第1章三角形的证明及应用 期中复习优生辅导训练题 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

2025-2026学年北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明及应用》 期中复习优生辅导训练题（附答案） 一、单选题 1．下列正多边形的组合中，不能够铺满地面的是（   ）． A．正七边形和正方形 B．正方形和正八边形 C．正六边形和正三角形 D．正十二边形和正三角形 2．已知等边的边长为，是边上的动点，过作于点，过作于点，过作于点．当与重合时，的长是（    ） A． B． C． D． 3．如图，中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 5．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角，这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D，E可在槽中滑动，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．如图，等腰底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交、于点、，若点是边的中点，为线段上一动点，周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在等边中，于D，E是线段上一点，是边上一点，且满足，G是的中点，连接．则下列四个结论①；②；③；④当时，．其中正确的个数有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 8．若等腰三角形一腰上的高与另一腰所在直线的夹角为，则这个等腰三角形的顶角的度数是_____． 9．如图，一把三角尺的两条直角边分别经过正五边形的两个顶点，则与的度数和为 ________ ． 10．如图，在中，与的垂直平分线交于点P，连接，，，若，则的度数为__________． 11．如图，在锐角中，，和分别垂直平分边、，则的度数为 _______ °． 12．如图，四边形中，，M、N分别为线段、上的动点，连接、和，当的周长最小时，，则______． 13．如图，在中，，，，是上一点，连接，把沿折叠，使与重合，点落在点处，则重叠部分（阴影部分）的面积是______． 14．如图，在中，，，是边上的高，为边上一动点，为上一动点，若，则的最小值为________． 三、解答题 15．在由的小正方形组成的网格中，每个小正方形的边长都为1，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，请仅用无刻度的直尺按下列要求完成作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中的射线上取点D，使． (2)在图2中的边上取点E，使． 16．如图，在中，，D是边的中点，连接，平分交于点E． (1)若，求的度数； (2)过点E作交于点F，求证：是等腰三角形． 17．如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，，且，求的面积． 18．如图，在四边形中，为等腰直角三角形，，其中，分别是线段，上的点，且．过点作，交于点．过点作，交于点，交延长线于点，连接、． (1)求证：； (2)当为等边三角形时，求的度数； (3)若，，求的长度． 19．在中，，，设．若点关于直线的对称点为，连接，． (1)如图①，与是否全等，请说明理由． (2)如图②，若，求证：． (3)如图③，若，点在的延长线上，则等式还能成立吗？请说明理由． 20．在中，．点在边BC的延长线上，，连接，点是线段上一动点． (1)如图1，若平分，求证：为等腰三角形； (2)如图2，过作，点与点在直线的异侧，，连接交于点，连接交于点． ①求证：； ②当时，判断是否为的角平分线，并说明理由． 参考答案 1．A 【分析】本题考查平面镶嵌，能够铺满地面的关键是：围绕同一顶点的几个多边形内角加起来恰好等于，先计算各正多边形的内角度数，再判断能否凑出即可. 【详解】解：对于选项A ：正七边形内角约为，正方形内角为，不存在正整数个内角和凑为，故不能够铺满，符合题意； 对于选项B ：正方形内角为，正八边形内角为， ∵， ∴能够铺满，不符合题意； 对于选项C ：正六边形内角为，正三角形内角为， ∵， ∴ 能够铺满，不符合题意； 对于选项D ：正十二边形内角为，正三角形内角为， ∵， ∴能够铺满，不符合题意． 2．C 【分析】设，利用等边三角形各内角为，结合含角的直角三角形的性质，将相关线段用含x的代数式表示，再根据总长列一元一次方程求解． 【详解】解：设， 是边长为12的等边三角形， 、， 、、、且与重合， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， 解得， 即． 3．B 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角和三角形内角和是，掌握了以上知识是解答本题的关键；先根据角平分线得到，再利用三角形内角和可得，根据垂直平分线的性质可得，然后即可求解的度数． 【详解】解：∵平分，， ∴，， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴； 故选：B 4．A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，利用“”得到，则，然后利用三角形内角和定理及等式的性质得到关于和的关系式，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：． 5．A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质． 由等腰三角形的性质可得，由外角性质可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 6．C 【分析】连接、，由线段垂直平分线的性质可得，由等腰三角形的性质并结合三角形面积公式计算得出，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、， ， ∵垂直平分， ∴， ∵等腰底边长为，点是边的中点， ∴，， ∵等腰面积是， ∴， ∴， ∵周长， ∴当点、、在同一直线上时，周长最小，为． 7．D 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，根据三线合一定理可判断①；可证明，得到，由三角形外角的性质可得，，则可得到，据此可判断②；可证明，据此可判断③；可求出，则可得到，求出，则，据此可判断④． 【详解】解：∵为等边三角形，且， ∴，，，故①正确； 如图，连接， ，， ， ； ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故②正确； ∵，， ， ， ， ，故③正确； ，， ， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确，； 综上，正确选项为：①②③④， 故选：D． 8．或 【分析】分等腰三角形顶角为锐角和顶角为钝角两种情况讨论求解． 【详解】解：当等腰三角形的顶角为锐角时，在锐角中， ，于点，， ， 当等腰三角形的顶角为钝角时，在钝角中， ，交的延长线于点，， ， 综上所述，这个等腰三角形的顶角的度数是或． 9．/度 【分析】本题考查了正多边形内角和定理．根据多边形内角和定理： 且为整数先求出正五边形的内角和，进一步得到个内角的和，根据四边形内角和为，可求的度数，根据角的和差关系即可得到图中的结果． 【详解】解：如图， 正五边形的内角和为： ， ， ， ， ． 故答案为：． 10．/30度 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 先根据线段垂直平分线的性质，得，再根据等腰三角形的性质，易求，，从而可求，最后再根据等腰三角形的性质，计算即可求解． 【详解】解： 与的垂直平分线交于点P， ，， 则， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 11．15 【分析】连接，根据已知得，， 解得． 本题考查了线段的垂直平分线，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和，熟练掌握线段的垂直平分线是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵和分别垂直平分边、， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：15． 12．/108度 【分析】延长至点，使得，延长至点，使得，由线段垂直平分线的性质得到，，从而得出，即当、、、四点共线时，周长最小，再根据三角形内角和定理以及外角的性质求解即可． 【详解】解：如图，延长至点，使得，延长至点，使得，连接、、， ， 垂直平分，垂直平分， ，， ， 当、、、四点共线时，最小，即周长最小，如图， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴ ， 解得， 则 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理以及外角的性质，最短路径问题等知识，得出当、、、四点共线时，周长最小是解题关键． 13． 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，折叠的性质，直角三角形的面积计算，掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键． 先由勾股定理逆定理判断为直角三角形，，再利用折叠性质得，设 ，在中用勾股定理列方程求，最后计算重叠部分的面积． 【详解】解：∵在△ABC中， ∴ ∴是直角三角形，且 由折叠可知， ∴ ∵ ∴ 设，则 在中， 根据勾股定理： ∴．​ 重叠部分是，其面积为：． 故答案为：． 14．12 【分析】连接，根据等边三角形的性质以及线段垂直平分线的性质得出，当点在同一条直线上时，的值最小，最小值为的长，再利用垂线段最短和等面积法求最小值． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点在同一条直线上时，的值最小，最小值为的长， 当时，的值最小， 此时，， ∴， ∴的最小值为12． 15．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据网格特征得到，由勾股定理易得，即可作答． （2）运用全等三角形的判定和性质，且结合网格特征，即可作答． 【详解】（1）解：如图1，点D即为所求（作出一种即可）． ∵， ∴   ， ∵， ∴； （2）如图2，点E即为所求． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 16．(1) (2)见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得，，则有； （2）根据角平分线的性质得．由平行线的性质得，则，有，即可说明是等腰三角形． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，D为的中点， ∴， ∴． ∴； （2）证明：∵平分， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴， ∴是等腰三角形． 17．(1) (2)见解析 (3)6 【分析】（1）根据平角的定义解题即可； （2）过点E作于G，于H，结合角平分线的性质和判定定理证明； （3）根据求出，再进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）证明：过点E作于G，于H， ∵，，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴平分； （3）解：∵， ∴， 即， 解得， ∴， ∴． 18．(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用证明即可证明； （2）等边三角形的性质结合等角的余角相等即可求解； （3）作交的延长线于点，证明，推出，再证明，求得，根据，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∴， ∴； （2）解：当等边三角形时，， ∴， ∵， ∴， ， ∴； （3）解：作交的延长线于点， 由题意得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．正确作出辅助线解决问题是解题的关键． 19．(1)，理由见解析 (2)见解析 (3)等式 仍然成立，理由见解析 【分析】（1）利用轴对称性质得到、，结合推出，再根据，用判定． （2）先由(1)的全等得到、，结合推出，再由轴对称得，最后在中用勾股定理证明． （3）先证得到、，结合推出，再由轴对称得，在中用勾股定理证明等式仍成立． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵点关于直线的对称点为， ∴，． ∵， ∴． ∴，即． ∵，， ∴（）． （2）证明：由（）得， ∴，． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∵点关于直线的对称点为， ∴． 在中，， ∵，， ∴． （3）解：等式仍然成立，理由如下： 如图， ∵点关于直线的对称点为， ∴，． ∵， ∴． ∴，即． ∵，， ∴（）． ∴，． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∵点关于直线的对称点为， ∴． 在中，， ∵，， ∴． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握轴对称性质转化线段和角，并结合全等三角形与勾股定理进行推理论证是解题的关键． 20．(1)见解析 (2)①见解析；②为的角平分线，理由见解析． 【分析】（1）先证明是等腰直角三角形，得到，由，得到，再根据角平分线的定义求出，利用三角形外角的性质求出，即可证明； （2）①如图，连接，利用三角形内角和定理与平角的定义结合已知条件推出， ，证明，推出，，进而证明，得到，再证明，即可证明结论；②由①知，易证垂直平分，得到，是等腰三角形，利用等腰三角形三线合一即可说明． 【详解】（1）证明：∵在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）①证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∴为的角平分线，理由如下： 由①知， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴（三线合一）， ∴为的角平分线． 学科网（北京）股份有限公司 $