期末单元复习(1) 三角形的证明及其应用-【名师学案】2025-2026学年八年级下册数学分层进阶学习法（北师大版·新教材）

7.88.(1)证明：E为CD中点，.CE=DE。:CF∥BD,∴.∠CFE= ∠DBE,∠FCE=∠BDE。△CEF≌△DEB。∴.CF=DB。.四边形 DBCF是平行四边形；(2)解：，四边形DBCF是平行四边形，CF=BD =6。:∠ACB=90°，∠A=30°，∴.AB=2BC。设BC=x,则AB=2x。在 Rt△ACB中，AC+BC=AB。.(43)2+x2=(2x)。解得x=±4（负 值舍去)。..AB=8。,.AD=AB-BD=8-6=2.9.B10.111.C 12.(1)证明：：BF=BE,CG=CE,∴.BC为△FEG的中位线。∴.BC∥FG, BC=号FG。又：H是FG的中点，FH=2FG。∴BC=FH。又：四边 形ABCD是平行四边形，.AD∥BC,AD=BC。.AD∥FH,AD=FH。 .四边形AFHD是平行四边形。(2)40° 期末单元复习（一）三角形的证明及其应用 重难点突破 例1C例2A例3证明：·CE是△ABC的角平分线，∴.∠FCE= ∠BCE。:EF∥BC,∴.∠FEC=∠BCE。.∠FCE=∠FEC。.FE= FC。∴△CEF是等腰三角形。例422.5°例5证 明：连接BP,CP。点P在BC的垂直平分线上，BP CP。AP是∠DAC的平分线，PD⊥AB,PE⊥AC,.PD =PE。在Rt△BDP和Rt△CEP中，PDPE' ,∴.Rt△BDP≌Rt△CEP(HL)。.∴.BD=CE 对点训练 1.C2.A3.B44586,证明：1)：E是∠A0B的平分线上一点， EC⊥OA,ED⊥OB,∴.EC=ED。∴.∠ECD=∠EDC。(2)在Rt△OCE 和R△0DE中，OE-8E:R△0XEeR△ODEL.X0D ∴.点O,E都在线段CD的垂直平分线上。∴.OE是CD的垂直平分线。 备考集训 1.B2.A3.B4.A5.B6.B7.C8.69.52°10.611.90 12.2413.解：相等的线段：AD=AF。过点A作AG⊥BC D A 于点G。AB=AC,∴.∠1=∠2。：DE⊥BC,∴.AG∥DE .∠2=∠D,∠1=∠AFD。:∠1=∠2，∴.∠D=∠AFD .AD=AF。14.解：(1)，△DAF的周长是16，∴.AD+B∠ DF+AF=16。DE,FG分别是AB,AC的垂直平分线， EG AD=BD,AF=CF。.BD+DF+CF=16=BC,即BC的长为16。(2) BD=AD,AF=CF,∴.∠B=∠BAD,∠C=∠FAC。..∠DAB+∠FAC= ∠B+∠C。,∠DAF=20°，.∠DAB+∠B+∠C+∠FAC=180°-20°= 160°。.∠DAB+∠FAC=80°。.∠BAC=80°+20°=100°。15.(1)3 (2)证明：：△ABC是等边三角形，∴.AB=AC,∠BAC=60°。又 △ADE是等边三角形，∴.AD=AE,∠DAE=60°。.∠BAC+∠CAD= ∠DAE+∠CAD,即∠BAD=∠CAE。在△ABD和△ACE中， AB=AC, ∠BAD=∠CAE,.△ABD≌△ACE(SAS). AD-AE, 期末单元复习（二）不等式与不等式组 重难点突破 例1解：由①得7x≤14，则x≤2。由②得2x十6>x十4，则x>一2。故原 不等式组的解集为一2<x≤2。在数轴上表示其解集如图。 -5-4-3-2-1012345 例2D例3解：(1)设购买每盒A种礼品要x元，每盒B种礼品要y元， 由题意，00鲜行二0爷：肉买行金A种礼品要1期末单元复习（一） 01 知识结构图 定理、推论 三角形内角和定理 多边形的内角和、外角和 性质、判定 等腰三角形 等边三角形 角形 全等的判定 证 直角三角形 定义 明 性质、判定 应 性质定理、判定定理 用 线段的垂直平分线 三角形三条边的垂直 平分线的性质 性质定理、判定定理 角平分线 三角形三条内角平分线的性质 02 重难点突破 突破点一三角形内角和定理及推论 例1如图，BP是△ABC中 ∠ABC的平分线，CP是 200 50 △ABC外角∠ACM的平 B M 分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，那么 ∠A+∠P= ( A.70 B.80° C.90° D.100 对点训练 1.将一副三角板按照如图方式摆放，则∠CBE 的度数为 ( A.90 B49 B.100° C.105 A D.110° 突破点二多边形的内角和与外角和 例2已知一个多边形的内角和是它的外角和 的2倍，则这个多边形的边数是 () A.6 B.8 C.3 D.10 反思归纳根据多边形的内角和为(n一2)×180°，外角 和为360°列出方程求解即可。 三角形的证明及其应用 对点训练 2.一个五边形的四个内角的和为500°，则它的 另一个内角的度数为 () A.40° B.60° C.80° D.90° 突破点三等腰三角形的性质与判定 例3如图，CE是△ABC的角平分线，EF∥BC 交AC于点F,求证：△CEF是等腰三角形。 反思归纳本题是“平行线十角平分线”摸型的证明题。 解题的关键是利用平行线的性质和角平分线的定义得 到等腰三角形。 对点训练 3.如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=65°，点D 在BA的延长线上，AE平分∠DAC,则 ∠DAE的度数是 () A.50° B.65 C.75° D.130° D 第3题图 第4题图 4.如图，在△ABC中，AD为角平分线，若∠B= ∠C=60°，AB=8,则CD的长度为 突破点四直角三角形的性质与判定 例4如图，在△ABC中，∠C D 90°，DE是AB的垂直平分 线，且∠BAD:∠CAB=1:3,则∠B= 反思归纳根据线段垂直平分线的性质得到AD=DB, 从而得到∠B=∠BAD,再根据直角三角形的性质即 可求出答采。 助学助教优质高数108 对点训练 5.如图，在△ABC中，已知AB= 13,BC=10,边BC上的中线 AD=12,过点D作DE⊥AC,垂 足为E,则DE的长为 D 突破点五角平分线与线段垂直平分线的性质 和判定的应用 例5如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交 边BC的垂直平分线PQ于点P,PD⊥AB 于点D,PE⊥AC于点E。求证：BD=CE。 反思归纳利用线段垂直平分线和角平分线的性质都 可以得到线段相等，是证明线段相等的重要依据。 对点训练 6.如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥ OA,ED⊥OB,垂足分别为C,D。求证： (1)∠ECD=∠EDC; (2)OE是CD的垂直平分线。 109八年级数学下册·BS 03备考集训(60分钟100分) 一、选择题（每小题4分，共28分） 1.(2025·广州期中)∠ACD是 △ABC的外角，若∠A=75°， ∠ACD=135°，则∠B等于 D () A.50° B.60° C.75° D.90° 2.如图，AB⊥BD,CD⊥BD,AD=BC,则能直接 判断Rt△ABD≌Rt△CDB的理由是() A.HL B.ASA C.SAS D.SSS 7 D B D 第2题图 第3题图 3.如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分 线，BD=5,则CD等于 () A.10 B.5 C.4 D.3 4.如图，在△ABC中，AB=AD=DC,∠B= 70°，则∠C的度数为 () A.35° B.40° C.45 D.50° B∠ 第4题图 第5题图 5.如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平 分线交AB于点E,垂足为D,若ED=2,则 CE的长为 () A.2√3 B.4 C.2√2 D.2 6.如图，在直线1上方有正方形①，②，③，若 ①，③的面积分别为4和16，则正方形②的面 积为 () A.24 B.20 C.12 D.22 D ② ① B 第6题图 第7题图 7.如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相 等，∠A=64°，则∠BOC的度数为() A.58°B.64°C.122°D.124 二、填空题（每小题6分，共30分） 8.如果一个多边形每一个外角都是60°，那么这 个多边形的边数为 9.(中考·新疆)如图，在△ABC 中，若AB=AC,AD=BD ∠CAD=24°，则∠C= 10.如图，在△ABC中，CD是角平分线，交AB 于点D,DE∥BC交AC于点E,若DE= 3cm,AE=3cm,则AC等于cm。 第10题图 第11题图 11.如图，将一张长方形纸片ABCD按图中那 样折叠，若AE=9,AB=12,则重叠（阴影） 部分的面积是 12.如图，在□ABCD中，BC的 垂直平分线EO交AD于点 E,交BC于点O,连接BE, CE,过点C作CF∥BE,交 直线EO于点F,连接BF。若AD=8,CE=5, 则四边形BFCE的面积为 三、解答题（共42分） 13.(12分)如图，在△ABC中，AB=AC,D为 CA延长线上一点，DE⊥BC于点E,交线段 AB于点F。请找出一组相等的线段(AB= AC除外)，并加以证明。 14.(14分)如图，在△ABC中，DE,FG分别是 AB,AC的垂直平分线，分别交BC于点D, F,垂足是E,G,∠DAF=20°。 (1)若△DAF的周长是16，求BC的长； (2)求∠BAC的度数。 15.(16分)已知△ABC是等边三角形，AB=6, D是直线BC上一点，连接AD,以AD为边 作等边三角形ADE,连接CE。 (1)如图1，当D是线段BC的中点时，CE= ； (2)如图2，当点D在BC的延长线上时，求 证：△ABD≌△ACE。 图2 助学助教优质高数110