考点03 二次函数的图象与字母系数之间的关系4考点7题型+能力强化（专项训练）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 以“系数-图象-代数式”为逻辑主线，构建“基础判定-特殊推导-综合应用”三阶方法体系，通过口诀化技巧与分层题型实现二次函数符号问题的系统性突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |核心基础考点|4个必背考点+例1|“左同右异”定对称轴，Δ定交点个数|从单一系数作用到a/b/c联合判定，形成概念生成链| |高频特殊代数式|5类代数式+例2|特殊x值对应函数值判符号|基于函数图象特征推导代数式符号，体现推理意识| |通用解题方法|5步万能思路|定a/c→定b→判式子→判Δ→综合|程序化解题流程，培养有序思维与模型意识| |常用二级结论|4个秒杀结论|韦达定理、奇偶取值等结论迁移|从基础原理到进阶结论，构建知识应用网络|

考点03 二次函数的图象与字母系数之间的关系 考点一：核心基础考点（必背） 1. 系数a：决定开口方向与开口大小 ：抛物线开口向上，函数有最小值； ：抛物线开口向下，函数有最大值； 越大：开口越窄； 越小：开口越宽 隐含条件：a≠0，二次函数的核心判定条件 2. 系数a、b联合：决定对称轴位置 抛物线对称轴公式：，核心口诀：左同右异 对称轴在y轴左侧（）：同号（） 对称轴在y轴右侧（）：异号（） 对称轴为y轴（）：b=0 3. 系数c：决定抛物线与y轴交点 抛物线与y轴恒交于点 ：交点在y轴正半轴 ：抛物线过坐标原点 ：交点在y轴负半轴 4. 判别式Δ：决定抛物线与x轴交点个数 ：抛物线与x轴有2个不重合交点 ：抛物线与x轴有1个交点（顶点在x轴上） ：抛物线与x轴无交点 【例1】已知二次函数 的图象开口向上，对称轴在y轴左侧，图象与y轴负半轴相交，判断 的符号。 考点二：高频特殊代数式符号判断（重难点） ，函数值 ，函数值 ，函数值 ，函数值 ，函数值 特殊推导式子：，通过对称轴 与 的大小关系推导符号。 【例2】已知抛物线 图象特征：开口向下，对称轴 ，抛物线过y轴正半轴，且 时图象对应点在x轴下方。判断 、 的符号。 考点三：通用解题方法（万能思路） 1.定a、c符号：开口定 ，y轴交点定 2.定b符号：根据对称轴位置，用“左同右异”判定 3.判特殊式子：取 等特殊值，看图象对应点高低（纵坐标正负） 4.判Δ符号：根据抛物线与x轴交点个数判定 5.综合判断：结合对称轴范围、最值、函数增减性综合推导复杂代数式 考点四：常用二级结论（提速秒杀） 1. 符号：根据a、b、c三者正负判断，负因数个数为偶数则 ，奇数则 。 2.最值结论：若对称轴 ，则 为函数最值，大于或等于/小于或等于任意x对应的函数值。 3.韦达定理：抛物线与x轴两交点横坐标 ，满足 ，。 4.奇偶取值规律：与、与 的函数值可交叉验证系数关系。 题型一：单一系数符号判断 1.直接观察图象，开口判 、y轴交点判 、对称轴判 ，秒出答案，无复杂计算。 对称轴a、b符号混淆 纠错：牢记口诀“左同右异”，对称轴在y轴左，a、b同号；在y轴右，a、b异号，永不记错。 【例1】．（2026·上海虹口·一模）如图是二次函数的图像，那么下列说法中，正确的是（   ） A．； B．； C．； D．． 【变式1-1】（24-25九年级上·江苏南京·月考）如图是二次函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26九年级上·广西崇左·月考）如图为，则(    ) A．，， B．，， C．，， D．，， 题型二：特殊代数式 a±b+c 符号判断 式子对应哪个x值，就看图象上该横坐标对应的点：点在x轴上方则式子为正，下方为负，在x轴上为0。 混淆顶点纵坐标与a+b+c 纠错：仅当对称轴 时，顶点纵坐标等于 ，其余情况不成立。 【例2】（2025·辽宁抚顺·二模）如图，已知抛物线与轴交于、两点，顶点的纵坐标为，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．阴影部分的面积为4 【变式2-1】（2025·上海嘉定·一模）已知抛物线如图所示，那么下列各式中不成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·上海徐汇·一模）已知抛物线的图象如图所示，那么下列各式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026·江苏连云港·一模）已知二次函数的图像过点和．若此抛物线的顶点在第二象限，设，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】（25-26九年级上·山东济宁·期中）已知函数的图象的一部分如图所示，则取值范围是（） A． B． C． D． 题型三：2a±b 式子判定（高频难点） 对比对称轴与 的大小，对对称轴公式变形推导： 若对称轴 ，即 ，结合 的正负，不等号变向推导 符号 若对称轴 ，同理推导 符号 2a+b、2a-b变形不等号变向错误 纠错：不等式两边乘除负数必须变号，a为负时，推导对称轴不等式务必注意变号。 【例3】已知二次函数开口向上，对称轴 ，判断 的符号。 【变式3-1】（2025·陕西咸阳·二模）若二次函数的图象经过点，且图象的顶点在第四象限，设，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26九年级上·吉林松原·期中）如图，二次函数的部分图象与轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标是，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26九年级上·吉林·期中）二次函数的图象如图所示，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-4】（25-26九年级上·湖南长沙·期中）已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-5】（25-26九年级上·广东东莞·期中）二次函数的图象如图所示，对称轴是，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 题型四：含Δ正误辨析 Δ=0的概念误解 纠错： 是一个交点，不是无交点，此时抛物线顶点落在x轴上。 【例4】已知二次函数 图象全部在x轴上方，试判断 的取值情况。 【变式4-1】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）二次函数（）的图象如图所示，下列结论正确的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式4-2】（25-26九年级上·广西南宁·月考）著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非．”寥寥数语，把图形之妙趣说得淋漓尽致．二次函数的图象如图所示，则下列关系式错误的是（   ）    A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·期中）二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．当时， D． 【变式4-4】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）已知二次函数，若a，b，c满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-5】（24-25九年级上·北京·期中）二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D．此函数图象与直线有两个公共点 【变式4-6】（2025九年级上·北京·专题练习）在平面直角坐标系中，二次函数的图象顶点在第四象限，且开口向上，判断 与的符号． 题型五：根据已知函数图象判断其他函数图象 【例5】（25-26九年级上·江苏南京·月考）已知二次函数的图像如图所示，则函数的图像不可能是（   ） A．B．C． D． 【变式5-1】（2026·广东佛山·一模）若二次函数的图象如图所示，则一次函数图象大致是（   ） A．B．C． D． 【变式5-2】（2025·湖南长沙·三模）已知一次函数图象如图所示，则二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B． C． D． 【变式5-3】（25-26九年级上·江苏南京·期末）已知二次函数的图像如图所示，则函数的图像可能是（    ） A．B．C． D． 【变式5-4】（25-26九年级上·江苏南京·期末）若二次函数的图象在坐标系中的位置如图所示，则函数的图象可能为（   ） A．B．C． D． 【变式5-5】（2025九年级下·广东广州·专题练习）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 题型六：函数图象的共存问题 【例6】（24-25九年级上·全国·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数（）和二次函数（）的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25九年级上·辽宁沈阳·月考）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26九年级上·黑龙江·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2025九年级上·全国·专题练习）一次函数()和二次函数()在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 题型七：多结论正误判断（压轴） 逐个结论套用基础规则，先判断简单式子，再攻克复杂推导，遇到矛盾结论直接排除，切忌凭感觉判断。 忽略a≠0隐含条件 纠错：只要是二次函数，a一定不为0，排除一次函数情况。 特殊x值与代数式对应混乱 纠错：代数式常数项数字即为x取值，如 无对应整数x，仅 有固定对应式子。 【例7】二次函数 图象特征：开口向下，对称轴 ，与y轴交于正半轴，与x轴有两个交点。现有以下结论： ① ② ③ ④ 判断正确结论个数。 【变式7-1】（25-26九年级上·云南怒江·期末）已知二次函数的图象如图所示，则以下结论中正确的有（   ） ①   ②  ③   ④ A．①② B．②③ C．②④ D．①②④ 【变式7-2】（25-26九年级上·江苏徐州·月考）二次函数的图象如图所示，与轴交于点．下列结论正确的是（ ） ①；②；③若点在函数图像上，则；④方程的两个根为，则 A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【变式7-3】（2026·安徽阜阳·二模）已知二次函数的图像如图所示，则下列结论正确的个数为（    ） ①；②；③；④若点在函数图像上，且满足，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式7-4】（25-26九年级上·四川成都·期末）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）若点、点、点在该函数图象上，则；其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式7-5】（2026·宁夏银川·一模）如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点．则下列结论：①；②；③；④方程没有实数根；⑤若点和在该图像上，则；⑥若为任意实数，则有．其中错误的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式7-6】（2026·辽宁锦州·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④；⑤若点，在二次函数的图象上，则．其中正确的是（    ） A．①②④ B．①③⑤ C．①④⑤ D．①③④⑤ 【变式7-7】（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图，已知抛物线（a，b，c为常数，且）的对称轴是，且抛物线与x轴的一个交点坐标是，与y轴的交点坐标是，且．有下列结论：①；②；③；④关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式7-8】（25-26九年级上·河南驻马店·月考）如图是二次函数图像的一部分，且过点，二次函数图像的对称轴是，下列结论：①；②；③；④不等式的解集是；⑤当时，y随x的增大而减小，其中结论正确的序号是______________________． 【变式7-9】（25-26九年级上·山东滨州·期末）已知二次函数(）的图象如图所示，有下列个结论： ①；②；③；④；⑤，的实数．其中正确结论的序号为______． 1．（25-26九年级上·辽宁沈阳·月考）已知二次函数（）的图象如图所示，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，抛物线与轴相交于，两点，点的横坐标为4，点的横坐标在和0之间，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·湖北荆门·月考）二次函数的图象如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．若且，则 4．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，二次函数的对称轴为直线，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．（的实数） 5．（25-26九年级上·湖北荆门·阶段检测）已知二次函数的图象如图所示，下列结论不成立的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·江西新余·期末）函数的图象（如图所示）是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，则下列结论：①；②；③；④将图象向下平移1个单位长度后与直线有3个交点，其中正确的是（    ） A．①②④ B．①③ C．①② D．①②③④ 7．（2026·湖北随州·一模）已知二次函数的图象如图所示，它与x轴交于点，点两点，其中，，与y轴交于点．下列结论：①；②；③当时，为直角三角形；④若方程的两个根是，，则．其中正确的结论有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 8．（25-26九年级上·湖南永州·期末）如图，已知二次函数（a，b，c是常数）的图象关于直线对称，则下列五个结论：①；②；③；④（m为任意实数）．其中正确的有________．（请填写所有正确的序号） 9．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图是二次函数的图象一部分，对称轴是直线，且过点，以下几种说法：①；②；③；④关于x的一元二次方程有两个相等的实数根；⑤若、是抛物线上两点，则．其中正确的结论有______． 10．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，已知抛物线 (a、b、c为常数， 且（）的对称轴是直线，且抛物线与x轴的一个交点坐标是，与y轴交点坐标是且．有下列结论： ①； ②； ③ ； ④关于x的一元二次方程 必有两个不相等实根； ⑤若点， ，在抛物线上，且 当时，则n的取值范围为 其中正确的是________________．（只用填序号即可） 11．（2026·四川内江·一模）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若点、点、点在该函数图象上，则；⑤；其中结论正确的是______（填写序号） 12．（2026·广东梅州·模拟预测）如图，已知抛物线经过点，，，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是_____（填序号） 13．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知二次函数（，，为常数，）图像的顶点坐标是，且经过，两点，．有下列结论： ①关于的一元二次方程（）有两个不相等的实数根； ②当时，的值随值的增大而增大； ③； ④； ⑤对于任意实数，总有． 其中所有正确结论的序号是______． 14．（25-26九年级上·北京西城·月考）如图是二次函数的图象，直线（）与抛物线交于，两点，，两点横坐标分别为，，根据函数图象信息有下列结论： ①；②；③； ④若对于的任意值都有，则； ⑤当为定值时，若变大，则线段变长；其中正确的结论是______． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点03 二次函数的图象与字母系数之间的关系 考点一：核心基础考点（必背） 1. 系数a：决定开口方向与开口大小 ：抛物线开口向上，函数有最小值； ：抛物线开口向下，函数有最大值； 越大：开口越窄； 越小：开口越宽 隐含条件：a≠0，二次函数的核心判定条件 2. 系数a、b联合：决定对称轴位置 抛物线对称轴公式：，核心口诀：左同右异 对称轴在y轴左侧（）：同号（） 对称轴在y轴右侧（）：异号（） 对称轴为y轴（）：b=0 3. 系数c：决定抛物线与y轴交点 抛物线与y轴恒交于点 ：交点在y轴正半轴 ：抛物线过坐标原点 ：交点在y轴负半轴 4. 判别式Δ：决定抛物线与x轴交点个数 ：抛物线与x轴有2个不重合交点 ：抛物线与x轴有1个交点（顶点在x轴上） ：抛物线与x轴无交点 【例1】已知二次函数 的图象开口向上，对称轴在y轴左侧，图象与y轴负半轴相交，判断 的符号。 【答案】 【详细解析】 1. 开口向上，直接判定 ； 2. 对称轴在y轴左侧，根据口诀左同右异， 同号，故 ； 3. 抛物线与y轴交于负半轴，故 ； 4. 为正， 为负，负因数个数为奇数，因此 。 【易错提醒】切勿记反“左同右异”，对称轴左为同号、右为异号，是系数b判断的核心依据。 考点二：高频特殊代数式符号判断（重难点） ，函数值 ，函数值 ，函数值 ，函数值 ，函数值 特殊推导式子：，通过对称轴 与 的大小关系推导符号。 【例2】已知抛物线 图象特征：开口向下，对称轴 ，抛物线过y轴正半轴，且 时图象对应点在x轴下方。判断 、 的符号。 【答案】， 【详细解析】 1. 对应 的函数值，题目明确 时点在x轴下方，纵坐标为负，故 ； 2. 由开口向下得 ，对称轴 得 异号，即 ，又 ； 3. 时，，结合图象对称性，该位置点在x轴上方，故 。 【解题技巧】特殊代数式无需繁琐计算，式找x、看高低，x对应横坐标，点在轴上为0、上正下负。 考点三：通用解题方法（万能思路） 1.定a、c符号：开口定 ，y轴交点定 2.定b符号：根据对称轴位置，用“左同右异”判定 3.判特殊式子：取 等特殊值，看图象对应点高低（纵坐标正负） 4.判Δ符号：根据抛物线与x轴交点个数判定 5.综合判断：结合对称轴范围、最值、函数增减性综合推导复杂代数式 考点四：常用二级结论（提速秒杀） 1. 符号：根据a、b、c三者正负判断，负因数个数为偶数则 ，奇数则 。 2.最值结论：若对称轴 ，则 为函数最值，大于或等于/小于或等于任意x对应的函数值。 3.韦达定理：抛物线与x轴两交点横坐标 ，满足 ，。 4.奇偶取值规律：与、与 的函数值可交叉验证系数关系。 题型一：单一系数符号判断 1.直接观察图象，开口判 、y轴交点判 、对称轴判 ，秒出答案，无复杂计算。 对称轴a、b符号混淆 纠错：牢记口诀“左同右异”，对称轴在y轴左，a、b同号；在y轴右，a、b异号，永不记错。 【例1】．（2026·上海虹口·一模）如图是二次函数的图像，那么下列说法中，正确的是（   ） A．； B．； C．； D．． 【答案】B 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴，故选项A不正确； ∵抛物线的对称轴在y轴的右侧， ∴， ∴，故选项B正确，选项C不正确； ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴，故选项D不正确． 故选：B． 【变式1-1】（24-25九年级上·江苏南京·月考）如图是二次函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由二次函数的图象开口向上，得 ， 由二次函数的图象与y轴的交点在y轴的正半轴，得 ， 由二次函数的图象的对称轴在y轴的左边，得 ，且， ∴． ∴． 故选B． 【变式1-2】（25-26九年级上·广西崇左·月考）如图为，则(    ) A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【详解】解：由图象可知：抛物线开口向下，与轴的交点在轴的上方， ，， ， ， 故选：A． 题型二：特殊代数式 a±b+c 符号判断 式子对应哪个x值，就看图象上该横坐标对应的点：点在x轴上方则式子为正，下方为负，在x轴上为0。 混淆顶点纵坐标与a+b+c 纠错：仅当对称轴 时，顶点纵坐标等于 ，其余情况不成立。 【例2】（2025·辽宁抚顺·二模）如图，已知抛物线与轴交于、两点，顶点的纵坐标为，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．阴影部分的面积为4 【答案】D 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， 故A不正确； ∵抛物线与轴的交点在轴的下方， ∴， 故B不正确； ∵时，， ∴， 故C不正确； ∵抛物线向右平移了2个单位， ∴平行四边形的底是2， ∵函数的最小值是， ∴平行四边形的高是2， ∴阴影部分的面积是：， 故D正确． 故选：D． 【变式2-1】（2025·上海嘉定·一模）已知抛物线如图所示，那么下列各式中不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A． ∵抛物线开口向上， ∴， ∴A成立，不符合题意； B． ∵抛物线的对称轴，，， ∴， ∴B不成立，符合题意； C． ∵抛物线交y轴负半轴， ∴， ∴C成立，不符合题意； D． 由图象知：当时，， ∴D成立，不符合题意． 故选：B． 【变式2-2】（2026·上海徐汇·一模）已知抛物线的图象如图所示，那么下列各式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图可知：， ， A、B、C都错误， 当时，， D正确； 故选：D． 【变式2-3】（2026·江苏连云港·一模）已知二次函数的图像过点和．若此抛物线的顶点在第二象限，设，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵抛物线过点和， ∴，， 即， ∵此抛物线的顶点在第二象限，经过点和， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴，即． 【变式2-4】（25-26九年级上·山东济宁·期中）已知函数的图象的一部分如图所示，则取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由图象可知：，图象过点，点， ∴，， ∵对称轴， ∴点的对称点在点右侧， ∴当时，， 则， 将代入， 可得， 解得， ∴实数a的取值范围为． 又， ∴． 故选：C． 题型三：2a±b 式子判定（高频难点） 对比对称轴与 的大小，对对称轴公式变形推导： 若对称轴 ，即 ，结合 的正负，不等号变向推导 符号 若对称轴 ，同理推导 符号 2a+b、2a-b变形不等号变向错误 纠错：不等式两边乘除负数必须变号，a为负时，推导对称轴不等式务必注意变号。 【例3】已知二次函数开口向上，对称轴 ，判断 的符号。 【答案】 【详细解析】 1. 开口向上，得 ； 2. 已知对称轴不等式：； 3. 因为 ，不等式两边乘 ，不等号方向不变：； 4. 移项整理得：。 【易错提醒】若 ，不等式变形必须变号，这是90%学生的高频丢分点。 【变式3-1】（2025·陕西咸阳·二模）若二次函数的图象经过点，且图象的顶点在第四象限，设，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：二次函数的图象经过点， 故即， 设， 则， 又 且图象的顶点在第四象限， 故， 若，则故即， 此时，顶点不能落在第四象限，不符合题意，舍去， 故， 故，，， 故， 故， 故， 故选：B． 【变式3-2】（25-26九年级上·吉林松原·期中）如图，二次函数的部分图象与轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标是，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵二次函数图象开口向下， ∴， ∵二次函数的部分图象与轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标是， ∴二次函数图象与x轴的另一个交点坐标为， ∴， ∴B选项正确，符合题意； ∴， ∴，故C选项错误； 当时，， ∴当时，，则，故A选项错误； 当时，，故D选项错误； 故选：B ． 【变式3-3】（25-26九年级上·吉林·期中）二次函数的图象如图所示，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴， ∴， ∵抛物线与轴交点在正半轴， ∴ ∴，故A项正确，不符合题意． ∵对称轴， ∴，故B项正确，不符合题意． ∵抛物线与轴有两个交点， ∴，故C项错误，符合题意． ∵当时，函数图象在轴下方， ∴，故D项正确，不符合题意． 故选：C． 【变式3-4】（25-26九年级上·湖南长沙·期中）已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵抛物线交y轴于负半轴， ∴当时，，故A选项错误； ∵抛物线开口向上， ∴， 又∵对称轴为直线， ∴，即，故B选项错误； ∵当时，；当时，， 又抛物线开口向上，其对称轴为直线，即当时，y取得最小值， ∴，故C选项正确； ∵， ∴，故D选项错误． 故选：C． 【变式3-5】（25-26九年级上·广东东莞·期中）二次函数的图象如图所示，对称轴是，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵抛物线开口向下 ∴ ∵对称轴是， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故A不符合题意； ∵， ∴，故B不符合题意； ∵时，，故C不符合题意； ∵时，， ∵ ∴，故D符合题意； 故选：D． 题型四：含Δ正误辨析 Δ=0的概念误解 纠错： 是一个交点，不是无交点，此时抛物线顶点落在x轴上。 【例4】已知二次函数 图象全部在x轴上方，试判断 的取值情况。 【答案】 【详细解析】 1. 图象全部在x轴上方，说明抛物线开口向上，故 ； 2. 图象与x轴无任何交点，根据判别式规则，无交点则 。 【核心结论】全上：；全下：。 【变式4-1】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）二次函数（）的图象如图所示，下列结论正确的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， 综上，，，． 故选：B． 【变式4-2】（25-26九年级上·广西南宁·月考）著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非．”寥寥数语，把图形之妙趣说得淋漓尽致．二次函数的图象如图所示，则下列关系式错误的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：二次函数的图象开口向上，与x轴有两个交点，与y轴交于正半轴，对称轴在轴右侧， ， ，故选项B错误，符合题意． 故选：B． 【变式4-3】（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·期中）二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．当时， D． 【答案】C 【详解】解：∵开口向上， ∴，故A错误； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，故B错误； 根据图象可得当时，，故C正确； ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴，故D错误； 故选：C． 【变式4-4】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）已知二次函数，若a，b，c满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵， ∴． 又∵，代入得 ， ∴． ∵二次函数在处有根（即）， ∴判别式， ∴． 综上，且， 故选：D． 【变式4-5】（24-25九年级上·北京·期中）二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D．此函数图象与直线有两个公共点 【答案】D 【详解】解：A．从函数图象看，，故，故A错误，不符合题意； B．抛物线的对称轴在y轴左侧，则a、b同号，均为负数，故B错误，不符合题意； C．从函数图象看，抛物线和x轴有两个交点，故，故C错误，不符合题意； D．从函数图象看，抛物线和直线有两个交点，正确，符合题意， 故选：D． 【变式4-6】（2025九年级上·北京·专题练习）在平面直角坐标系中，二次函数的图象顶点在第四象限，且开口向上，判断 与的符号． 【答案】， 【详解】对于二次函数，开口向上则；顶点在第四象限，说明顶点的横坐标，纵坐标． 由且，可得，因此． 题型五：根据已知函数图象判断其他函数图象 【例5】（25-26九年级上·江苏南京·月考）已知二次函数的图像如图所示，则函数的图像不可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【详解】解：根据二次函数图像得出、，该对称轴为，则， 则函数的图像开口向下，与轴交于正半轴， 因此函数的图像不可能是A， 故选：A． 【变式5-1】（2026·广东佛山·一模）若二次函数的图象如图所示，则一次函数图象大致是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【详解】解：∵开口方向：抛物线开口向下， ∴， ∵从图中可知对称轴在轴右侧， ∴根据对称轴公式，得， ∵， ∴ ， 分析一次函数的图像： ，说明直线从左上到右下； ，说明直线与轴交于正半轴； 故符合这两个特征的是选项C． 【变式5-2】（2025·湖南长沙·三模）已知一次函数图象如图所示，则二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【详解】解：从一次函数的图象来看， 图象从左到右上升， ； 图象与轴交点在正半轴，即当时，， ． 对于二次函数： ， 二次函数图象开口向上，排除、选项； 对称轴为， ，， ，即对称轴在轴右侧； 当时，，即二次函数与轴交点在负半轴． 综上，符合条件的是选项． 故选： ． 【变式5-3】（25-26九年级上·江苏南京·期末）已知二次函数的图像如图所示，则函数的图像可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，对称轴在轴的右侧，且与轴交于正半轴， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线的对称轴在抛物线对称轴的左侧，图象开口向下，且与轴交于正半轴，排除选项A； 设抛物线与x轴有两个交点，， 由图象可知，，， ∴一次函数与二次函数两个交点的横坐标为，，且，，， 分别在选项B、C、D中画直线，只有选项D中的交点横坐标符合要求， ∴函数的图象可能是D， 故选D． 【变式5-4】（25-26九年级上·江苏南京·期末）若二次函数的图象在坐标系中的位置如图所示，则函数的图象可能为（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【详解】解：∵的图象开口向下， ∴， ∴的图象与轴交于负半轴； ∵的对称轴在轴左边， ∴， ∴， ∵的图象与轴交于负半轴， ∴， ∴， ∴的图象开口向下，对称轴在轴左边， ∵的图象与轴没有交点， ∴， ∴的图象与轴没有交点， 综上所述，可得D选项符合题意． 故选：D． 【变式5-5】（2025九年级下·广东广州·专题练习）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：抛物线开口向下得到， 对称轴在轴右侧，则，解得， 抛物线与轴交点在正半轴，则， ∴， ∴一次函数的图象过一、二、四象限，只有D选项符合要求． 题型六：函数图象的共存问题 【例6】（24-25九年级上·全国·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数（）和二次函数（）的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A、由直线可知，，，由抛物线可知，，，故不符合题意； B、由直线可知，，，由抛物线可知，，，故不符合题意； C、由直线可知，，，由抛物线可知，，，故不符合题意； D、由直线可知，，，由抛物线可知，，，故符合题意； 故选：D． 【变式6-1】（24-25九年级上·辽宁沈阳·月考）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解∶A、由抛物线可知，，，，则，由直线可知， ，，故本选项不合题意； B、由抛物线可知， ，， ，则，由直线可知， ，，故本选项符合题意； C由抛物线可知，， ，，则，由直线可知，，故本选项不合题意； D、由抛物线可知，， ，，则，由直线可知， ，，故本选项不合题意． 故选∶B． 【变式6-2】（25-26九年级上·黑龙江·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A. 由二次函数图象知，，；由一次函数图象知，，故不符合题意； B. 由二次函数图象知，，；由一次函数图象知，，故不符合题意； C. 由二次函数图象知，，，根据对称轴符号 “左同右异”，可得对称轴在轴右侧；由一次函数图象知，，故符合题意； D. 由二次函数图象知，，，根据对称轴符号 “左同右异”，可得对称轴在轴右侧；由一次函数图象知，，故不符合题意． 故选：C 【变式6-3】（2025九年级上·全国·专题练习）一次函数()和二次函数()在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，与y轴交点在正半轴， ∴，， ∴，， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，故A不符合题意； ∵二次函数的图象开口向上，与y轴交点在负半轴， ∴，， ∴，， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，故B不符合题意； ∵二次函数的图象开口向上，与y轴交点在负半轴， ∴，， ∴，， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，故C符合题意； ∵二次函数的图象开口向下，与y轴交点在正半轴， ∴，， ∴，， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，故D不符合题意． 故选：C． 题型七：多结论正误判断（压轴） 逐个结论套用基础规则，先判断简单式子，再攻克复杂推导，遇到矛盾结论直接排除，切忌凭感觉判断。 忽略a≠0隐含条件 纠错：只要是二次函数，a一定不为0，排除一次函数情况。 特殊x值与代数式对应混乱 纠错：代数式常数项数字即为x取值，如 无对应整数x，仅 有固定对应式子。 【例7】二次函数 图象特征：开口向下，对称轴 ，与y轴交于正半轴，与x轴有两个交点。现有以下结论： ① ② ③ ④ 判断正确结论个数。 【答案】正确结论为③④，共2个 【详细解析】 1. 判系数：开口向下 ，对称轴 ，a、b异号则 ，y轴正半轴交点 ，故 ，①错误； 2. 对应 （顶点），开口向下顶点为最大值，结合图象趋势顶点在x轴上方，应为 ，本题条件下②错误； 3. 对称轴，化简得 ，即，③正确； 4. 抛物线与x轴有两个交点，故 ，④正确。 【解题思路】压轴多结论题：先定系数、再判特殊式、最后验二级结论，逐个排除，不主观臆断。 【变式7-1】（25-26九年级上·云南怒江·期末）已知二次函数的图象如图所示，则以下结论中正确的有（   ） ①   ②  ③   ④ A．①② B．②③ C．②④ D．①②④ 【答案】D 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴，故①正确； ∵对称轴在y轴的右侧， ∴，故②正确； ∵抛物线与y轴的正半轴相交， ∴，故③错误； ∵当时，， ∴，故④正确． 故选D． 【变式7-2】（25-26九年级上·江苏徐州·月考）二次函数的图象如图所示，与轴交于点．下列结论正确的是（ ） ①；②；③若点在函数图像上，则；④方程的两个根为，则 A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【详解】解：由二次函数的图像与y轴的交点在负半轴，得，故①正确； ∵二次函数过点， ∴即， 由抛物线开口向上，得， ∴，故②正确， ∵抛物线对称轴为， ∴当时， 若点在函数图像上，则，故③正确；， 当时，的两个根， 方程变形为， ， ∵， ∴， 则， ∴，故④正确． 综上，①②③④正确． 故选D． 【变式7-3】（2026·安徽阜阳·二模）已知二次函数的图像如图所示，则下列结论正确的个数为（    ） ①；②；③；④若点在函数图像上，且满足，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为，， ∴，即； ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴，即①错误； ∵对称轴，当时，，则 ∴当时，，即可②正确； ∵抛物线对称轴为， ∴， ∴，即③错误． ∵抛物线对称轴为，， ∴当时的函数值大于当时的函数值． ∵， ∴， ∴当点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离，即，故④正确． 综上，正确的结论是②④，共2个． 【变式7-4】（25-26九年级上·四川成都·期末）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）若点、点、点在该函数图象上，则；其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【详解】解：根据图像可知，， 对称轴为， ， ， ，故（1）错误； 对称轴为， ， ，故（2）正确； 据图可知，当，， 则，即，故（3）错误； 对称轴为直线， 对称轴与点的距离为， 对称轴与点的距离为， 对称轴与点的距离为， 当二次函数图像开口向下，距离对称轴越远函数值越小， ，故（4）错误． 综上，正确的结论有（2），共个． 【变式7-5】（2026·宁夏银川·一模）如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点．则下列结论：①；②；③；④方程没有实数根；⑤若点和在该图像上，则；⑥若为任意实数，则有．其中错误的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：由图像可知，该函数图像开口向上，交轴于负半轴， ∴， ∵该函数图像与轴交于点、， ∴其对称轴为， ∴， ∴， ∴，故结论①正确； ∵ ∴，故结论②正确； 由图像可知，当时，， ∴，故结论③错误； 对于方程，整理可得， 由图像可知，该函数图像开口向上，与直线有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数，故结论④错误； ∵该函数图像的对称轴为，且开口向上， ∴函数图像上的点距离直线越远，函数值越大， ∵，，且， ∴，故结论⑤错误； 由该函数图像的对称轴为，且开口向上， 可知当时，取最小值， ∴若为任意实数，则有， 则有，故结论⑥正确． 综上所述，错误的结论有③④⑤，共计3个． 【变式7-6】（2026·辽宁锦州·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④；⑤若点，在二次函数的图象上，则．其中正确的是（    ） A．①②④ B．①③⑤ C．①④⑤ D．①③④⑤ 【答案】B 【详解】解：二次函数的图象开口向上，与轴负半轴交于一点， ∴，， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 故结论①正确； ∵， ∴， ∴， 故结论②错误； ∵二次函数与x轴有两个交点， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴； 故结论③正确； 由函数图象可知，当时，， ∴， ∵， ∴，即， 故结论④错误； ∵，，， ∴点，在二次函数的图象上，， 故结论⑤正确； 综上所述，正确的有①③⑤． 【变式7-7】（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图，已知抛物线（a，b，c为常数，且）的对称轴是，且抛物线与x轴的一个交点坐标是，与y轴的交点坐标是，且．有下列结论：①；②；③；④关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：根据函数图象可得抛物线开口向下，则，对称轴为直线，则， ， 又 ∵抛物线与轴交点坐标是，即， ，即， ∴，故①正确； ∴当时，，故②正确； ∵抛物线与轴的一个交点坐标是，对称轴为直线， ∴另一个交点坐标为， ∵在抛物线的图象上， ， 又 ∵， ， ，即， ，即， ， ，即， 当时，取得最大值，最大值为， ∴， ∴，故③正确； ∵， 即， ∵， 对称轴为直线，当时，的值随的增大而减小， 又 ∵， ∴， ∴当时，， ∴当时，恒成立，即必有两个不相等实根，故④正确； 结论正确的个数有4个． 【变式7-8】（25-26九年级上·河南驻马店·月考）如图是二次函数图像的一部分，且过点，二次函数图像的对称轴是，下列结论：①；②；③；④不等式的解集是；⑤当时，y随x的增大而减小，其中结论正确的序号是______________________． 【答案】①④⑤ 【详解】解：根据题意得二次函数图像的对称轴是，与轴的一个交点为，则与轴的一个交点坐标为， 令得， 故③错误； 由图像可知，对称轴是，图像开口向下， 当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， 不等式的解集是， 故④⑤正确； 由图像可知，二次函数图像开口向下，与轴正半轴有交点， 则、， 那么， 故②错误； 由于二次函数图像与轴有两个交点，则令得：， 则判别式，即， 故①正确； 综上所述，结论正确的有①④⑤， 故答案为：①④⑤． 【变式7-9】（25-26九年级上·山东滨州·期末）已知二次函数(）的图象如图所示，有下列个结论： ①；②；③；④；⑤，的实数．其中正确结论的序号为______． 【答案】①②④ 【详解】解：①由图象可知：，， ， ，故①正确； ②当时，，故，故②正确； ③由对称知，当时，函数值大于，即，故③错误； ④由对称知，当时，函数值小于，，且， 即，代入得，得，故④正确； ⑤当时，的值最大．此时，， 而当时， ， 所以， 故，即，故⑤错误． 故①②④正确． 故答案为：①②④． 1．（25-26九年级上·辽宁沈阳·月考）已知二次函数（）的图象如图所示，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵抛物线开口向上， ， ∵抛物线的对称轴位于y轴的右侧， ∴，即； ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴；，故A、B选项错误，不符合题意； 由抛物线与轴的交点坐标可知，对称轴， ∵， ∴，即，故C选项正确，符合题意； 由图可知，当时，，故D选项错误，不符合题意； 故选：C． 2．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，抛物线与轴相交于，两点，点的横坐标为4，点的横坐标在和0之间，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由图象可得，抛物线开口向下，故， 与y轴交于正半轴，故， 对称轴在轴右侧，故， 又∵， ∴， ∴，故A选项错误，不符合题意； 由题意得，当时， ， ∵点B在到之间，且在点B的左边， ∴，故B选项错误，不符合题意； 由题意得，当时， ， ∵是抛物线与x轴交点， ∴，故C选项错误，不符合题意； ∵点的横坐标在和0之间， ∴， ∵， ∴ ，故D选项正确，符合题意． 故选D． 3．（25-26九年级上·湖北荆门·月考）二次函数的图象如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．若且，则 【答案】D 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为，即， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴上方， ∴， ∴，所以A不正确； ∵， ∴，所以B不正确； ∵抛物线与轴的交点到对称轴的距离大于， ∴抛物线与轴的一个交点在点与之间， ∴抛物线与轴的另一个交点在点与之间， ∴时，， ∴，所以C错误； 当，则， ∴和所对应的函数值相等， ∴， ∴，所以D正确； 故选：D． 4．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，二次函数的对称轴为直线，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．（的实数） 【答案】D 【详解】解：由图象可知：， ， ， ∴，故A错误； 时，， ∴由对称知，当时，函数值大于 0 ， 即，故B错误； 由图象知，当时，，当时，， ， ，即 ，故C错误； ∵当时，的值最大．此时， 而当时，， 所以， 故，即，故D正确； 故选：D． 5．（25-26九年级上·湖北荆门·阶段检测）已知二次函数的图象如图所示，下列结论不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：对于A，由图知，则 又图像与轴交于负半轴，则， ∴，故A正确，不符合题意； 对于B，由图象可知：时，； 即，故B正确，不符合题意； 对于C，由图象可知， ， 又， ∴， 即， ∵， ∴， ∴，故C正确，不符合题意； 对于D，由图象可知：时，， 又， 即， ∴， ∴故D错误，符合题意． 故选：D． 6．（25-26九年级上·江西新余·期末）函数的图象（如图所示）是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，则下列结论：①；②；③；④将图象向下平移1个单位长度后与直线有3个交点，其中正确的是（    ） A．①②④ B．①③ C．①② D．①②③④ 【答案】A 【详解】解：由图知，函数（，）的图象与轴交于，， 函数对称轴为直线， ， 则，，故①正确； 函数图象与轴交于， 由翻折性质可知，，故②正确； ，对称轴为直线， ， ， ，故③错误； 由图知，， 函数图象与轴交于， 过点， 即， 解得， 函数为， 即， 当时，， 即的顶点坐标为， 将图象向下平移1个单位长度后的顶点坐标为， 将图象向下平移1个单位长度后与直线有3个交点，故④正确． 综上所述，正确的有①②④． 故选：A． 7．（2026·湖北随州·一模）已知二次函数的图象如图所示，它与x轴交于点，点两点，其中，，与y轴交于点．下列结论：①；②；③当时，为直角三角形；④若方程的两个根是，，则．其中正确的结论有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【详解】解：观察图象得：抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴交x轴负半轴， ∴， ∴， ∴，故①正确； 当时，， ∴，故②正确； 如图， ∵抛物线与x轴交于点，点两点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为直角三角形，故③正确； ∵方程的两个根是，，即方程的两个根是，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确； 8．（25-26九年级上·湖南永州·期末）如图，已知二次函数（a，b，c是常数）的图象关于直线对称，则下列五个结论：①；②；③；④（m为任意实数）．其中正确的有________．（请填写所有正确的序号） 【答案】①②④ 【详解】解：①∵抛物线开口向下， ∴； ∵对称轴位于轴的左侧， ∴同号， ∴； ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴； ∴， 故①正确； ②图象关于直线对称， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ③∵图象关于直线对称， ∴点与关于对称轴对称， 当时，， 故③错误； ④当时，值最大， 当时，， ∴， ∴， 故④正确； 综上，正确选项为①②④， 故答案为：①②④． 9．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图是二次函数的图象一部分，对称轴是直线，且过点，以下几种说法：①；②；③；④关于x的一元二次方程有两个相等的实数根；⑤若、是抛物线上两点，则．其中正确的结论有______． 【答案】①②⑤ 【详解】解：①：由抛物线开口向上，可知， 对称轴，可得， 图象与y轴交点在y轴负半轴，可知， ∴，故①正确； ②：∵抛物线过点，将，代入中，可得， 又∵， 把代入，得到，即，故②正确； ③：∵对称轴是直线，且过点， 根据二次函数图象的对称性，可知抛物线与x轴的另一个交点为， 当时，对应的点在x轴上方，即，故③错误； ④：由抛物线与x轴有两个交点和，可知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，故④错误； ⑤：点关于对称轴的对称点为， 在对称轴右侧，y随x的增大而增大， ∵， ∴，故⑤正确， 综上所述，正确的结论有①②⑤． 故答案为：①②⑤． 10．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，已知抛物线 (a、b、c为常数， 且（）的对称轴是直线，且抛物线与x轴的一个交点坐标是，与y轴交点坐标是且．有下列结论： ①； ②； ③ ； ④关于x的一元二次方程 必有两个不相等实根； ⑤若点， ，在抛物线上，且 当时，则n的取值范围为 其中正确的是________________．（只用填序号即可） 【答案】①③④⑤ 【详解】解：根据函数图象可得抛物线开口向下，则，对称轴为直线，则 ∴， 又∵抛物线与轴交点坐标是，即， ∵，即， ∴，故①正确； ∵抛物线与轴的一个交点坐标是，对称轴为直线， ∴另一个交点坐标为， ∴当时，，故②错误； ∵，在抛物线的图象上， ∴， 又∵， ∴， ∴即， ∵，即， ∴， ∴即， 当时，取得最大值，最大值为， ∴， ∴，故③正确； ∵，，， 即， ∵ 对称轴为直线，当时，的值随的增大而减小， 又∵， ∴， ∴当时，， ∴当时，恒成立，即必有两个不相等实根，故④正确； ∵若点在抛物线上，且， ∴，， ∵存在， ∴，， 即，，， 解得：，故⑤正确； 故正确的有①③④⑤， 故答案为：①③④⑤． 11．（2026·四川内江·一模）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若点、点、点在该函数图象上，则；⑤；其中结论正确的是______（填写序号） 【答案】①②③ 【详解】解：由二次函数的部分图象可知，抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ， ∵对称轴为直线， ， ∴， ∴，故结论①正确； ∵对称轴为直线， ，即， ∴，故结论②正确； ∵图象过点，对称轴为直线， ∴当时，， ∴，即，故结论③正确； ∵点、点、点在该函数图象上，对称轴为直线， ∴到对称轴的距离分别为， ∴，故结论④错误． ∵当时，取得最大值， ∴当时，， ∴，故⑤错误， 综上所述，正确的结论是①②③． 12．（2026·广东梅州·模拟预测）如图，已知抛物线经过点，，，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是_____（填序号） 【答案】①②④ 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线与轴交于负半轴， ， 抛物线对称轴在轴右侧，对称轴为直线， ， 又， ， ，故结论①正确，符合题意． 由图可得抛物线顶点的纵坐标大于， 顶点纵坐标公式得， 又，不等式两边同时乘（负数），不等号方向改变， ，故结论②正确，符合题意． 抛物线过点、 ，， 即， ，故结论③错误，不符合题意． 抛物线经过点， 当时，，故结论④正确，符合题意． 故正确的结论是①②④． 13．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知二次函数（，，为常数，）图像的顶点坐标是，且经过，两点，．有下列结论： ①关于的一元二次方程（）有两个不相等的实数根； ②当时，的值随值的增大而增大； ③； ④； ⑤对于任意实数，总有． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①③⑤ 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， 抛物线对称轴为直线， ∵抛物线经过点，根据二次函数的对称性，可得抛物线与轴的另一个交点为， 又∵抛物线经过，且，即点在轴上方，可得抛物线开口向下，即， ① 关于的方程可变形为， ∵抛物线开口向下，最大值为顶点纵坐标， ，直线与抛物线有两个不同的交点， 方程有两个不相等的实数根，故①正确； ②∵抛物线开口向下，对称轴为， 当时，的值随值的增大而减小，故②错误； ③设抛物线的交点式为，展开得： ， 当时，， 即， ∵， ， 解得：，故③正确； ④是时的函数值， ∵，抛物线开口向下，且和处函数值为， 当时，， 时，，故④错误； ⑤ 由对称轴公式，可得， 将代入式子左边： ∵，， ，即对任意实数，总有，故⑤正确； 综上，正确结论的序号是①③⑤． 14．（25-26九年级上·北京西城·月考）如图是二次函数的图象，直线（）与抛物线交于，两点，，两点横坐标分别为，，根据函数图象信息有下列结论： ①；②；③； ④若对于的任意值都有，则； ⑤当为定值时，若变大，则线段变长；其中正确的结论是______． 【答案】①② 【详解】解：∵该二次函数图像开口向上，对称轴在轴右侧，与轴的交于负半轴； ∴，， ∴；①正确； ∵该二次函数图像经过点， ∴该二次函数的对称轴为直线 ∴ 解得：；②正确 ∵ ∴ 由图像可知： ∴ 即：；③错误； ∵对于的任意值都有 ∴该抛物线与轴负半轴的交点的临界点为，此时抛物线开口最小，最大； ∵该二次函数的对称轴为直线 ∴，即： ∵二次函数图像经过点 ∴ ∴该二次函数的表达式可化为： 将代入得： 解得：，此时最大， ∴；④错误； ∵当变大时，抛物线的开口变小 ∴线段变短；⑤错误 综上，正确的有①②； 故答案为：①②． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $