5.4二元一次方程与一次函数 同步习题 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

5.4二元一次方程与一次函数 同步习题 一、单选题 1．某超市出售一种商品，其销售件数（件）与销售额（元）之间的关系如下表所示： 销售件数（件） 1 2 3 4 …… 销售额（元） 7.6 15.2 22.8 30.4 …… 则销售额（元）与销售件数（件）之间的关系式为（    ） A． B． C． D． 2．如图所示，若一次函数y＝k1x＋b1的图象l1与y＝k2x＋b2的图象l2相交于点P，则方程组的解是(　　) A． B． C． D． 3．已知直线和直线交于点，则关于的二元一次方程组的解是 ． 4．直线与直线交于点，则下列各方程组中满足解为的是（   ） A． B． C． D． 5．某商店在出售某种商品时，在进价基础上加一定利润，其数量与售价（元）如下表所示，则售价与数量之间的关系式为（    ） 数量 1 2 3 4 … 售价元 … A． B． C． D． 6．甲、乙两家商场平时以同样的价格出售相同的商品．端午节期间两家商场都让利酬宾，两家商场的购物金额、（单位：元）与商品原价（单位：元）之间的关系如图所示，张阿姨计划在其中一家商场购原价为620元的商品，从省钱的角度你建议选择（    ） A．甲 B．乙 C．甲、乙均可 D．不确定 7．已知三点可以确定一个圆，则以下P点坐标不满足要求的是（　　） A． B． C． D． 8．已知一次函数的图象过点，，且函数图象经过第二、四象限，当时，，则该一次函数的表达式为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．若一次函数y＝2x＋b的图象经过A（－1，1），则b＝ ，该函数图象经过点B（1， ）和点C（ ，0）． 10．一次函数与交于点C，则C点坐标为 ． 11．（1）正比例函数的图象经过点，则函数的表达式为 ． （2）直线经过点，则这条直线的函数表达式为 ． （3）写出一个一次函数，使它的图象经过点： ． 12．如图，在同一平面直角坐标系中，直线l1：yx与直线l2：y＝kx+3相交于点A，则方程组的解为 ． 13．如图，射线①是某公共汽车线路收支差额y（票价总收入减去运营成本）与乘客量x的函数图象．目前这条线路亏损．为了扭亏，公交公司在保持票价不变的情况下，决定通过优化管理来降低运营成本．射线②是改变后y与x的函数图象．两射线与x轴的交点坐标分别是、，则当乘客为1万人时，改变后的收支差额较之前增加 万元． 14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点，与轴交于点B(5，0)，点是轴上一点，当以点、、为顶点的三角形是等腰三角形时，则点的坐标为 ． 三、解答题 15．一次函数的图象经过点和两点，求这个一次函数的表达式． 16．初一年级利用周三社团课组织学生开展“跳蚤市场”英语实践活动．张敏小组利用课余时间自制了一些精美的书签，为了方便，小组准备了一些零钱备用，按照定价售出一些后，又降价出售，张敏小组的总钱数y（元）与售出的书签数x（个）之间的函数关系如图所示．    (1)求降价前y（元）与x（个）之间的函数关系式； (2)如果按照定价打八折后，将剩余的书签全部卖出，这时一共有174元，求该小组共制作了多少个书签？ 17．如图，已知直线经过点，交x轴于点，直线交直线于点B． (1)求直线的函数表达式和点B的坐标； (2)求的面积； (3)在x轴上是否存在点C，使得是直角三角形？若存在，求出点C的坐标：若不存在，请说明理由． 18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，并与直线相交于点，其中点的横坐标为3． (1)求点的坐标和的值； (2)为直线上一动点，当点运动到何位置时，的面积等于？请求出点的坐标． 19．如图，已知一条直线经过点、点，将这条直线向下平移，使平移后的直线与轴、轴分别交于点、点，连接，． (1)求直线的函数表达式； (2)求平移后所得直线的函数表达式． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】根据表格中的数据变化规律，直接可得与之间的关系式． 【详解】根据表格中的数据可知：销售额（元）与销售件数（件）之间的关系式为， 故选A． 【点睛】本题主要考查正比例函数，理解表格中的数据变化规律，是解题的关键． 2．A 【分析】根据两个一次函数的交点坐标即可得． 【详解】解：一次函数的图象与的图象相交于点， 方程组的解为， 故选：A． 【点睛】本题考查了利用一次函数的交点确定方程组的解，掌握函数图象法是解题关键． 3． 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，根据一次函数的交点坐标即为以一次函数解析式所构成的方程组的解即可求解，掌握一次函数的交点坐标的意义是解题的关键． 【详解】解：∵直线和直线交于点， ∴关于的二元一次方程组的解为， 故答案为：． 4．B 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握两直线的交点是方程组的解是解题的关键． 根据两个函数图象交点的坐标就是二元一次方程组的解，再将两个函数变形即可得出答案． 【详解】解：可变形为，可变形为， 方程组的解为的是， 故选：B． 5．C 【分析】本题考查根据实际问题列函数关系式，解题的关键是根据题意分析表中数据，找出数据的变化特征．通过观察表格内的售价与数量之间的关系，即可列出售价与数量之间的关系式． 【详解】解：依题意得，， 故选C． 6．B 【分析】利用待定系数法分别求出、关于x的函数关系式，再将分别代入求值，最后比较即可． 【详解】根据题意可设， 将(1200，960)代入，得：， 解得：， ∴； 当时，设， 将(200，200)代入，得：， 解得：， ∴此时． 当时，设， 将(200，200)，(1200，900)代入，得：， 解得： ∴此时，． ∴． 当时，； ． ∵496>494， ∴从省钱的角度建议选择乙商场． 故选B． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用．掌握利用待定系数法求函数解析式是解题关键． 7．A 【分析】考查了确定圆的条件及一次函数图象与点的关系，解题的关键是了解“不在同一直线上的三点确定一个圆”，难度不大．利用待定系数法求出直线的解析式，再把每点代入函数解析式，根据不在同一直线上的三点能确定一个圆，由于在直线上，可知答案． 【详解】解：设直线的解析式为，则 ， 解得， ， A、当，，故在直线上，故不能确定一个圆，故本选项符合题意； B、当，，故不在直线上，根据不在同一直线上的三点确定一个圆得与，可以确定一个圆，故本选项不符合题意； C、，，同理，故本选项不符合题意； D、当，，同理，故本选项不符合题意； 故选：A． 8．B 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式．先利用一次函数图象上点的坐标特征得到，，则，所以，从而得到，然后根据一次函数的性质得到，所以，从而确定一次函数解析式． 【详解】解：∵一次函数的图象过点，， ∴，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∵函数图象经过第二、四象限， ∴， ∴， ∴一次函数解析式为． 故选：B． 9． 3 5 【解析】略 10． 【分析】解方程组，即可得到结论．本题考查了两直线平行与相交问题，解二元一次方程组，正确的求得方程组的解是解题的关键 【详解】解：∵一次函数与交于点C， ∴， 得， ， 故答案为： 11． （答案不唯一） 【分析】本题考查了一次函数图象上的点坐标特征，掌握利用待定系数法求解析式是解本题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）将代入解析式，可求一次函数解析式； （3）写出一个符合题意的一次函数解析式即可． 【详解】解：（1）设正比例函数的表达式为， 把代入，得 ，解得：， ∴函数的表达式为， 故答案为：； （2）一次函数的图象经过点； ， ， 一次函数解析式：； 故答案为：； （3）根据题意得： （答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 12． 【分析】由题意，两直线的交点坐标就是这两条直线组成的方程组的解，即可得到答案． 【详解】解：根据题意， ∵直线l1：yx与直线l2：y＝kx+3相交于点A（2，1）， ∴方程组的解为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是掌握两直线的交点坐标就是这两条直线组成的方程组的解． 13．0.4 【分析】本题考查了一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数解析式是解答本题的关键． 根据待定系数法分别求出①②的解析式，再把代入解答即可． 【详解】解：设①所在直线的解析式为， 把，代入，得 ， 解得， ∴①所在直线的解析式为； 设②所在直线的解析式为， 把，代入，得： ， 解得， ∴所在直线的解析式为， 当时，， ∴改变后的收支差额较之前增加． 故答案为：． 14．（5+，0）或（5-，0）或（-3，0）或（，0） 【分析】将点B(5，0)代入一次函数的解析式中即可求出b的值．解方程组求得点A的坐标．分三种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解． 【详解】解：将点B(5，0)代入y=-x+b得：b=， ∴一次函数的解析式为， 解方程组得：， ∴点A的坐标为(1，2)， ∴AB=， 当AB=BP=时，则点P（5+，0）或（5-，0）； 当AB=AP时，如图，过点A作AE⊥BO于E，则点E（1，0）， ∵AB=AP，AE⊥BO， ∴PE=BE=5-1=4， ∴点P（-3，0）； 当PA=PB时，设点P（m，0）， 则， 解得：m=， ∴点P（，0）， 综上所述：点P坐标为（5+，0）或（5-，0）或（-3，0）或（，0）． 故答案为：（5+，0）或（5-，0）或（-3，0）或（，0）． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，待定系数法求解析式，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 15． 【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数解析式，设这个一次函数的表达式为，把和代入，即可求解；掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】解：设这个一次函数的表达式为，把和代入得： ， 解得：， 这个一次函数的表达式为． 16．(1) (2)33个 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，从图象上获取信息是解答的关键． （1）利用待定系数法求函数关系式即可； （2）先求出书签的定价，再根据总钱数=降价前的总钱数+降价所得的钱数列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，设书签降价前y（元）与x（个）之间的函数关系式为， 由图象知，函数图象经过点，， ∴，解得， ∴降价前y（元）与x（个）之间的函数关系式为； （2）解：由图知，书签的定价为（元）， 由题意，得， 解得， 答：求该小组共制作了33个书签． 17．(1)； (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数求出直线的函数表达式，再联立直线，的函数表达式，可得点B的坐标； （2）根据，即可求解； （3）根据题意可得当是直角三角形时，需分和两种情况，即可求解． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为． ∵图象经过点，， ∴，解得， ∴直线的函数表达式为． 联立，解得， ∴点B的坐标为； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵点C在x轴上， ∴， ∴当是直角三角形时，需分和两种情况． ①当时，点C在图中的位置： ∵点A和点均在x轴上， ∴轴． ∵， ∴； ②当时，点C在图中的位置： 设 ∵， ∴， ∴． 在中，， 在中，， ∴， 即， 解得， ∴． 综上可知，在x轴上存在点C，使得是直角三角形，点C的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，勾股定理，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键． 18．(1)， (2)或 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，一次函数的交点问题，通过三角形的面积求点的坐标等知识点，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质． （1）利用解析式求点的坐标，利用待定系数法求一次函数参数； （2）先求出点的坐标，再设点的坐标为，利用三角形的面积列出绝对值方程求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得，所以点的坐标为． 因为点在一次函数的图象上， 所以，解得． （2）解：把代入，得，所以点的坐标为，即． 设点的坐标为，则， 解得或，所以点的坐标为或． 19．(1) (2) 【分析】（1）直接用待定系数法求出直线的解析式； （2）根据确定点的坐标，再根据平移的性质设直线的解析式，再代入点的坐标可得直线的解析式． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为． 因为直线与轴的交点为， 所以，即．     将点代入，得， 解得， 所以直线的函数表达式为． （2）因为，，， 所以，即．     根据一次函数的平移规律，设直线的函数表达式为．     将点代入，得 ， 解得， 所以直线的函数表达式为． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，要注意利用一次函数的特点，列出方程组，求出未知数的值从而求得其解析式；求直线平移后的解析式时要注意平移时的值不变，只有发生变化． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $