第55讲抛物线专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 以高考真题与模拟题为载体，系统覆盖抛物线定义、方程、几何性质及综合应用，通过问题解决培养数学思维与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|1-7题|定义法求参数、标准方程确定|从抛物线定义出发，关联焦点准线，结合双曲线等知识构建方程| |综合应用|8-17题|韦达定理、几何性质综合、光学性质迁移|以直线与抛物线位置关系为核心，融合圆、三角形等知识，形成“定义-方程-性质-应用”逻辑链|

第55讲　抛物线 (时间:45分钟) 1.已知抛物线M:x2=2py(p>0)的焦点与双曲线N:-x2=1的一个焦点重合,则p= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A. B.2 C.2 D.4 2.已知M为抛物线C:x2=2py(p>0)上一点,点M到C的焦点的距离为7,到x轴的距离为5,则p= (　 ) A.3 B.4 C.5 D.6 3.方程=|x+y-3|表示的曲线为 (　 ) A.抛物线 B.椭圆 C.双曲线 D.直线 4.设M是抛物线y2=4x上的一点,F是抛物线的焦点,O是坐标原点,若∠OFM=120°,则|FM|= (　 ) A.3 B.4 C. D. 5.(多选题)[2023·新课标Ⅱ卷] 设O为坐标原点,直线y=-(x-1)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则 (　 ) A.p=2 B.|MN|= C.以MN为直径的圆与l相切 D.△OMN为等腰三角形 6.顶点在原点,对称轴为坐标轴,焦点在直线x-2y-4=0上的抛物线的标准方程为　　　　　　　　.  7.[2023·全国乙卷] 已知点A(1,)在抛物线C:y2=2px上,则A到C的准线的距离为　　　　.  8.已知点P在抛物线M:y2=4x上,过点P作圆C:(x-2)2+y2=1的切线,若切线长为2,则点P到M的准线的距离为 (　 ) A.5 B. C.6 D. 9.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点R(2,1)的直线l与抛物线C交于A,B两点,R为线段AB的中点,若|FA|+|FB|=5,则直线l的斜率为 (　 ) A. B.1 C.2 D.4 10.[2024·长郡中学三模] 已知点A(-2,2)为抛物线C:x2=2py上一点,P为C上不同于点A的一个动点,过P作PA的垂线与C交于另一点B,则点B的横坐标的取值范围是 (　 ) A.(-∞,-6]∪[2,+∞) B.(-∞,-2]∪[6,+∞) C.(-∞,-6)∪(2,+∞) D.(-∞,-2)∪(6,+∞) 11.(多选题)[2024·九江二模] 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点,动点P在C上,若定点M(2,)满足|MF|=2|OF|,则 (　 ) A.C的准线方程为x=-2 B.△PMF周长的最小值为5 C.直线MF的倾斜角为 D.四边形OPMF不可能是平行四边形 12.(多选题)[2024·新课标Ⅱ卷] 抛物线C:y2=4x的准线为l,P为C上动点,过P作☉A:x2+(y-4)2=1的一条切线, Q为切点,过P作l的垂线,垂足为B,则 (　 ) A.l与☉A相切 B.当P,A,B三点共线时,|PQ|= C.当|PB|=2时,PA⊥AB D.满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个 13.设抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点为F,过点P(0,3)的直线与抛物线E相交于A,B两点,|AF|=2,|BF|=10,则p=　　　　.  14.[2024·江西新余模拟] 在平面直角坐标系xOy中,A,B分别为x,y轴上的点,2|OA|=|OB|,则以原点为顶点且经过A,B两点的抛物线的准线斜率为　　　　.  15.[2024·昆明模拟] 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,M(x0,6)是C上一点,其中x0>6,且|MF|=10. (1)求抛物线C的方程; (2)过点N(a,0)(a>0)的直线l与C相交于P,Q两点,若|NP|·|NQ|=|PQ|,求a的值. 16.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,且F与圆M:x2+(y+4)2=1上的点的距离的最小值为4. (1)求p; (2)若点P在M上,PA,PB是C的两条切线,A,B是切点,求△PAB面积的最大值. 17.抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后,沿平行于抛物线对称轴的方向射出.反之,平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,O为坐标原点,一束平行于x轴的光线l1从点P(x0,2)(点P在抛物线C内)射入,经过C上的点A反射后,再经过C上的另一点B反射,沿l2射出,且l2经过点Q,若直线OA与抛物线C的准线交于点D,则直线BD的斜率为　　　　;若|PA|=2|BD|,且PB平分∠ABQ,则p= 　　　　.  参考答案 第55讲　抛物线 1.D　[解析] 抛物线x2=2py(p>0)的焦点坐标为.双曲线N的方程为-x2=1,则a2=3,b2=1,故c==2.因为抛物线M:x2=2py(p>0)的焦点与双曲线N:-x2=1的一个焦点重合,所以=c=2,即p=4.故选D. 2.B　[解析] 抛物线C:x2=2py(p>0)的准线方程为y=-,因为点M到C的焦点的距离为7,到x轴的距离为5,所以=2,所以p=4.故选B. 3.A　[解析] 由题意得= ,即动点(x,y)到定点(-1,2)的距离与到直线x+y-3=0的距离相等,且点(-1,2)不在直线x+y-3=0上,故方程表示的曲线为抛物线.故选A. 4.B　[解析] 过点M作抛物线的准线的垂线,垂足为点N,连接FN.因为∠OFM=120°,MN∥x轴,所以∠FMN=60°.由抛物线的定义可得|MN|=|FM|,所以△FNM为等边三角形,则∠FNM=60°.抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,设直线x=-1交x轴于点E,则∠ENF=30°,易知|EF|=2,∠FEN=90°,则|FM|=|FN|=2|EF|=4.故选B. 5.AC　[解析] 直线y=-(x-1)与x轴的交点为(1,0),即抛物线的焦点为(1,0),因此p=2,A正确;抛物线C的方程为y2=4x,由消去y化简得3x2-10x+3=0,可得x1=,x2=3,则M,N(3,-2)(设M在第一象限,N在第四象限),所以|MN|=,B错误;因为|OM|=,|ON|=,|MN|=,所以△OMN不是等腰三角形,D错误;以MN为直径的圆的圆心的横坐标为=,圆心到准线l的距离为+==,因此以MN为直径的圆与l相切,C正确.故选AC. 6.y2=16x或x2=-8y　[解析] 直线x-2y-4=0与坐标轴的交点为(4,0)和(0,-2),则所求抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2).若其焦点为(4,0),则其标准方程为y2=16x;若其焦点为(0,-2),则其标准方程为x2=-8y.∴抛物线的标准方程为y2=16x或x2=-8y. 7.　[解析] 由题意可得()2=2p×1,则2p=5,所以抛物线C的方程为y2=5x,其准线方程为x=-,故A到C的准线的距离为1-=. 8.C　[解析] 设点P,由圆的方程(x-2)2+y2=1可知圆心为C(2,0),半径r=1.连接PC,因为切线长为2,所以|PC|=,即+=29,解得=20,可得P(5,yP).由抛物线的定义可得点P到M的准线的距离为5+1=6.故选C. 9.B　[解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2).抛物线C:y2=2px(p>0)的准线方程为x=-.因为R(2,1)为线段AB的中点,所以x1+x2=4,y1+y2=2.由|FA|+|FB|=x1++x2+=4+p=5,解得p=1,则抛物线C的方程为y2=2x,则x1=,x2=,所以直线l的斜率k====1.故选B. 10.A　[解析] 因为A(-2,2)为抛物线C上一点,所以(-2)2=4p,解得p=1,所以抛物线C:x2=2y.设B,P,由题意知直线PA,PB的斜率均存在且均不为0,由PA⊥PB,得kPA·kPB=-1,即×=-1,化简得+(x1-2)x2+4-2x1=0,则关于x2的方程一定有解,故Δ=(x1-2)2-4(4-2x1)≥0,即+4x1-12≥0,解得x1≤-6或x1≥2.故选A. 11.BD　[解析] 抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线方程为x=-,又点M(2,)满足|MF|=2|OF|,所以=2×,即3p2+8p-28=0,解得p=2或p=-(舍去),所以抛物线C:y2=4x,则准线方程为x=-1,焦点为F(1,0),故A错误;过点P作准线x=-1的垂线,垂足为H,由抛物线的定义可知|PH|=|PF|,所以△PMF的周长为|PM|+|MF|+|PF|=|PM|+|MF|+|PH|=|PM|+|PH|+2≥3+2=5,当且仅当M,P,H三点共线时取等号,所以△PMF周长的最小值为5,故B正确;因为kMF==,所以直线MF的倾斜角为,故C错误;过点M作OF的平行线,交抛物线于点P,由解得即P,则|MP|=2-=≠|OF|,所以四边形OPMF不可能是平行四边形,故D正确.故选BD. 12.ABD　[解析] 点A(0,4)到准线l:x=-1的距离为1,圆A的半径为1,故l与☉A相切,选项A正确.当P,A,B三点共线时,A(0,4),P(4,4),|PA|=4,则|PQ|==,选项B正确.当|PB|=2时,xP=1,得yP=±2,当点P的坐标为(1,2)时,B(-1,2),|AB|=|AP|=,不满足PA⊥AB;当点P的坐标为(1,-2)时,B(-1,-2),|AB|=|AP|=,不满足PA⊥AB,选项C不正确.设抛物线的焦点为F,则F(1,0),连接PF,AF,由抛物线的定义可得|PB|=|PF|,则满足|PA|=|PB|=|PF|的点P在线段AF的垂直平分线上,易知线段AF的垂直平分线的方程为y=x+,由得y2-16y+30=0,因为Δ=(-16)2-4×30=136>0,所以满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个,选项D正确.故选ABD. 13.2　[解析] 由题知直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2),由 可得x2-2pkx-6p=0,所以x1+x2=2pk,x1x2=-6p,则y1y2==9.因为|AF|=2,|BF|=10,所以y1=2-,y2=10-,则×=9,解得p=2或p=22.因为2->0,所以p=2. 14.-　[解析] 将所求抛物线绕原点旋转到抛物线C,A,B分别对应点A1,B1,不妨设抛物线C:y2=2px(p>0),|OB1|=2a,|OA1|=a,∠B1Ox=θ,∠B1Oy=φ,如图所示,则B1(2acos θ,2asin θ),A1,即A1(asin θ,-acos θ),又A1,B1在C上,所以可得tan3θ=,故tan θ=,又φ+θ=,φ,θ∈,所以tan φ=,故将抛物线C绕原点逆时针旋转φ后,A1,B1分别旋转到x,y轴上的点A,B,故所求抛物线对称轴的斜率为tan φ=,又准线与对称轴垂直,故准线的斜率为-. 15.解:(1)由抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,M(x0,6)是C上一点,且|MF|=10,可得解得或因为x0>6,所以则抛物线C的方程为y2=4x. (2)由过点N(a,0)(a>0)的直线l与C相交于P,Q两点,知直线l的斜率不为0,设l的方程为x=my+a,P(x1,y1),Q(x2,y2). 由消去x并整理得y2-4my-4a=0,由根与系数的关系得y1+y2=4m,y1y2=-4a,故|PQ|== 4,|NP|= |y1|,|NQ|=|y2|, 可得|NP|·|NQ|=(1+m2)|y1y2|=4a(1+m2).因为|NP|·|NQ|=|PQ|,所以4a(1+m2)=4,整理得(a-1)(am2+m2+a)=0. 因为am2+m2+a>0,所以a-1=0,故a=1. 16.解:(1)由题知点F与圆M:x2+(y+4)2=1上的点的距离的最小值为+3=4,所以p=2. (2)由(1)知抛物线C的方程为y=x2.设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),由y=x2,得y'=x, 则切线PA的方程为y=x1(x-x1)+y1=x1x-=x1x-y1,同理得切线PB的方程为y=x2x-y2,且++8y0+15=0. 因为切线PA,PB都过点P(x0,y0), 所以故直线AB的方程为y0=x0x-y,即y=x0x-y0.由得x2-2x0x+4y0=0,则Δ=4-16y0>0,所以x1+x2=2x0,x1x2=4y0,则|AB|=·=·,点P到直线AB的距离d=, 所以S△PAB=|AB|·d=|-4y0|·=(-4y0=(--12y0-15. 因为y0∈[-5,-3],所以当y0=-5时,S△PAB取得最大值,最大值为20. 17.0　2　[解析] 如图,依题意,直线AB过抛物线C的焦点F.设直线AB的方程为x=my+,A(x1,y1),B(x2,y2),由得y2-2pmy-p2=0,则y1y2=-p2,x1x2==.因为y1=2,所以A,B,则直线OA的方程为y=px,所以直线OA与抛物线C的准线l的交点为D,所以直线BD的斜率为0.因为PB平分∠ABQ,所以∠ABP=∠PBQ=∠APB,所以|AB|=|PA|.因为|PA|=2|BD|,所以|AB|=2|DB|,即x1+x2+p=2|x2-xD|,所以++p=2,可得p=2. 1 学科网（北京）股份有限公司 $