26.2.1 二次函数y=ax²的图象和性质 同步练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 同步练聚焦二次函数y=ax²的图象和性质，通过基础巩固、中档应用到提升探究的三层设计，实现从概念辨析到综合应用的知识进阶，适配新授课教学，培养几何直观、推理能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|核心概念与性质|单选1-6辨析a对开口方向/大小的影响，填空7-9强化顶点坐标与增减性，夯实基础认知| |中档|性质应用与简单综合|填空10-11结合形状相同、增减性求解析式，解答12-14作图分析图象特征，衔接课堂例题| |提升|跨知识综合与探究|解答15-17融合二次函数定义、几何图形（正方形）及新定义“k倍点”，发展创新意识与综合思维|

26.2.1 二次函数y=ax²的图象和性质 同步练 2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）九年级上学期 一、单选题 1．如图，四个二次函数的图像中，分别对应的是：①；②；③；④，则a，b，c，d的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．下列关于抛物线和的关系的说法中，正确的是（   ） A．它们的形状相同，开口方向也相同； B．它们都关于y轴对称； C．它们的顶点不相同； D．点既在抛物线上也在上． 3．如图，四边形是正方形，且点、恰好在抛物线上，点在轴上，则的长为（     ） A．2 B． C．4 D． 4．如图，的三个顶点的坐标分别为，，将进行平移，平移后的的三个顶点都在抛物线上，则a的值是（    ） A．2 B． C．2或 D．0或4 5．抛物线与的形状相同，而开口方向相反，则的值是（    ） A． B．2 C． D． 6．抛物线共有的性质是（    ） A．开口向下 B．对称轴是轴 C．都有最高点 D．随的增大而增大 二、填空题 7．已知点，，在函数的图象上，则，，的大小关系是______．（用“<”连接） 8．已知是二次函数且当时y随的增大而增大，则的值为_________． 9．平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标是_______． 10．已知抛物线与的形状相同，并且时，随的增大而减小，抛物线的解析式为__________． 11．已知是二次函数，且当时，y随x的增大而增大． （1）k的值是_________． （2）若是此二次函数的图象上一点，且，则n的取值范围是_________． 三、解答题 12．在如图所示网格内建立恰当直角坐标系后，画出函数和的图象，并根据图象回答下列问题(设小方格的边长为1)： (1)说出这两个函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标； (2)抛物线，当______时，抛物线上的点都在轴的上方，它的顶点是图象的最______点； (3)函数，对于一切的值，总有函数______0；当______时，有最______值是______． 13．如图，点、在的图象上.直线与y轴交于点C，连接、. (1) ； ； (2)直线的函数表达式 ； (3)求的面积； (4)观察图象，当时，y的取值范围 ；当时，y的取值范围 . 14．已知二次函数图像经过点． (1)判断这个函数图像的开口方向； (2)点在这个函数图像上，求m的值． 15．已知函数是关于的二次函数. (1)求满足条件的值； (2)当为何值时，此抛物线有最低点？这时，当取何值时，随的增大而减小； (3)当为何值时，此抛物线有最高点？最高点的坐标是多少？这时，当取何值时，随的增大而增大. 16．已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)当m为何值时，该函数图像的开口向下？ (3)当m为何值时，该函数有最小值？ (4)试说明函数的增减性． 17．在平面直角坐标系中，对于点，，若满足，则称，两点互为“倍点”． (1)已知直线上的点是点的“2倍点”， ①若点在轴上，求点的横坐标． ②若点在抛物线上，求点的坐标． (2)已知，若在抛物线上存在唯一的点是点的“倍点”，求的值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C B A D D B 1．C 本题考查了二次函数的性质：①抛物线的开口大小由决定，越大，抛物线的开口越窄，越小，抛物线的开口越宽；②抛物线的开口方向由决定，当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下．根据以上抛物线性质即可分析出的大小关系． 解：抛物线、开口向上， 且抛物线的开口更窄， ， 抛物线、开口向下， 且抛物线的开口更窄， ， ． 故选C． 2．B 此题主要考查了二次函数的性质，根据顶点式得出二次函数性质是解决本题的关键．通过比较两条抛物线的二次项系数、开口方向、顶点和对称轴，判断各说法的正误即可． 解：∵抛物线和中二次项系数的绝对值相等， ∴它们的形状相同，开口方向相反，故A错误； 它们的对称轴都是y轴，故B正确； 它们的顶点都是，故C错误； 把代入得：， ∴点在抛物线上， 把代入得：， ∴点不在抛物线上，故D错误． 故选：B． 3．A 根据正方形的性质求出直线的解析式，然后联立方程求出交点坐标，根据勾股定理求解即可． 解：根据正方形的性质可得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴， ∴， 在正方形中， ∴． 4．D 本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，坐标与图形的变化——平移，观察坐标特征得出平移的方向和距离是解题的关键．根据A、B点的坐标特征可知向左平移2个单位满足题意，则平移后的C点的坐标为，代入抛物线解析式，即可求得a的值． 解：，，轴， 将进行平移，平移后的的三个顶点都在抛物线上， 向左平移2个单位满足题意， 平移后的C点的坐标为， 代入得，，解得或4， 故选：D． 5．D 理解二次函数解析式，决定抛物线的形状，开口向上，开口向下；由题意可得，进而由开口方向确定具体值． 解：由题意知，或， ∵开口方向相反， ∴． 故选：D 6．B 此题考查了二次函数的图像与性质， 根据选项可对每条抛物线从开口方向、对称轴、最值、增减性几个方面进行分析确定共同的特点即可． 解：抛物线开口向上，对称轴为轴，有最低点，顶点为原点； 抛物线开口向下，对称轴为轴，有最高点，顶点为原点； 抛物线开口向上，对称轴为轴，有最低点，顶点为原点； 所以抛物线，，共有的性质为对称轴是y轴，而所有抛物线在没有限定自变量的取值范围时，增减性都不一致，故D不正确． 故选：B． 7． 本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是y轴，根据时，y随x的增大而减小，即可得出答案． 解：∵二次函数的图象开口向上，对称轴为y轴， ∴当时，y随x的增大而减小． ∵， ∴． 故答案为：． 8． 本题考查了二次函数的定义，解一元二次方程，二次函数的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据题意可得，求出，再根据的性质进行取舍即可． 解：∵是二次函数， ∴， 解得：或， ∵当时y随的增大而增大， ∴，则， ∴， 故答案为：． 9． 本题考查了求二次函数的顶点坐标，熟练掌握求二次函数的顶点坐标的方法是解题关键．根据二次函数的顶点式求解即可得． 解：平面直角坐标中，抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 10． 本题主要考查了二次函数的图象与性质，两个二次函数的形状相同，那么对应的二次项系数的绝对值相同，再由函数的对称轴为轴，且时，随的增大而减小可得，据此可得答案． 解：∵抛物线与的形状相同， ∴， ∵在中，时，随的增大而减小，且对称轴为轴， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， 故答案为：． 11． 本题考查二次函数的定义和二次函数的性质，关键是求函数解析式． （1）根据二次函数定义以及当时，y随x的增大而增大．可得出结论； （2）当时，，当时，，并结合函数图象求出y的取值范围． 解：（1）由题意可得，解得； 故答案为：； （2）由题意可得二次函数的解析式为， 当时，有最大值为0， 当时，，当时，， ∴当是此二次函数的图象上一点，且时，则， 故答案为：． 12．(1)图见解析；二次函数的图象开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为；二次函数的图象开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为． (2)，低． (3)，，大，0． 本题考查二次函数的图象与性质，能够正确作出二次函数的图象是解题关键． （1）先在网格内画出两个二次函数的图象，然后再根据图象即可知开口方向，对称轴和顶点坐标； （2）根据函数的图象解答即可； （3）根据函数的图象解答即可． （1）解：图象如图： 由图可得：二次函数的图象开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为；二次函数的图象开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为． （2）解：抛物线，当时，抛物线上的点都在轴的上方，它的顶点是图象的最低点． 故答案为：，低． （3）解：函数，对于一切的值，总有函数；当时，有最大值是0． 故答案为：，，大，0． 13．(1)；4 (2) (3)6 (4)； 此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，轴对称，熟练求解直线的解析式是解题的关键． （1）将点代入求得，将代入求出； （2）运用待定系数法求出直线的解析式即可； （3）求出的长，根据求解即可； （3）根据函数图象确定两个范围内各自的最大值和最小值即可． （1）解：∵点在的图象上， ∴， ∴， ∵点在的图象上， ∴， 故答案为：；4； （2）解：设直线的解析式为， ∵、， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 故答案为：； （3）解：在中，令，则， ∴C的坐标为， ∴， ∴； （4）解：∵、， 观察图象，当时，当时有最小值；当时有最大值； y的取值范围； 当时， 当时有最小值， 当时有最大值， ∴y的取值范围， 故答案为：；． 14．(1)开口向上 (2) 本题考查了二次函数的性质． （1）先将点的坐标代入二次函数解析式求出的值，根据的正负判断函数图像的开口方向； （2）将点的坐标代入已确定的二次函数解析式，计算求出的值. （1）解：将点代入中 得 即 解得 因为 所以这个函数图像的开口向上 （2）解：由（1）可知二次函数解析式为 将点代入中 得 解得. 15．(1)或 (2)当时，抛物线有最低点，当时，随的增大而减小 (3)当时，抛物线有最高点，最高点坐标为，当时，随的增大而增大 （1）解：∵函数是关于的二次函数， ∴， 解得：或， ∴满足条件的值为． （2）解：当时，函数为，开口向上，此时抛物线有最低点，当时，随的增大而减小． （3）解：当时，函数为，开口向下，此时抛物线有最高点，最高点坐标为，当时，随的增大而增大． 16．(1)或 (2)当时，该函数图像的开口向下 (3)当时，原函数有最小值 (4)见解析 (1)由二次函数的定义可得故可求m的值． (2)图像的开口向下，则，结合（1）中的结果，即可得m的值； (3)函数有最小值，则，结合（1）中的结果，即可得m的值；； (4)根据（1）中求得的m的值，先求出抛物线的解析式，函数的增减性由函数的开口方向及对称轴来确定． （1）根据题意，得， 解得， ∴当或时，原函数为二次函数． （2）∵图像开口向下， ∴， ∴， ∴， ∴当时，该函数图像的开口向下． （3）∵函数有最小值， ∴， 则， ∴， ∴当时，原函数有最小值． （4）当时，此函数为，开口向下，对称轴为y轴， 当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小； 当时，此函数为，开口向上，对称轴为y轴， 当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． 17．(1)①；②点的坐标或 (2)2或  − 14 本题考查解一元一次方程，二次函数性质，解一元二次方程，根的判别式等． （1）①设，点，根据题意列式计算即可求出本题答案；②设点，列式，整理得，解出即可； （2）设点，再列式，利用根的判别式即可求出本题答案． （1）解：①∵直线上的点是点的“2倍点”， ∴设，点， ，解得：， ②∵点在抛物线上， ∴设点，，即，解得，． 点的坐标或； （2）解：∵，若在抛物线上存在唯一的点是点的“倍点”， ∴设点， 有唯一解， 即， ，解得，． 即的值为2或． 学科网（北京）股份有限公司 $