1.1.3 第2课时 全集、补集及综合应用-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案Word（人教B版）

数学 必修 第一册RJB 第2课时　全集、补集及综合应用 (教师独具内容) 课程标准：1.在具体情境中，了解全集的含义.2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集.3.能使用维恩图表达集合的补集运算，体会图形对理解抽象概念的作用． 教学重点：1.补集的定义(自然语言、符号语言、图形语言).2.会求集合的补集.3.能进行简单的“交”“并”“补”混合运算． 教学难点：“子”“交”“并”“补”的综合问题． 核心素养：1.通过对全集、补集概念的学习培养数学抽象素养.2.通过应用补集解决问题培养逻辑推理素养和数学运算素养． 知识点一　全集 在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，全集通常用U表示． [注意]　全集不是固定不变的，是相对于研究的问题而言的，如在整数范围内研究问题，Z是全集；在实数范围内研究问题，R是全集；若只讨论大于0小于5的实数，可选{x|0<x<5}为全集．通常也把给定的集合作为全集． 知识点二　补集 自然语言 如果集合A是全集U的一个子集，则由U中不属于A的所有元素组成的集合，称为A在U中的补集，记作∁UA，读作“A在U中的补集” 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U且x∉A} 图形语言 [拓展]　(1)补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割．一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素“逃”不出全集的范围． (2)补集既是集合之间的一种关系，也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的． 知识点三　补集运算的性质 给定全集U及其任意一个子集A，都有： (1)A∪(∁UA)＝U； (2)A∩(∁UA)＝∅； (3)∁U(∁UA)＝A． 1．(并集、补集的综合)设全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，2}，B＝{2，4}，则∁U(A∪B)＝(　　) A．{2} B．{3} C．{1，2，4} D．{1，4} 答案：B 2．(交集、补集的综合)已知全集U＝R，集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{x|2x－1>0}，则A∩(∁RB)＝(　　) A．{－1，0} B．{1，2} C．{－1，0，1} D．{0，1，2} 答案：A 3．(交集、补集、维恩图的综合)已知三个集合U，A，B之间的关系如图所示，则(∁UB)∩A＝(　　) A．{3} B．{0，1，2，4，7，8} C．{1，2} D．{1，2，3} 答案：C 题型一　补集运算　 　(1)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{2，3，4}，则∁UA＝(　　) A．{1，2，3，4，5} B．{1，5} C．{2，3，4} D．以上都不对 [解析]　因为U＝{1，2，3，4，5}，A＝{2，3，4}，所以∁UA＝{1，5}． [答案]　B (2)若集合A＝[－1，1)，当S分别取下列集合时，求∁SA. ①S＝R；②S＝(－∞，2]；③S＝[－4，1]． [解]　①把集合A表示在数轴上，如图所示． 由图知∁SA＝(－∞，－1)∪[1，＋∞)． ②把集合S和A表示在数轴上，如图所示． 由图知∁SA＝(－∞，－1)∪[1，2]． ③把集合S和A表示在数轴上，如图所示． 由图知∁SA＝[－4，－1)∪{1}． 【感悟提升】　求集合补集的策略 (1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合补集的定义来求解．另外，针对此类问题，在解答过程中也常常借助维恩图来求解，这样处理相对来说比较直观、形象，且解答时不易出错． (2)如果所给集合是无限集，在解答有关集合补集问题时，则常借助数轴，先把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后根据补集的定义求解． 【跟踪训练】　 1．(1)设全集U＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}，集合A＝{x|x2＋x－2＝0}，则∁UA＝________． 答案：{－3，－1，0，2，3} 解析：因为A＝{x|x2＋x－2＝0}＝{－2，1}，所以∁UA＝{－3，－1，0，2，3}． (2)设全集U＝R，集合A＝(2，5]，则∁UA＝________． 答案：(－∞，2]∪(5，＋∞) 解析：用数轴表示集合A为图中阴影部分，∴∁UA＝(－∞，2]∪(5，＋∞)． 题型二　交集、并集、补集的综合运算　 　(1)如图所示，I是全集，M，P，S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是(　　) A．M∩P∩S B．(M∩P)∪S C．M∩P∩(∁IS) D．(M∩P)∪(∁IS) [解析]　阴影部分是M与P的公共部分，且在S的外部，故选C. [答案]　C (2)若全集U＝{1，2，3，4}，集合M＝{x|x2－4x＋3＝0}，N＝{x|x2－5x＋6＝0}，则∁U(M∩N)＝(　　) A．{4} B．{1，2} C．{1，2，4} D．{1，3，4} [解析]　∵M＝{1，3}，N＝{2，3}，∴M∩N＝{3}，∴∁U(M∩N)＝{1，2，4}．故选C. [答案]　C (3)已知全集U＝{x|1≤x≤7}，集合A＝{x|2≤x≤5}，B＝{x|3≤x≤7}． 求：①A∩B；②(∁UA)∪B；③A∩(∁UB)． [解]　①由A＝{x|2≤x≤5}，B＝{x|3≤x≤7}，画出数轴， 由数轴可得A∩B＝{x|3≤x≤5}． ②由U＝{x|1≤x≤7}，A＝{x|2≤x≤5}， 画出数轴， 由数轴得∁UA＝{x|1≤x<2或5<x≤7}， 再画数轴， 由数轴得(∁UA)∪B＝{x|1≤x<2或3≤x≤7}． ③由U＝{x|1≤x≤7}，B＝{x|3≤x≤7}， 画出数轴， 故∁UB＝{x|1≤x<3}， 再画数轴， 由数轴得A∩(∁UB)＝{x|2≤x<3}． 【感悟提升】　解决集合交、并、补运算的技巧 (1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于维恩图来求解． (2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题． 【跟踪训练】　 2．(1)图中阴影部分所表示的集合是(　　) A．B∩[∁U(A∪C)] B．(A∪B)∪(B∪C) C．(A∪C)∩(∁UB) D．[∁U(A∪C)]∪B 答案：A 解析：阴影部分所表示的集合中的元素既在集合B中，又在A∪C的补集中，故选A. (2)(全国甲卷)设集合A＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，U为整数集，∁U(A∪B)＝(　　) A．{x|x＝3k，k∈Z} B．{x|x＝3k－1，k∈Z} C．{x|x＝3k－2，k∈Z} D．∅ 答案：A 解析：因为整数集Z＝{x|x＝3k，k∈Z}∪{x|x＝3k＋1，k∈Z}∪{x|x＝3k＋2，k∈Z}，U＝Z，所以∁U(A∪B)＝{x|x＝3k，k∈Z}．故选A. (3)设全集U＝R，集合A＝{x|2≤x<5}，B＝{x|3<x<6}，则(∁UA)∩B＝________． 答案：{x|5≤x＜6} 解析：由题意得∁UA＝{x|x<2或x≥5}，画出数轴，如图所示，由数轴得(∁UA)∩B＝{x|5≤x<6}． (4)设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2，5}，B＝{2，4，5}． ①计算∁UA，∁UB，A∪B，A∩B； ②计算(∁UA)∪(∁UB)，(∁UA)∩(∁UB)，∁U(A∪B)，∁U(A∩B)； ③在②的基础上，猜测一个一般性的结论，并利用维恩图证明． 解：①因为U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2，5}，B＝{2，4，5}，所以∁UA＝{3，4}，∁UB＝{1，3}，A∪B＝{1，2，4，5}，A∩B＝{2，5}． ②(∁UA)∪(∁UB)＝{1，3，4}， (∁UA)∩(∁UB)＝{3}， ∁U(A∪B)＝{3}，∁U(A∩B)＝{1，3，4}． ③猜测：(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)； (∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)．证明如下： 用维恩图表示(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)，有 用维恩图表示(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)，有 题型三　利用集合间的关系求参数的取值范围　 　已知集合A＝{x|2a－2<x<a}，B＝{x|1<x<2}，且A∁RB，求a的取值范围． [解]　∵∁RB＝{x|x≤1或x≥2}≠∅，A∁RB， ∴分A＝∅和A≠∅两种情况讨论： ①若A＝∅，此时有2a－2≥a，∴a≥2； ②若A≠∅，则有或 ∴a≤1. 综上所述，a的取值范围为{a|a≤1或a≥2}． [条件探究]　本例中若把“A∁RB”换成“A∩(∁RB)＝∅”，则a的取值范围是什么？ 解：①若A＝∅，则a≥2满足题意； ②若A≠∅，则需满足解得≤a<2. 综上所述，a的取值范围为. 【感悟提升】　利用补集求参数问题的方法 (1)解答本题的关键是利用A∁RB，对A＝∅与A≠∅进行分类讨论，转化为等价不等式(组)求解，同时要注意区域端点的问题． (2)不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集． (3)数轴与维恩图有同样的直观功效，在数轴上可以直观地表示数集，所以在进行集合的交、并、补运算时，常借助数轴求解． 【跟踪训练】　 3．已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|1<x<3}． (1)若A∪(∁RB)＝R，求实数a的取值范围； (2)若A∁RB，求实数a的取值范围． 解：(1)∵B＝{x|1<x<3}，∴∁RB＝{x|x≤1或x≥3}．要使A∪(∁RB)＝R，结合数轴(如图)分析，可得实数a的取值范围为{a|a≥3}． (2)A＝{x|x<a}，∁RB＝{x|x≤1或x≥3}． 要使A∁RB，结合数轴(如图)分析，可得实数a的取值范围为{a|a≤1}． 1．已知集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∩(B)＝(　　) A．{x|x>1} B．{x|x≥1} C．{x|1<x≤2} D．{x|1≤x≤2} 答案：D 解析：由补集的概念和已知条件可得，∁RB＝{x|x≥1}，又根据交集的定义可知A∩(∁RB)＝{x|1≤x≤2}．故选D. 2．已知全集U＝{1，2，a2－2a＋3}，集合A＝{1，a}，A＝{3}，则实数a＝(　　) A．0或2 B．0 C．1或2 D．2 答案：D 解析：根据题意，得a2－2a＋3＝3，且a＝2，解得a＝2.故选D. 3．(多选)设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，4}，B＝{0，1，3}，则(　　) A．A∩B＝{0，1} B．∁UB＝{4} C．A∪B＝{0，1，3，4} D．集合A的真子集个数为8 答案：AC 解析：因为A＝{0，1，4}，B＝{0，1，3}，所以A∩B＝{0，1}，A∪B＝{0，1，3，4}，A，C正确；又全集U＝{0，1，2，3，4}，所以∁UB＝{2，4}，B错误；集合A＝{0，1，4}的真子集有23－1＝7个，D错误．故选AC. 4．已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩(M)＝∅，则M∪N＝________，(N)∩(M)＝________． 答案：M　M 解析：由N∩(M)＝∅，知N与M没有公共元素，依据题意画出维恩图，如图所示，可得N⊆M，所以M∪N＝M，(N)∩(M)＝M. 5．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－2＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，B∩(∁UA)＝∅，则实数m的值为________． 答案：0，1或－ 解析：A＝{－1，2}，B∩(∁UA)＝∅等价于B⊆A.当m＝0时，B＝∅⊆A；当m≠0时，B＝，∴－＝－1或－＝2，即m＝1或m＝－.综上，实数m的值为0，1或－. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ ★ 对点 补集运算 并集、补集的混合运算 利用维恩图表示交集、并集、补集的混合运算 集合间的包含关系，交集、补集运算 利用交集、补集的混合运算求参数范围 交集、并集、补集的混合运算 与补集有关的新定义问题 并集、补集的混合运算 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 难度 ★ ★★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 利用补集运算求参数值　　 利用交集、补集的混合运算求参数范围 交集、并集、补集的混合运算 利用集合间的包含关系、补集运算求参数范围 并集、补集的混合运算 判断维恩图表示的集合，交集、并集、补集的混合运算 利用交集、补集的混合运算求参数值 集合间的包含关系及交集、并集、补集的综合应用 一、单选题 1．已知全集A＝{x|1≤x≤6}，集合B＝{x|2<x<5}，则∁AB＝(　　) A．{x|x≤2或x≥5} B．{x|1≤x≤2或5≤x≤6} C．{x|1≤x<2或5<x≤6} D．{x|1<x≤2或5≤x<6} 答案：B 解析：由补集的定义，知∁AB＝{x|1≤x≤2或5≤x≤6}．故选B. 2．(全国乙卷)设全集U＝{0，1，2，4，6，8}，集合M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，则M∪(∁UN)＝(　　) A．{0，2，4，6，8} B．{0，1，4，6，8} C．{1，2，4，6，8} D．U 答案：A 解析：由题意可得∁UN＝{2，4，8}，则M∪(∁UN)＝{0，2，4，6，8}．故选A. 3．图中的阴影部分表示的集合是(　　) A．A∩(B) B．B∩(A) C.(A∩B) D.(A∪B) 答案：B 解析：由维恩图可知，阴影部分的元素属于B但不属于A，所以用集合表示为B∩(∁UA)．故选B. 4．已知U为全集，集合M，N⊆U，若M∩N＝N，则(　　) A.N⊆M B．M⊆N C.M⊆N D.N⊆M 答案：C 解析：根据M，N⊆U，M∩N＝N，画出维恩图，如图所示，由图可知∁UM⊆∁UN.故选C. 5．设全集U＝R，集合A＝{x|x≤1或x≥3}，B＝{x|k<x<k＋1，k∈R}，且B∩(∁UA)≠∅，则(　　) A．k<0或k>3 B．2<k<3 C．0<k<3 D．－1<k<3 答案：C 解析：∵A＝{x|x≤1或x≥3}，∴∁UA＝{x|1<x<3}．若B∩(∁UA)＝∅，则k＋1≤1或k≥3，即k≤0或k≥3，∴若B∩(∁UA)≠∅，则0<k<3.故选C. 二、多选题 6．已知集合A，B均为全集U＝{1，2，3，4}的子集，且(A∪B)＝{4}，B＝{1，2}，则下列说法正确的是(　　) A．A∪B＝{1，2，3} B．集合A有4个 C．A∩(B)＝{3} D．(A)∩(B)＝{3，4} 答案：ABC 解析：∵(A∪B)＝{4}，U＝{1，2，3，4}，∴A∪B＝{1，2，3}，故A正确；又B＝{1，2}，∴A＝{1，3}或A＝{2，3}或A＝{1，2，3}或A＝{3}，故B正确；∵B＝{1，2}，∴∁UB＝{3，4}，∴A∩(∁UB)＝{3}，故C正确；∵(A)∩(B)＝(A∪B)＝{4}，故D错误．故选ABC. 7．我们知道，如果集合A⊆S，那么S的子集A的补集为∁SA＝{x|x∈S，x∉A}．类似地，对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A，x∉B}叫作集合A与B的差集，记作A－B.例如，A＝{1，2，3，4，5}，B＝{4，5，6，7，8}，则有A－B＝{1，2，3}，B－A＝{6，7，8}．下列说法正确的是(　　) A．若A＝{x|x>2}，B＝{x|x>2或x<－2}，则B－A＝{x|x<－2} B．若A－B＝∅，则B⊆A C．若S是高一(1)班全体同学的集合，A是高一(1)班全体女同学的集合，则S－A＝∁SA D．若A∩B＝{2}，则2一定是集合A－B的元素 答案：AC 解析：对于A，因为A＝{x|x>2}，B＝{x|x>2或x<－2}，所以B－A＝{x|x<－2}，故A正确；对于B，令A＝{1，2，3}，B＝{1，2，3，4，5}，则A－B＝∅，但BA，故B错误；对于C，S－A表示高一(1)班全体同学中去掉全体女同学后剩下的全体同学的集合，即为高一(1)班全体男同学的集合，则必有S－A＝∁SA，故C正确；对于D，令A＝{1，2，3}，B＝{2，4，5}，则A∩B＝{2}，A－B＝{1，3}，此时2∉{1，3}，故D错误．故选AC. 三、填空题 8．已知全集U＝{x∈Z|－3≤x≤3}，集合A＝{－3，－2，1}，B＝{0，1，2}，则∁U(A∪B)＝________． 答案：{－1，3} 解析：因为U＝{x∈Z|－3≤x≤3}＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}，A∪B＝{－3，－2，1}∪{0，1，2}＝{－3，－2，0，1，2}，所以∁U(A∪B)＝{－1，3}． 9．设全集U＝{2，4，－(a－3)2}，集合A＝{2，a2－a＋2}，若A＝{－1}，则实数a的值为________． 答案：2 解析：由已知可得解得a＝2. 10．已知M＝{x|x<－2或x≥3}，N＝{x|x－a≤0}，若N∩(∁RM)≠∅(R为实数集)，则a的取值范围是________． 答案：[－2，＋∞) 解析：由题意，得∁R M＝{x|－2≤x<3}，N＝{x|x≤a}，借助数轴，可得a≥－2. 四、解答题 11．已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(A)∪B，A∩(B)，(A∪B)． 解：把集合A，B，U表示在同一数轴上，如图所示，由图可得A＝{x|x≤－2或3≤x≤4}， B＝{x|x<－3或2<x≤4}． A∩B＝{x|－2<x≤2}， A∪B＝{x|－3≤x<3}． 故(A)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}， A∩(B)＝{x|2<x<3}， (A∪B)＝{x|x<－3或3≤x≤4}． 12．已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|a＋1≤x≤2a－1}，且A⊆∁UB，求实数a的取值范围． 解：若B＝∅，则a＋1>2a－1，则a<2， 此时∁UB＝R，∴A⊆∁UB，满足条件； 若B≠∅，则a＋1≤2a－1，即a≥2， 此时∁UB＝{x|x<a＋1或x>2a－1}， ∵A⊆∁UB，∴或 解得a>4. 综上，实数a的取值范围为{a|a<2或a>4}． 13．已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>4}，则M∪(∁RN)＝(　　) A．{x|x<－5或x>－3} B．{x|－3<x≤4} C．{x|－5≤x≤5} D．{x|x<－3或x>5} 答案：C 解析：因为N＝{x|x<－5或x>4}，所以∁R N＝{x|－5≤x≤4}，因为M＝{x|－3<x≤5}，所以M∪(∁R N)＝{x|－5≤x≤5}．故选C. 14．已知全集U＝{x|x∈Z，|x|≤3}，集合A＝{－2，0，1，2}，B＝{－2，1，3}，则图中阴影部分表示的集合为________． 答案：{0，2，3} 解析：由题意，得全集U＝{x|x∈Z，|x|≤3}＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}，又集合A＝{－2，0，1，2}，B＝{－2，1，3}，所以∁UA＝{－3，－1，3}，∁UB＝{－3，－1，0，2}，故A∩(∁UB)＝{0，2}，B∩(∁UA)＝{3}，则图中阴影部分表示的集合为[A∩(∁UB)]∪[B∩(∁UA)]＝{0，2，3}． 15．设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}．若(∁UA)∩B＝∅，求m的值． 解：A＝{－2，－1}， 由(∁UA)∩B＝∅，得B⊆A， ∵方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的判别式Δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0， ∴B≠∅. ∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}． ①若B＝{－1}，则m＝1； ②若B＝{－2}，则应有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m＝(－2)×(－2)＝4，这两式不能同时成立， ∴B≠{－2}； ③若B＝{－1，－2}，则应有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m＝(－1)×(－2)＝2，由这两式得m＝2. 综上可得，m＝1或m＝2. 16．在①A∪B＝B；②A⊆(A∩B)；③A∩B＝∅这三个条件中任选一个，补充到下面的横线处，并求解下列问题． 已知集合A＝{x|2a－1<x≤a＋1}，B＝{x|－1≤x≤3}． (1)当a＝－时，求A∩(∁RB)； (2)若________，求实数a的取值范围． 解：(1)当a＝－时，集合A＝，B＝{x|－1≤x≤3}， 则∁RB＝{x|x>3或x<－1}， 所以A∩(∁RB)＝{x|－2<x<－1}． (2)若选择①，由A∪B＝B可得A⊆B， 因为A＝{x|2a－1<x≤a＋1}， 当A＝∅时，A⊆B成立，则2a－1≥a＋1， 解得a≥2； 当A≠∅时，由A⊆B可得 解得0≤a<2. 综上，实数a的取值范围是{a|a≥0}． 若选择②，由A⊆(A∩B)可得A⊆B，下同选①. 若选择③，因为A＝{x|2a－1<x≤a＋1}，B＝{x|－1≤x≤3}， 当A＝∅时，A∩B＝∅成立，则2a－1≥a＋1， 解得a≥2； 当A≠∅时，由A∩B＝∅可得 或解得a<－2. 综上，实数a的取值范围是{a|a≥2或a<－2}． 13 学科网（北京）股份有限公司 $