分层练45等比数列及其前项和专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 分层设计覆盖等比数列基础与综合应用，提炼方程思想、性质应用等方法，构建概念-公式-性质-应用逻辑链，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |A级基础巩固|12题（选择/填空/解答）|定义法、方程思想、性质应用（等比中项）、特殊值法|等比数列定义→公比/前n项和计算→性质应用→简单证明，强化运算能力| |B级能力提升|4题（选择/填空/解答）|分类讨论、数学建模、基本不等式求最值|综合等差数列/函数→前n项积分析→实际问题转化，发展模型意识与创新思维|

分层练45等比数列及其前n项和 【A级基础巩固】 1. 已知各项均为正数的等比数列a}的前3项和为14,4=2，则数列a,}的公比等 于() A.4 B.5 C.2 D.1 2.记S为等比数列a,}的前n项和若=4，S,=8,则S。=() A.7 B.8 C.9 D.10 3.某工厂生产A、B、C三种产品的数量刚好构成一个公比为9(9≠1)的等比数列， 现从全体产品中按分层随机抽样的方法抽取一个样本容量为260的样本进行调查， 其中C产品的数量为20，则抽取的A产品的数量为() A.100 B.140 C.180 D.120 n=1, 4. 设等比数列a}的前n项和为S,公比为9，若 g-l,n>l则a等于() A.5 B.9 C.18 D.54 5. (多选)若{a,}是公比为9(g≠0)的等比数列，记S,为{a,}的前n项和，则下列说法 正确的是() A若4，>0,0<q<1,则{a}为递减数列 B若4<0,0<g<1,则{a}为递增数列 C.若9>0，则S4+S6>2S 6,1 D若a,则也.}是等比数列 ,=3 =() 6.已知两个等比数列{a}、b}的前n项积分别为4、B,若，则B, A.3 B.27 C.81 D.243 己知函数)=+，月等比数列a满足马2,1 f(a)+f(a2)+…+f(a24)=() A.2024 B.1012 C.2 D.2 8. 等比数列{a的前n项和为S,若4=3，S=13,则4=— 9. 已知等比数列a}的前n项和为S,若S,=7,S=63,则4= 10.设数列{}满足logX1=1+log,(a>0,a≠D若+为++Xow=100,则 X101+X102+…+X200= 1已aoe:41,。-2 ,求证{a,+为等比数列，并求出 数列a}的通项公式， 12已知{a}是等差数列，b,}是公比为2的等比数列，且4，-b,=a,-b=b,-a (1)证明：a=b； ②)求集合因6=0+4,1≤m≤500}中元素的个数 【B级能力提升】 a=(） 13.记S为等比数列a的前n项和，若a,-4=12,4。-4=24,则 2”-1 2"+1 2-1 2- A.2n+1 B.2n-1 C.2”-1 D.2"+1 14.(多选)已知等比数列a,}的各项均为正数，4=20,20，+a,-a,=0,数列a,}的 前n项积为，则() A数列a}单调递增 B.数列a}单调递减 c.Tn的最大值为乃 D.T的最小值为T 15.在正项等比数列fa,}中，存在两项aa.(m≠n且m,n∈N）,使得aa=4V2a, 1 8 且a,=a,+2a,则2m-1n的最小值是一 16.已知公比不为1的等比数列a}满足a+a=5，且a,a,42构成等差数列 ①求{a,}的通项公式 Sk 23 (②)记S为a}的前”项和，求使○>8成立的最大正整数k的值 参考答案 1.C[设等比教列a,}的公比为9g>0).则由4=2,4+4，+4，=14得2+2q+2q=14,解 得9=2或9=-3（舍去），4，=4g=81 2易知S-S,。-5构成等比教列，由等比中项得5，(S,-)=(⑤，-S,)尸，即 4S。-60)=2,所以86)-7J 3.C[A,B,C三种产品的数量刚好构成一个公比为9的等比数列，C产品数量为20， B=20,A=3 20 20 20.20 +20=260 1 20 9= A= 9 =180 ,解得3（负根舍去），则 ,选C 2,n=1, S= 4.C[由 。g-1n≥2，得4=2,4，=g-3,4=g-9,a}为等比教列，枚 a5=44,即92-3=2g,解得9=3或9=-1； 9=-1不满足题意舍去，故(a{3}=18] 1 41=1,9= 5.ABD[A,B显然正确；C中，若 2则。<4，即S。-S<S,-S4,故C错误； b丛-0=（q+0)6.}是等比教列正确1 D中，b。a1 6D[法一设等比数列0，}的公此比为4,4=49，前5项积 As=adzda,as diq=aiglo 设等比数列，}的公比为92,6=6班，B,=9g as a94=3, 因为6 b95 Aaig 49 =3=243. B biqiobg2 法二由等比数列注质44，=4a=4,故4=4，月理B,=, 4=35=243 法三持殊值法，令0=3，b,=1,4=3=243,B,=1,比值243 7.A[由 1+xx+1 ,则f(a,)+f(asi)=2 =2 {a}为等比裁列，故44s=a,44==0024013=l f(a)+f(a2)+…+f(a225)=2×1012+f(ao13)=2024 81或9[法一设等比教列{a,}的公比为9,9≠1 a19=3, 41=9 a0-g-s2g-月 1-9 9.7兀设{a.}的公比为9,9>0 a9=a9°+2a94,an>0g2-q-2=0 解得9=2或9=1（舍去） 尚.0，=a9=4W2a,得2w3=32,可得m+n=7 2m-1+2n=13, 101[由于S=7,S,=63,知公比91，又S,=S,+4S,得63=7+7g, 9=8,9=2. s-4-】.40》-7→4=1 1-q 1-2 a-1= 11.证明由an 得a+1=2an+1 an1+1=2an+2=2(an+1) 因为4+1=2≠0，所以教列a,+川是首项为2，公比为2的等比载列 an+1=2×2"-1=2” 通项公式为：a,=2”-l,(neV)] 121证明设等差教列{a}的公差为d,等比教列.}公比2，由4，-b=0,-6,得 a+d-2h=a+2d-46,即d=26； 又4-b,=b,-a,a+d-26=86-(a+3d),代入d=26得4=6 (②)解1)为0=4+(n-)d=(2n-1)a,b,=2-1=4*2 由么=a,+a,得42=2m4,约去4得2=2m,2-2=m 由1≤m≤500,2≤2≤1000，得k=2,3,4,10,共9个，集合元素个教为9. 13.c[由{a,}为等比数列，a,-4,=12,a。-a,=24 g=-0=2, a5-a3 代入84×2°-4×2=12，解得4=1,4，=2，S=2”-1, Sn2”-1 14BC[设等比数列{a,}的公比为9,2a+a,-a,=0,44>0, 2q2+q-1=0 1 解得9一2或9=-1（舍，教列单润适流，各项为正，前0须有及大佳，A酷误，D 正确，D错误； 01≥1 若7取最大值，则a1<1,C正确 29 15.15[设{a,}的公比为g?9>0, 由题设a9°=a9°+2a9，又an>0, 所以9-9-2=0、 解得9=2或9=-1（舍）. 由Vana,=aVgn2=4W2a, 即2m+m-2=32,可得m+n=7, 所以2m-1+2n=13,又m,n∈N, 则2m-1>0,2n>0、 2n8(2m-1) 25 13, 9 26 当且仅当m=亏”= 5时等号成立. 1.8.25 又m,neN,所以2m-1n>13’ 故当m=2,n=5时， 1+ 8 29 2m-1nm15.J 16解0)设公比为9，由题意得4+02=2aa(1+g-29)=0a,≠0六9=-2 9=1(舍去)， 又4+a=5,4(1+9)=5a=4. a=43 2) 4 化简得 64,散k为奇数，解得满足条件的最大正整数k=3.