第一章三角形的证明及其应用 单元复习 2026--2027学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 北师大版八年级数学下册第一章三角形证明单元卷，以现实情境与梯度问题设计，覆盖三角形性质、证明及应用，适配新授课后综合检测，培养几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|多边形外角和、等腰三角形性质等|如第8题结合高铁支撑结构考查三角形内角关系，体现数学眼光| |填空题|5/15|内角和计算、尺规作图应用|如第14题通过垂直平分线性质求面积，强化空间观念| |解答题|8/75|尺规作图、动态问题及跨学科应用|如21题小区景观设计、23题坐标系中等边三角形探究，突出推理能力与模型意识|

· 第一章 三角形的证明及其应用单元复习练习� · 2026--2027学年北师大版八年级数学下册 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．一个正多边形的每个外角度数都等于，则这个多边形的边数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 2．下列说法正确的是（    ） A．等腰三角形的中线，高线、角平分线重合 B．若多边形的边数增加，则它的外角和和内角和都会增加 C．等腰三角形两底角的平分线相等 D．有一个外角是的等腰三角形是等边三角形 3．一个三角形的三个内角度数之比为，则这个三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 4．等腰三角形一个角的度数为50°，则顶角的度数为（ ） A．50° B．80° C．65° D．50°或80° 5．如图，是等腰直角三角形，．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点落在外的点处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．如图是高铁线路上某高压线支撑结构的部分示意图，已知，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．如图，，均为等边三角形，点A，B，C在同一条直线上，连接，，与相交于点M，与相交于点N，连接，下列结论：①；②；③；④；⑤平分．其中正确的有（   ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 10．如图， 在中， ， 是的角平分线， 于点E，连接．若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．在中，，，则_________． 12．若一个六边形的内角都相等，则它的每个内角为________． 13．如图，这是一台放置在水平桌面上的电脑显示屏，将其侧面抽象成平面几何图形，测得，，则为______度． 14．如图，在中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点M，N，连接，与，分别交于点D，E，连接．若，，则的面积为__________． 15．图①是一类光学直角棱镜，其中一块直角棱镜的截面为图②所示的，所在的面为不透光的磨砂面，，．现有一束单色光从边的点E处垂直射入，到达边的点D处，恰有，经过反射后（即）从边的点F处射出．若光线在棱镜内部经过的路径，则这块棱镜的高度为__________cm． 三．解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16．如图，在中，． (1)用尺规作的平分线，交于点．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，，，求的长． 17．如图，在中，，，，平分交于点．求的长． 18．如图，在中，是角平分线，，过点作边上的高，垂足为，求的度数． 四．解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．如图，在中，，交于点，且． (1)判断与的位置关系，说明理由； (2)若平分，且分别交，于点，．求证：． 20．如图，一架无人机悬停在空中点处，点与地面上点之间的距离米，点与地面上点（点，处于同一水平面上）的距离米，且米． (1)求的度数； (2)现这架无人机沿所在直线向下飞行至点处，连接，当点恰好在边的垂直平分线上时，求这架无人机向下飞行的距离的长． 21．为提升长治市某小区居民的休闲体验，物业计划在小区内的三角形休闲广场上进行景观升级．设计师借鉴古建筑中对称、规整的布局理念，计划通过广场内角与外角平分线形成的夹角，规划景观灯带的走向与布局．请你帮助设计师完成以下计算，为灯带施工提供数据支持： (1)如图1，在中，，，平分，平分，两条角平分线交于点P，求的度数； (2)如图2，在中，和的外角平分线相交于点D，若，求的度数． 五．解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23小题14分，共27分） 22．按要求解题： (1)如图1，中，点是的延长线上一点，的角平分线与的角平分线交于点，若，，求的度数； (2)如图2，四边形中，点是的延长线上一点，的角平分线与的角平分线交于点，若，，求的度数． 23．【问题呈现】 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，以线段为边在第四象限内作等边三角形，点C为x轴正半轴上一动点（），连接，以线段为边在第四象限内作等边三角形，连接并延长，交y轴于点E． 【问题提出】 (1)在此过程中，线段与有何数量关系？并证明你的结论； 【尝试探究】 (2)在点C的运动过程中，的度数是否会发生变化？如果不变，请求出的度数；如果改变，请说明理由； 【拓展延伸】 (3)当点C运动到什么位置时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形？直接写出此时点C的坐标和的长度． 试卷第6页，共6页 试卷第5页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B D B A A B C C 11． 【分析】此题考查三角形的内角和定理，熟记三角形的内角和定理是解题的关键． 根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】如图所示， ∵ ∴ ∵ ∴． 故答案为：． 12．/120度 【分析】本题考查了多边形的内角和，根据多边形的内角和公式求出六边形的内角和，再根据六边形的内角都相等列式计算即可得出答案． 【详解】解：六边形的内角和为， ∵六边形的内角都相等， ∴它的每个内角为， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查的是三角形的外角的性质，由三角形的外角的性质可得，再建立方程求解即可； 【详解】解：∵，，， ∴， 解得：， 故答案为： 14．1 【分析】本题考查作图一基本作图、线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质是解答本题的关键． 由作图可得，为线段的垂直平分线，则，由三角形外角的性质可得，则，利用三角形的面积公式计算可得答案． 【详解】解：由作图可得，为线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∴的面积为． 故答案为：1． 15．20 【分析】本题主要考查含角的直角三角形三边的关系、等边三角形判定与性质等知识点，说明是等边三角形成为解题的关键．由、得，又得，而，得，可证是等边三角形得，然后求得，由即可解答． 【详解】解：∵、， ∴， ， ，， ，， ， ，，， ∴是等边三角形； ∴， ∵， ∴，， ∴． 故答案为：20． 16．(1)图见解析 (2) 【分析】本题主要考查了作角平分线、以及角平分线的性质.解题的关键在于作出角平分线并利用其性质证明线段相等. （1）先以为圆心，小于长为半径画弧，交，于两点；再分别以这两点为圆心，大于这两点距离一半的长为半径画弧，两弧交于一点，最后过点及这一交点画射线交于； （2）过点作，垂足为，由角平分线的性质定理证明，再由等面积法列方程求解即可. 【详解】（1）解：以为圆心，小于长为半径画弧，交，于两点；再分别以这两点为圆心，大于这两点距离一半的长为半径画弧，两弧在内部交于一点，最后过点及这一交点画射线交于； 如图，即为所求． （2）解：如图，过点作于点． ∵，平分， ∴． ∵， ∴， 解得． 17． 【分析】本题考查了角平分线的性质，勾股定理，三角形的面积，过点作于，由勾股定理得，即得，由角平分线的性质得，再根据解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过点作于， ∵，，， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， 解得． 18． 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理求出的度数，则由三角形内角和定理可得的度数，再求出的度数，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵是角平分线， ， ∵是高， ∴， ， ． 19．(1)解：， 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【分析】（1）根据，，结合，即可得出结论； （2）由角平分线的定义可得，结合，利用三角形外角的性质得到，即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 20．(1) (2)这架无人机向下飞行的距离的长为米 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可解答； （2）设米，在中，利用勾股定理列方程即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 是直角三角形，． （2）解：设米， ∵点恰好在边的垂直平分线上， ∴米，米，                         在中，， ，                                 解得， 答：这架无人机向下飞行的距离的长为米． 21．(1) (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义求出相关角的度数，然后利用三角形内角和定理求解； （2）根据三角形内角和定理得出，利用角平分线得出，然后利用三角形内角和定理求解． 【详解】（1）解：∵，，平分，平分， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵和的外角平分线相交于点D， ∴， ∴， ∴． 22．(1) (2) 【分析】（1）根据角平分线定义求出，，再利用三角形外角性质求出的度数； （2）根据四边形内角和求出，结合角平分线定义及三角形外角性质推出的度数． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，平分， ∴， ∵， ∴． 23．(1)， 证明：，都是等边三角形， ，，， ， 即， ， ； (2)点C在运动过程中，的度数不会发生变化， 理由如下： 是等边三角形， ． ， ， ． 点在运动过程中，的度数不变，； (3)点C的坐标为， 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，，再说明，可证，进而得出答案； （2）根据等边三角形的性质得，再根据全等三角形的性质得，最后根据得出结论； （3）先根据全等三角形的性质及等边三角形的性质得，，即可得出以，，为顶点的三角形是等腰三角形时，和是腰，然后根据直角三角形的性质得；过点作，交于点，利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：， ． ， ， ，， 以，，为顶点的三角形是等腰三角形时，和是腰． 在中，，， ， ， ． 当点的坐标为时，以，，为顶点的三角形是等腰三角形； 过点作，交于点， 为等边三角形，， ， ， ， ， 为等边三角形， ． 答案第6页，共9页 答案第1页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $