1.1.2 集合的基本关系-【成才之路•学案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教B版)

008 课堂检测 固双基 1.把集合{xx2-3x+2=0用列举法表示为 ( )C.3} D.1,2,3 A.{x=1,x=2 B.xx=1,x=2 4.集合xlx-2<3,x∈N·}可用列举法表示为 C.{x2-3x+2=0 D.{1,2 2.区间(-3,2]用集合可表示为 )5.在数轴上集合M=(-2,10)与集合N=[0,13)的公 A.{-2,-1,0,1,2B.{xl-3<x<2 共部分用区间表示为 C.{xl-3<x≤2 D.x|-3≤x≤2 夯基提能作业 3.(2023·上海卷)已知P={1,2},Q=2,3},若M= 请同学们认真完成练案[2] {xx∈P,且xQ},则M= A.{1 B.{2 1.1.2 集合的基本关系 素养目标定方向 学习目标 核心素养 1.理解集合之间的包含与相等的含义.（重点） 1.通过对集合之间包含关系与相等的含义以及子集、真 2.能识别给定集合的子集、真子集.（重点） 子集概念的理解，培养数学抽象素养 3.会用数学符号和维恩图表示两个集合间的关系. 2.借助子集和真子集的求解，培养数学运算及逻辑推 理的数学素养 (难点) 3.利用维恩图培养直观想象数学素养 必备知识 探新知 知识点1子集与真子集 1.子集与真子集的定义 思考1：如何理解子 概念 定义 符号表示 示意图 集、真子集的概念？ 提示：1.子集与真子 如果集合A的 元素都是 A B(或 集的定义具有“判 子集 集合B的元素，那么集合A称为集 B A) 定”和“性质”的两 合B的子集 重性. 如果集合A是集合B的 ,并 (1)A二B等价于对任 真子集 且B中有一个元素不属于A, A军B(或B子A) 意xEA,都有x∈B; (2)A手B等价于AC 那么集合A称为集合B的真子集 B,且至少有一个元素 [思考1] x∈B,但x度A. 2.子集、真子集的性质 2.ACB包含A=B和 A季B两种情况，真子 (1)任意集合A都是它自身的 ,即ACA. 集是子集的特殊情 (2)空集是任意一个集合A的子集，即☑二A. 况. (3)包含关系的传递性：对于集合A,B,C. ①若A二B,且BCC,则ACC; ②若AB,B手C,则A军C; 3.维恩图 如果用平面上一条 的内部来表示集合，那么我们就可作出示意图来形象地 表示集合之间的关系，这种示意图称为维恩图。 009 ●对应练习 [思考2] 思考2：(1)任何两个集 1.思考辨析（正确的打“V”,错误的打“×”） 合之间是否有包含关系？ (1)任何集合至少有两个子集， () (2)符号“∈”与“二”有 (2){0,1,2}{2,0,1. () 何不同？ (3)若A≤B,且A≠B,则AB. 提示：(1)不一定，如集 (4)集合{0,1}的子集是{0，{1}，{0,1. 合A={0,1,2},B= 2.下列命题： -1,0,1},这两个集合 ①空集没有子集； 就没有包含关系 ②任何集合至少有两个子集； (2)符号“∈”表示元素 ③空集是任何集合的真子集； 与集合间的关系： 而“二”表示集合与集 ④若0A,则A≠⑦. 合之间的关系 其中正确的个数是 () A.0 B.1 C.2 D.3 思考3：如何理解两集合 3.下列图形中，表示M二N的是 相等？ 提示：1.集合A中的元素 与集合B中的元素相同， B 则集合A等于集合B,这 知识点2集合相等与子集的关系 是从集合中元素的特征 1.一般地，如果集合A和集合B的元素 ,则称集合A与集合B相等， 出发来表达两个集合相 记作 ,读作“A等于B” 等，它指明了两个集合的 2.由集合相等以及子集的定义可知：如果 ,则A=B;反之，如元素特征. 果A=B,则 且 ●[思考3]2.若ACB且BCA,则 A=B,这是从集合关系的 ●对应练习 角度表达A与B相等，即 1.若M={x1(x-1)(x+2)=0,N=1,-2},P={(x,y)1y=(x-1)(x+2)},则 对任意x∈A,都有x∈B; 这三个集合中，具有相等关系的是 反之，对任意x∈B,都有 2.设a∈R,若集合{2,9}={1-a,9},则a=_· x∈A,这说明集合A等于 集合B. 关键能力攻重难 ●题型一 集合之间关系的判断 归纳提升：(1)判断集合 例'指出下列各对集合之间的关系： 关系的方法 ①观察法：一一列举 (1)A={-1,1},B=(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1); 观察. (2)A={xx是等边三角形}，B=xx是等腰三角形}； ②元素特征法：首先确 (3)A=(-1,4),B={xlx-5<0}; 定集合的元素是什么， (4)M={xx=2n-1,n∈N,,N={xlx=2n+1,n∈N,{. 弄清集合元素的特征， 再利用集合元素的特征 判断关系. ③裁形结合法：利用数 轴或维恩图. (2)证明集合间的包含关 系，一般用定义 [归纳提升] 010 归纳提升：1.求集合子对点训练 集、真子集个数的3个 1.(1)能正确表示集合M={x∈RI0≤x≤2和集合N=x∈RIx2-x=0关系的维 步骤 恩图是 ( 根据子集」 真子集的概 M 判断 念判断出集 合中含有元 素的可能情 况 D (2)已知集合A={xlx2-3x+2=0,B={1,2},C={xlx<8,x∈N},用适当的符 根据集合中 号填空： 分类 元素的多少 ①AB;②A C;③12C;④2C. 进行分类 ●题型二确定集合的子集、真子集 例2（①年合M=1,2.3的真子集个数是 A.6 B.7 C.8 D.9 采用列举法 (2)满足{1,2}MC{1,2,3,4,5的集合M有个. [归纳提升] 列举 逐一写出每 种情况的子 对点训练 集 2.(1)已知集合A={-1,0,1},则含有元素0的A的子集的个数为 () A.2 B.4 C.6 D.8 2.与子集、真子集个数有 (2)已知集合A={(x,y)Ix+y=2,x,y∈N},试写出A的所有子集及真子集， 关的3个结论 假设集合A中含有n个 元素，则有： (1)A的子集的个数为 2”个： (2)A的真子集的个数为 (2”-1)个 ●题型三利用集合关系求参数的值或取值范围 (3)A的非空真子集的个 数为(2”-2)个 角度1由集合相等求参数 列3已知集合A=2.,9,B三2x.2,.且AB.求xv的值 归纳提升：由集合相等求 参数的方法 解决由两集合相等求参 数问题的关键是明确 “两集合相等即两集合 中所含元素完全相同， 且与元素排列顺序无 关”，利用分类讨论的 [归纳提升] 思想方法呈现所有可能 的对应情况即可.另外， 》对点训练 需注意检验所求参数的 3.已知集合A=x,xy,x-y,B=0,xl,y},且A=B,求实数x与y的值. 值是否满足題中的限制 条件，以及是否满足集 合中元素的互异性， 011 角度2由集合间包含关系求参数 例4已知集合4=-2≤s5到，B=m+1≤≤2m-1. (1)若B手A,求实数m的取值范围； (2)若ACB,求实数m的取值范围， 归纳提升：已知集合 间的关系求字母的值 或范围的解题策略 (1)若已知集合是有 限集，求解时，一殷根 据对应关系直接列 方程. (2)若已知集合是无 限集，求解时，通常借 助数轴，利用数轴分 ●[归纳提升] 析法，将各个集合在 )对点训练 裁轴上表示出来，以 4.(1)本例条件不变，若AB,求实数m的取值范围； 形定裁，还要注意验 (2)本例条件不变，若B二A,求实数m的取值范围。 证端点值，做到准确 无误.一般含“=”用 实心点表示，不含 “=”用空心点表示 (3)此类问题还要注 意是否存在空集的情 况，因为空集是任何 集合的子集 课堂检测固双基 1.已知集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,2,3},集合A3.设集合A=m,n,则集合A的子集个数为（) 与B的关系如图所示，则集合B可能是 ()A.1 B.2 C.4 D.6 B 4.已知集合A=(-∞，3)，集合B=(-∞，m)且ACB, 则实数m的取值集合是 A.{2,4,5} B.{1,2,5} 5.若集合A={x1ax2-3x+2=0的子集只有两个，则 C.{1,6} D.{1,3} 实数a= 2.已知集合A={1,a,B=1,2,3},那么 夯基提能作业 A.若a=3,则A二B B.若ACB,则a=3 请同学们认真完成练案[3] C.若a=3,则A4B D.若ACB,则a=2元素x;选项C的“{}”与“全体”意思重复 当x∈P,y=3时，xy为奇数有50个，当x∈P,y=5时，xy为奇 2.C观察可知集合中的元素是从-1到8的连续整数，所以可 数有50个. 以表示为xeZI-1≤x≤8}，选C 其中在满足条件的奇数中重复的为15的倍数，分别为15,45， 3.C因为集合A中的元素是1,2,3，其中2属于集合B, 75,105,135,165,195,225,255,285,共10个.故所求元素个数 所以A*B={1,3}. 为3×50-10=140. 「x=1 3.ABC·集合A表示奇数集，集合B表示偶数集， 4.ABD原方程组的解为 其解集中只含有一个元素，可 y=2, .1,2是奇数，3是偶数， 表示为A、B、D.故选ABD. .x1+:2+应为偶数，即D是错误的，易知A、B、C均正确 SA -2cz 4 4.{-1,2,3,4} 由与。eN.aeZ可知5-a=l2,36, ∴.a=4,3,2,-1. 5.{-1,3}当x>0,y>0时，m=3: :2k+1(keZ)是一个奇数，k+2(keZ)是一个整数， 当x<0,y<0时，m=-1-1+1=-1; .xo∈M时，一定有xo∈N,故选A. 若x,y异号，不妨设x>0,y<0, 6.(1)(-1,+∞)(2)(2,5](3)(-∞，-3](4)[2,4] 则m=1+(-1)+(-1)=-1. 7.{4,9,16}由题意可知集合B是由A中元素的平方构成的， 因此m=3或m=-1,则M=-1,3}. 故B=4,9,16}. 6.(2,3)eA,.2×2-3+m>0,m>-1. 8.{1,3}由题意知，-5是方程x2-ax-5=0的一个根， (2,3)B,.2+3-n>0,.n<5. 所以(-5)2+5a-5=0,得a=-4, :: .所求m,n的取值范围分别是(-1，+∞)，(-，5)： 则方程x2+a+3=0,即x2-4x+3=0, C组创新拓展 解得x=1或x=3, 所以{xx2-4x+3=0}={1,3. ①8①1+5x15=1+5+15--1, 2 2 2 2 9.(1){xlx=5n,neZ}. .….①是正确的 2){,-1≤s号，-≤y1,且≥0 ②不妨设a1+a2=aa2=t,则由根与系数的关系知a1,a2是一 元二次方程x2-x+t=0的两个不相等的实数根.由△= (3)由x-22得≥1， 4t>0,可得t<0或t>4,故②错. l2x-1<5,lx<3, ③根据集合互异性知a1≠a2,若a1,a2eN*,不妨设a1<a, 所以不等式组 3x-2≥1， 由a1a2=a1+a2<2a2, l2x-1<5 的解集为[1,3) 即有a1<2. 10.将y=x2-ax+b代入集合A中的方程并整理， :a1eN,.a1=1.于是1+a2=1×a2,无解，即不存在满足 得x2-(a+1)x+b=0. 条件的“复活集”，故③正确。 因为A={-3,1},所以方程x2-(a+1)x+b=0的两个实 数根为-3,1. 1.1.2集合的基本关系 解得-3， 必备知识探新知 b=-3, 知识点1：1.任意一个≤2子集至少2.子集 所以y=x2+3x-3. 3.封闭曲线 将y=+3x-3,a=-3代入集合B中的方程并整理，得2对应练习 +6x-3=0,解得x=-3±25， :1.(1)×(2)V(3)V(4)× 所以B=-3-25,-3+25. 2.B在①中，空集的子集是空集，故①错误： B组素养提升 在②中，空集只有一个子集，还是空集，故②错误； 1.D当x=-1,y=-2时，z=-1; 在③中，空集是任何非空集合的真子集，故③错误； 当x=-1,y=3时，2=4； 在④中，若☑A,则A≠☑，故④正确.故选B. 当x=0,y=-2时，z=-2; 3.C由维恩图知，选C. 当x=0,y=3时，2=-3； 知识点2：1.完全相同A=B2.ACB BCA ACB 当x=1,y=-2时，z=-1; BCA 当x=1,y=3时，z=4. 对应练习 所以A④B=-2,-1,3,4},所以所有元素之和为4. 1.M和N2.-1 2.B由题意得，集合P是由1~99的全部奇数组成的.当x∈关键能力攻重难 P,y=2时，y为偶数共有50个. :例1：(1)集合A的元素是数，集合B的元素是有序实数对，故A —160 与B之间无包含关系。 当x=1时，A=B={1,1,0},不满足元素的互异性，故x≠1. (2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边 当x=-1时，A=B={-1,1,0},满足题意.所以x=y=-1 相等的三角形，故A军B. 即为所求 (3)集合B=xlx<5},用数轴表示集合A,B,如图所示，由例4：(1)①当B≠☑时，如图所示 图可知A手B. B -2m+1 2m-15 -2-101234 5 m+1≥-2， rm+1>-2, (4)由列举法知M=1,3,5,7,…},N={3,5,7,9,…},故 2m-1<5,或{2m-1≤5， 2m-1≥m+1【2m-1≥m+1, NSM 解这两个不等式组，得2≤m≤3. 对点训练1：(1)B(2)①=②￥③￥④∈ ②当B=时，由m+1>2m-1,得m<2,此时满足B至A. 例2：(1)B(2)7(1)集合M的真子集所含有的元素的个数 综上可得，m的取值范围为{mlm≤3}. 可以有0个，1个或2个，含有0个为⑦，含有1个有3个真 (2)当ACB时，如图所示，此时B≠⑦ 子集1}，2}，{3}，含有2个元素有3个真子集1,2}， {1,3}和2,3}，共有7个真子集，故选B. (2)由1,2}MC1,2,3,4,5},可以确定集合M必含有 m+1-2 52m-1x 元素1,2，且含有元素3,4,5中的至少一个，因此依据集合 2m-1>m+1, rm>2, M的元素个数分类如下： m+1≤-2，即m≤-3，.m不存在， 含有三个元素：1,2,3}，1,2,4}，1,2,5；含有四个元 2m-1≥5， lm≥3， 素：1,2,3,4}，1,2,3,5}，1,2,4,5}； 即不存在实数m使ACB. 含有五个元素：{1,2,3,4,5}. 对点训练4：(1)若AB,则集合B肯定不是空集，则有 故满足题意的集合M共有7个 rm+1≤-2， rm+1<-2, 对点训练2：(1)B根据题意，含有元素0的A的子集为0}，0， 2m-1>5,或2m-1≥5， 1,0,-1},{-1,0,1},共4个 2m-1>m+1 2m-1>m+1, (2)A=(x,y)lx+y=2,xEN,yEN), 不等式组无解，.m不存在 A={(0,2),(1,1),(2,0)}, 即不存在实数m使A手B. A的子集有☑，{(0,2)}，(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}， (2)由BCA得，①若B=☑，则m+1>2m-1,即m<2,此时 {(0,2),(2,0)},{(1,1),(2,0)},{(0,2),(1,1),(2,0). 满足BCA; A的真子集有☑，(0,2)}，(1,1)}，(2,0)}，(0,2)，(1， ,2m-1≥m+1, 1)},1(0,2),(2,0)},{(1,1),(2,0)}. ②若B≠☑，则m+1≥-2，解得2≤m≤3. 例3：因为A=B,所以集合A与集合B中的元素相同，所以 l2m-1≤5， 「x=2x, 由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为mlm≤3 y=2x. 课堂检测固双基 1.D由题意可知BCA.由A={1,2,3},结合选项可知，1,3 「x= 4 ”或 二A,故选D. 2.A当a=3时，A={1,3},B={1,2,3},A≤B成立.当A≤B 时，a=2或3. 验证得，当x=0,y=0时，A=2,0,0这与集合元素的互3.C集合A=m,n,则其子集有2=4个.故选C 异性相矛盾，舍去、 4.[3,+∞)将集合A在数轴上表示出来，如图所示， 「x= rx=0 4 所以x,y的取值为 Y=I 或 1 2 对点训练3：由已知A=B={0,Ixl,y},所以0∈A. 要满足A二B,表示实数m的点必须在表示3的点处或在其右 若x=0,则A=0,0,-y,不满是元素的互异性； 边，故m≥3. 若x=0,即y=0,则B={0,lxl,0},也不满足元素的互异性. 50或？ 因为集合A=xax2-3x+2=0}的子集只有两个， 所以只有x-y=0,即y=x 所以A中只含有一个元素 所以A={x,xy,x-y}={x,x2,0},B=0,Ixl,x 所以x2=1x1,所以x=0(舍)或x=1或x=-1. 当a=0时，4={号}当a≠0时，若集合A只有一个元素，由 161 一元二次方程判别式4=9-8a=0得a=号 经检验，满足题意 (2)当a2-a+1=a时，解得a=1,此时集合A中的元素1重 综上，当a=0或a=8时，集合A的子集只有两个 复，故a=1不合题意. 综上所述，a=-1或a=2. 练案[3] !B组素养提升 A组基础巩固 :1.DA={1,3},因为ACCCB,故C有元素1,3，且可能有元素 1.A因为集合A={xlx≥0}，且B二A,所以集合B是集合A的 0,2,4,故满足A二CCB的集合C的个数为23=8. 子集，当集合B={1,2}时，满足题意；当集合B=xlx≤1} 2.A方法一：（列举法） 时，-1A,不满足题意：当集合B={-1,0,1}时，-1A,不 因为集合M={xlx=2k-1,k∈Z},所以其中的元素是奇数且 满足题意；当集合B=R时，-1生A,不满足题意，故选A. M=…,-3,-1,1,3,…}. 2.B由N={xx2+x=0},得W={-1,0},则NMU. 因为集合N={xlx=4h±1，keZ},所以其中的元素也是奇数 3.AD集合M={-2,-1,0,1},集合R=-3,-2},集合S= 且W=…,-3,-1,1,3,…. 0,1},不难发现集合P中的元素均在集合M中，所以PCM; 所以它们之间的关系为M=N 集合Q中的元素2M,集合R中的元素-3M,而集合S= 方法二：（特征性质法）当k为偶数，即k=2n,n∈Z时，x=4n {0,1}中的任意一个元素都在集合M中，所以S二M. -1,nEZ, 当k为奇数，即k=2n+1,n∈Z时 4.C由A=B,得m2=1,且”=0，且m=m+n, x=4n+1,n∈Z,所以集合M=N. 解得m=±1，n=0,又m≠1， 3.AC由题意可知3M且4M,而-2或2与4同时出现，所 .m=-1,n=0,故选C. 以-2M且2M,所以满足条件的非空集合M有{-1,1}， 5.ACD由已知，A={0,2}, {1},故选AC A选项，)是任何集合的子集，故A正确： 4.4A={1,2,3,4,5},B={2,4,5}, B选项，-2A,故B错误； .A米B=1,3}, C选项，任何集合都是它本身的子集，故C正确： .A*B的子集为☑，1}，{3}，{1,3}，共4个 D选项，{0,2}Cyly<3},故D正确；故选ACD 5.(4,+0)A={-1,2},BCA, 6B年A因为B={(,)是=}=(x,)1y=,且x0, ∴.当B=☑时，满足BCA,此时16-4p<0,解得：p>4; 当B≠时，要使B二A,则B={-1}或B=2}或B={-1 故B手A 2} 7.小说文学作品叙事散文散文由维恩图可得A手B,C 对于方程x2+4x+p=0,x1+2=-4, DB,A与D之间无包含关系，A与C之间无包含关系.由 ∴.当方程只有一个根时，该方程根为-2，当方程有两个根时， “文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”四个文学概念之间的 1 这两个根不可能为-1,2，.这种情况不存在. 关系，可得A为小说，B为文学作品，C为叙事散文，D为散文. ∴p的取值范围是(4，+0).故答案是(4，+∞)： 8.(1)1或3(2)a3<a<5}(1)若a=2,则A={1,2},所6.化简集合A,得A={xl-2≤x≤5. 以y=1. (1).·x∈Z,∴.A=-2,-1,0,1,2,3,4,5}, 若a-1=2,则a=3,A={2,3},所以y=3, 即A中含有8个元素， 综上，y的值为1或3. .A的非空真子集数为28-2=254（个）. (2)因为C={x12<x<5}, (2)①当m-1≥2m+1, 2<a<5, 所以 所以3<a<5. 即m≤-2时，B=⑦CA: 2<a-1<5. ②当m>-2时，B≠)， 9.(1)因为若x是12的约数，则必定是36的约数，反之不成立， 因此，要BCA, 所以A￥B. (2)因为A=xlx-x=0}={0,1},B=x∈RIx2+1=0}= 则只要m1≥-2， →-1≤m≤2 2m+1≤5， ☑，所以B年A. 综上所述，m的取值范围是{ml-1≤m≤2，或m≤-2} (3)对于集合M,其组成元素是？，分子部分表示所有的整C组创新拓展 数：面对于集合，其组成元泰是宁+a:2,分子部分表 AB任取x,yeS,不妨设x=a1+b1√3，y=a2+b2V5(a1,a2, b1,b2∈Z),则x+y=(a1+a2)+(b1+b2)3,其中a1+a2,b1 示所有的奇数.由真子集的概念知，N至M. +b,均为整数，即x+y∈S,同理可得x-y∈S,xy∈S,故A 10..B≤A,.a2-a+1=3或a2-a+1=a. 正确； (1)当a2-a+1=3时，解得a=-1或a=2 当x=y时，0eS,故B正确； —162