专题07 整式的加减暑假预习讲义2026-2027学年人教版七年级数学上册

专题07 整式的加减 暑假预习讲义 ✺知识框架 1.整式主要概念 单项式：定义、判定方法、系数、次数 多项式：定义、项、常数项、次数 整式：单项式与多项式的统称，明确整式判定标准 2. 整式加减运算： 运算基础：同类项的定义与判定 核心法则：合并同类项法则、去括号法则 综合运算：整式加减完整流程：去括号→合并同类项 必考题型：整式化简求值、整式实际应用 ✅本章是初中代数运算的重要章节，先建立整式相关基础概念，再掌握去括号、合并同类项两大核心运算，最终实现整式化简、数值求值与简单实际应用，是后续学习一元一次方程、整式运算的必备基础。 ✺学习目标 概念掌握：准确理解单项式、多项式、整式的定义，能熟练区分三者；精准识别单项式的系数、次数，多项式的项、常数项和次数。 规则掌握：明确同类项的定义，熟记合并同类项法则、去括号符号法则，能准确判断、规范运算。 运算能力：熟练掌握整式加减的基本运算方法，规范完成整式化简，能结合字母取值进行求值计算。 应用能力：能用整式表示实际问题中的数量关系，借助整式运算解决简单的实际应用问题。 ✺题型归纳 题型1.单项式的判断 题型2.单项式的系数、次数 题型3.写出满足某些特征的单项式 题型4.单项式规律题 题型5.多项式的判断 题型6.多项式的项、项数或次数 题型7.多项式系数、指数中字母求值 题型8.将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 题型9.整式的判断 题型10.同类项的判断 题型11.已知同类项求指数中字母或代数式的值 题型12.合并同类项 题型13.去括号 题型14.添括号 题型15.整式的加减运算 题型16.整式的加减中的化简求值 题型17.整式加减中的无关型问题 题型18.整式加减的应用 题型19.带有字母的绝对值化简问题 题型20.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、整式 1.单项式定义：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。 单项式两大核心要素：系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。 次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 ★π是固定常数，不是字母，计算单项式次数时，不计算π的指数；负号属于系数的一部分，如-2xy的系数是-2 单独非零常数的系数是它本身，次数为0（0无次数） 注意：式子中含有加减运算，不是单项式。如a+2、x-y 分母中含有字母的代数式不是单项式 2.多项式定义：几个单项式的和叫做多项式。 多项式相关概念：项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项；（注意：项包含前面的符号） 常数项：多项式中不含字母的项叫做常数项； 次数：多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。 关键说明：多项式没有“系数”概念，只有项的系数和多项式次数。 3.整式定义：单项式与多项式统称为整式。 知识点二、整式的加减运算 1.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。 特殊规定：所有的常数项都是同类项。 同类项判断两要素:字母完全相同；相同字母的指数完全相同； ★无关因素：与项的系数大小、字母的排列顺序无关。 2.合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。 核心法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项系数的和，且字母连同它的指数不变。 标准步骤：找同类项→移项归类→系数相加→保留字母与指数 3.去括号法则 法则1：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同。 例：a+(b-c)=a+b-c 法则2：如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。 例：a-(b-c)=a-b+c 必记口诀：正去不变，负去全变。 拓展：带系数去括号：先把系数乘进括号每一项，再去括号，杜绝漏乘。 4.整式加减运算的本质：去括号，合并同类项。 整式加减运算步骤: ◆有括号先去括号； ◆准确找出所有同类项； ◆合并同类项，化简式子； ◆结果保留最简整式（无同类项、无括号）。 整式化简解题步骤 化简：先对整式进行去括号、合并同类项，化为最简形式； 代入：将字母对应的数值代入（负数、分数代入必须加括号）； 计算：按照有理数运算顺序计算结果。 核心原则：先化简，后代入求值，不要直接代入数值硬算； ★负数、分数代入时必须添加括号，规范运算格式。 ✺题型◆精讲 题型1.单项式的判断 1．在代数式，，，，a，0，，中，单项式的个数是（） A．4 B．5 C．6 D．7 2．下列代数式：，，，0，，中，单项式有______． 3．下列各式哪些是单项式?为什么? ，，，，． 题型2.单项式的系数、次数 1．单项式的系数与次数分别为（   ） A．，3 B．，2 C．，3 D．3， 2．a2b的系数是 _________，次数是 _________． 3．商场的某品牌空调标价为m元/台，节日期间，按八折的优惠价格出售．商场销售n台这种空调共收入多少元?请指出你所得到的单项式的系数和次数． 题型3.写出满足某些特征的单项式 1．一个同时含有字母a，b，c，且系数为的五次单项式共有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．不能确定 2．写出一个系数是2026，且只含有，两个字母的三次单项式___________． 3．符合下列条件的单项式有几个? 请你一一写出来. ①系数为；②所含字母为m，n；③次数为5. 题型4.单项式规律题 1．观察这一列式子，按此规律排列，第24个式子为（　） A． B． C． D． 2．（1）按一定规律排列的单项式：，，，，，…其中第个单项式是_______． （2）按一定规律排列的单项式：，第个单项式是__________． 3．观察一组单项式：x，，，，…． (1)根据你发现的规律写出第8个单项式． (2)当和时，分别求出前6项的和． 题型5.多项式的判断 1．下列属于多项式的是（   ） A． B． C．0 D． 2．已知代数式：①0，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨．其中属于单项式的有__；属于多项式的有__．（填序号） 3．用代数式表示下列问题中的数量，并指出是单项式还是多项式． (1)比x的3倍小2的数是多少？ (2)列车以的速度行驶了，行驶的路程是多少？ (3)一瓶矿泉水m元，小王买了n瓶，应付多少元？ (4)某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17立方米，每立方米a元；超过部分每立方米元．该地区某用户上月用水量为20立方米，则应缴水费多少元？ 题型6.多项式的项、项数或次数 1．下列各多项式中，是四次三项式的是（ ） A． B． C． D． 2．整式是________次________项式． 3．多项式是几次几项式？并指出最高次项． 题型7.多项式系数、指数中字母求值 1．如果关于的多项式合并后不含项和项，那么的值为（   ） A． B． C． D． 2．已知是关于的二次三项式，则_____． 3．若多项式是关于的三次多项式，求多项式的值． 题型8.将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 1．把多项式按的升幂排列为（） A．B．C．D． 2．将多项式按字母降幂排列为_____． 3．将多项式按下列要求进行排列： (1)按a的升幂排列； (2)按b的降幂排列． 题型9.整式的判断 1．在式子，，，，中，整式的个数为（　　） A． B． C． D． 2．代数式，，，，，，中，整式共有___________个． 3．把下列代数式分别填入下表适当的位置： ，，，，，，． 代数式 整式 单项式 多项式 非整式 题型10.同类项的判断 1．下列各式中，是同类项的是（     ） A．与 B． 与 C．与 D．与 2．写出单项式的同类项：______．（写出一个即可） 3．下列各组中的两项是不是同类项？请说明理由． (1)与； (2)与； (3)与； (4)与； (5)与； (6)与9． 题型11.已知同类项求指数中字母或代数式的值 1．若与是同类项，则m、n的取值为（     ） A．， B．， C．， D．， 2．若与是同类项，则______． 3．若与是同类项，求的值． 题型12.合并同类项 1．下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．合并同类项：__________． 3．化简： (1)； (2)． 题型13.去括号 1．下列去括号中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．化简： （1）___________； （2）___________． 3．合并同类项： (1)； (2)． 题型14.添括号 1．不改变多项式的值，把它的后三项用括号括起来，且括号前带有“”，则结果为（   ） A． B． C． D． 2．( ) 3．在下列各式的括号内填上恰当的项： （1）( )； （2）( )； （3）( )． 题型15.整式的加减运算 1．计算的结果是(　　) A． B． C． D． 2．已知某个整式与的和是，则这个整式是_______． 3．计算：． 题型16.整式的加减中的化简求值 1．已知，，则（    ） A． B． C．34 D．无法计算 2．已知，，则的值为______． 3．先化简，再求值：，其中． 题型17.整式加减中的无关型问题 1．若多项式不含x的一次项，则a的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．若多项式（m，n为常数），无论x取何值代数式的值不变，则___________，___________． 3．已知多项式不含二次项，求的值． 题型18.整式加减的应用 1．甲、乙两堆煤相差20吨，各运出后，现在两堆煤相差（     ）吨． A．16 B．18 C．20 D．22 2．将4个如图1所示的长为x、宽为的小矩形按照图2的方式不重叠地摆放在大矩形中，，大矩形中未被覆盖的两部分分别记为和 （1）图形的周长=___________ （用含x，y的式子表示）； （2）图形和的周长之和=____________ 3．已知小明的年龄是 a 岁，小红的年龄比小明的年龄的2倍少3岁，小亮的年龄比小明的年龄的多4岁，这三名同学年龄的和是多少岁？ 题型19.带有字母的绝对值化简问题 1．已知有理数a，b同号，则的值为（     ） A．0 B． C．或2 D．0或2 2．若有理数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为_________． 3．解方程：    ✺巩固测试 一、单选题 1．下列判断中，错误的是（     ） A．是二次三项式 B．是单项式 C．是多项式 D．的次数是5 2．如果是关于x，y的四次三项式，那么（     ） A． B．或3 C．3 D． 3．关于多项式，下列说法错误的是（   ） A．这个多项式是五次四项式 B．常数项是1 C．它的次数最高项是 D．按x的降幂排列为 4．下列计算，正确的是（   ） A． B． C． D． 5．按一定规律排列一组单项式：，…则第2022个单项式是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．多项式的项是________，次数是________． 7．已知两个多项式的和是，其中一个多项式是，则另一个多项式是______ 8．在（    ）中，括号内应填的代数式为_________． 9．已知，则代数式的值为___________． 10．若减去的差不含项，则______． 三、解答题 11．已知多项式． (1)若该多项式不含有3次项，求a的值并写出常数项． (2)若该多项式是关于x的三次二项式，求a的值并写出最高次项． 12．已知， (1)化简： (2)在计算“当的值”时，小聪同学把“”错抄成“”，但他计算的结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果． 13．【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们到附近的某打车公司开展“打车计费”实践活动． 【实践发现】司机介绍说：“车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式：行车里程在及以内的，不收远途费，超过的，超出部分每千米收0.4元．”收费标准如下： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 元/ 元/ 元/ 【实践探究】老师说：“若乘客的行车里程为，行车时间为，则需付车费（元）．” 【问题解决】 (1)若小东的行车里程为，行车时间为，则需付车费_______元． (2)若小明的行车里程为，行车时间为，则需付车费多少元？（用含，的代数式表示，并化简） (3)若小王、小张的行车里程分别为与，且小王的行车时间比小张的行车时间多，谁付的车费更多？ 14．按要求解答 (1)已知： 计算 ； 若和时（1）中式子的值相等，求的值． (2)已知：有理数，，在数轴上的位置如图所示，且． 若， ，的相反数是，求，，的值； 化简： ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 整式的加减 暑假预习讲义 ✺知识框架 1.整式主要概念 单项式：定义、判定方法、系数、次数 多项式：定义、项、常数项、次数 整式：单项式与多项式的统称，明确整式判定标准 2. 整式加减运算： 运算基础：同类项的定义与判定 核心法则：合并同类项法则、去括号法则 综合运算：整式加减完整流程：去括号→合并同类项 必考题型：整式化简求值、整式实际应用 ✅本章是初中代数运算的重要章节，先建立整式相关基础概念，再掌握去括号、合并同类项两大核心运算，最终实现整式化简、数值求值与简单实际应用，是后续学习一元一次方程、整式运算的必备基础。 ✺学习目标 概念掌握：准确理解单项式、多项式、整式的定义，能熟练区分三者；精准识别单项式的系数、次数，多项式的项、常数项和次数。 规则掌握：明确同类项的定义，熟记合并同类项法则、去括号符号法则，能准确判断、规范运算。 运算能力：熟练掌握整式加减的基本运算方法，规范完成整式化简，能结合字母取值进行求值计算。 应用能力：能用整式表示实际问题中的数量关系，借助整式运算解决简单的实际应用问题。 ✺题型归纳 题型1.单项式的判断 题型2.单项式的系数、次数 题型3.写出满足某些特征的单项式 题型4.单项式规律题 题型5.多项式的判断 题型6.多项式的项、项数或次数 题型7.多项式系数、指数中字母求值 题型8.将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 题型9.整式的判断 题型10.同类项的判断 题型11.已知同类项求指数中字母或代数式的值 题型12.合并同类项 题型13.去括号 题型14.添括号 题型15.整式的加减运算 题型16.整式的加减中的化简求值 题型17.整式加减中的无关型问题 题型18.整式加减的应用 题型19.带有字母的绝对值化简问题 题型20.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、整式 1.单项式定义：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。 单项式两大核心要素：系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。 次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 ★π是固定常数，不是字母，计算单项式次数时，不计算π的指数；负号属于系数的一部分，如-2xy的系数是-2 单独非零常数的系数是它本身，次数为0（0无次数） 注意：式子中含有加减运算，不是单项式。如a+2、x-y 分母中含有字母的代数式不是单项式 2.多项式定义：几个单项式的和叫做多项式。 多项式相关概念：项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项；（注意：项包含前面的符号） 常数项：多项式中不含字母的项叫做常数项； 次数：多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。 关键说明：多项式没有“系数”概念，只有项的系数和多项式次数。 3.整式定义：单项式与多项式统称为整式。 知识点二、整式的加减运算 1.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。 特殊规定：所有的常数项都是同类项。 同类项判断两要素:字母完全相同；相同字母的指数完全相同； ★无关因素：与项的系数大小、字母的排列顺序无关。 2.合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。 核心法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项系数的和，且字母连同它的指数不变。 标准步骤：找同类项→移项归类→系数相加→保留字母与指数 3.去括号法则 法则1：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同。 例：a+(b-c)=a+b-c 法则2：如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。 例：a-(b-c)=a-b+c 必记口诀：正去不变，负去全变。 拓展：带系数去括号：先把系数乘进括号每一项，再去括号，杜绝漏乘。 4.整式加减运算的本质：去括号，合并同类项。 整式加减运算步骤: ◆有括号先去括号； ◆准确找出所有同类项； ◆合并同类项，化简式子； ◆结果保留最简整式（无同类项、无括号）。 整式化简解题步骤 化简：先对整式进行去括号、合并同类项，化为最简形式； 代入：将字母对应的数值代入（负数、分数代入必须加括号）； 计算：按照有理数运算顺序计算结果。 核心原则：先化简，后代入求值，不要直接代入数值硬算； ★负数、分数代入时必须添加括号，规范运算格式。 ✺题型◆精讲 题型1.单项式的判断 1．在代数式，，，，a，0，，中，单项式的个数是（） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据单项式的定义，逐个判断给定代数式，统计符合定义的单项式个数即可得到答案，用到的定义为，数或字母的积组成的代数式是单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式． 【详解】解：∵是两个单项式的和，属于多项式，不是单项式； ∵是单独的常数，是单项式； ∵是单项式； ∵是数与字母的积，是单项式； ∵是单独的字母，是单项式； ∵是单独的数，是单项式； ∵，是两个单项式的和，属于多项式，不是单项式； ∵，是单独的数，是单项式； ∴符合定义的单项式共6个． 2．下列代数式：，，，0，，中，单项式有______． 【答案】，0， 【分析】本题考查的是单项式的定义，熟练掌握单项式的定义“数或字母的乘积组成的代数式叫做单项式”是解题的关键．根据单项式的定义，逐个分析即可得出答案． 【详解】解：由题意得，单项式有：，0，； 故答案为：，0，． 3．下列各式哪些是单项式?为什么? ，，，，． 【答案】单项式有：，，，见解析 【分析】本题考查单项式的定义，掌握单项式的定义“单项式是数与字母的乘积（不含加减法或分母含字母）”是解题的关键．根据单项式的定义判定即可． 【详解】解：单项式是数与字母的乘积（不含加减法或分母含字母）． 含有加法运算，是多项式；的分母中含有字母，是分式，所以它们都不是单项式 ，，，，中，单项式有，，，都是数与字母的乘积，符合单项式的定义． 题型2.单项式的系数、次数 1．单项式的系数与次数分别为（   ） A．，3 B．，2 C．，3 D．3， 【答案】C 【分析】根据定义，单项式的系数是单项式中字母前的数字因数，次数是单项式中所有字母的指数之和，据此求解即可. 【详解】解：∵ 单项式可以改写为， ∴ 该单项式的数字因数为，即系数为； 又∵ 的指数为，的指数为，所有字母的指数和为， ∴ 该单项式的次数为； 综上，该单项式的系数与次数分别为，. 2．a2b的系数是 _________，次数是 _________． 【答案】 3 【分析】根据单项式系数与次数的定义，确定单项式的数字因数得到系数，计算所有字母的指数和得到次数． 【详解】解：单项式，其数字因数为，因此系数为； 字母的指数为，字母的指数为，所有字母指数和为 ，因此次数为． 3．商场的某品牌空调标价为m元/台，节日期间，按八折的优惠价格出售．商场销售n台这种空调共收入多少元?请指出你所得到的单项式的系数和次数． 【答案】收入为元，系数是，次数是 【分析】本题考查了列代数式，单项式的系数与次数，熟练掌握销售额的求解方法以及单项式的系数与次数的概念是解题的关键． 根据题意列出代数式求解即可． 【详解】解：∵空调标价为m元/台，节日期间，按八折的优惠价格出售．商场销售n台， ∴收入为元，系数是，次数是 题型3.写出满足某些特征的单项式 1．一个同时含有字母a，b，c，且系数为的五次单项式共有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查单项式的系数，次数的概念，关键是掌握：单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 根据单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数；进而问题可求解． 【详解】解：一个同时含有字母，，，且系数为的5次单项式有，，，，，，共有6个． 故选：A． 2．写出一个系数是2026，且只含有，两个字母的三次单项式___________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了单项式的定义，根据单项式系数和次数的定义，系数为2026，次数为3，因此和的指数之和需为3，由此即可得出结果，熟练掌握单项式的定义是解此题的关键． 【详解】解：单项式的次数是所有字母的指数之和，要求三次单项式，即和的指数和为3，如， 故答案为：（答案不唯一）． 3．符合下列条件的单项式有几个? 请你一一写出来. ①系数为；②所含字母为m，n；③次数为5. 【答案】m4n，m3n2，m2n3，mn4． 【分析】根据题意结合单项式的次数、系数定义得出符合题意的答案． 【详解】由题意可得：符合条件的单项式有：m4n，m3n2，m2n3，mn4． 【点睛】此题主要考查了单项式，正确把握单项式的次数与系数的确定方法是解题关键． 题型4.单项式规律题 1．观察这一列式子，按此规律排列，第24个式子为（　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别从符号、系数、x的次数三个部分寻找排列规律，推导得到第n个式子的通式，再代入计算得到结果． 【详解】解：∵观察给出的式子，可得； 第1个式子为 ， 第2个式子为 ， 第3个式子为 ， ⋯， 总结规律，第n个式子为 ， 将代入通式，得 . 因此第24个式子对应选项B． 2．（1）按一定规律排列的单项式：，，，，，…其中第个单项式是_______． （2）按一定规律排列的单项式：，第个单项式是__________． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的数字类规律探索，对单项式正确进行等价变形是解题关键． （1）对所给的单项式进行整理后即可求解． （2）对所给的单项式进行整理后即可求解． 【详解】解：（1）∵， ， ， ， ， ∴第n个单项式为． （2）第1个单项式的系数为，次数为， 第2个单项式的系数为，次数为， 第3个单项式的系数为，次数为， 第4个单项式的系数为，次数为， 第5个单项式的系数为，次数为， ……， 以此类推，可知第个单项式的系数为，次数为，即第个单项式是， 故答案为：，． 3．观察一组单项式：x，，，，…． (1)根据你发现的规律写出第8个单项式． (2)当和时，分别求出前6项的和． 【答案】(1) (2)当时，前6项的和为；当时，前6项的和为 【分析】本题主要考查单项式的规律问题，解题的关键是得到单项式的一般规律； （1）由题意易得…；由此问题可求解； （2）根据（1）可知：前6项的单项式分别为x，，，，，，然后分别代入进行求解即可． 【详解】（1）解：由x，，，，…；可知：…； ∴第8个单项式为； （2）解：由（1）可知：前6项的单项式分别为x，，，，，， ∴当时，前6项的和为； 当时，前6项的和为． 题型5.多项式的判断 1．下列属于多项式的是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【详解】本题考查了多项式．根据多项式的定义，几个单项式的和组成的式子是多项式，进行分析，得出选项A、B、C均为单项式，只有选项D属于多项式，即可作答． 解：A、是单项式，不是多项式，故该选项不符合题意； B、是单项式，不是多项式，故该选项不符合题意； C、0是单项式，不是多项式，故该选项不符合题意； D、是多项式，故该选项符合题意； 故选：D 2．已知代数式：①0，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨．其中属于单项式的有__；属于多项式的有__．（填序号） 【答案】 ①②⑨ ③⑤⑥ 【详解】解：其中属于单项式的有①0，②，⑨； 属于多项式的有③，⑤，⑥． 3．用代数式表示下列问题中的数量，并指出是单项式还是多项式． (1)比x的3倍小2的数是多少？ (2)列车以的速度行驶了，行驶的路程是多少？ (3)一瓶矿泉水m元，小王买了n瓶，应付多少元？ (4)某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17立方米，每立方米a元；超过部分每立方米元．该地区某用户上月用水量为20立方米，则应缴水费多少元？ 【答案】(1)，多项式 (2)，单项式 (3)，单项式 (4)，多项式 【分析】本题考查列代数式，整式的加减运算，单项式和多项式的判断，理解题意是解题关键． （1）根据题意列出代数式，并利用单项式和多项式的概念解答即可； （2）根据题意列出代数式，并利用单项式和多项式的概念解答即可； （3）根据题意列出代数式，并利用单项式和多项式的概念解答即可； （4）根据该用户用水量已经超过17立方米，所以分段表示水费，从而进行化简计算． 【详解】（1）解：根据题意可得，为多项式； （2）解：根据题意可得，为单项式； （3）解：根据题意可得，为单项式； （4）解：， 该用户应缴纳的水费为： 元， 为多项式． 题型6.多项式的项、项数或次数 1．下列各多项式中，是四次三项式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数，项数是多项式中单项式的个数，据此判断各选项即可得到答案． 【详解】解：A、多项式有三项，且次数最高的项的次数为2，，是二次三项式，不符合题意； B、多项式有四项，且次数最高的项的次数为3，，是三次四项式，不符合题意； C、多项式有两项，且次数最高的项的次数为4，是四次二项式，不符合题意； D、多项式有三项，且次数最高的项的次数为4，是四次三项式，符合题意； 2．整式是________次________项式． 【答案】 三 三 【分析】根据多项式中单项式的个数为项数，最高次项的次数为多项式的次数分析求解即可． 【详解】解：整式包含三个单项式，分别为，，，其中的次数为，的次数为，的次数为，可得最高次项的次数为，项数为，因此该整式是三次三项式． 3．多项式是几次几项式？并指出最高次项． 【答案】四次四项式，最高次项是 【分析】本题主要考查多项式的定义，计算多项式是几次几项式是解题的关键． 首先根据多项式的定义，分析该多项式各项的次数，找到次数、项数和次数最高的项即可． 【详解】解：∵该多项式有4项，分别是、、、，各项的次数依次为3、4、3、0， ∴次数最高的项是，次数为4， ∴该多项式是四次四项式，最高次项是． 题型7.多项式系数、指数中字母求值 1．如果关于的多项式合并后不含项和项，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式，在多项式中不含哪项，即哪项的系数为是解题的关键． 合并多项式中的同类项，令项和项的系数为，解出和的值，再求即可． 【详解】解：， 项的系数为，项的系数为， 由题意可知，且， 解得，，， ． 故选：C． 2．已知是关于的二次三项式，则_____． 【答案】3 【分析】本题考查多项式的项数，次数的求解．根据二次三项式的定义，多项式的最高次数为2，且项数为3，因此三次项系数必须为零，且二次项必须存在． 【详解】解：∵多项式是关于x的二次三项式， ∴，，， ∴，， ∴． 故答案为：3． 3．若多项式是关于的三次多项式，求多项式的值． 【答案】3或5或1 【分析】本题考查多项式次数及系数，已知字母的值求代数式的值等．由题意得分两种情况讨论，当时和时，使得多项式是三次多项式求出的值，代入中即可得到本题答案． 【详解】解：∵多项式是关于x的三次多项式， 当时，即，此时时满足式子为三次多项式，即， ∴或， 当时，即，此时时满足式子为三次多项式，即， ∴， 综上，多项式的值为3或5或1． 题型8.将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 1．把多项式按的升幂排列为（） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式，按y的升幂排列，即根据y 的指数从小到大重新排列多项式各项 【详解】解：按y的升幂排列为：， 故选：C． 2．将多项式按字母降幂排列为_____． 【答案】 【分析】按字母的降幂排列，是指将多项式的各项按照的指数从大到小的顺序排列，不改变各项本身的符号 【详解】解：先确定多项式各项中字母的次数：中的次数为，中的次数为，中的次数为，中的次数为， 按照的指数从大到小排列可得： 3．将多项式按下列要求进行排列： (1)按a的升幂排列； (2)按b的降幂排列． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多项式的升降幂排列： （1）按a的升幂排列，即按照的指数依次增大，进行排列即可； （2）按b的降幂排列，即按照的指数依次减少，进行排列即可． 【详解】（1）解：； （2） 解：． 题型9.整式的判断 1．在式子，，，，中，整式的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的定义，整式包含单项式与多项式，单独的数、数和字母的积是单项式，几个单项式的和是多项式，等式不属于整式，据此判断各式子是否为整式即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵整式是单项式和多项式的统称，单独的数、数与字母的积为单项式，几个单项式的和为多项式，等式不是整式， ∴在给出的式子中，是单独的数，属于单项式（整式）； 是数与字母的积，属于单项式（整式）； 是两个单项式的和，属于多项式（整式）； 是等式，不是整式； 是数与字母的积，属于单项式（整式）， ∴整式的个数有个， 故选：． 2．代数式，，，，，，中，整式共有___________个． 【答案】5 【分析】本题主要考查了整式的定义，熟练掌握“整式是分母中不含字母的代数式（包括单项式和多项式）”是解题的关键．根据整式的定义，判断每个代数式是否为整式，统计符合条件的个数． 【详解】解：，，，，是整式，，不是整式， 整式共个． 故答案为：． 3．把下列代数式分别填入下表适当的位置： ，，，，，，． 代数式 整式 单项式 多项式 非整式 【答案】单项式：，，；多项式：，；非整式：， 【分析】本题考查了整式，需要根据整式、非整式、单项式和多项式的定义求解；单项式是指数字与字母或字母与字母相乘的代数式，多项式是几个单项式的和，从而找出其中的多项式和单项式；再根据整式包含单项式和多项式，代数式中除了整式就是非整式，即可确定其中的非整式． 【详解】解： 代数式 整式 单项式 ，， 多项式 ， 非整式 ， 故答案为：单项式：，，；多项式：，；非整式：，． 题型10.同类项的判断 1．下列各式中，是同类项的是（     ） A．与 B． 与 C．与 D．与 【答案】C 【详解】解：与所含字母不同，A错误； 与中相同字母的指数不相同，B错误； 与所含字母均为、，且相同字母指数均为1，C正确； 与中的指数不同，D错误． 2．写出单项式的同类项：______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了同类项的概念，同类项要求所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，与是同类项， 故答案为：（答案不唯一）． 3．下列各组中的两项是不是同类项？请说明理由． (1)与； (2)与； (3)与； (4)与； (5)与； (6)与9． 【答案】(1)不是同类项，理由见解析 (2)是同类项，理由见解析 (3)不是同类项，理由见解析 (4)不是同类项，理由见解析 (5)是同类项，理由见解析 (6)是同类项，理由见解析 【分析】本题考查了同类项的知识，解答本题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”： 所含字母相同，且相同字母的指数也相同，熟练掌握其定义是解决此题的关键． （1）根据同类项的定义，进行判断即可； （2）根据同类项的定义，进行判断即可； （3）根据同类项的定义，进行判断即可； （4）根据同类项的定义，进行判断即可； （5）根据同类项的定义，进行判断即可； （6）根据同类项的定义，进行判断即可； 【详解】（1）解：与不是同类项，理由：与所含字母不相同，故与不是同类项； （2）解：与是同类项，理由：与所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，故与是同类项； （3）解：与不是同类项，理由：与所含字母相同，但相同字母a、b的指数不相同，故与不是同类项； （4）解：与不是同类项，理由：与所含字母不相同，故与不是同类项； （5）解：与是同类项，理由：与所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，故与是同类项； （6）解：与9是同类项，理由：与9都是常数，故与9是同类项． 题型11.已知同类项求指数中字母或代数式的值 1．若与是同类项，则m、n的取值为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项．据此求解即可． 【详解】解：∵与是同类项， ∴，． 2．若与是同类项，则______． 【答案】 【分析】根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同，据此列出关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：根据同类项的定义可知，两个单项式中相同字母的指数相等，可得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：． 3．若与是同类项，求的值． 【答案】4 【分析】本题考查了同类项的定义，熟练掌握同类项的定义是解答本题的关键．同类项定义中的两个“相同”：①所含字母相同；②相同字母的指数相同． 根据同类项的定义求出，，再计算即可． 【详解】解：因为与是同类项， 所以，， 即， 所以． 题型12.合并同类项 1．下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查合并同类项的法则，只有同类项才能合并，合并时系数相加减，字母和字母的指数保持不变，根据法则逐一判断选项即可． 【详解】解：对选项A：，A错误； 对选项B：与相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并，B错误； 对选项C：，C错误； 对选项D：，D正确． 2．合并同类项：__________． 【答案】 【详解】解：原式 ． 3．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查合并同类项： （1）根据合并同类项的法则进行计算即可； （2）根据合并同类项的法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式. 题型13.去括号 1．下列去括号中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据去括号规则：括号前有系数时需将系数乘以括号内每一项，括号前是负号，去括号后括号内各项都改变符号，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、，计算正确，符合题意； B、，计算错误，不符合题意； C、，计算错误，不符合题意； D、，计算错误，不符合题意． 2．化简： （1）___________； （2）___________． 【答案】 【分析】本题考查了去括号． （1）根据去括号法则，括号前是负号，括号内各项变号； （2）根据分配律，将3乘以括号内的每一项． 【详解】解：（1）； （2） 故答案为：，． 3．合并同类项： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式加减中的合并同类项，去括号，掌握合并同类项法则和去括号法则是解题的关键． （1）根据合并同类项法则计算即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 题型14.添括号 1．不改变多项式的值，把它的后三项用括号括起来，且括号前带有“”，则结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了添括号，解题的关键是掌握添括号法则． 根据添括号法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 2．( ) 【答案】 【分析】本题考查添括号，根据添括号的法则，括号前面是“”，添加括号时，括号里的每一项都要变号，据此进行求解即可． 【详解】解：； 故答案为：． 3．在下列各式的括号内填上恰当的项： （1）( )； （2）( )； （3）( )． 【答案】 【分析】本题考查了添括号． （1）（2）（3）添括号时，括号前面为加号，则括号内各项不变号，括号前面是减号，则括号内各项均变为原来的相反数，据此即可依次作答． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）， 故答案为：． 题型15.整式的加减运算 1．计算的结果是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先去括号，然后合并同类项，即可求解． 【详解】解：． 2．已知某个整式与的和是，则这个整式是_______． 【答案】 【分析】根据题意列出算式，然后去括号，再合并同类项即可． 【详解】解：∵某个整式与的和是， ∴ ∴这个整式是． 3．计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 题型16.整式的加减中的化简求值 1．已知，，则（    ） A． B． C．34 D．无法计算 【答案】B 【分析】这道题考查了整式的化简求值，解题关键是先对整式去括号、合并同类项，再将已知条件整体代入计算． 先化简代数表达式，再利用已知条件代入计算． 【详解】解：，， ． 故选B． 2．已知，，则的值为______． 【答案】8 【分析】把所求的代数式去括号，合并同类项化简为最简形式，再把给出的代数式代入求值计算即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴原式． 3．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解：原式； 当时，原式. 题型17.整式加减中的无关型问题 1．若多项式不含x的一次项，则a的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】把所给多项式合并同类项，再令含x的一次项的系数为0，据此求解即可． 【详解】解：， ∵多项式不含x的一次项， ∴， ∴． 2．若多项式（m，n为常数），无论x取何值代数式的值不变，则___________，___________． 【答案】 7 【分析】先合并同类项，再根据已知条件列出方程式，进而得出答案． 【详解】解： ， ∵无论x取何值代数式的值不变， ∴，， ∴，． 3．已知多项式不含二次项，求的值． 【答案】 【分析】因为多项式不含二次项，所以二次项系数为，可得关于的方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：多项式不含二次项，     ， ． 题型18.整式加减的应用 1．甲、乙两堆煤相差20吨，各运出后，现在两堆煤相差（     ）吨． A．16 B．18 C．20 D．22 【答案】B 【分析】设两堆煤原来的质量，根据运出比例表示出剩余质量，计算剩余质量差即可得到结果． 【详解】解：设甲堆原有吨，甲比乙多20吨，则乙堆原有吨， ∵各运出， ∴甲堆剩余质量为吨，乙堆剩余质量为吨， 两堆相差：(吨)． 2．将4个如图1所示的长为x、宽为的小矩形按照图2的方式不重叠地摆放在大矩形中，，大矩形中未被覆盖的两部分分别记为和 （1）图形的周长=___________ （用含x，y的式子表示）； （2）图形和的周长之和=____________ 【答案】 16 【分析】（1）由图形可得图形的周长为，将其计算即可； （2）由图形可得图形的周长为，将其计算后再与中所得结果相加即可． 【详解】解：（1）图形的周长， 故答案为：； （2）图形的周长为， 则， 即图形和的周长之和． 3．已知小明的年龄是 a 岁，小红的年龄比小明的年龄的2倍少3岁，小亮的年龄比小明的年龄的多4岁，这三名同学年龄的和是多少岁？ 【答案】三名同学年龄的和是岁 【分析】根据题意分别列出小明、小红和小亮的年龄，再相加，即可求出这三名同学的年龄的和． 【详解】解：根据题意可知，小红的年龄为岁，小亮的年龄为岁， 三名同学年龄的和是岁． 题型19.带有字母的绝对值化简问题 1．已知有理数a，b同号，则的值为（     ） A．0 B． C．或2 D．0或2 【答案】D 【分析】已知同号，分均为正和均为负两种情况，根据绝对值的性质化简代数式，计算得到结果即可． 【详解】解：∵有理数同号， ∴分两种情况讨论：①当，时，，，， ∴； ②当，时，，，， ∴； 综上，原式的值为或． 2．若有理数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为_________． 【答案】/ 【分析】本题考查绝对值的化简与数轴的综合应用，关键是根据数轴判断数的正负性，再利用绝对值的性质进行化简． 【详解】解：由数轴可知，，， ∵，， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：． 3．解方程：    【答案】或 【分析】本题考查了绝对值方程的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据绝对值的意义进行作答，逐步化简即可求解． 【详解】解：， ， 或， ∴或（不合题意，舍去）， 则， 或， 或（不合题意，舍去）， 或． ✺巩固测试 一、单选题 1．下列判断中，错误的是（     ） A．是二次三项式 B．是单项式 C．是多项式 D．的次数是5 【答案】D 【详解】解：A．的最高次项是，次数为，共有个项，是二次三项式，判断正确，不符合题意； B．单独的一个数是单项式，因此是单项式，判断正确，不符合题意； C．，是两个单项式的和，属于多项式，判断正确，不符合题意； D．中是常数，单项式的次数是所有字母的指数和，即，因此次数是不是，判断错误，符合题意． 2．如果是关于x，y的四次三项式，那么（     ） A． B．或3 C．3 D． 【答案】A 【详解】解：∵是关于，的四次三项式 ∴，， 解得或，， ∴． 3．关于多项式，下列说法错误的是（   ） A．这个多项式是五次四项式 B．常数项是1 C．它的次数最高项是 D．按x的降幂排列为 【答案】B 【分析】本题考查多项式的相关定义，包括多项式的次数、项数、常数项及降幂排列． 根据多项式的次数、项数、常数项的定义及降幂排列方法逐一分析各选项即可． 【详解】解：∵多项式各项的次数分别为3、5、4、0，且共有四项， ∴该多项式是五次四项式， ∴选项A说法正确，不符合题意； ∵常数项是不含字母的项，此多项式的常数项为， ∴选项B说法错误，符合题意； ∵次数最高的项是次数为5的， ∴选项C说法正确，不符合题意； ∵按x的降幂排列是根据x的次数从高到低排列，各项x的次数依次为3、2、1、0， ∴排列结果为， ∴选项D说法正确，不符合题意； 故选：B． 4．下列计算，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据合并同类项法则，同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变，不是同类项不能合并，逐个选项判断即可． 【详解】选项A: ； 选项B: ； 选项C: 和不是同类项，不能合并； 选项D: ． 5．按一定规律排列一组单项式：，…则第2022个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题分别从符号和字母的次数两部分找规律，得到对应单项式即可. 【详解】解：观察可知，奇数位符号为正，偶数位符号为负，单项式的次数为从1开始连续的整数， 故第2022个单项式是. 二、填空题 6．多项式的项是________，次数是________． 【答案】 ，， 3 【分析】多项式中每个单项式都是该多项式的项，多项式中次数最高项的次数叫做多项式的次数，据此可得答案． 【详解】解：多项式的项是，，； 的次数是， 的次数是， 是常数项，次数为， ∴该多项式的次数为3． 7．已知两个多项式的和是，其中一个多项式是，则另一个多项式是______ 【答案】 【分析】根据两个多项式的和与其中一个多项式，可用两式的差求出另一个多项式． 【详解】解：依题意得：另一个多项式 ． 8．在（    ）中，括号内应填的代数式为_________． 【答案】 【分析】本题考查去括号，添括号． 根据去括号和添括号法则，即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 9．已知，则代数式的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查代数式的整体代入求值，关键是利用整体思想将所求代数式转化为已知代数式的组合形式．观察所求代数式的结构，发现可拆分为，该式正好由已知的两个代数式的倍数和构成，再代入已知数值计算即可． 【详解】解：，， ； 故答案为：． 10．若减去的差不含项，则______． 【答案】 【分析】将已知整式相减，然后去括号，合并同类项进行化简，令含项的系数之和为，列方程求解． 【详解】解： ， 结果中不含项， ， 解得． 三、解答题 11．已知多项式． (1)若该多项式不含有3次项，求a的值并写出常数项． (2)若该多项式是关于x的三次二项式，求a的值并写出最高次项． 【答案】(1)，常数项为 (2)，最高次项为 【分析】本题主要考查了多项式的知识，解题的关键是掌握多项式的次数和系数． （1）根据多项式的系数进行求解即可； （2）根据多项式次数和项数的定义来解答． 【详解】（1）解：由题意可知，， 所以， 常数项为； （2）解：由题意可知，， 所以， 最高次项为． 12．已知， (1)化简： (2)在计算“当的值”时，小聪同学把“”错抄成“”，但他计算的结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据整式的加减运算可进行求解； （2）先对整式进行化简运算，然后再进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， ∴ ； ∵的计算结果中不含有x的项， ∴的计算结果就与x的取值无关， ∴小聪同学把“”错抄成“”，但他计算的结果也是正确的， 正确的结果为：把代入得：原式． 13．【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们到附近的某打车公司开展“打车计费”实践活动． 【实践发现】司机介绍说：“车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式：行车里程在及以内的，不收远途费，超过的，超出部分每千米收0.4元．”收费标准如下： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 元/ 元/ 元/ 【实践探究】老师说：“若乘客的行车里程为，行车时间为，则需付车费（元）．” 【问题解决】 (1)若小东的行车里程为，行车时间为，则需付车费_______元． (2)若小明的行车里程为，行车时间为，则需付车费多少元？（用含，的代数式表示，并化简） (3)若小王、小张的行车里程分别为与，且小王的行车时间比小张的行车时间多，谁付的车费更多？ 【答案】(1) (2)当时，需付车费元；当时，需付车费元 (3)两人付的车费一样多 【分析】（1）根据行车里程不超过，直接计算里程费加时长费即可得到结果； （2）分行车里程不超过和超过两种情况，根据计费规则列代数式并化简； （3）设出小王的行车时间，用含未知数的代数式分别表示出两人的车费，化简后比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解 ，不收远途费 总车费为 （元） （2）解 分两种情况讨论： 当时，不收远途费，需付车费为（元） 当时，超出的部分为 ，远途费为 元 总车费为： （元） 综上，当时，需付车费 元， 当时，需付车费 元. （3）解 设小王的行车时间为分钟，则小张的行车时间为 分钟 小王行车里程为 ， 小王应付车费为： （元） 小张行车里程为 ， 小张应付车费为： （元） 两人应付车费相等． 答：两人付的车费一样多． 14．按要求解答 (1)已知： 计算 ； 若和时（1）中式子的值相等，求的值． (2)已知：有理数，，在数轴上的位置如图所示，且． 若， ，的相反数是，求，，的值； 化简： ． 【答案】(1)； (2)；化简为． 【详解】（1）解：原式 当 时，中式子的值为 ，当时，中式子的值为， ，解得， ． （2）解：由数轴可知， 故由解得， 由解得， 由的相反数是得； ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $