专题09 实际问题与一元一次方程 暑假预习讲义 2026-2027学年人教版七年级数学上册

专题09 实际问题与一元一次方程 暑假预习讲义 ✺知识框架 基础模块：统一方程应用题解题流程，划分两类设元方式，搭建应用解题通用框架。 题型体系模块：依托课本经典例题，建立配套、工程、销售、计费四大题型模型，归纳对应数量关系与公式模型。 思维模块：形成「实际情境—数量关系—方程模型—求解验证」的标准化建模思维，完善代数应用知识闭环。 ✺学习目标 基础认知：理解方程解实际问题的建模意义，明晰不同题型的模型特点，掌握设元方法的适用场景。 技能提升：能够独立分析实际问题中的数量关系，精准列出并求解一元一次方程，规范完成完整解题流程。 综合素养：具备将生活实际问题转化为数学方程的建模能力，养成严谨、规范、验证结果的良好解题素养。 ✺题型归纳 题型1.配套问题 题型2.工程问题 题型3.销售盈亏 题型4.比赛积分 题型5.方案选择 题型6.数字问题 题型7.几何问题 题型8.动点问题 题型9.和差倍分问题 题型10.电费和水费问题 题型11.行程问题 题型12.比例分配 题型13.日历问题 题型14.古代问题 题型15.其他问题 题型16.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、列方程解应用题通用步骤 应用题解题统一标准：审 → 设 → 列 → 解 → 验 → 答 审：通读题干，梳理已知条件与未知量，抓取题目核心不变的等量关系，这是列方程解题的关键。 设：结合题意合理设未知数，书写规范、标注对应单位，分为直接设元、间接设元两类。 列：依托提炼的等量关系，列出规范的一元一次方程。 解：严格按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的标准步骤规范求解方程。 验：双重校验，先检验数值是否为方程的解，再检验结果是否符合生活实际，舍去不合理的解。 答：对应题干问题，完整书写答案，标注对应单位，形成完整解题闭环。 知识点二、常见列方程解应用题的几种类型 1.配套问题 配套问题中的基本关系：若m个A和n个B配成一套，则 =,可得相等关系：m×B的数量=n×A的数量 常见场景：桌椅配套、螺栓与螺母、零件组装等常规配套题型。 2.工程问题 无特殊说明时，总工作量统记为单位1，单人工作效率= 数量关系及公式：工作量 = 工作效率 × 工作时间，工作效率=工作量÷工作时间，工作时间=工作量÷工作效率 核心等量关系：各分段、各人员工作量之和 = 总工作量1 常见场景：单人单独施工、多人合作施工、分段完成工程等基础题型 3.销售盈亏问题 核心概念：熟练掌握进价（成本价）、售价、利润、利润率四大核心概念。 核心公式 利润 = 售价 - 进价，售价=标价×折扣 商品利润率=×100％ 售价 = 进价 × (1 + 利润率) 核心逻辑：依托进价、售价、利润率的核心公式，解决商品盈利、亏损、打折销售等问题，精准判断销售盈亏情况。 4.计费与方案选择问题 核心逻辑：针对题目给出的两种计费方案，通过求解费用相等的临界点，判定不同取值范围内的最优计费方案。 核心等量关系：方案一总费用 = 方案二总费用（临界点列式依据） 常见场景：电话计费、水电费计费、购物优惠、出行方案选择等基础题型。 ✺题型精讲 题型1.配套问题 1．某车间有22名工人，每人每天可生产1200个螺钉或2000个螺母，1个螺钉配2个螺母．设x名工人生产螺钉，可列方程（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将配套关系转化为螺母总数量是螺钉总数量2倍的等量关系，据此列方程． 【详解】解：∵生产螺钉的工人数为人， ∴生产螺母的工人数为人， ∴每天生产螺钉总数为个，生产螺母总数为个． ∵1个螺钉配2个螺母，即螺母总数量是螺钉总数量的2倍， ∴． 2．一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成，若木料可制作50个桌面或300条桌腿，现有木料，使得生产出来的桌面和桌腿恰好都配成方桌，则用来生产桌面的木料有_______． 【答案】3 【分析】设用来生产桌面的木料为，则生产桌腿的木料为，根据“一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成，若木料可制作50个桌面或300条桌腿”列方程求解即可． 【详解】解：设用来生产桌面的木料为，则生产桌腿的木料为． ∵桌腿总数量桌面总数量， ∴， 解得：， 因此用来生产桌面的木料为． 3．某车间有82个工人生产甲、乙两种零件，每人每天平均能生产甲种零件12个或乙种零件25个．已知3个甲种零件和4个乙种零件配成一套，问分配多少人生产甲种零件，多少人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套，恰好配成多少套？ 【答案】分配50人生产甲种零件，32人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套，恰好配成200套 【分析】设生产甲零件人数为，乙零件人数为，利用配套关系：甲零件总数乙零件总数列出方程，解出人数后再计算配套套数． 【详解】解：设分配人生产甲种零件，则人生产乙种零件． 依题意得：， 解得， ， （套）， 答：分配50人生产甲种零件，32人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套，恰好配成200套． 题型2.工程问题 1．甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时．丙水管单独开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，水池注满还要（     ）个小时． A．15 B．20 C．35 D．40 【答案】C 【分析】将一池水总水量看作单位，先求出各水管的工作效率，设水池注满还要小时，根据题意，列出方程，求解即可． 【详解】解：把一池水总水量看作单位， 甲单独注满需小时，乙单独注满需小时，丙单独排完整池水需小时 甲进水效率为，乙进水效率为，丙排水效率为， 设水池注满还要小时， 根据题意可得，， 解得， 即水池注满还要小时． 2．某小区计划推进老旧小区改造，若甲工程队单独完成需天，乙工程队单独完成需天，现由两队合作，中途乙队被调走，余下的任务由甲队单独做了天后完成．在这个过程中，甲、乙两队合作了________天． 【答案】3 【分析】本题为工程问题，将总工作量设为单位，根据各部分工作量之和等于总工作量，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设甲、乙两队合作了天．根据题意，甲一共工作天，乙一共工作天，总工作量为，列方程得： 去分母，得 去括号，得 移项合并同类项，得 系数化为，得 答：在这个过程中，甲、乙两队合作了天． 3．完成一项工程，甲队单独做需要60天，乙队单独做需要90天，若由甲先做20天，剩下的两队合作，则完成这项工程两队合作需要多少天？ 【答案】完成这项工程两队合作需要24天． 【分析】设完成这项工程两队合作需要x天，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设完成这项工程两队合作需要x天， 根据题意得：， 解得：． 答：完成这项工程两队合作需要24天． 题型3.销售盈亏 1．某商店将一种商品按标价的七五折出售，仍可获利.  若该商品的进价为元，则标价为（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】设该商品的标价为元，利用售价与标价、进价、利润率的关系列方程求解． 【详解】解：设该商品的标价为元， 根据题意，可列方程：， 解得， ∴商品的标价为元． 2．某种商品按照的利润定价，然后又按九折出售，结果赚了32元，该商品的定价是______． 【答案】 480元 【分析】以32元利润对应的成本百分率为突破口，先求成本，再计算定价； 【详解】解：设该商品的成本为元， ∵商品按的利润定价， ∴定价为元， ∵按九折出售， ∴实际售价为元， ∵实际获利32元， ∴，解得， ∴定价为（元）， 答：这一商品的定价是480元． 3．一天，小明和小颖在书店门口相遇，他们进行了如下对话： 请你根据他俩的对话内容，解答下列问题： (1)买多少元的书办卡和不办卡的费用相同？ (2)如果小颖没有办卡，她需要付多少钱？ 【答案】(1)买元的书办卡和不办卡费用相同 (2)她需要付元 【分析】（1）设买元的书办卡和不办卡的费用相同，根据题意列方程求解即可； （2）假设小颖没有办卡，她需要付元，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：设买元的书办卡和不办卡的费用相同， 根据题意可得：， 整理可得：， 解得：， 答：买元的书办卡和不办卡费用相同； （2）解：假设小颖没有办卡，她需要付元， 根据题意可得：， 解得：， 答：如果小颖没有办卡，她需要付元． 题型4.比赛积分 1．某中学举行“强国有我”知识竞赛，规则如下：每位选手共需答题25道，每答对一道题得4分，不答或答错一题扣2分，若小华同学最终成绩88分，小华答对（     ）题． A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】D 【分析】根据“最终成绩答对的题得的分答错的题扣的分”列式求解． 【详解】解：设小华答对道题，则不答或答错道题， 由题意列式为： ， ， ， ， ； ∴小华答对道题． 2．四支排球队进行单循环比赛，即每两队都赛一场，且只赛一场．如果一场比赛的比分是或，则胜队得3分，负队得0分；如果比分是，则胜队得2分，负队得1分．比赛的结果各队得分恰好是四个连续的自然数，则第一名的得分是______分． 【答案】6 【分析】本题考查了一元一次方程应用题，先根据题意确定比赛场数和比赛总得分，设参数最低分数为，利用各队得分是四个连续自然数的和是总分列方程，求出，即可知道第一名的分数. 【详解】解：四支球队进行单循环比赛， 总比赛场为（场）． 一场比赛的比分是或，则胜队得3分，负队得0分；比分是，则胜队得2分，负队得1分, 每场比赛无论比分如何总得分均为3分， 所有比赛总得分为18分. 比赛的结果各队得分恰好是四个连续的自然数，设最低得分为x，则其他自然数分别为，，， ， ， 第一名得分是. 3．用方程（组）解决下列问题： 某中学举办了足球比赛，计分规则为：胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．某班参加了11场比赛，并始终保持不败的记录，共得25分，求该班胜了多少场比赛？ 【答案】该班胜了7场比赛 【分析】设该班胜了x场比赛，根据积分规则列方程求解即可． 【详解】解：设该班胜了x场比赛，则平场，依题意得： 解得： 答：该班胜了7场比赛． 题型5.方案选择 1．某景区单独购票为每人元，团体购票为每人元．某旅游团按团体购票比单独购票总共节省费用元，则该旅游团人数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设该旅游团人数为人，根据“单独购票总费用减去团体购票总费用等于节省的费用”列方程求解即可． 【详解】解：设该旅游团人数为人， ， 解得． 故选：C． 2．为了庆祝劳动节，宣扬劳动光荣的中华民族优秀传统，某网店为了吸引顾客，推出下列优惠措施，受到顾客的好评．优惠措施如下： 购物款不超过200元不享受优惠； 购物款超过200元但不超过600元一律享受九折优惠； 购物款超过600元一律享受八折优惠， 某顾客第一次从该网店购物花了168元人民币，第二天又花了423元从该网店购物，如果该顾客一次性购买以上商品，可以节省_____元 【答案】80.6 【分析】先确定第一次购物的原价，再确定第二次购物的原价，分、两种情况分别计算出购买的实际款数，然后计算两次购物原价总和，判断总和对应的优惠档位，按照对应折扣算出一次性购买的应付款，用两次分开购买的总付款减去一次性购买的应付款，得到节省的金额． 【详解】解：（1）第一次购物显然没有超过200元，即在第一次消费168元的情况下，他的实质购物价值只能是168元． （2）第二次购物消费423元，则可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同（折扣率不同）： ①第一种情况：他消费超过200元但不足600元，这时候他是按照9折付款的． 设第二次实质购物价值为，那么依题意有， 解得：． ②第二种情况：他消费超过600元，这时候他是按照8折付款的． 设第二次实质购物价值为，那么依题意有， 解得：（舍去） 即在第二次消费423元的情况下，他的实际购物价值可能是470元． 综上所述，他两次购物的实质价值为（元），超过了600元． 因此一次性购买可以按照8折付款：（元），（元） 综上所述，他可以节省80.6元． 3．某商店有A、B两种型号的节能灯，店主统计了3天的产品销售情况，如表： 统计日期 售出A型节能灯个数 售出B型节能灯个数 总售价 6月15日 0 1 50 6月16日 1 2 200 6月17日 5 5 750 (1)根据上表数据可得B型节能灯的单价 ． (2)根据上表数据，求A型节能灯的单价． (3)若商家A、B两种型号的节能灯共售出15个，总售价为1300元．那么售出的两种型号的节能灯各多少个？ 【答案】(1)50元/个 (2)A型节能灯的单价为100元/个 (3)售出的A型号的节能灯有11件，B型号的节能灯有4件 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，观察表格数据先推出B型节能灯单价，设A型节能灯的单价，根据6月16销售情况列关于的方程，解出即可求出A型节能灯单价；设A和B型节能灯的件数和，根据题意，列关于的方程，即可求出两种型号节能灯各自的件数． 【详解】（1）解：6月15日的销售情况可知，售出0个A型节能灯，1个B型节能灯，总售价为50元， B型节能灯的单价为50元/个． （2）解：设A型节能灯的单价为元/个，根据6月16日的销售情况，售出1个A型节能灯，2个B型节能灯，总售价为200元， 可列方程得， 解得， A型节能灯的单价为100元/个． （3）解：设售出A型节能灯个，则售出B型节能灯个，根据题意，可列方程得 ， 解得， ． 售出的A型号的节能灯有11个，B型号的节能灯有4个． 题型6.数字问题 1．如图，在的方阵图中，填写了一些数和字母（其中字母表示一个数）．若处于每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和都相等，则这个方阵图中字母表示的数为（     ） 13 12 8 A．6 B．7 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题利用三阶幻方中每行、每列、对角线的和相等的性质，通过列方程消元求解的值． 【详解】设幻和为，中心数为，第一行第三列的数为，第三行中间数为 如图所示， ∵ 左上到右下对角线和为， ∴ ① ∵ 右上到左下对角线和为， ∴ ② ∵ 第三列和为， ∴ ③ 由得：， ∴ ； 将和代入③得： ， ∴ ； ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ 解得 ． 2．两个自然数相除，有两种表示的方法：，，根据两种表示方法，可以得出( )，( )． 【答案】 【分析】将a用两种含b的代数式表示，再列一元一次方程求解，先算出除数b，进而求得被除数a． 【详解】解 ∵，， ∴， ∴，解得：， 将代入，得． 3．我国古代的“九宫图”是由方格构成的，每个方格均有不同的数，每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．如下给出了“九宫图”的一部分，请推算的值． 2025 x 1 5 【答案】 【分析】先得出第一行第一列的数，再根据第二行上的三个数字之和、对角线上的三个数之和相等建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设“九宫图”中的数字如下图所示： 2025 1 5 由题意得：①，②， 整理①得：，解得， 整理②得：， ∴， 解得． 题型7.几何问题 1．如图，用8块相同的长方形地砖拼成一个矩形地面，则每块长方形地砖的长和宽分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】可分别设长方形地砖的长和宽，根据图中信息列出方程即可解答． 【详解】解：设长方形地砖的长为，宽为， 由图中矩形的宽为，得，解得，即长方形地砖的宽为， 由图中矩形的宽为，得，解得． ∴长方形地砖的长为，宽为． 2．如图有两个面积相等的长方形，重叠后得到图形．图形中的长度是( )，图形的周长是( )． 【答案】 8 【详解】解：∵两个长方形的面积相等 ∴ 解得； ∴图形的周长是． 3．竹节人是中国传统民间玩具，它由竹节与线绳组装而成．如图，制作一个竹节人，需将一根粗细均匀的竹子截成九段：一段长竹节为头和上身，另八段等长短竹节为四肢．如图，竹节人的头长与上身长的比为，长竹节长是短竹节长的倍，头宽比头长少，竹节人完全张开手臂的臂展长为，求这个竹节人的总高度．          【答案】 【分析】设竹节人的头长为，根据线段之间的数量关系，表示出相关线段的长度，列方程求解即可． 【详解】解：设竹节人的头长为，则它的上身长为，头宽为，即长竹节为，短竹节为． 依题意，得． 解得． 所以． 答：这个竹节人的总高度为． 题型8.动点问题 1．在数轴上，点向右移动1个单位长度得到点，点向右移动2个单位长度得到点，点A、B、C分别表示有理数a、b、c．若a、b、c三个数的乘积为负数，且这三个数的和与其中一个数相等，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查的是有理数的乘法、一元一次方程、数轴，根据数轴、结合题意设的值为，分情况列出方程，解方程即可． 【详解】解：设的值为，则的值为，的值为， 当时，， ，，， ，不合题意； 当时，， ，，， ，不合题意； 当时，， ，，， ，符合题意， 故选：B． 2．如图，正方形的边长为5，点E，F分别从点A，B出发，同时分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度逆时针移动．当点E，F首次重合时，运动时间________秒． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键．根据点E，F首次重合时，点F运动的路程与点E运动路程之差为15，列出方程，解方程即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 3．综合与探究 如图，在长方形中，，，动点从点开始，沿边向点以的速度运动；动点从点开始，沿边向点以的速度运动．点同时开始运动，当点到达点时，点和点同时停止运动，用表示运动的时间． (1)当点在边上运动时，为何值，使得？ (2)当为何值时，等于长方形周长的？ (3)当点Q在上运动时，且点与点的距离为3时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)或 (3)5或11 【分析】（1）找出点Q在边上运动且运动时间为时，、的值，令其相等，即可求出t值； （2）分两种情况：当点在边上运动时，当点在边上运动时，分别列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）分两种情况：当点Q在点P左侧时，当点Q在点P右侧时，分别列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：当点在边上运动时，，根据题意，得： ， 解得：． 答：当为时，． （2）解：当点在边上运动时，，， 根据题意，得， 解得； 当点在边上运动时，，， 根据题意，得， 解得． 综上所述，当为或时，等于长方形周长的． （3）解：当点Q在点P左侧时，， 解得：； 当点Q在点P右侧时，， 解得：； 综上，t的值为5或11． 题型9.和差倍分问题 1．小川今年4岁，他爸爸今年36岁，几年后他爸爸的年龄是小川的年龄的3倍？设年后爸爸的年龄是小川的年龄的3倍，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设年后爸爸的年龄是小川年龄的倍，根据年后爸爸年龄等于倍的年后小川年龄这一等量关系，即可列出一元一次方程． 【详解】解：设年后爸爸的年龄是小川年龄的倍， ∴年后小川的年龄为 岁，年后爸爸的年龄为 岁， 根据题意得： ． 2．仓库大米比面粉多，当大米和面粉都减少5吨后，面粉比大米少，问：仓库原来大米有_______吨． 【答案】 （或） 【分析】设原来面粉重量为未知数，根据大米与面粉的重量关系表示出原来大米重量，再根据减少5吨后的重量关系列方程求解． 【详解】解：设仓库原来面粉有吨， ∵原来大米比面粉多， ∴原来大米的重量为吨， 大米和面粉各减少吨后，大米重量为吨，面粉重量为吨， ∵此时面粉比大米少，即面粉重量是减少后大米重量的， ∴列方程得， 两边同乘去分母得， 展开，得， 移项整理，得， 解得， 将代入，得原来大米重量为吨． 3．甲班51人，乙班49人，某次考试两个班全体同学的平均成绩是81分，乙班平均成绩要比甲班的平均成绩高7分，那么乙班的平均成绩是多少分？ 【答案】 乙班的平均成绩是84.57分． 【详解】解：两班总人数为（人）， 两班总成绩为（分）， 设乙班平均成绩为分，则甲班平均成绩为分， 根据题意得， 解得， 答：乙班的平均成绩是84.57分． 题型10.电费和水费问题 1．收费标准如下：每月用水不超过，按0.8元/收费，如果超过，超过部分按1.2元/收费．已知某用户某月的水费平均0.88元/，那么这个用户这个月应交水费为（     ）． A．6.6元 B．7.5元 C．7.8元 D．7.2元 【答案】A 【分析】首先由平均水费高于0.8元/判断用水量超过，再根据总水费的等量关系列方程求解即可． 【详解】， 该用户这个月用水量超过， 设该用户这个月用水量为，根据总水费相等列方程： ， 化简得 ， 移项合并得 ， 解得 ， 这个月应交水费为 元． 2．某市为了鼓励居民节约用水，对自来水用户按如下标准收费：若每月每户用水不超过15吨，按每吨3元收费；若超过15吨，则超过部分按每吨4元收费，如果某户居民五月份缴纳水费73元，那么该居民这个月实际用水________吨 【答案】22 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． 设实际用水量为x吨，根据收费标准列出方程求解． 【详解】解：∵， ∴该居民这个月实际用水超过15吨， 设实际用水量为x吨， 依题意，得， 即， 整理得， 解得， 因此． 故答案为：22． 3．某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过240度的部分 a 第2档 超过240度但不超过400度的部分 0.65 第3档 超过400度的部分 已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元； (1)表中a的值为______；若用电420度，则应缴电费______元； (2)若11月份老李家交电费183元，求老李家11月份的用电量． 【答案】(1)； (2) 老李家11月份的用电量为300度 【分析】（1）利用10月的用电数据列等式求，再按阶梯电价分三档计算420度的总电费； （2）先通过临界电费判断用电量所属档位，再列一元一次方程求解； 【详解】（1）解：∵用电200度未超过240度，属第1档， ∴，解得， 用电420度时，分三档计费： 第1档费用：（元）， 第2档费用：（元）， 第3档费用：（元）， 总电费：（元）； （2）解：用电240度时，电费为（元）， 用电400度时，电费为（元）， ∵， ∴11月份用电量在第2档， 设11月份用电量为度， 则， 解得， 答：老李家11月份的用电量为300度． 题型11.行程问题 1．小明如果以的速度从家去学校，则迟到2分钟，如果以的速度从家去学校，则会提前2分钟到校，设小明家到学校距离为，那么可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设小明家到学校距离为，规定到校时间固定，由于速度为时迟到2分钟，说明走完全程的时间比规定时间多小时，故规定到校时间为；由于速度为时提前2分钟，说明走完全程的时间比规定时间少小时，故规定到校时间为，再根据规定到校时间相等建立方程即可． 【详解】解：分钟小时， 设小明家到学校距离为， 由题意得， ． 2．已知A、B两地相距，甲车从A地出发开往B地，同时乙车从B地开往A地，甲车的速度是，乙车的速度是，出发_________小时两车相距． 【答案】1或/或1 【分析】设出发小时后两车相距，分两种情况讨论，根据路程和的等量关系列方程求解． 【详解】解：设出发小时后两车相距， 分两种情况讨论：当相遇前两车相距时， 根据题意得， 解得； 当相遇后两车相距时， 根据题意得， 解得； 综上，出发小时或小时两车相距． 3．列一元一次方程解应用题：某款纯电动汽车的充电数据为：家用慢充每小时可补充续航，快充每小时可补充续航．若该车需要用慢充和快充配合（两种充电方式不可同时进行），总共充电小时，恰好使总续航增加，且充电方式切换的时间忽略不计，求慢充的时间． 【答案】慢充的时间为小时 【分析】设慢充的时间为小时，则快充的时间为小时，根据总续航增加列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：设慢充的时间为小时，则快充的时间为小时， 根据题意得：，                 解得：， 答：慢充的时间为小时． 题型12.比例分配 1．把一根木料锯成段要分钟，以同样的速度锯成段要分钟，正确的列式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程，锯成段需要锯次，锯木料的时间与锯的次数成正比可得比例关系． 【详解】∵锯成段需锯：（次），用时分钟， ∵锯成段需锯（次），用时分钟， 由于每次锯木料的时间是固定的，根据锯木料的时间与锯的次数成正比，可得比例关系： ， 故选：B． 2．山洞里有一堆桃子，是三只猴子的共同财产．猴老大来到山洞后将桃子按的比例分成两部分，并取走较多的一部分；猴老二来到后，将剩下的桃子又按的比例分成两部分，并取走较多的一部分；剩余的桃子归猴老三．已知猴老大比猴老三多拿了29个桃子，则猴老二拿了___________个桃子． 【答案】20 【分析】本题考查了比的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，设出未知数，找到等量关系． 设桃子总数为T，猴老大取走，剩余；猴老二取走剩余桃子的，即；猴老三得到，根据猴老大比猴老三多29个桃子，列方程求解T，再计算猴老二所拿桃子数． 【详解】解：设桃子总数为T，则猴老大取走，剩余； 则猴老二取走较多部分，猴老三得到； 由题意得，， ， ， 解得， 所以猴老二取走个桃子， 故答案为20． 3．市场上一种茶饮料由茶原液和纯净水按一定的比例配制而成，其中购买一吨茶原液的钱可以买20吨纯净水，由于今年以来茶产地云南地区连续干旱，茶原液的收购价格上涨，纯净水也上涨了，导致配制的这种茶饮料成本上涨．求这种茶饮料中茶原液与纯净水的质量配制比例？ 【答案】 【分析】设这种茶饮料中茶原液与纯净水的质量配制比例为，设1吨纯净水价为元，则1吨原液价为元，以配制后的成本价作为等量关系可列出方程求解，其中一个未知数能约去． 【详解】解：设这种茶饮料中茶原液与纯净水的质量配制比例为． 设1吨纯净水价为元，则1吨原液价为元． 答：这种茶饮料中茶原液与纯净水的质量配制比例为． 题型13.日历问题 1．如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个“十”字圈出5个数（如3，9，10，11，17），照此方法，若圈出的5个数中，最大数与最小数的和为40，则这5个数中的最大数为（     ） A．20 B．23 C．27 D．30 【答案】C 【分析】设最小的数为：x，则最大的数为：，根据最大数与最小数的和为40列出关于x的一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】解：设最小的数为：x，则最大的数为：， 根据题意可得出：， 解得， 则最大的数为：． 2．元宵节是中国传统节日之一，象征着万家团圆．如图是2026年元宵节所在月的月历图，在该月历图中可以用十字框圈出5个数．若圈出的这5个数的和为70，则十字框正中间的数为______． 【答案】14 【分析】设十字框正中间的数为x，则其左侧的数为，右侧的数为，上方的数为，下方的数为，根据圈出的这5个数的和为70，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】设十字框正中间的数为x，则其左侧的数为，右侧的数为，上方的数为，下方的数为， 根据题意，得 ，即， 解得， 即十字体正中间的数为14． 3．如图1，是2026年1月的月历，章老师在数学活动课上开展月历中的数学游戏． (1)①任意框出图1某一行中相邻的3个数，若中间的数为，那么右边的数为_________；（用含的式子表示） ②任意框出图1某一列中相邻的3个数，若中间的数为，那么下面的数为_________．（用含的式子表示） (2)①用图2框出图1中的3个数，则这3个数的和最大为_________； ②能否用图3框出图1中的5个数，使这5个数的和是90，若能，求这5个数分别是多少？若不能，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)①72； ②不能；理由如下： 设中间的数为b，则另外4个数分别为，，，， 根据题意得：， 解得：， 观察图可知，18在边上， ∴无法框出这样的5个数，使这5个数的和为90． 【分析】（1）①利用右边的数=中间的数，即可用含x的代数式表示出右边的数； ②利用下面的数=中间的数，即可用含x的代数式表示出下面的数； （2）①设中间的数为，则另外两个数分别为，，将个数相加，可得出这3个数的和为3a，对照图1，可得出a的最大值为24，将其代入3a中，即可求出结论； ②设中间的数为b，则另外4个数分别为，，，，根据题意可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，再结合图1，即可求出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：①若中间的数为，那么右边的数为； ②若中间的数为，那么下面的数为． （2）解：①设中间的数为a，则另外两个数分别为，， ∴个数的和为， 观察图可知，的最大值为， ∴， ∴这个数的和最大为； ②略 题型14.古代问题 1．清代宫廷档案中有这样一个问题：“士人携钱入市购贡瓜．若购四瓜，则余钱四百八十文；若购六瓜，则不足三百二十文．瓜价恒定，问一瓜值几何？”意思是：有一位读书人带钱去集市购买贡瓜．如果买4个瓜，身上还剩余480文钱；如果买6个瓜，身上还差320文钱，每个瓜的单价不变，请问一个瓜价值多少文？设每个瓜售价为x文，根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用读书人携带的总钱数不变作为等量关系，分别用两种购买情况表示总钱数，即可列出方程． 【详解】解：每个瓜售价为文，读书人携带的总钱数固定，则总钱数可表示为文，总钱数可表示为文， ∵总钱数相等， ∴可列方程． 2．《九章算术》是我国古代数学专著，其中第七章“盈不足”问题第一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文为：“今有若干人一起买物品，若每人出8钱，则多3钱；若每人出7钱，则还差4钱，问共有多少人，物价多少钱？”．在此问题中，共有______人． 【答案】7 【分析】设共有x人，根据“若每人出8钱，则多3钱”得到物价为钱，根据“每人出7钱，则还差4钱”得到物价为钱，根据物价相同即可列出方程并求解． 【详解】解：设共有x人，根据题意，得 ， 解得． 3．（用一元一次方程解应用题） 我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中有这样的记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之”．其大意是：跑得快的马每天走里，跑得慢的马每天走里．慢马先走天，求快马几天可以追上慢马． 【答案】快马天追上慢马 【分析】设快马天追上慢马，根据慢马先走天，追及时快马所行路程等于慢马所行总路程列出方程，解方程求出的值即可． 【详解】解：设快马天追上慢马， ∵跑得快的马每天走里，跑得慢的马每天走里，慢马先走天， ∴， ∴ 解得： 答：快马20天追上慢马． 题型15.其他问题 1．“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，体现了温度随着海拔的升高而降低．已知某地面温度为，且每升高千米温度下降，若山上的温度为，设山上距离地面的垂直高度为，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据温度变化的等量关系列一元一次方程，思路是：山上温度等于地面温度减去升高千米下降的总温度，据此列出方程即可． 【详解】解：∵山上距离地面的垂直高度为，每升高千米温度下降， ∴温度一共下降， ∵地面温度为，山上温度为， ∴根据等量关系可列方程：． 2．小智阅读一本科普图书，原来每天阅读页，读完页后，每天抽出一定的时间练钢笔字，每天阅读量降为原来的一半，结果多花了天才读完，则这本科普图书共有________页． 【答案】 【分析】设这本科普图书的总页数为页，根据时间差为天列出方程，求解即可． 【详解】解：设这本科普图书的总页数为页，根据题意列方程得： 去分母得： 合并同类项得： 解得： 答：这本科普图书共有页． 3．有若干名学生上体育课，体育老师规定每两人合用一个排球，每三人合用一个足球，每四人合用一个篮球，已知排球、足球、篮球共用了个．问：有多少个学生上体育课？ 【答案】有名学生上体育课． 【分析】根据题意设学生人数为，分别表示出排球、足球、篮球的数量，再依据三种球总数为个列出方程求解． 【详解】解：设有名学生上体育课， 每人合用个排球，排球数量为个， 每人合用个足球，足球数量为个， 每人合用个篮球，篮球数量为个， 根据“三种球共个”列方程，， 解得：， 答：有名学生上体育课． ✺巩固测试 一、单选题 1．某车间有126名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知1个大齿轮和2个小齿轮配成一套，问安排多少名工人加工大齿轮，才能刚好配套？设每天加工大齿轮的工人有人，则的值为（     ） A．30 B．96 C．70 D．56 【答案】A 【分析】根据题意将加工大齿轮的工人人数与加工小齿轮的工人人数表示出来，再根据“加工的小齿轮数量是加工的大齿轮数量的2倍”求解即可． 【详解】解：设每天加工大齿轮的工人有人，加工小齿轮的工人有人， 由题意列式为， 解得． 2．一项工程，单独做甲需 10 小时完成，乙需 15 小时完成．现在两人合作，中途甲因事停工了一段时间，结果 7 小时才完成，甲停工了（     ）小时． A． B．3 C．18 D．3.5 【答案】A 【分析】将工作总量看作单位“1”，先根据工作总量和单独完成时间求出甲乙的工作效率，再根据总工作量等于甲乙工作量之和列方程，即可求出甲停工的时间． 【详解】解：设工作总量为单位“1”，甲停工了小时， ∵甲单独完成需小时，乙单独完成需小时， ∴甲的工作效率为，乙的工作效率为， 甲工作时间为小时，乙工作时间为小时， ∴， 整理得：，解得， 即甲停工了小时． 3．某商场周年庆期间，对销售的某种商品按成本价提高后标价，又以9折（即按标价的）优惠卖出，结果每件商品仍可获利85元，设这种商品每件的成本是x元，根据题意，可得到的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等量关系“售价=成本+利润”，依次表示出标价和实际售价，即可列出方程． 【详解】解：设这种商品每件的成本是元， ∵商品按成本价提高后标价， ∴标价为元， ∵又按标价的打折卖出， ∴实际售价为元， ∵获利85元，根据“售价=成本+利润”， ∴列方程得． 4．某校开展了“剪纸文化知多少”的知识竞赛，选手需要从题库中随机抽取20道题依次进行作答，答对一道得3分，不答或答错扣1分．已知小明得了36分，则他答对的题数为（     ） A．8道 B．9道 C．12道 D．14道 【答案】D 【分析】设答对题的数量为未知数，根据总题数得到不答或答错的题数，结合得分规则列方程求解． 【详解】解：设小明答对的题数为道，则不答或答错的题数为道， 根据题意，列出方程为， 整理得， 解得， ∴小明答对的题数为道． 5．如图，在2026年1月的日历表中用“H字框”圈出5，7，12，13，14，19，21七个数，它们的和为91，若将“H字框”在图中换个位置另圈出七个数，则它们的和不可能是（     ） A．63 B．84 C．98 D．106 【答案】D 【分析】设中间数为，则七个数分别为、，、、、，，其和为，即和一定是的倍数，并结合中间数的位置解答． 【详解】解：设“H字框”中间的数为，则框出的七个数分别为、，、、、，， ∴七个数的和为， 当和时，解得：(在日历中存在，合理)； 当和时，解得：(在日历中存在，合理)； 当和时，解得：(在日历中存在，合理)； 当和时，解得：(日历中的数必须是整数，不合理)； 所以，只有对应的方程解不符合实际，因此和不可能是． 二、填空题 6．根据图中提供的信息，可知一把暖瓶的价格是_________． 【答案】35 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设一把暖瓶的价格为x元，则水杯的价格为元，根据买2把暖瓶3个水杯共需94元列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设一把暖瓶的价格为x元，则水杯的价格为元，由题意可得： ， 解得： 故答案为：35． 7．一个长方形的宽为厘米，长比宽的倍少厘米，长方形的周长为厘米，则可列方程为______． 【答案】 【分析】由一个长方形的宽为厘米，长比宽的倍少厘米，则长为厘米，然后通过长方形周长公式即可求解． 【详解】解：由一个长方形的宽为厘米，长比宽的倍少厘米， 所以长为厘米， 所以列方程为． 8．如图，的格子内填写了一些数和代数式．为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等，则________． 3 2 【答案】 【分析】根据各行各列及对角线上三个数之和相等，列出关于，的二元一次方程组，求解方程组即可得到的值． 【详解】解：根据题意，得， 整理得，解得， 则． 9．在我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题，其大意是：几个人一起去购买物品，如果每个人出8钱，则剩余3钱，如果每人出7钱，则差4钱，那么物品的价格是______钱． 【答案】53 【分析】物品总价格固定，根据两种出钱情况得到等量关系，设人数为未知数列方程求解即可． 【详解】解：设购买物品的总人数为人 ∵物品的价格固定不变， ∴可列方程 解得 将代入得物品价格为（钱）． 10．如图，在长方形中，厘米，厘米．两动点、同时从点出发，沿长方形的边按如图所示的方向，分别以厘米/秒的速度匀速绕行，当运动一周回到点位置时，两动点同时停止．则运动时间为______秒时，、两点的连线恰好平分长方形的面积． 【答案】或 【分析】分六种情况讨论：当时，当时，当时，当时，当时，当时，分别进行求解即可． 【详解】解：长方形中，厘米，厘米， 设运动时间为t秒， 当时，点Q在上，点P在上，、两点的连线不可能将长方形的面积平分； 当时，点Q在上，点P在上，根据题意得： ， 解得：； 当时，点Q在上，点P在上，、两点的连线不可能将长方形的面积平分； 当时，点Q在上，点P在上，、两点的连线不可能将长方形的面积平分； 当时，点Q在上，点P在上，根据题意得： ， 解得：； 当时，点Q在上，点P在上，、两点的连线不可能将长方形的面积平分； 综上，运动时间为6秒或18秒时，、两点的连线恰好平分长方形的面积． 三、解答题 11．一桶油，用去40千克，用去的比剩下的少，这桶油原来有多少千克？ 【答案】这桶油原来有90千克． 【详解】解：设这桶油原来有千克， 由题意得，， 解得：， 答：这桶油原来有90千克． 12．为节约能源，某单位按以下规定收取每月电费，用电不超过140度，按每度0.4元收费，如果超过140度，超过部分按每度0.6元收费．若某用户四月份的电费平均每度0.5元，问该用户四月份应交电费多少元？ 【答案】该用户四月份应交电费140元． 【分析】先根据平均电费判断用电量超过140度．再设出总用电量，根据收费规则得到总电费的等量关系，列出一元一次方程求解，即可得到应交电费． 【详解】解：因为四月份平均每度电费0.5元大于0.4元， 所以该用户四月份用电量超过140度． 设该用户四月份用电x度．则应交电费为元． 根据题意：， 解得：， （元）， 答：该用户四月份应交电费140元． 13．某班到离学校的国家森林公园春游，先坐车，速度为．下车后以的速度步行到达目的地，共花了，求他们步行的时间． 【答案】他们步行了 【分析】设他们步行了，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设他们步行了， 由题意，得， 解得， 答：他们步行了． 14．天骄超市和金帝超市以同样的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，两家超市都实行会员卡制度，在天骄超市累计购买元商品后，发给天骄会员卡，再购买的商品按原价收费；在金帝超市累计购买元的商品后，发给金帝会员卡，再购买的商品按原价收费，讨论顾客怎样选择商店购物能获得更大优惠？ 【答案】当购物款时，顾客在两家超市购物都一样；当购物款时，顾客在金帝超市购物能得更大优惠；当购物款时，顾客在金帝超市购物能得更大优惠；当购物款时，顾客在两家超市购物都一样；当购物款时，顾客在天骄超市购物能得更大优惠． 【分析】设顾客按原价购买需元，表示出两家超市实际花费，然后比较两者大小，即可得出结论． 【详解】解：设顾客按原价购买需元． 当时，顾客在两家超市购物价格一样； 当时，顾客在金帝超市购物能得更大优惠； ③当时，天骄超市实际付款是：元，金帝超市实际付款元． 令，解得：； 可知当时，顾客在金帝超市购物能得更大优惠， 当时，顾客在两家超市购物都一样， 当时，顾客在天骄超市购物能得更大优惠； 综上所述，当购物款时，顾客在两家超市购物都一样；当购物款时，顾客在金帝超市购物能得更大优惠；当购物款时，顾客在金帝超市购物能得更大优惠；当购物款时，顾客在两家超市购物都一样；当购物款时，顾客在天骄超市购物能得更大优惠． 15．A，B，C三地顺次在一条笔直的公路上，A，B两地的距离比B，C两地的距离多，且A，C两地的距离为2100千米． (1)求A，B两地的距离？ (2)王师傅开一辆货车从A地去B地，李师傅开小轿车从C地开车去A地，两车的速度比为，若两车出发后10小时相遇，求两车的速度各是多少？ (3)在（2）的条件下，两车出发四小时后，小张开一辆越野车以100千米/小时的速度从B地出发去A地，当李师傅离B地的距离比王师傅和小张之间的距离少时，求此时小张出发了多少时间？ 【答案】(1)1200千米 (2)两车的速度分别为90千米/小时，120千米/小时 (3)小张出发了3或小时 【分析】（1）设B，C两地的距离为x千米，则A，B两地的距离为千米，根据题意，列出方程，求解即可； （2）设货车的速度为千米/小时，则小轿车的速度为千米/小时，根据题意，列出方程，求解即可； （3）设小张出发了m小时，根据题意，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设B，C两地的距离为x千米，则A，B两地的距离为千米， 依题意得：， 解得， 所以A，B两地的距离为千米； （2）设货车的速度为千米/小时，则小轿车的速度为千米/小时， 依题意可得：， 解得， ，， 所以两车的速度分别为90千米/小时，120千米/小时； （3）设小张出发了m小时， 由题意可得：， 整理得， 则或， 解得或， 所以小张出发了3或小时． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 实际问题与一元一次方程 暑假预习讲义 ✺知识框架 基础模块：统一方程应用题解题流程，划分两类设元方式，搭建应用解题通用框架。 题型体系模块：依托课本经典例题，建立配套、工程、销售、计费四大题型模型，归纳对应数量关系与公式模型。 思维模块：形成「实际情境—数量关系—方程模型—求解验证」的标准化建模思维，完善代数应用知识闭环。 ✺学习目标 基础认知：理解方程解实际问题的建模意义，明晰不同题型的模型特点，掌握设元方法的适用场景。 技能提升：能够独立分析实际问题中的数量关系，精准列出并求解一元一次方程，规范完成完整解题流程。 综合素养：具备将生活实际问题转化为数学方程的建模能力，养成严谨、规范、验证结果的良好解题素养。 ✺题型归纳 题型1.配套问题 题型2.工程问题 题型3.销售盈亏 题型4.比赛积分 题型5.方案选择 题型6.数字问题 题型7.几何问题 题型8.动点问题 题型9.和差倍分问题 题型10.电费和水费问题 题型11.行程问题 题型12.比例分配 题型13.日历问题 题型14.古代问题 题型15.其他问题 题型16.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、列方程解应用题通用步骤 应用题解题统一标准：审 → 设 → 列 → 解 → 验 → 答 审：通读题干，梳理已知条件与未知量，抓取题目核心不变的等量关系，这是列方程解题的关键。 设：结合题意合理设未知数，书写规范、标注对应单位，分为直接设元、间接设元两类。 列：依托提炼的等量关系，列出规范的一元一次方程。 解：严格按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的标准步骤规范求解方程。 验：双重校验，先检验数值是否为方程的解，再检验结果是否符合生活实际，舍去不合理的解。 答：对应题干问题，完整书写答案，标注对应单位，形成完整解题闭环。 知识点二、常见列方程解应用题的几种类型 1.配套问题 配套问题中的基本关系：若m个A和n个B配成一套，则 =,可得相等关系：m×B的数量=n×A的数量 常见场景：桌椅配套、螺栓与螺母、零件组装等常规配套题型。 2.工程问题 无特殊说明时，总工作量统记为单位1，单人工作效率= 数量关系及公式：工作量 = 工作效率 × 工作时间，工作效率=工作量÷工作时间，工作时间=工作量÷工作效率 核心等量关系：各分段、各人员工作量之和 = 总工作量1 常见场景：单人单独施工、多人合作施工、分段完成工程等基础题型 3.销售盈亏问题 核心概念：熟练掌握进价（成本价）、售价、利润、利润率四大核心概念。 核心公式 利润 = 售价 - 进价，售价=标价×折扣 商品利润率=×100％ 售价 = 进价 × (1 + 利润率) 核心逻辑：依托进价、售价、利润率的核心公式，解决商品盈利、亏损、打折销售等问题，精准判断销售盈亏情况。 4.计费与方案选择问题 核心逻辑：针对题目给出的两种计费方案，通过求解费用相等的临界点，判定不同取值范围内的最优计费方案。 核心等量关系：方案一总费用 = 方案二总费用（临界点列式依据） 常见场景：电话计费、水电费计费、购物优惠、出行方案选择等基础题型。 ✺题型精讲 题型1.配套问题 1．某车间有22名工人，每人每天可生产1200个螺钉或2000个螺母，1个螺钉配2个螺母．设x名工人生产螺钉，可列方程（    ）． A． B． C． D． 2．一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成，若木料可制作50个桌面或300条桌腿，现有木料，使得生产出来的桌面和桌腿恰好都配成方桌，则用来生产桌面的木料有_______． 3．某车间有82个工人生产甲、乙两种零件，每人每天平均能生产甲种零件12个或乙种零件25个．已知3个甲种零件和4个乙种零件配成一套，问分配多少人生产甲种零件，多少人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套，恰好配成多少套？ 题型2.工程问题 1．甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时．丙水管单独开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，水池注满还要（     ）个小时． A．15 B．20 C．35 D．40 2．某小区计划推进老旧小区改造，若甲工程队单独完成需天，乙工程队单独完成需天，现由两队合作，中途乙队被调走，余下的任务由甲队单独做了天后完成．在这个过程中，甲、乙两队合作了________天． 3．完成一项工程，甲队单独做需要60天，乙队单独做需要90天，若由甲先做20天，剩下的两队合作，则完成这项工程两队合作需要多少天？ 题型3.销售盈亏 1．某商店将一种商品按标价的七五折出售，仍可获利.  若该商品的进价为元，则标价为（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 2．某种商品按照的利润定价，然后又按九折出售，结果赚了32元，该商品的定价是______． 3．一天，小明和小颖在书店门口相遇，他们进行了如下对话： 请你根据他俩的对话内容，解答下列问题： (1)买多少元的书办卡和不办卡的费用相同？ (2)如果小颖没有办卡，她需要付多少钱？ 题型4.比赛积分 1．某中学举行“强国有我”知识竞赛，规则如下：每位选手共需答题25道，每答对一道题得4分，不答或答错一题扣2分，若小华同学最终成绩88分，小华答对（     ）题． A．20 B．21 C．22 D．23 2．四支排球队进行单循环比赛，即每两队都赛一场，且只赛一场．如果一场比赛的比分是或，则胜队得3分，负队得0分；如果比分是，则胜队得2分，负队得1分．比赛的结果各队得分恰好是四个连续的自然数，则第一名的得分是______分． 3．用方程（组）解决下列问题： 某中学举办了足球比赛，计分规则为：胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．某班参加了11场比赛，并始终保持不败的记录，共得25分，求该班胜了多少场比赛？ 题型5.方案选择 1．某景区单独购票为每人元，团体购票为每人元．某旅游团按团体购票比单独购票总共节省费用元，则该旅游团人数为（   ） A． B． C． D． 2．为了庆祝劳动节，宣扬劳动光荣的中华民族优秀传统，某网店为了吸引顾客，推出下列优惠措施，受到顾客的好评．优惠措施如下： 购物款不超过200元不享受优惠； 购物款超过200元但不超过600元一律享受九折优惠； 购物款超过600元一律享受八折优惠， 某顾客第一次从该网店购物花了168元人民币，第二天又花了423元从该网店购物，如果该顾客一次性购买以上商品，可以节省_____元 3．某商店有A、B两种型号的节能灯，店主统计了3天的产品销售情况，如表： 统计日期 售出A型节能灯个数 售出B型节能灯个数 总售价 6月15日 0 1 50 6月16日 1 2 200 6月17日 5 5 750 (1)根据上表数据可得B型节能灯的单价 ． (2)根据上表数据，求A型节能灯的单价． (3)若商家A、B两种型号的节能灯共售出15个，总售价为1300元．那么售出的两种型号的节能灯各多少个？ 题型6.数字问题 1．如图，在的方阵图中，填写了一些数和字母（其中字母表示一个数）．若处于每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和都相等，则这个方阵图中字母表示的数为（     ） 13 12 8 A．6 B．7 C．9 D．10 2．两个自然数相除，有两种表示的方法：，，根据两种表示方法，可以得出( )，( )． 3．我国古代的“九宫图”是由方格构成的，每个方格均有不同的数，每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．如下给出了“九宫图”的一部分，请推算的值． 2025 x 1 5 题型7.几何问题 1．如图，用8块相同的长方形地砖拼成一个矩形地面，则每块长方形地砖的长和宽分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 2．如图有两个面积相等的长方形，重叠后得到图形．图形中的长度是( )，图形的周长是( )． 3．竹节人是中国传统民间玩具，它由竹节与线绳组装而成．如图，制作一个竹节人，需将一根粗细均匀的竹子截成九段：一段长竹节为头和上身，另八段等长短竹节为四肢．如图，竹节人的头长与上身长的比为，长竹节长是短竹节长的倍，头宽比头长少，竹节人完全张开手臂的臂展长为，求这个竹节人的总高度．          题型8.动点问题 1．在数轴上，点向右移动1个单位长度得到点，点向右移动2个单位长度得到点，点A、B、C分别表示有理数a、b、c．若a、b、c三个数的乘积为负数，且这三个数的和与其中一个数相等，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 2．如图，正方形的边长为5，点E，F分别从点A，B出发，同时分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度逆时针移动．当点E，F首次重合时，运动时间________秒． 3．综合与探究 如图，在长方形中，，，动点从点开始，沿边向点以的速度运动；动点从点开始，沿边向点以的速度运动．点同时开始运动，当点到达点时，点和点同时停止运动，用表示运动的时间． (1)当点在边上运动时，为何值，使得？ (2)当为何值时，等于长方形周长的？ (3)当点Q在上运动时，且点与点的距离为3时，直接写出的值． 题型9.和差倍分问题 1．小川今年4岁，他爸爸今年36岁，几年后他爸爸的年龄是小川的年龄的3倍？设年后爸爸的年龄是小川的年龄的3倍，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 2．仓库大米比面粉多，当大米和面粉都减少5吨后，面粉比大米少，问：仓库原来大米有_______吨． 3．甲班51人，乙班49人，某次考试两个班全体同学的平均成绩是81分，乙班平均成绩要比甲班的平均成绩高7分，那么乙班的平均成绩是多少分？ 题型10.电费和水费问题 1．收费标准如下：每月用水不超过，按0.8元/收费，如果超过，超过部分按1.2元/收费．已知某用户某月的水费平均0.88元/，那么这个用户这个月应交水费为（     ）． A．6.6元 B．7.5元 C．7.8元 D．7.2元 2．某市为了鼓励居民节约用水，对自来水用户按如下标准收费：若每月每户用水不超过15吨，按每吨3元收费；若超过15吨，则超过部分按每吨4元收费，如果某户居民五月份缴纳水费73元，那么该居民这个月实际用水________吨 3．某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过240度的部分 a 第2档 超过240度但不超过400度的部分 0.65 第3档 超过400度的部分 已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元； (1)表中a的值为______；若用电420度，则应缴电费______元； (2)若11月份老李家交电费183元，求老李家11月份的用电量． 题型11.行程问题 1．小明如果以的速度从家去学校，则迟到2分钟，如果以的速度从家去学校，则会提前2分钟到校，设小明家到学校距离为，那么可列方程为（     ） A． B． C． D． 2．已知A、B两地相距，甲车从A地出发开往B地，同时乙车从B地开往A地，甲车的速度是，乙车的速度是，出发_________小时两车相距． 3．列一元一次方程解应用题：某款纯电动汽车的充电数据为：家用慢充每小时可补充续航，快充每小时可补充续航．若该车需要用慢充和快充配合（两种充电方式不可同时进行），总共充电小时，恰好使总续航增加，且充电方式切换的时间忽略不计，求慢充的时间． 题型12.比例分配 1．把一根木料锯成段要分钟，以同样的速度锯成段要分钟，正确的列式为（    ） A． B． C． D． 2．山洞里有一堆桃子，是三只猴子的共同财产．猴老大来到山洞后将桃子按的比例分成两部分，并取走较多的一部分；猴老二来到后，将剩下的桃子又按的比例分成两部分，并取走较多的一部分；剩余的桃子归猴老三．已知猴老大比猴老三多拿了29个桃子，则猴老二拿了___________个桃子． 3．市场上一种茶饮料由茶原液和纯净水按一定的比例配制而成，其中购买一吨茶原液的钱可以买20吨纯净水，由于今年以来茶产地云南地区连续干旱，茶原液的收购价格上涨，纯净水也上涨了，导致配制的这种茶饮料成本上涨．求这种茶饮料中茶原液与纯净水的质量配制比例？ 题型13.日历问题 1．如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个“十”字圈出5个数（如3，9，10，11，17），照此方法，若圈出的5个数中，最大数与最小数的和为40，则这5个数中的最大数为（     ） A．20 B．23 C．27 D．30 2．元宵节是中国传统节日之一，象征着万家团圆．如图是2026年元宵节所在月的月历图，在该月历图中可以用十字框圈出5个数．若圈出的这5个数的和为70，则十字框正中间的数为______． 3．如图1，是2026年1月的月历，章老师在数学活动课上开展月历中的数学游戏． (1)①任意框出图1某一行中相邻的3个数，若中间的数为，那么右边的数为_________；（用含的式子表示） ②任意框出图1某一列中相邻的3个数，若中间的数为，那么下面的数为_________．（用含的式子表示） (2)①用图2框出图1中的3个数，则这3个数的和最大为_________； ②能否用图3框出图1中的5个数，使这5个数的和是90，若能，求这5个数分别是多少？若不能，请说明理由． 题型14.古代问题 1．清代宫廷档案中有这样一个问题：“士人携钱入市购贡瓜．若购四瓜，则余钱四百八十文；若购六瓜，则不足三百二十文．瓜价恒定，问一瓜值几何？”意思是：有一位读书人带钱去集市购买贡瓜．如果买4个瓜，身上还剩余480文钱；如果买6个瓜，身上还差320文钱，每个瓜的单价不变，请问一个瓜价值多少文？设每个瓜售价为x文，根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 2．《九章算术》是我国古代数学专著，其中第七章“盈不足”问题第一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文为：“今有若干人一起买物品，若每人出8钱，则多3钱；若每人出7钱，则还差4钱，问共有多少人，物价多少钱？”．在此问题中，共有______人． 3．（用一元一次方程解应用题） 我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中有这样的记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之”．其大意是：跑得快的马每天走里，跑得慢的马每天走里．慢马先走天，求快马几天可以追上慢马． 题型15.其他问题 1．“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，体现了温度随着海拔的升高而降低．已知某地面温度为，且每升高千米温度下降，若山上的温度为，设山上距离地面的垂直高度为，可列方程为（     ） A． B． C． D． 2．小智阅读一本科普图书，原来每天阅读页，读完页后，每天抽出一定的时间练钢笔字，每天阅读量降为原来的一半，结果多花了天才读完，则这本科普图书共有________页． 3．有若干名学生上体育课，体育老师规定每两人合用一个排球，每三人合用一个足球，每四人合用一个篮球，已知排球、足球、篮球共用了个．问：有多少个学生上体育课？ ✺巩固测试 一、单选题 1．某车间有126名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知1个大齿轮和2个小齿轮配成一套，问安排多少名工人加工大齿轮，才能刚好配套？设每天加工大齿轮的工人有人，则的值为（     ） A．30 B．96 C．70 D．56 2．一项工程，单独做甲需 10 小时完成，乙需 15 小时完成．现在两人合作，中途甲因事停工了一段时间，结果 7 小时才完成，甲停工了（     ）小时． A． B．3 C．18 D．3.5 3．某商场周年庆期间，对销售的某种商品按成本价提高后标价，又以9折（即按标价的）优惠卖出，结果每件商品仍可获利85元，设这种商品每件的成本是x元，根据题意，可得到的方程是（    ） A． B． C． D． 4．某校开展了“剪纸文化知多少”的知识竞赛，选手需要从题库中随机抽取20道题依次进行作答，答对一道得3分，不答或答错扣1分．已知小明得了36分，则他答对的题数为（     ） A．8道 B．9道 C．12道 D．14道 5．如图，在2026年1月的日历表中用“H字框”圈出5，7，12，13，14，19，21七个数，它们的和为91，若将“H字框”在图中换个位置另圈出七个数，则它们的和不可能是（     ） A．63 B．84 C．98 D．106 二、填空题 6．根据图中提供的信息，可知一把暖瓶的价格是_________． 7．一个长方形的宽为厘米，长比宽的倍少厘米，长方形的周长为厘米，则可列方程为______． 8．如图，的格子内填写了一些数和代数式．为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等，则________． 3 2 9．在我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题，其大意是：几个人一起去购买物品，如果每个人出8钱，则剩余3钱，如果每人出7钱，则差4钱，那么物品的价格是______钱． 10．如图，在长方形中，厘米，厘米．两动点、同时从点出发，沿长方形的边按如图所示的方向，分别以厘米/秒的速度匀速绕行，当运动一周回到点位置时，两动点同时停止．则运动时间为______秒时，、两点的连线恰好平分长方形的面积． 三、解答题 11．一桶油，用去40千克，用去的比剩下的少，这桶油原来有多少千克？ 12．为节约能源，某单位按以下规定收取每月电费，用电不超过140度，按每度0.4元收费，如果超过140度，超过部分按每度0.6元收费．若某用户四月份的电费平均每度0.5元，问该用户四月份应交电费多少元？ 13．某班到离学校的国家森林公园春游，先坐车，速度为．下车后以的速度步行到达目的地，共花了，求他们步行的时间． 14．天骄超市和金帝超市以同样的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，两家超市都实行会员卡制度，在天骄超市累计购买元商品后，发给天骄会员卡，再购买的商品按原价收费；在金帝超市累计购买元的商品后，发给金帝会员卡，再购买的商品按原价收费，讨论顾客怎样选择商店购物能获得更大优惠？ 15．A，B，C三地顺次在一条笔直的公路上，A，B两地的距离比B，C两地的距离多，且A，C两地的距离为2100千米． (1)求A，B两地的距离？ (2)王师傅开一辆货车从A地去B地，李师傅开小轿车从C地开车去A地，两车的速度比为，若两车出发后10小时相遇，求两车的速度各是多少？ (3)在（2）的条件下，两车出发四小时后，小张开一辆越野车以100千米/小时的速度从B地出发去A地，当李师傅离B地的距离比王师傅和小张之间的距离少时，求此时小张出发了多少时间？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $