5.3实际问题与一元一次方程暑假预习练 2026-2027学年人教版数学七年级上册

**基本信息** 聚焦一元一次方程实际应用，分层覆盖基础概念到综合问题，通过生活情境与数学建模提升知识迁移能力，培养运算能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一知识点直接应用|如数轴移动、利润计算等基础题型，强化符号意识与运算能力| |中档|复杂情境等量关系分析|如行程追及、工程合作问题，结合线段图培养几何直观与推理意识| |提升|跨学科综合应用|如动点问题、身份识别系统设计，发展空间观念与模型意识|

5.3实际问题与一元一次方程 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．把数轴上表示数3的点在数轴上移动5个单位后，表示的数为（ ） A．8 B．2 C．8或 D．8或2 2．一天，小明以48米/分钟的速度去上学，5分钟后小明的爸爸发现他忘了带数学书，于是爸爸立即以72米/分钟的速度去追赶小明．求多少分钟后爸爸能追上小明？如果设分钟后爸爸追上小明，依题意可得的方程是（    ） A． B． C． D． 3．设有个人共种棵树苗，如果每人种8棵，则剩下2棵树苗未种；如果每人种10棵，则缺6棵树苗．根据题意，列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 4．现有一道条件缺失的题目：一项工程，甲队单独完成需要12天……还需要多少天完成任务？根据标准答案，老师在黑板上画出如图所示的线段示意图，设两队合作还需要天完成任务，并列方程．根据以上信息，下列结论正确的有（   ） ①●代表的实际意义是甲队先做2天的工作量； ②乙队单独完成需要8天； ③▲代表的式子是； ④甲队先做2天，然后甲、乙两队合作还需要4天完成任务． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．甲组有33个人，乙组有27个人，从乙组调若干人到甲组后，甲组的人数恰好是乙组人数的3倍，则变化后乙组的人数有（    ）人． A．12 B．13 C．14 D．15 6．如图，在长方形中，．点从点出发，沿折线方向运动，速度；点从点出发沿线段方向向点运动，速度；点、同时出发，当一方到达终点时，另一方同时停止运动，设运动时间是．下列说法错误的是（    ）    A．点运动路程为 B． C．当时， D．运动中，点可以追上点 7．某种商品每件的进价为120元，标价为180元．为了拓展销路，商店准备打折销售．若使利润率为20%，则商店应打（    ） A．五折 B．六折 C．七折 D．八折 8．某牛奶加工厂现有鲜奶，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获利500元；制成酸奶销售，每吨可获利1200元；制成奶片销售，每吨可获利2000元．该厂的生产能力是：若制成酸奶，每天可加工；若制成奶片，每天可加工．受条件限制，两种加工方式不可同时进行，受气温影响，鲜奶必须在4天内销售或加工完毕．为此，该厂设计了三种方案．方案一：在市场上直接销售鲜奶；方案二：尽可能多地制成奶片，其余直接销售鲜奶；方案三：部分制成奶片，其余全部制成酸奶，并保证在4天内完成．获利最多的方案是（   ） A．方案一 B．方案二 C．方案三 D．一样多 9．某商品在进价的基础上提价20%后以96元的价格出售，则该商品的进价为（    ） A．60元 B．70元 C．80元 D．86元 10．如图，三块形状完全相同的小长方形可以拼成一个大长方形．如果大长方形的周长为，那么一块小长方形的面积是（　　）．    A． B． C． D． 11．《九章算术》中有这样一个问题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，绳多一尺，问绳长井深各几何？”其大意为：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺：如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各多少尺？设井深尺，依题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 12．甲组有34个人，乙组有26个人，从乙组调若干人到甲组后，甲组的人数恰好是乙组人数的3倍，则乙组调到甲组的人数是（   ）人． A．9 B．10 C．11 D．12 二、填空题 13．一组数按一定的规律排列：，，1，，16，，…．其中某三个相邻数的和是，则这三个相邻数最中间的数是________． 14．下表是两种移动电话的计费方式： 月使用费（元） 主叫限定时间（分钟） 主叫超时费（元/分钟） 被叫 方式一 58 150 0.25 免费 方式二 88 350 0.19 免费 当小东某月的移动电话主叫时间是_____分钟时，选择方式一与方式二的费用相同． 15．某次篮球联赛积分榜如下： 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 前进 14 10 4 24 东方 14 10 4 24 光明 14 9 5 23 蓝天 14 9 5 23 雄鹰 14 7 7 21 远大 14 7 7 21 卫星 14 4 10 18 钢铁 14 0 14 14 问题1 你能从表格中了解到哪些信息？ 每队的胜场数＋_____＝这个队比赛场次； 每队胜场总积分＋负场总积分＝这个队的总积分； 每队胜场总积分＝胜1场得分×_____…… 问题2 怎样用式子表示总积分与胜、负场数之间的关系？ 解：若一个队胜 m场，则负______场，胜场积分为 2m，负场积分为14－m，总 积分为：_____． 即胜m场的总积分为（m ＋14）分． 16．足球比赛的计分方法为胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．一个队共踢了14场比赛，负5场，得了19分．设该队共平了x场，则可列方程为_______． 17．已知三个连续奇数的和是，则中间的那个数是_______． 三、解答题 18．数学课上，好学的小明向老师提出了一个问题：无限循环小数是无理数吗？ 以为例，老师给小明做了以下解答（注：即）： 设为x，即： 等式两边同时乘10，得： 即： 因为所以解得： 即． 因为分数是有理数，所以是有理数，同学们，你们学会了吗？请根据上述阅读，解决下列问题： (1)无限循环小数写成分数的形式是______ (2)请用解方程的办法将写成分数． 19．为响应国家节能减排政策，某班开展了节电竞赛活动．通过随手关灯、提高夏季空调温度、及时关闭电源等行为，小明和小玲两位同学半年共节电55度．据统计，节约1度电相当于节约0.4千克“标准煤”，在节电55度产生的节煤量中，小明“节煤量”的2倍比小玲多8千克．设小明半年节电x度． 请回答下面的问题： (1)用含x的代数式表示小玲半年节电量为_______度，用含x的代数式表示这半年小明节电产生的“节煤量”为_______千克，用含x的代数式表示这半年小玲节电产生的“节煤量”为_______千克；（不需要化简） (2)请列方程求出小明半年节电的度数． 20．已知点C在直线AB上，线段厘米，厘米，点M，N分别是AC，BC的中点． (1)画出示意图，并求线段MN的长度； (2)如图，点C在线段AB上时，动点P，Q分别从A，B同时出发，点P以2cm/s的速度从点A向点B运动，点Q以1cm/s的速度从点B向点A运动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，在整个运动过程中，当C，P，Q三点有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点时，P点运动了多少秒？（画出示意图，并写出求解过程） 21．学校将学生按年级、班级、班内座号的顺序给每一位学生编号，如7年级12班26号学生的编号为071226．小浩同学模仿二维码的方式给学生编号设计了一套身份识别系统，在4×4的正方形网格中，黑色正方形表示数字1，白色正方形表示数字0．我们把从上往下数第i行、从左往右数第j列表示的数记为aij（其中i、j＝1，2，3，4），例如图1中，第2行第3列的数字a23＝1．规定Ai＝23ai1+22ai2+2ai3+ai4． (1)若A1表示所在年级，A2表示所在班级，A3表示编号的十位数字，A4表示编号的个位数字．图1是小浩同学的身份识别图案，请直接写出小浩同学的编号为______； (2)小浩同学又设计了一套信息加密系统，其中A1表示所在年级的数加4，A2表示所在年级的数乘2后减2再减所在班级的数，将编号的末两位单列出来，作为一个两位数，个位与十位数字对换后再加2，所得结果的十位数字用A3表示、个位数字用A4表示，9年级5班39号的小方同学，编号为090539，其加密后的身份识别图案中，A1＝9+4＝13，A2＝9×2﹣2﹣5＝11，93+2＝95，所以A3＝9，A4＝5，则加密后的编号为131195． ①请在图2中画出小方同学加密后的身份识别图案； ②图3是小乐同学加密后的身份识别图案，由于被损坏看不清第4行，但已知加密后的编号的末两位比原编号的末两位小16，请求出小乐同学的编号． 22．某学校准备请甲、乙两人搬运一批图书，已知甲单独运完需要10天，乙单独运完需要20天．甲先搬运了4天，然后甲、乙两人合作运完剩下的图书． (1)甲、乙两人合作还需要多少天运完图书？ (2)已知甲每天的薪酬比乙多50元，运完图书后学校共需支付薪酬2800元．则甲、乙两人每天的薪酬分别为多少元？ 23．如图，在直线上，射线平分，射线在内．    (1)若，求证：射线是的平分线； (2)若，，求的度数． 24．为了使福利院的孩子们过一个快乐的儿童节，某玩具厂决定赠送他们一批玩具，这批玩具甲组独立生产需要天完成，乙组独立生产需要6天完成，甲组独立生产两天后，乙组开始参与生产，两组合作生产多少天可以完成这批玩具的生成任务？ 《5.3实际问题与一元一次方程》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C D D D D C C B 题号 11 12 答案 D C 1．C 【分析】分两种情况分析：向左和向右移动，即可求解，解题关键在于要注意分类讨论，不要漏解． 【详解】解：当数轴上表示数3的点向左移动5个单位后，表示的数为； 当数轴上表示数3的点向右移动5个单位后，表示的数为． 故选：C． 2．A 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，解题的关键在于理解追及过程． 根据“小明前面5分钟的路程小明后面分钟的路程爸爸分钟所走的路程”建立方程，即可解题． 【详解】解：根据题意可得的方程是， 故选：A． 3．C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程．根据人数不变可得方程． 【详解】解：由题意得：=， 故选：C． 4．D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确分析线段示意图和方程是解题的关键． 根据线段示意图和方程逐项分析判断即可． 【详解】解：根据题意得①●代表的实际意义是甲队先做2天的工作量，正确； ②乙队单独完成需要8天，正确； ③▲代表的式子是，正确； ④解得， 甲队先做2天，然后甲、乙两队合作还需要4天完成任务， 结论④正确； 综上所述，结论正确的有个， 故选：D． 5．D 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设从乙组调人到甲组，根据变化后甲组的人数恰好是乙组人数的3倍，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设从乙组调人到甲组，由题意，得： ， 解得：， ∴，即：变化后乙组的人数有15人； 故选D． 6．D 【分析】本题主要考查了列代数式，以及一元一次方程的应用． 【详解】解：．由点P的速度为，时间为，得点运动路程为，正确，故本选项不符合题意； ．由点Q的速度为，时间为，得点Q运动路程为，则，正确，故本选项不符合题意； ．当，，，则正确，故本选项不符合题意； ．假设运动中点可以追上点，则，解得：，假设不成立，原表述错误，故本选项符合题意； 故选：D． 7．D 【分析】设商店应打x折，根据利润＝售价﹣进价，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设商店应打x折， 依题意得：180×0.1x﹣120＝120×20%， 解得：x＝8． 故商店应打八折． 故选D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 8．C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．根据题意找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 方案一：直接列出算式求出利润即可； 方案二：根据制成奶片，每天可加工，求出天加工的吨数，剩下的直接销售鲜牛奶求出利润即可； 方案三：设生产天奶片，天酸奶，根据题意列出方程，求出方程的解得到的值，进而求出利润比较即可得到结果． 【详解】解：方案一：直接销售鲜奶可以获利： （元）， 方案二：易知最多生产奶片，其余的直接销售鲜奶． 利润为（元）． 方案三：设生产天奶片，则生产天酸奶， 根据题意，得， 解得：， 利润为（元）， ∵， ∴第三种方案获利较多． 故选：C． 9．C 【分析】根据售价=进价×（1+增长的百分比）即可得出答案． 【详解】解：设商品的进价是x元， 则：x(1+20%)=96， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系“售价=进价×（1+增长的百分比）”． 10．B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设小长方形的宽为，则长为，根据大长方形的周长为，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：设小长方形的宽为，则长为， 根据题意可得，， 解方程，得， ， 故选：B． 11．D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设井深尺，根据题意列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设井深尺， 根据题意得：， 故选：． 12．C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系列出方程是解题的关键．设乙组调到甲组的人数是人，根据题意列出方程即可求解． 【详解】解：设乙组调到甲组的人数是人， 由题意得，， 解得：， 乙组调到甲组的人数是11人． 故选：C． 13．256 【分析】本题考查一元一次方程的应用，数字变化的规律，掌握一元一次方程的应用是解题的关键． 由数字的排列规律可知，后面的数是它前面一个数的倍，设三个相邻的数分别为，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：由数字的排列规律可知，后面的数是它前面一个数的倍，设三个相邻的数分别为， 根据题意得：， 合并同类项得， 解得：， 则， 则这三个数中最中间的数是， 故答案为：． 14．270 【分析】分三种情况讨论：当时，两种方式的费用不相等，当时，当时，再表示两种方式下的费用，列方程求解即可. 【详解】解：设小东某月的移动电话主叫时间为分钟， 当时，两种方式的费用不相等， 当时， 选择方式一的费用为： 选择方式二的费用为： 解得： 当时， 选择方式一的费用为： 选择方式二的费用为： 当 解得：不合题意，舍去， 故答案为： 【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，理解分段收费的含义是解本题的关键. 15． 负场数 胜场数 （14－m） 2m＋（14－m）＝m＋14 【解析】略 16． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设该队共平了x场，则胜了场，再根据总得分为19分，列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 17．17 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答的关键是注意“三个连续奇数的和”这几个字，这句话实际就是说明这三个数之间满足的相等关系，就可以通过列方程来解决．三个连续奇数的关系式后面的数总是比前面的数大2，因而若设中间一个是x，则最小的一个是，最大的一个是，根据三个奇数的和是51就可以得到一个关于x的方程，解方程就可以求出x的值． 【详解】解：设中间一个是x，则最小的一个是，最大的一个是， 根据题意得： 解得：． 故答案为：17． 18．(1) (2) 【分析】本题主要考查实数的混合运算和解一元一次方程， 根据题意给定的解答方式，即可求得答案； 根据题意将等式两端扩大100即可利用给定的解答方式，可求得答案； 【详解】（1）解：设为x，即：， 等式两边同时乘10，得：， 即：， 因为， 所以，解得：， 即． 故答案为：． （2）设为x，即：， 等式两边同时乘100，得：， 即： ， 因为， 所以， 解得：， 即． 19．(1)，， (2) 【分析】（1）根据两位同学共节电度，小明半年节电x度，则可表示出小玲半年节电量；根据节约1度电相当于节约0.4千克“标准煤”，可表示出小明及小玲节电产生的“节煤量”； （2）根据等量关系：小明“节煤量”的2倍比小玲多8千克，列出方程并解方程即可． 【详解】（1）解：小玲半年节电量为度，小明节电产生的“节煤量”为千克，小玲节电产生的“节煤量”为千克； 故答案为：，，； （2）解：由题意得：， 解方程得：， 即小明半年节电度． 【点睛】本题考查了列代数式、一元一次方程的应用，列方程的关键是找到等量关系，并列出方程． 20．(1)画出示意图见解析；MN的长度是8厘米或2厘米 (2)P点运动了4秒或秒或秒 【分析】（1）画出符合的两种情况：①当B在线段AC延长线时；②当B在线段AC上时；求出CN、CM的长度，即可得出答案； （2）根据线段中点的性质，可得方程，根据解方程，可得答案． 【详解】（1）分为两种情况：①如图1，当B在线段AC延长线时， ∵厘米，厘米，点M、N分别是AC、BC的中点， ∴厘米，厘米， ∴（厘米）； ②如图2，当B在线段AC上时， （厘米）； 即MN的长度是8厘米或2厘米； （2）①当时，C是线段PQ的中点，得，解得（秒）； ②当时，P为线段CQ的中点，，解得（秒）； ③当时，Q为线段PC的中点，，解得（秒）； ④当时，C为线段PQ的中点，，解得（舍）， 综上所述：P点运动了4秒或秒或秒． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和两点间的距离，利用线段中点的性质得出关于t的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏． 21．(1)071143 (2)①见图，②081031 【分析】（1）由规定Ai＝23ai1+22ai2+2ai3+ai4，可分别求得A1、A2、A3、A4，从而可得小浩同学的编号； （2）①根据小方同学加密后的编号为131195，从而可求得各行与各列的数，可得图形； ②由题意知，小乐同学加密后的编号中A1=12，A2=4，A3=1，设小乐同学加密后的编号中A4=x，则可得加密后的末两位数为，从而可得原编号中末两位数为10(x−2)+1，根据“加密后的编号的末两位比原编号的末两位小16”列出方程，即可求得x，从而求得原编号． 【详解】（1）由题意得：，，， 所以小浩同学的编号为071143 故答案为：071143 （2）①小方同学加密后的编号为131195 ∵， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ 故可得图如下： ②由题意知，小乐同学加密后的编号中A1=12，A2=4，A3=1，设小乐同学加密后的编号中A4=x ∴加密后的编号末两位数为 ∴原编号中末两位数为10(x−2)+1 由题意得：10(x−2)+1=（10+x）+16 解得：x=5 ∴原编号中末两位数为10(5−2)+1=31 由A1=12得加密前的年级为12−4=8，由A2=4得加密前的班级为8×2−2−4=10 所以小乐同学原来的编号为081031． 【点睛】本题材料题，考查了有理数的运算、求代数式的值、解一元一次方程等知识，理解题意是关键． 22．(1)4天 (2)甲每天的薪酬为250元，乙每天的薪酬为200元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设甲、乙两人合作还需要x天运完图书，根据甲单独运完需要10天，乙单独运完需要20天．甲先搬运了4天，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设乙每天的薪酬为y元，则甲每天的薪酬为元，，根据甲每天的薪酬比乙多50元，运完图书后学校共需支付薪酬2800元，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）设甲、乙两人合作还需要x天运完图书， 依题意，得：， 解得：. 答：甲、乙两人合作还需要4天运完图书. （2）设乙每天的薪酬为y元，则甲每天的薪酬为元， 依题意，得：， 解得：， ∴. 答：甲每天的薪酬为250元，乙每天的薪酬为200元. 23．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据，平分，即可证明； （2）设，则，根据列方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵． ∴， ∵， ∴． ∵射线平分， ∴， ∴， ∴， ∴射线是的平分线； （2）解：∵， ∴设，则， ∵， ∴， ∵射线平分， ∴． ∵， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义，角的和差倍分计算，熟练掌握角平分线的定义，角的和差倍分运算，运用方程思想求解，是解题的关键． 24．两组合作生产3天可以完成这批玩具的生成任务 【分析】甲组独立生产需要天完成，乙组独立生产需要6天完成，，则甲、乙的工作效率分别为根据工作量等于工作时间乘以工作效率列方程即可解决问题． 【详解】设两组合作生产天可以完成这批玩具的生成任务， 根据题意得： 解得： 答：两组合作生产3天可以完成这批玩具的生成任务． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用－工程问题；求出工作效率是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $