1.1.2 集合的基本关系导学案2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学导学案聚焦集合的基本关系，涵盖子集、真子集、集合相等、空集等核心概念，通过课前预习梳理基础定义与符号规范，结合课堂探究中的高考真题案例，构建从概念理解到关系判定的学习支架，衔接集合初步知识与高考应用。 以高考能力培养为核心，整合真题资源贯穿预习、探究、作业环节，突出数学抽象（精准区分集合关系）、逻辑推理（含参问题分类讨论）、直观想象（Venn图速解）素养，帮助学生掌握符号规范与解题模型，提升高考高频考点应对能力。

高中数学人教 B 版 (2019) 必修第一册｜同步精品教研学案 紧扣新课标・重难点突破 1.1.2集合的基本关系 精品学案（学生版） 教材版本：人教B版（2019）高中数学必修第一册 课时：1课时 适用年级：高一上学期 【学习目标】 1.数学抽象：理解子集、真子集、集合相等、空集的基本概念，精准区分元素与集合、集合与集合的从属、包含关系。 2.逻辑推理：掌握高考常考集合关系判定方法，熟记空集特殊性质，熟练规范使用集合专用符号。 3.直观想象：掌握Venn图数形结合方法，能利用图形直观分析集合包含关系，适配高考小题速解。 4.数学运算：熟练运用子集、真子集个数公式，掌握含参集合包含类高考经典题型，突破高频易错考点。 【学习重难点】 重点：子集、真子集、集合相等的概念与真题判定；集合关系符号规范书写；Venn图数形结合应用。 难点：高考高频含参数集合包含问题；空集特殊性分类讨论；子集真子集辨析与计数模型。 【课前预习·基础梳理】 知识点一：子集（集合间包含关系） 1. 定义：如果集合中的任意一个元素都是集合的元素，则称为的子集。 2. 符号：（包含于），（包含）。 3. 高考理解：范围小于或等于，是的“小范围子集”。 知识点二：集合相等（高考必考判定） 1. 定义：若且，则。 2. 核心本质：两个集合元素完全一致、范围完全重合，与元素顺序无关。 知识点三：真子集 1. 定义：且存在元素，则是的真子集。 2. 符号： 3. 关键区别：子集可相等，真子集严格包含、绝不相等。 知识点四：空集的高考核心性质（高频易错） 1.（空集是任意集合的子集） 2. （空集是任意非空集合的真子集） 3. 经典易错：，空集无任何元素。 知识点五：子集个数高考速算公式 若集合含个元素： 子集个数： 真子集、非空子集： 非空真子集： 知识点六：Venn图 数形结合工具，高考小题常用，直观判断集合包含、相交关系，简化复杂范围讨论。 【课堂探究·真题重难点突破】 探究一：关系符号辨析（历年高考基础易错点） 核心准则：用于元素与集合；用于集合与集合，绝对不可混用。 典例1（2024·北京高考真题）：下列集合关系表述正确的是（ ） A. B. C. D. 探究二：子集真子集计数（高考经典模型题） 典例2（2024·新高考Ⅰ卷模拟真题）：求集合的子集、真子集个数。 探究三：集合相等判定（新高考高频） 典例3（2025·天津滨海新区统考）：判断集合与是否相等。 探究四：嵌套集合关系（高考培优难点） 典例4（2025·浙江温州统考真题）：已知集合，，判断与的关系。 【高考真题精讲·规范答题】 典例5（2024·上海高考真题） 已知集合，，判断两个集合的包含关系。 已知集合，，判断集合间包含关系。 典例6（2025·新高考Ⅱ卷质检真题） 已知集合，，若，求实数的值。 已知集合，，若，求的值。 【课堂真题小练（各地经典真题）】 1. （2024·山东济南统考）下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 2. （2025·广东佛山期末）集合的真子集个数为________。 3. （2024·重庆统考真题）已知，，则集合关系为________。 【课后分层真题作业（全经典高考/统考真题）】 基础题（全员必做·基础真题） 1. （2024·全国甲卷改编）用适当符号填空： （1）____ ;（2）____ ;（3）____ 2. （2025·四川绵阳统考）写出集合的所有子集。 提升题（培优选做·高考高频） 3. （2024·上海春考真题）已知，，求证。 4. （2025·山东青岛二模）已知，，若，求取值范围。 5. （2024·新高考Ⅱ卷真题）满足的集合个数为________。 6. （2024·新高考全国卷真题）已知集合，，则与的关系为________。 7. （2025·广东高三质检真题）已知集 合，，若，则实数的取值范围是________。 【课堂核心小结·高考考点提炼】 1. 符号绝不混用：元素用∈，集合用⊆，是高考最基础易错点。 2. 子集可相等、真子集严格包含，空集讨论是含参题型必考陷阱。 3. 元集合子集公式是固定高考模型，必须熟练速算。 4. 集合相等核心：双向包含、元素完全一致，与顺序无关。 5. 含参集合包含问题：优先端点分析、分类讨论空集，规范解题。 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学人教 B 版 (2019) 必修第一册｜同步精品教研学案 紧扣新课标・重难点突破 1.1.2集合的基本关系 精品学案（解析版） 教材版本：人教B版（2019）高中数学必修第一册 课时：1课时 适用年级：高一上学期 【学习目标】 1.数学抽象：理解子集、真子集、集合相等、空集的基本概念，精准区分元素与集合、集合与集合的从属、包含关系。 2.逻辑推理：掌握高考常考集合关系判定方法，熟记空集特殊性质，熟练规范使用集合专用符号。 3.直观想象：掌握Venn图数形结合方法，能利用图形直观分析集合包含关系，适配高考小题速解。 4.数学运算：熟练运用子集、真子集个数公式，掌握含参集合包含类高考经典题型，突破高频易错考点。 【学习重难点】 重点：子集、真子集、集合相等的概念与真题判定；集合关系符号规范书写；Venn图数形结合应用。 难点：高考高频含参数集合包含问题；空集特殊性分类讨论；子集真子集辨析与计数模型。 【课前预习·基础梳理】 知识点一：子集（集合间包含关系） 1. 定义：如果集合中的任意一个元素都是集合的元素，则称为的子集。 2. 符号：（包含于），（包含）。 3. 高考理解：范围小于或等于，是的“小范围子集”。 知识点二：集合相等（高考必考判定） 1. 定义：若且，则。 2. 核心本质：两个集合元素完全一致、范围完全重合，与元素顺序无关。 知识点三：真子集 1. 定义：且存在元素，则是的真子集。 2. 符号： 3. 关键区别：子集可相等，真子集严格包含、绝不相等。 知识点四：空集的高考核心性质（高频易错） 1.（空集是任意集合的子集） 2. （空集是任意非空集合的真子集） 3. 经典易错：，空集无任何元素。 知识点五：子集个数高考速算公式 若集合含个元素： 子集个数： 真子集、非空子集： 非空真子集： 知识点六：Venn图 数形结合工具，高考小题常用，直观判断集合包含、相交关系，简化复杂范围讨论。 【课堂探究·真题重难点突破】 探究一：关系符号辨析（历年高考基础易错点） 核心准则：用于元素与集合；用于集合与集合，绝对不可混用。 典例1（2024·北京高考真题）：下列集合关系表述正确的是（ ） A. B. C. D. 解析：元素与集合只能用，集合与集合用包含符号，A、B、D概念混用错误；空集是任意非空集合的真子集，C正确。答案：C 探究二：子集真子集计数（高考经典模型题） 典例2（2024·新高考Ⅰ卷模拟真题）：求集合的子集、真子集个数。 解：集合元素个数，根据公式：子集个数，真子集个数。 解：，子集个数，真子集个数。 探究三：集合相等判定（新高考高频） 典例3（2025·天津滨海新区统考）：判断集合与是否相等。 解析：两个集合均可表示全体偶数，元素范围完全一致，满足双向包含关系，故。 探究四：嵌套集合关系（高考培优难点） 典例4（2025·浙江温州统考真题）：已知集合，，判断与的关系。 解析：由题意得，集合可以作为另一个集合的元素，因此。 【高考真题精讲·规范答题】 典例5（2024·上海高考真题） 已知集合，，判断两个集合的包含关系。 解：中所有元素均属于集合，且中存在元素不属于，根据真子集定义得：。 已知集合，，判断集合间包含关系。 解：由区间范围可知，中所有元素均属于，且存在元素不属于，故。 典例6（2025·新高考Ⅱ卷质检真题） 已知集合，，若，求实数的值。 解：由可知，故，解得。 ①时，，违背集合元素互异性，舍去； ②时，，，，舍去； 综上，无符合条件的实数，解集为空集。答案：无解 已知集合，，若，求的值。 解：由可知，则或。 ①若，，，，，舍去； ②若，，，，满足。 综上：。答案：1 【课堂真题小练（各地经典真题）】 1. （2024·山东济南统考）下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 2. （2025·广东佛山期末）集合的真子集个数为________。 3. （2024·重庆统考真题）已知，，则集合关系为________。 【课后分层真题作业（全经典高考/统考真题）】 基础题（全员必做·基础真题） 1. （2024·全国甲卷改编）用适当符号填空： （1）____ ;（2）____ ;（3）____ 2. （2025·四川绵阳统考）写出集合的所有子集。 提升题（培优选做·高考高频） 3. （2024·上海春考真题）已知，，求证。 4. （2025·山东青岛二模）已知，，若，求取值范围。 5. （2024·新高考Ⅱ卷真题）满足的集合个数为________。 6. （2024·新高考全国卷真题）已知集合，，则与的关系为________。 7. （2025·广东高三质检真题）已知集 合，，若，则实数的取值范围是________。 【课堂核心小结·高考考点提炼】 1. 符号绝不混用：元素用∈，集合用⊆，是高考最基础易错点。 2. 子集可相等、真子集严格包含，空集讨论是含参题型必考陷阱。 3. 元集合子集公式是固定高考模型，必须熟练速算。 4. 集合相等核心：双向包含、元素完全一致，与顺序无关。 5. 含参集合包含问题：优先端点分析、分类讨论空集，规范解题。 【参考答案与详细真题解析】 课堂真题小练 1. C（2024·山东济南统考）解析：空集是任意非空集合的真子集，其余选项均存在元素、集合符号混用错误。 2. 7（2025·广东佛山期末）解析：集合含3个元素，真子集个数。 3. （2024·重庆统考）解析：集合具有无序性，两集合元素完全一致，故集合相等。 课后分层真题作业 1.（1） （2） （3）（2024·全国甲卷） 2. 子集：（2025·四川绵阳统考） 3. 解析：解方程得，即，与元素完全相同，故（2024·上海春考）。 4. 解析：由得，解得（2025·青岛二模）。 5. 3 解析：符合条件的集合：，共3个（2024·新高考Ⅱ卷）。 6. （2024·新高考全国卷真题）解析：解方程得或，即，与集合元素完全一致，故两集合相等。 7. （2025·广东高三质检真题）解析：由可得不等式组，解得，验证区间不重合，满足真子集关系。 学科网（北京）股份有限公司 $