3.2.2.2函数的奇偶性(二)课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数奇偶性的应用，涵盖利用奇偶性求解析式、参数及抽象函数问题，通过典例解析与“解题有招”方法总结，搭建从基础定义到综合应用的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以逻辑推理和数学运算为核心，通过“易错对对碰”典例（如已知奇偶性求分段函数解析式）、方法提炼及即学即练，培养学生数学思维。助力学生掌握解题逻辑，为教师提供结构化教学资源，提升教学效率。

第2课时　函数的奇偶性(二) 【学习目标】 1.会根据函数的奇偶性求函数的解析式.(逻辑推理) 2.能解决函数奇偶性和单调性的简单综合问题.(逻辑推理、数学运算) 3.会解抽象函数的奇偶性问题.(逻辑推理、数学运算) 类型1 利用函数的奇偶性求函数的解析式(逻辑推理) 【典例1】(易错·对对碰) (1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≥0时,f(x)=x2-3x,则当x<0时,f(x)的解析式为(　　) A.f(x)=x2-3x B.f(x)=-x2-3x C.f(x)=-x2+3x D.f(x)=x2+3x 【解析】选D.因为函数f(x)为偶函数,所以当x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)2-3(-x) =x2+3x=f(x). √ (2)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x3+x+1,则f(x)在R上的解析式为　　　　　　　　　　　　　　.  【解析】因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,则f(0)=0,当x<0时,则-x>0, 可得f(x)=-f(-x)=-[(-x)3+(-x)+1]=x3+x-1, 所以f(x)= 答案:f(x)= 【解题有招】 利用函数奇偶性求解析式的方法 (1)“求谁设谁”,即在哪个区间上求解析式,x就应在哪个区间上设. (2)要利用已知区间的解析式进行代入. (3)利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x),从而解出f(x). (4)定义在R上的奇函数f(x)一定有f(0)=0. 【即学即练】 1.(2026·深圳高一检测)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-x2+x+1,则当x<0时,f(x)=(　　) A.-x2+x+1　 B.-x2-x+1 C.x2-x-1　 D.x2+x-1 【解析】选D.由x<0,得-x>0,故f(-x)=-(-x)2+(-x)+1=-x2-x+1, 所以f(x)=-f(-x)=x2+x-1. √ 2.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≥0时,f(x)=,则f(x)的解析式为　　　　　　　　　　　　　　.  【解析】根据题意可知,当x<0时,-x>0,则f(-x)=, 又函数f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(-x)=f(x),因此当x<0时,f(x)=, 所以f(x)的解析式为f(x)=. 答案:f(x)=(或f(x)=) 类型2 利用函数的奇偶性求参数(逻辑推理、数学运算) 【典例2】(1)(一题多解)已知函数f(x)=是定义在R上的偶函数,则a=(　　) A.1 B.-1 C.0 D.2 【解析】选C.方法一:由题意可得f(x)=f(-x),则,可得a=0. 方法二:(特值法)由f(1)=f(-1)得,解得a=0. √ (2)设函数f(x)=为奇函数,则实数a=(　　) A.-1 B.1 C.0 D.-2 【解析】选A.方法一:根据题意,知函数f(x)=为奇函数, 则有f(x)+f(-x)=0,即+=0,变形可得(a+1)x=0,则有a=-1, 方法二:因为f(x)=是奇函数,且y=x是奇函数,所以y=x2+(a+1)x+a是偶函数,则a+1=0,故a=-1. √ 【解题有招】 利用奇偶性求参数的常见类型及策略 (1)定义域含参数:奇、偶函数f(x)的定义域为[a,b],根据定义域关于原点对称,利用a+b=0求参数. (2)解析式含参数:根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式,比较系数即可求解. 【即学即练】 1.(2026·滨海高一检测)设函数f(x)=为奇函数,则a=　　　　.  【解析】由函数f(x)=,x≠0为奇函数,则f(-1)=-f(1), 所以=-,解得a=-1,此时f(x)=,x≠0, 则f(-x)==-=-f(x), 所以f(x)为奇函数,满足题意,则a=-1. 答案:-1 2.(2026·邵阳高一检测)已知定义在区间[a,b]上的函数f(x)=x9+(2m-1)|x|是奇函数,其中a,b,m为常数,则a+b+m=　　　　.  【解析】定义在区间[a,b]上的函数f(x)=x9+(2m-1)|x|是奇函数,则a+b=0,且f(-x)=-f(x),所以-x9+(2m-1)|-x|=-x9-(2m-1)|x|,则2m-1=-(2m-1),所以m=, 故a+b+m=0+. 答案: 类型3 抽象函数的奇偶性问题(数学抽象、逻辑推理) 【典例3】(2026·汕头高一检测)定义在非零实数集上的函数f(x)对任意非零实数x,y满足:f(xy)=f(x)+f(y),且当0<x<1时,f(x)<0. (1)求f(-1)及f(1)的值; (2)判断f(x)的奇偶性并证明; (3)解不等式:f(2)+f(x2-)≤0. 【解析】(1)在f(xy)=f(x)+f(y)中,令x=y=1,可得f(1)=f(1)+f(1),解得f(1)=0. 令x=y=-1,可得f(1)=f(-1)+f(-1),解得f(-1)=0. (2)函数f(x)是偶函数,理由如下: f(x)的定义域是{x|x≠0},∀x∈{x|x≠0},-x∈{x|x≠0}, 令y=-1,可得f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x),所以函数f(x)是偶函数. (3)任意x2>x1>0时,0<<1, 由题意得:f()<0,f(x1)-f(x2)=f(·x2)-f(x2)=f()+f(x2)-f(x2)=f()<0, 所以f(x)在(0,+∞)上是增函数, f(2)+f(x2-)≤0可化为f(2x2-1)≤0,即f(2x2-1)≤f(1), 又由(2)知f(x)是偶函数,所以f(2x2-1)≤f(1)可化为f(|2x2-1|)≤f(1), 又f(x)在(0,+∞)上是增函数,所以|2x2-1|≤1,且|2x2-1|≠0, 解得-1≤x≤1且x≠±, 所以不等式的解集为[-1,-)∪(-,)∪(,1]. 【解题有招】 判断抽象函数的奇偶性的方法 找准方向,巧妙赋值,合理、灵活地变形配凑,找出f(-x)与f(x)的关系,至于如何赋值,要根据解题目标来确定,一般可通过赋值-1或0或1来达到解题目的. 【即学即练】 设函数f(x)对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时, f(x)<0,f(1)=-2. (1)证明f(x)为奇函数. (2)证明f(x)在R上是减函数. (3)若f(2x+5)+f(6-7x)>4,求x的取值范围. 【解析】(1)由于函数f(x)对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),令x=y=0,可得f(0)=0.再令y=-x,可得f(x-x)=f(x)+f(-x),即0=f(x)+f(-x),化简可得f(-x)=-f(x),故函数f(x)为奇函数. (2)设x1<x2,则x2-x1>0,因为f(x+y)=f(x)+f(y),f(x)为奇函数,所以f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1). 由当x>0时,f(x)<0,可得f(x2-x1)<0,即-f(x1)+f(x2)<0,故有f(x1)>f(x2), 故f(x)在R上是减函数. (3)若f(2x+5)+f(6-7x)>4,则f(2x+5+6-7x)=f(11-5x)>4. 由f(1)=-2,可得f(11-5x)>f(-2),结合f(x)在R上是减函数可得11-5x<-2,解得x>,故x的取值范围为(,+∞). $