河北省承德市双滦区实验中学2026年暑假预习新高一数学测试-函数

**基本信息** 聚焦函数核心知识，通过基础辨析、情境应用与综合探究，衔接初高中函数内容，培养数学抽象与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|反比例函数图像、抛物线顶点与平移|结合函数图像判断（第4题），强化几何直观| |多选题|3/18|一次函数象限、利润函数应用|融入“成渝地区双城经济圈”整改利润分析（第10题），体现应用意识| |填空题|3/15|函数交点范围、二次函数最值|通过图像交点求自变量范围（第12题），发展空间观念| |解答题|5/77|二次函数综合、利润问题|设计服装店利润最值（第15题）与抛物线面积（第19题），培养推理能力与数学表达|

河北省承德市双滦区实验中学2026年暑假预习新高一数学测试-函数 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．若点在反比例函数的图象上，则的值是（   ） A．6 B． C． D． 2．如果抛物线的顶点在第一象限，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（　　） A． B． C． D． 4．反比例函数与一次函数（其中x为自变量，k为非零常数）在同一直角坐标系中的大致图象可以是（    ）. A． B． C． D． 5．一次函数满足，且随的增大而减小，则此函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．方程的正根的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7．二次函数的图象如图所示，下列结论： ①； ②； ③为任意实数时，；④； ⑤若，且，则． 其中错误的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 8．在同一平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象有两个公共点，则实数的取值范围是（ ） A．且 B． C． D．且 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．对于函数，当时，它的图象经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．为了推动“成渝地区双城经济圈”的建设，某工厂为了推进产业协作“一条链”，自年月开始科学整改，其月利润万元与月份之间的变化如图所示，整改前是反比例函数图象的一部分，整改后是一次函数图象的一部分，下列选项正确的有（    ） A．月份的利润为万元 B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加万元 C．治污改造完成前后共有个月的利润低于万元 D．月份该厂利润达到万元 11．已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论正确的是（　　）   A． B． C． D． 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．如图，点是一次函数与反比例函数的两个交点，则时自变量的取值范围是__________．   13．设，已知，则的最小值为______． 14．已知二次函数与轴交于点和，则二次函数的顶点坐标为___________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．(本小题13分）某服装店以每件30元的价格购进一批恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设恤的销售单价提高元． (1)服装店希望一个月内销售该种恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问恤的销售单价应提高多少元？ (2)当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种恤获得的利润最大？最大利润是多少元？ 16．(本小题15分）已知二次函数，且，. (1)当时，求方程的根； (2)已知该二次函数的对称轴为，求证：； (3)已知该二次函数的图象与轴、轴分别交于、、三点（在的左侧），且，若为直角三角形，求该二次函数表达式. 17．(本小题15分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．（为常数） (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式的取值范围； (3)P为y轴上一点，若的面积为3，求P点的坐标 18．(本小题17分）已知二次函数（）的图象经过点. (1)求二次函数的图象的对称轴. (2)若的最小值为，将该函数的图象向右平移2个单位长度，得到新的二次函数的图象.当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和. (3)设的图象与x轴的交点分别为，，且.若，求a的取值范围. 19．(本小题17分）如图，抛物线交轴于点，交轴于点和． (1)若，求的取值范围． (2)若抛物线的顶点坐标为． ①求线段的长； ②点在该抛物线位于轴上方的部分上，且与的面积相等，求点的横坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C B A A C A ABC ABD 题号 11 答案 ACD 1．D 【详解】由题，可得，所以.故选：D. 2．B 【详解】由题意得抛物线的顶点坐标为， 因为其在第一象限，则，解得.故选：B. 3．C 【详解】抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到.故选：C. 4．B 【详解】一次函数恒过点，故排除A项， 对于B，C两项，一次函数过点，得，此时反比例函数为，则B项符合，C项不正确；对于D项，一次函数过点，得， 此时反比例函数为，则D项不正确．选：B 5．A 【详解】因为一次函数满足随的增大而减小，则， 且，则，所以函数的图象不经过第一象限.故选：A. 6．A 【详解】设函数，函数，函数的顶点坐标为，对称轴，且经过原点；故图象在一、三、四象限，开口向下，函数的图象在一、三象限； 第一象限时，当时，,此时两个函数图像没有交点，当时，，此时依然没有交点，而当时，，因此两个函数图像在第一象限没有交点，  即方程的正根的个数为0个． 故选：A. 7．C 【详解】观察二次函数的图象可得，二次函数的图象为开口向上的抛物线，故，抛物线的对称轴为，由，得，故 由图象与轴的交点的纵坐标小于，故，从而，，故 ①与②均错误； 因为当时，函数取最小值， 故对于任意的实数，都有成立，所以，故 ③正确; 设函数的图象与轴的交点的横坐标为，，， 则，，结合对称性可得，， 所以当时，，故，故 ④正确;若，则， 即，又，所以，又，， 所以，故⑤正确.所以错误的结论有 ① ② 共2个.故选：C 8．A 【详解】联立可得，∵直线与反比例函数的图象有两个公共点，∴ ，，解得：且 ，∴实数的取值范围是且 ． 9．ABC 【详解】因一次函数中，比例系数，则函数值随着 的增大而增大，图象从左到右呈上升趋势，又截距 ，即直线与轴交于其正半轴，故直线经过第一、二、三象限. 故选：ABC 10．ABD 【详解】当时，设函数解析式为，将代入解析式得，则函数解析式为，所以时，，故A正确，而时，，时，， 所以治污改造完成前后共有2个月的利润低于万元，故C错误； 当时，设函数解析式为， 将代入解析式，得， 解得，则函数解析式为，所以治污改造完成后每月利润比前一个月增加万元，故B正确，当时，，故D正确.故选：ABD. 11．ACD 【详解】因为抛物线开口向上，所以； 因为抛物线的对称轴为，所以； 因为抛物线与轴的交点在和之间（不包括这两点），所以. 所以，故A正确； 因为抛物线的对称轴为，所以，即，所以，故B错误；因为抛物线过点，所以， 所以，故C正确；因为，所以，故D正确. 故选：ACD 12．或 【详解】从图象可以得到时自变量的取值范围是或. 故答案为：或 13． 【详解】由,,可得，则， 故， 故答案为： 14． 【详解】二次函数与轴交于点和 设二次函数为，则对称轴为直线， 将代入函数解析式，得，顶点坐标为. 故答案为： 15．【详解】（1）设恤的销售单价提高元，由题意列方程得：， 解得：或，要尽可能减少库存，不合题意，应舍去． 恤的销售单价应提高2元， 答：恤的销售单价应提高2元. （2）设利润为元，由题意可得： 当时，元，销售单价：（元）， 答：当服装店将销售单价定为50元时，得到最大利润是4000元. 16．【详解】（1）当时即，由，得，而， 则，所以，所以，又，故解得. （2）由题意得，又，所以， 因为，且，所以，，故，所以. （3）由于点在点的左侧，因此，又，所以， 而由得到是方程的根，故，， 所以、，所以该二次函数图象的对称轴为，得， 又，所以，由于为直角三角形，只能为， 所以，所以， 因为，所以，故，所以， 故，故， 因为，故，则，解得， 又因为，故，所以，因此，所求二次函数的解析式为． 17．【详解】（1）由点在反比例函数的图象上，得， 由点在一次函数的图象，得，解得， 所以一次函数的解析式为，反比例函数的解析式． （2）由（1）及函数图象知，当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象上方，所以不等式的取值范围为或． （3）令一次函数的图象与轴交于点，则， 设，于是的面积，解得或， 所以P点的坐标为或． 18．【详解】（1）将代入中得，， 故，所以二次函数的图象的对称轴为； （2）的最小值为，即时，，即， 又，解得，故，即， 该函数的图象向右平移2个单位长度，得到新的函数为， 即，对称轴为，开口向上， ，故时，新的二次函数取得最大值，最大值为， 当时，新的二次函数取得最小值，最小值为，故最大值与最小值的和为； （3）由（1）知，，， 故的图象与x轴的交点分别为，，且， 即的两根为，， 故，故， 其中，又，故，解得. 19．【详解】（1）因为，所以，因为 所以有两个正根，所以且，所以； （2）①因为抛物线的顶点坐标为，所以， 所以，所以，所以，所以的长为4； ②令，所以，又因为， 所以，所以到的距离为， 又因为当与的面积相等时，所以到的距离为， 因为，过点与平行的直线为， 又因为在该抛物线位于轴上方的部分上，所以在直线上， 联立，所以， 所以. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $