ 探究新知 探究： 下图中的六角星有几条对称轴？如何作出这些对称轴呢？ A B 作法： (1)找出六角星的一对对称点A和B，连接AB． (2)作出线段AB的垂直平分线 l． 则l 就是这个六角星的一条对称轴． l 用同样的方法，一共可以找出六条对称轴， 所以六角星有六条对称轴． 对称轴的作法： 对于轴对称图形，只要找到任意一组对称点，作出对称点所连线段的垂直平分线，即能得此图形的对称轴. 归纳方法 【结论】线段垂直平分线的判定:与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 符号语言： ∵PA =PB， ∴点P 在AB 的垂直平分线上． A B l ┐ O P 1、从上面两个结论可以看出，在线段AB的垂直平分线l上的点与点A，B的距离都相等. 2、反过来，与A，B的距离相等的点都在l上，所以直线 l 可以看成与两点A，B的距离相等的所有点的集合. A B l ┐ O P 证明： （1）如图,当点P在线段AB上时，若PA=PB,则点P为线段AB的中点,点P必在线段AB的垂直平分线上. 已知： PA=PB， 求证：点P为线段AB垂直平分线上的点. （2）如图,当点P在线段AB外， 已知： PA=PB， 求证：点P为线段AB垂直平分线上的点. 方法点拨：我们需要过点P作出一条辅助线,然后证明这条辅助线是线段AB的垂直平分线. 注意：这条辅助线不能同时体现出垂直与平分两个性质，所以要让辅助线满足其中一个性质，再以此作为条件通过证明得到另外一个性质.因此，当点P在线段AB外时，我们有两种证明思路： 例3 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线. 已知：直线 AB 和 AB 外一点 C . 求作：AB 的垂线，使它经过点 C. A B C 分析：假设所求作直线已经作出， 则它不仅过点 C 与直线 AB 垂直，而且是连接 AB 上与垂足距离相等的两点的线段的垂直平分线. 先确定这两点 在直线 AB 上且与点 C 的距离相等即可 探究新知 A B C 作法：如图. (1)以点 C 为圆心，适当长为半径作弧，交直线 AB 于点 D 和点 E. E D 由(1)可知，点 C 在线段 DE 的垂直平分线上. 因而再作出与 D，E 距离相等的另一点 F，就能得到线段 DE 的垂直平分线． 探究新知 　　5．尺规作图：经过已知直线上的一点作这条直线的垂线． 已知：直线 AB 和 AB 上一点 C． 求作：AB 的垂线，使它经过点 C． （1）以点 C 为圆心，适当长为半径作弧，交直线 AB 于点 D 和点 E． （3）作直线 CF，则 CF 就是所求作的垂线 ． A B C E D F （2）分别以点 D 和点 E 为圆心，大于 DE 长为半径作弧，两弧相交于点 F． 课堂练习 图形代号 ① ② ③ ④ ⑤ 对称轴条数 6.指出下列图各有几条对称轴，画出每个图的对称轴. ① ② ③ ④ ⑤ 2 2 4 6 3 课堂练习 新课讲解 练一练 1. 如图，已知线段a，求作直角三角形，使一直角边长为a，斜边长为2a. （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 解：如图，Rt△AOB即为所求. 新课讲解 练一练 (1) 过点C作射线BF的垂线，垂足为M；(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) 解：(1) 如图所示. (2) 在(1)的条件下，若BM＝8，求S△ABM. 2. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，F是AC上一点，AE⊥BF，AB＝BC. (2) 如图，连接AM. 由(1)知，CM⊥BM，∴∠BMC＝90°. ∵AE⊥BF， ∴∠AEB＝∠BMC＝90°， ∴∠BAE＋∠ABE＝90°. ∵∠ABC＝90°， ∴∠CBM＋∠ABE＝90°， ∴∠BAE＝∠CBM. ​在△ABE和△BCM中， ∴△ABE≌△BCM（AAS）， ∴AE＝BM＝8， ∴S△ABM＝ BM·AE＝ ×8×8＝32. 6.如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F， 试说明AD与EF的关系． 解：AD垂直平分EF. ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD=90°. 又∵AD＝AD， ∴△ADE≌△ADF， ∴AE＝AF，DE＝DF. ∴ A、D均在线段EF的垂直平分线上， 即直线AD垂直平分线段EF. A B C D E F 总结归纳 解题秘方：紧扣互逆命题“题设、结论正好相反”这一特征写逆命题. 课堂小结 线段的 垂直平分线 性质 判定 知垂直平分线，得线段相等 互逆 知线段相等，得点在垂直平分线 集合定义线段 垂直平分线 练习7 如图，在某条公路的同旁有两座城市A、B，为了方便市民就医治疗，政府决定在公路边建一所医院，这所医院建在什么地方，能使两座城市到这所医院的路程一样长？（不用写做法，保留作图痕迹） 解：如图：作 的垂直平分线，交公路为点P，则点P为医院. 理由：垂直平分线的点到线段两端点的距离相等. $