5.2 二次函数的图象课件2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件系统讲解二次函数图象与性质，从y=x²和y=-x²入手，逐步扩展到y=ax²、y=ax²+c、y=a(x-h)²及一般式y=ax²+bx+c，通过复习一次函数图象和画函数图象步骤，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点在于通过合作探究让学生动手列表描点画图象，培养几何直观，对比不同函数图象特征归纳性质，发展推理意识，用表格和配方法转化表达式，强化模型意识。学生能逐步构建知识体系，教师可依托结构化流程提升教学效率。

5.2 二次函数的图象 5.2 二次函数的图象 第1课时 二次函数y=x2和y=-x2的图象 1．了解二次函数的图象是一条抛物线. 2．会画二次函数与的图象.（重点） 3．通过观察图象能够掌握二次函数与的性质.（难点） 学 习 目 标 1.一次函数的图象是什么？ 2.画函数图象的基本方法与步骤是什么？ 3.研究函数时，主要用什么来了解函数的性质呢？ 一条直线 列表——描点——连线 函数的图象 复 习 导 入 画二次函数 y = x2 的图象. 在二次函数 y = x2 中，y随x的变化而变化的规律是什么？你想直观地了解它的性质吗？ 合 作 探 究 … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … 　 　 　 　 　 　 　 …　 画出二次函数的图象. 9 4 1 0 1 9 4 1.列表：在 中自变量可以是任意实数，列表表示几组对应值： 合 作 探 究 2 4 -2 -4 o 3 6 9 x y 2.描点：根据表中x，y的数值在坐标平面中描点(x，y) 3.连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到的图象． 合 作 探 究 观察二次函数的图象. 问题1 你能描述图象的特征吗？与同伴进行交流. 二次函数的图象是一条抛物线，并且抛物线开口向上. 2 4 -2 -4 o 3 6 9 x y 合 作 探 究 当时，y随x的增大而减小； 当时，y随x的增大而增大. 问题2 图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？ 有，(0,0). 问题3 当时，随着值的增大，的值如何变化？当时呢？ 问题4 y的值可能小于0吗？当x取什么值时，y的值最小？ 时，的值最小. 2 4 -2 -4 o 3 6 9 x y 合 作 探 究 x y O -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 10 8 6 4 2 -2 y=x2 这条抛物线关于y轴对称, y轴就是它的对称轴. 对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点. 问题5 图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ 合 作 探 究 1.开口向上； 2.对称轴是y轴； 3.顶点坐标是（0，0），是抛物线上的最低点； 4.当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大. 二次函数的图象性质： ☀归纳 新 知 小 结 画出函数的图象． 解：列表如下. x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=-x2 … 　 　 　 　 　 　 …　 -9 -4 -1 0　 -1 -9 -4 合 作 探 究 描点、连线，如图所示： y 2 4 -2 -4 0 -3 -6 -9 x 合 作 探 究 1.开口向下； 2.对称轴是轴； 3.顶点坐标是（0，0）；是抛物线上的最高点； 4.当，抛物线从左往右上升；当，抛物线从左往右下降. 2 4 -2 -4 0 -3 -6 -9 x ☀归纳 二次函数的图象性质： 新 知 小 结 观察下列图象，抛物线y=x2与y=-x2的关系是什么？ 二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于x轴对称. x y O y=x2 y=-x2 思 考 y＝x2 y＝－x2 图象 位置开口方向 对称性 顶点最值 增减性 开口向上,在x轴上方 开口向下,在x轴下方 关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0 顶点坐标是原点（0，0） 当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0 在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减 y O x y O x ☀归纳 二次函数y=x2与y=-x2的图象与性质： 合 作 探 究 1.两条抛物线y=x2与y=-x2在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（　　） A. 顶点坐标均为(0,0) B. 对称轴均为 C. 开口都向上 D. 都有(0,0)处取最值 C 随 堂 检 测 2. 已知点A（－1 ，y1），B（－，y2），C（2，y3）都在函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为________________.（用“”连接） y =x2 y1 y2 y3 y1＜y2＜y3 随 堂 检 测 3.如图,点P为抛物线y=x2 上的任意一点,点A的坐标为(2,0) ,若△POA的面积为4,则点 的坐标为_________________. 4.若抛物线y=-x2 上点A的横坐标为-2 ,则点A关于抛物线对称轴对称的点的坐标为_________. (2,4)或(-2,4） (2,-4) 随 堂 检 测 5.已知二次函数y=x2，若x≥m时，y最小值为0，求实数m的取值范围． 解：∵二次函数y=x2， ∴当x=0时，y有最小值，且y最小值=0. ∵当x≥m时，y最小值=0， ∴m≤0． 随 堂 检 测 y＝x2 y＝－x2 图象 位置开口方向 对称性 顶点最值 增减性 开口向上,在x轴上方 开口向下,在x轴下方 关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0 顶点坐标是原点（0，0） 当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0 在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减 y O x y O x 二次函数y=x2与y=-x2的图象与性质： 课 堂 总 结 5.2 二次函数的图象与性质 第2课时 二次函数y=ax2与y=ax2+c的图象 1.会画二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象.（难点） 2.掌握二次函数y=ax2和y=ax2+c的性质并会应用.（重点） 3.比较函数y=ax2与y=ax2+c的联系. 学 习 目 标 y＝x2 y＝－x2 图象 位置开口方向 对称性 顶点最值 增减性 开口向上,在x轴上方 开口向下,在x轴下方 关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0 顶点坐标是原点（0，0） 当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0 在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减 y O x y O x 二次函数y=x2与y=-x2的图象与性质： 复 习 导 入 形如y=ax2和y=ax2+c的二次函数的图象与性质是怎样的呢？它们的图象与性质和y=x2（y=-x2）会有什么关系呢？ 本节课我们将继续探究. 情 境 导 入 x y O －2 2 2 4 6 4 －4 8 画出函数y=2x2的图象. （1）完成下表： x ··· －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 ··· y ··· ··· 4.5 2 0.5 0 4.5 2 0.5 （2）在右图中画出二次函数y=2x2的图象. 描点，连线. 合 作 探 究 （3）二次函数y=2x2的图象是什么形状？它与二次函数y=x2的图象有什么相同和不同？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？ 二次函数y=2x2的图象是一条开口向上的抛物线. y轴就是它的对称轴，顶点坐标是（0，0）. x y O －2 2 2 4 6 4 －4 8 相同点：都是位于x轴上方开口向上的抛物线,对称轴、顶点、最值和增减性都相同. 不同点：y=2x2的图象比y=x2的图象的开口小. 合 作 探 究 想一想：在同一直角坐标系中画出二次函数的图象，它与， 的图象有什么相同和不同？ x y O －2 2 2 4 6 4 －4 8 当0时，a的值越大，开口越小. y=ax2的开口大小与a（a＞0）的大小有什么关系？ 相同点：都是位于x轴上方开口向上的抛物线,对称轴、顶点、最值和增减性都相同. 不同点：它们的开口大小不同，，y=x2，y=2x2开口依次变小. 合 作 探 究 例1 关于二次函数y＝2x2，下列说法正确的是( 　) A．它的开口方向是向下 B．当x<0时，y随x的增大而减小 C．它的对称轴是x＝2 D．当x＝0时，y有最大值是0 B 典 例 精 析 做一做：在同一直角坐标系中，画出函数，的图象． x ··· 0 1 2 3 4 ··· ··· ··· x ··· －2 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· ··· 0 ··· 解：列表如下： 描点、连线. 合 作 探 究 x y O －2 2 －2 －4 －6 4 －4 －8 相同点：都是位于x轴下方开口向下的抛物线，对称轴、顶点、最值和增减性都相同. （1）观察二次函数 ，的图象与 的图象有什么相同和不同？ 不同点：开口大小不同. ，，图象开口依次变小. 合 作 探 究 （2）y=ax2的开口大小与a（a＜0）的绝对值大小有什么关系？ 当a<0时，a的绝对值越大，开口越小. 归纳：在二次函数y=ax2（a≠0）中，a的绝对值越大，开口越小. x y O －2 2 －2 －4 －6 4 －4 －8 合 作 探 究 例2：把图中图象的号码，填在它的函数式后面：（填序号） （1）y=3x2的图象是_______； （2）y=x2的图象是_______； （3）y=-x2的图象是_______； （4）y=x2的图象是_______． ③ ① ④ ② 典 例 精 析 x y O 想一想：观察下列图象，抛物线与的关 系是什么？ 抛物线与的二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于x轴对称. 合 作 探 究 图象 位置与开口 对称性 顶点最值 增减性 x y O 开口向上，在x轴上方 开口向下，在x轴下方 a的绝对值越大，开口越小 关于y轴对称，对称轴是直线x=0 顶点是原点（0，0） 在对称轴左侧递减，在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增，在对称轴右侧递减 当时， 当时， 二次函数y=ax2的图象与性质： 新 知 小 结 4 x y O －2 2 2 4 6 －4 8 10 －2 y = 2x2 做一做：在同一直角坐标系中，画出二函数 y=2x2+1与y=2x2-1的图象． 你是怎样画的？ 解：先列表： x －2 －1.5 －1 0 1 1.5 2 y = 2x2＋1 y = 2x2－1 9 5.5 3 1 3 5.5 9 －1 7 3.5 1 1 3.5 7 再描点，连线. y = 2x2＋1 y = 2x2－1 合 作 探 究 议一议：（1）抛物线 y=2x2+1,y=2x2-1与抛物线y=2x2 有什么关系？ 可以发现，把抛物线y=2x2向 平移1个单位长度，就得到抛物线 ；把抛物线 y=2x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 y=2x2-1. 下 y=2x2+1 上 二次函数y=2x2，y=2x2+1，y=2x2-1的图象都是开口向上的抛物线，并且形状相同，只是位置不同. 4 x y O －2 2 2 4 6 －4 8 10 －2 y = 2x2＋1 y = 2x2－1 y = 2x2 合 作 探 究 二次函数y=ax2+c的图象可以由 y=ax2 的图象平移得到： 当c >0 时,向上平移 c 个单位长度得到. 当c <0 时,向下平移 -c 个单位长度得到. ☀归纳 二次函数y=ax2 与y=ax2+c（a≠0）的图象的关系： 上下平移规律： 平方项不变，常数项上加下减. 合 作 探 究 例3：二次函数y＝－3x2＋1的图象是将(　 　) A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到 B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到 C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到 D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到 D 典 例 精 析 议一议：（2）抛物线y=2x2+1,y=2x2-1的开口方向、对称轴和顶点各是什么？ y =2 x2 y = 2x2＋1 y = 2x2－1 二次函数 开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 向上 (0,1) (0,-1) y轴 y轴 向上 (0,0) y轴 4 x y O －2 2 2 4 6 －4 8 10 －2 y = 2x2＋1 y = 2x2－1 (3)抛物线y=2x2+1,y=2x2-1的增减性又如何？ 当x=0时，y最小值=0 当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大. 合 作 探 究 想一想 1.画抛物线y=ax2+c的图象有些方法？ 2.抛物线y=ax2+c 中的a决定什么？c决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？ ②平移法，两步即第一步画y=ax2的图象，再向上（或向下）平移︱c︱单位. ①描点法，三步即列表、描点和连线. a决定开口方向和大小；c决定顶点的纵坐标.对称轴为y轴；顶点坐标为(0,c). 合 作 探 究 二次函数 y=ax2+c的性质 y=ax2+c a＞0 a＜0 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 向上 向下 y轴（直线x=0） y轴（直线x=0） （0,c） 当x=0时，y最小值=c 当x=0时，y最大值=c 当x＜0时，y随x的增大而减小；x＞0时，y随x的增大而增大. 当x＞0时，y随x的增大而减小；x＜0时，y随x的增大而增大. （0,c） 新 知 小 结 1.下列关于抛物线的说法：①都是开口向上；②都以点（0，0）为顶点； ③都以y轴为对称轴；④开口最大的是．其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 C D 2.函数y=x+1，y=，y=x2中，当x>0时，y随x增大而增大的函数共有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 随 堂 检 测 3.已知二次函数y=ax2的图象如图所示则下列点的坐标有可能在反比例函数y=的图象上的是( ) A.(-1，2) B.(1，-2) C.(2，3) D.(2，-3) C 4.填表： 函数 开口方向 顶点坐标 对称轴 有最高（低）点 向下 向上 向下 y轴 y轴 y轴 有最高点 有最低点 有最高点 (0,0) (0,3) (0,-2) 随 堂 检 测 6.抛物线 x2的顶点坐标是 ，时对称轴是 ，在对称轴的左侧，随的增大而 ；当 时，y有最 值是 .它可以由抛物线 x2向 平移 个单位得到. 5.（1）的图象是 ； （2）的图象是 ； （3）的图象是 ； （4）的图象是 . x y O ② ① ③ ④ ③ ① ④ ② y轴 增大 大 (0,2) 2 2 上 0 ① ③ ④ ② 随 堂 检 测 图象 二次函数y=ax2 +c与y=ax2的图象和性质 1.a>0,开口方向向上；a<0,开口方向向下； 2.c决定顶点位置； 3.对称轴是y轴. 增减性结合开口方向和对称轴才能确定. 性质 y=ax2+c（a≠0)与y=ax2的关系 平移规律：c正向上；c负向下. 课 堂 总 结 5.2 二次函数的图象与性质 第3课时 二次函数y=a(x-h)2 的图象 1.能够画出函数y＝a(x－h)2的图象，并能理解它与y＝ax2的图象的关系，理解a，h对二次函数图象的影响．(重点) 2.探索函数y＝a(x－h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系，理解抛物线的平移规律．（难点） 学 习 目 标 a,c的符号 a>0,c>0 a>0,c<0 a<0,c>0 a<0,c<0 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 函数的增减性 最值 向上 向下 y轴（直线x=0） y轴（直线x=0） （0,c） （0,c） 当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大. 当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小. x=0时，y最小值=c x=0时，y最大值=c 说说二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的特征. 复 习 导 入 我们已经学习过二次函数y＝ax2＋c的图象可以由函数y＝ax2的图象经过上下平移得到.那么如果将函数y＝ax2的图象左右平移呢？它左右平移后又会得到怎样的函数形式，它又有哪些性质呢？ 我们已经认识了二次函数y＝2x2的图象，那么二次函数y＝2（x-1）2的图象与y＝2x2的图象有什么关系呢？本节课我们将继续研究有关问题． x y O －2 2 2 4 6 4 －4 8 y＝2x2 情 境 导 入 做一做：画二次函数y＝2(x－1)2的图象． （1）完成下表： x －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y＝2x2 y＝2(x－1)2 观察上表，你能发现2(x－1)2与2x2的值有什么关系？ 32 18 8 2 0 2 8 18 32 50 32 18 8 2 0 2 8 18 合 作 探 究 O x y 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 –5 –4 –3 –2 –1 –3 –2 –1 y=2x2 y=2(x–1)2 你是怎么画的，与同伴进行交流. （2）在图中画出y=2(x－1)2的图象. 可以用描点法画图. x=1 合 作 探 究 议一议：（1）二次函数y=2(x-1)2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？ O x y 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 –5 –4 –3 –2 –1 –3 –2 –1 y=2x2 y=2(x–1)2 x=1 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=2x² y=2(x-1)² 向上 向上 y轴 (直线x=0) 直线x=1 ( 0, 0) ( 1, 0) 合 作 探 究 （2）二次函数y=2(x-1)2中，当x取哪些值时，y的值随着x值的增大而增大？当x取哪些值时，y的值随着x的值增大而减小？ 抛物线 增减性 y=2x² y=2(x-1)² 当x＜0时，y随x的增大而减小； 当x＞0时，y随x的增大而增大. 当x＜1时，y随x的增大而减小； 当x＞1时，y随x的增大而增大. O x y 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 –5 –4 –3 –2 –1 –3 –2 –1 y=2x2 y=2(x–1)2 x=1 合 作 探 究 结论： 将函数y=2x2的图象向 平移 个单位就得到y=2(x-1)² 的图象. 右 1 （3）二次函数y=2(x-1)2 的图象与二次函数y=2x2的图象有什么相同和不同？ 二次函数y=2(x-1)²的图象与y=2x2 的图象都是抛物线，并且形状相同，只是位置不同． O x y 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 –5 –4 –3 –2 –1 –3 –2 –1 y=2x2 y=2(x–1)2 x=1 合 作 探 究 议一议：类似地，你能发现二次函数y=2(x+1)²的图象与y=2x2 的图象有什么相同和不同吗？ 结论： 将y=2x2 的图象向 平移 个单位就得到y=2(x+1)² 的图象. 左 1 O x y 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 –5 –4 –3 –2 –1 –3 –2 –1 y=2x2 y=2(x–1)2 y=2(x+1)2 二次函数y=2(x+1)²的图象与y=2x2 的图象都是抛物线，并且形状相同，只是位置不同． x=1 x=-1 合 作 探 究 二次函数y=2x²,y=2(x-1)²,y=2(x+1)²的图象的关系： 向左平移 1个单位 向右平移 1个单位 y=2x² y=2(x-1)² y=2(x+1)² 左右平移规律：括号内左加右减；括号外不变. 二次函数y=a（x-h）2的顶点坐标为(h，0). 它们的图象都是 ，并且形状 ，开口方向 ，只是位置不同. 抛物线 相同 相同 顶点(0，0) 顶点(1，0) 顶点(-1，0) 合 作 探 究 二次函数y=a（x-h)2的图象与y=ax2 的图象的关系 可以看作互相平移得到(h>0). 左右平移规律： 括号内左加右减；括号外不变. 当向左平移 ︱h︱ 时 当向右平移 ︱h︱ 时 y=ax2 y=a(x-h)2 y=a(x+h)2 新 知 小 结 例1：抛物线y=-3(x+2)2可以由抛物线y=-3x2向 平移 个单位得到. 它的图象开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标 . 当x 时，y随x的增大而增大； 当x 时，y随x的增大而减小. 左 2 下 直线x=-2 （-2，0） ＜-2 ＞-2 典 例 精 析 开口 对称轴 顶点 最值 增减性 x>h x<h a>0 a<0 向上 x=h (h,0) y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 当x=h时， 向下 x=h (h,0) 当x=h时， y随x的增大而减小 y随x的增大而增大 二次函数y=a(x-h)2的性质 新 知 小 结 1．对于抛物线的说法错误的是（ ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标是（1，0） C．抛物线的对称轴是直线x=1 D．当x＞1时，y随x的增大而增大 2. 将二次函数y＝－2x2的图象平移后，可得到二次函数y＝－2(x＋1)2的图象，平移的方法是(　　) A．向上平移1个单位　　B．向下平移1个单位 C．向左平移1个单位　　D．向右平移1个单位 C D 随 堂 检 测 C 3.把抛物线y=-2x2向右平移3个单位长度后，得到的抛物线对应的函数表达式为（　　） A．y=−2x2+3 B．y=−2x2-3 C．y=-2(x+3)2 D．y=-2(x−3)2 D 4.将抛物线向左平移2个单位后，其顶点坐标为（ ） A．（-3，-2） B．（-2，0） C．（-5，0） D．（-3，0） 随 堂 检 测 5.对于二次函数，当x＞1时，y随x的增大而______. （填“增大”或“减小”） 增大 6.若点A（2，a）和点B（4，b）在抛物线y=2(x-m)2上，且关于它的对称轴对称，则m=_______． 1 随 堂 检 测 开口 对称轴 顶点 最值 增减性 x>h x<h a>0 a<0 向上 x=h (h,0) y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 当x=h时， 向下 x=h (h,0) 当x=h时， y随x的增大而减小 y随x的增大而增大 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 课 堂 总 结 5.2 二次函数的图象与性质 第4课时 二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2+bx+c的图象与性质 1.能正确说出y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 2.会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-h)2+k.(难点） 2.会熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴.（重点） 学 习 目 标 开口 对称轴 顶点 最值 增减性 x>h x<h a>0 a<0 向上 x=h (h,0) y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 当x=h时， 向下 x=h (h,0) 当x=h时， y随x的增大而减小 y随x的增大而增大 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 复 习 导 入 顶点(-3,0) 顶点(-3，) 顶点(0,0) 向左平移3个单位 y=2x2 y=2(x+3)2 向下平移个单位 想一想：由二次函数y=2x²的图象，你能得到二次函数的图象吗？你是怎样得到的？与同伴进行交流. 平移方法1 向左平移3个单位 向下平移个单位 合 作 探 究 顶点(0,) 顶点(-3，) 顶点(0,0) y=2x2 向下平移个单位 向左平移3个单位 平移方法2 向下平移个单位 向左平移3个单位 y=2x2 合 作 探 究 议一议：二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的图象有什么关系？ 一般地，平移二次函数y=ax2的图象便可得到二次函数y=a(x-h)2+k的图象.因此，二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条抛物线，它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a，h，k的值有关. y=a(x-h)2+k 开口方向 对称轴 顶点坐标 a>0 a<0 向上 直线x=h （h，k） 向下 直线x=h （h，k） 合 作 探 究 二次函数y=ax2(a≠0)与y=a(x-h)2+k(a≠0)的关系 y=ax2(a≠0) y=a(x-h)2+k（a≠0） 平移规律简记为： 上下平移，括号外上加下减；左右平移，括号内左加右减. 二次项系数a不变. 顶点(0，0) 顶点(h，k) 顶点式 新 知 小 结 例2 若将抛物线y=x2+1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是（ ） A．y=(x+2)2+2　　　　　 B．y=(x+2)2-2 C．y=(x-2)2+2　　　　　 D．y=(x-2)2-2 B 典 例 精 析 二次函数 y=a(x-h)2+k的性质 y=a(x-h)2+k a＞0 a＜0 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 向上 向下 直线x=h （h,k） 当x=h时，ymin=k 当x=h时，ymax=k 当x＜h时，y随x的增大而减小； 当x＞h时，y随x的增大而增大. 当x＜h时，y随x的增大而增大. 当x＞h时，y随x的增大而减小； 新 知 小 结 例3 对于抛物线y=-(x+1)2+3，下列结论： ① 抛物线的开口向下；② 对称轴为直线x=1； ③ 顶点坐标为(-1，3)；④ x>1 时，y随x的增大而减小. 其中正确结论有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 C 分析：①∵ a=-1<0，∴抛物线的开口向下，正确； ②对称轴为直线x=-1，错误； ③顶点坐标为（-1，3），正确； ④x>1 时，y 随x 的增大而减小，正确. 综上所述，结论正确的是①③④，共3 个，故选C. 典 例 精 析 填空： （1）x2＋6x＋ ＝（x＋ ）²； （2）x2－x＋ ＝（x－ ）²； （3）x2－5x＋8＝（x－ ）²＋ ． 我们已经认识了形如y=a(x-h)²+k的二次函数的图象和性质，二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质如何呢？ 你能研究二次函数y=2x²-8x+7的图象和性质吗？ 9 3 思 考 我们知道,作出二次函数y=2x2的图象,通过平移抛物线y=2x2 是可以得到二次函数y=2x2-8x+7的图象.怎样直接作出函数y=2x2-8x+7的图象? 例1 求二次函数y=2x2－8x+7图象的对称轴和顶点坐标. 解： y = 2x2－8x+7 = 2(x2－4x)+7 = 2(x2－4x+4)－8+7 = 2(x－2)2－1 = 2(x2－4x+4-4)+7 化成y＝a(x－h)2＋k的形式呗！ 提取二次项系数 配方 化为顶点式 合 作 探 究 y = 2x2－8x+7 一般式 y = 2(x－2)2－1 顶点式 因此，二次函数y=2x2－8x+7的图象是一条开口向上的抛物线； 二次函数y=2x2－8x+7的对称轴是直线=2；顶点坐标为(2,-1). 配方 说一说：如何由二次函数y=2x2的图象平移得到y=2x2-8x+7的图象? 向右平移2个单位 y=2x2 y=2(x-2)2 向下平移1个单位 合 作 探 究 确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： (1) y=3x2-6x+7； (2) y=2x2-12x+8； 解：(1) y = 3x2－6x+7 = 3(x2－2x)+7 = 3(x2－2x+1)－3+7 = 3(x－1)2+4 = 3(x2－2x+1-1)+7 (2) y = 2x2－12x+8 = 2(x2－6x)+8 = 2(x2－6x+9)－18+8 = 2(x－3)2－10 = 2(x2－6x+9-9)+8 ∴二次函数y=3x2－6x+7的对称轴是直线=1，顶点坐标为(1,4). ∴二次函数y=2x2－12x+8的对称轴是直线=3，顶点坐标为(3,-10). 针 对 练 习 配方的步骤： ①“提”：提出二次项系数； ②“配”：括号内配成完全平方； ③“化”：化成顶点式. 想一想：你能把二次函数的一般式y=ax²+bx+c化为y=a(x-h)²+k的形式吗？ ☀方法归纳 新 知 小 结 例2 求二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴和顶点坐标. 解: = = = . 因此，二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴是直线， 顶点坐标为（）. 典 例 精 析 例3 根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标. （1）y=2x2-12x+13; （2）y=3x2-6x+2. 解：（1）a=2，b=-12，c=13 ∴， ∴二次函数y=2x2-12x+13图象的对称轴为直线x=3,顶点坐标为(3，-5). （2）a=3，b=-6，c=2 ∴， ∴二次函数y=3x2-6x+2图象的对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1，-1). 典 例 精 析 y O x （a>0） y O x （a<0） 最小值 最大值 议一议：二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质是怎样的？ 二次函数y=ax2+bx+c的图象： 顶点坐标为（） 合 作 探 究 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 (＞0) 开口向上，越大开口越小 关于直线=对称 坐标（,） =时， =时， 当＜，随的增大而减小； 当＞随的增大而增大. 当，随的增大而增大； 当＞，随的增大而减小. (＜0) 开口向下，越大开口越小 新 知 小 结 做一做 如图，桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状，而且左、右两条抛物线关于y轴对称．按照图中的直角坐标系，x轴为桥面，左边的一条抛物线可以用y＝x2＋x＋10表示． (1)钢缆的最低点到桥面的距离是多少？ (2)两条钢缆最低点之间的距离是多少？ 合 作 探 究 【分析】方法一：可以利用配方法把y＝x2＋x＋10转化成顶点式； 方法二：可以运用顶点坐标公式直接求出顶点坐标．从而获得钢缆的最低点到桥面的距离；再利用对称关系求出两条钢缆最低点之间的距离. 合 作 探 究 由此可知钢缆的最低点到桥面的距离是1m. ∴这条抛物线的顶点坐标为(-20，1). (2)由对称性可知，两条钢缆最低点之间距离为40米. 解：(1) = 合 作 探 究 (3)右边抛物线的表达式是什么？ ∵左右两条钢缆关于y轴对称， ∴右边抛物线的顶点坐标为(20，1）， ∵左右抛物线的形状相同， ∴右边抛物线的表达式是= 即 合 作 探 究 2.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是(　　) A.ab＞0，c＞0 　　　　 B.ab＞0，c＜0 C.ab＜0，c＞0 　　　　 D.ab＜0，c＜0 1.对于二次函数y＝(x－1)2＋2的图象,下列说法正确的是(　 ) A.开口向下 B.对称轴是直线x＝－1 C.顶点坐标是(1，2) D.与x轴有公共点 C C 随 堂 检 测 3.对于抛物线y=-(x−2)2+6，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=2；③顶点坐标为（2，6）；④当x＞2时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 D 随 堂 检 测 4.已知二次函数上部分点的坐标x，y的对应值如下表： A.对称轴是直线 B.开口向下 C. 顶点坐标是（2，3） D.当时， 由上表可知，下列说法错误的是( ) x 0 1 2 3 4 y 1 3 1 D 5.若抛物线y＝x2＋(4－m)x＋1的顶点在y轴上，则m＝ ． 4 随 堂 检 测 6.抛物线的对称轴是________，顶点坐标是________；当x＞2时，y随x的增大而______；当x＜2时，y随x的增大而_______；当x=______时，函数有_____值，其值为_______． 直线x=2 （2，7） 减小 增大 2 最大 7 7.抛物线y=a(x-h)2+k与抛物线y=-2x2的形状相同，开口方向相同，其顶点坐标为（-1，3）此抛物线的解析式为_______________． y=-2(x+1)2+3 随 堂 检 测 8.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： （1） （2） （3） 直线 直线 直线 随 堂 检 测 解：(1)∵y＝－x2－2x＋6＝－(x2＋4x)＋6 ＝－[(x＋2)2－4]＋6＝－(x＋2)2＋8， ∴顶点坐标为(－2，8)，对称轴为直线x＝－2. (2)令y＝0，得－x2－2x＋6＝0，解得x1＝－6，x2＝2. ∴ 当－6＜x＜2时，y＞0. 由（1）知二次函数图象的对称轴为直线x＝－2， ∴ 当x＞－2时，y随x的增大而减小． 9.已知二次函数y＝－x2－2x＋6. (1)求二次函数图象的顶点坐标和对称轴； (2)自变量x在什么范围内时，函数值y＞0？自变量x在什么范围内时，y随x的增大而减小？ 随 堂 检 测 顶点坐标： 对称轴： y=ax2+bx+c(a ≠0) (一般式) 配方法 公式法 (顶点式) （,） 直线 课 堂 总 结 $