第三章圆锥曲线的方程章末模拟测评卷- 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本圆锥曲线同步练习通过基础、中档、拔高三层设计，覆盖定义、方程、性质及综合应用，梯度合理，助力知识巩固与运算、推理能力提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一概念（抛物线焦点、椭圆基本量）|考概念辨析（如第1题求抛物线参数）| |中档|性质综合（离心率、焦点弦、新定义）|结合高考真题（如第4题天津卷双曲线）| |拔高|综合应用（轨迹方程、证明、范围问题）|融入实际情境（如第7题直角弯管）与逻辑证明（如第17题角相等证明）|

第三章　圆锥曲线的方程 （时间：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知抛物线x2=ay(a≠0)的焦点在直线y=2x-4上,则实数a的值为(　　) A.8 B.-4 C.-8 D.-16 2.已知椭圆+y2=2,则下列结论正确的是(　　) A.长轴长为2 B.焦距为2 C.短轴长为2 D.离心率为 3.已知F1,F2是椭圆C:=1的两个焦点,点M在椭圆C上,则|MF1||MF2|的最大值为(　　) A.13 B.12 C.9 D.6 4.(2022天津)已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,抛物线y2=4x的准线l经过F1,且l与双曲线的一条渐近线交于点A,若∠F1F2A=,则双曲线的方程为(　　) A.=1 B.=1 C.-y2=1 D.x2-=1 5.(2023新高考Ⅰ)设椭圆C1:+y2=1(a>1),C2:+y2=1的离心率分别为e1,e2.若e2=e1,则a=(　　) A. B. C. D. 6.(2026四川高二期中)已知a>b>0,椭圆C1的方程为=1,双曲线C2的方程为=1,C1与C2的离心率之积为,则双曲线C2两条渐近线的夹角大小为(　　) A.30° B.60° C.90° D.120° 7.在实际生活中,常常要用到如图1所示的“直角弯管”.它的制作方法如下:如图2,用一个与圆柱底面所成角为45°的平面截圆柱,将圆柱截成两段,再将这两段重新拼接就可以得到“直角弯管”.在制作“直角弯管”时截得的截口是一个椭圆,若将圆柱被截开的一段(如图3)的侧面沿着圆柱的一条母线剪开,并展开成平面图形,则截口展开形成的图形恰好是某正弦型函数的部分图象(如图4).记该正弦型函数的最小正周期为T,截口椭圆的离心率为e.若圆柱的底面直径为2,则(　　) A.T=2π,e= B.T=2π,e= C.T=4π,e= D.T=4π,e= 8.(2023全国甲)设O为坐标原点,F1,F2为椭圆C:=1的两个焦点,点P在C上,cos∠F1PF2=,则|OP|=(　　) A. B. C. D. 二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.已知方程=1表示曲线C,则下列四个结论中正确的有(　　) A.当1<t<4时,曲线C是椭圆 B.当t>4或t<1时,曲线C是双曲线 C.若曲线C是焦点在x轴上的椭圆,则1<t< D.若曲线C是焦点在y轴上的双曲线,则t>4 10.(2026山东济南高二期中)弦AB经过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,设A(x1,y1),B(x2,y2),下列说法正确的有(　　) A.|AF|=x1+p B.|AB|的最小值为2p C.y1y2=-p2 D.以弦AB为直径的圆与准线相切 11.如图,曲线C是一条“双纽线”,曲线C上的点满足:到点F1(-2,0)与到点F2(2,0)之间的距离之积为4,则下列结论正确的有(　　) A.点D(2,0)在曲线C上 B.点M(x,1)(x>0)在曲线C上,则|MF1|=2 C.点Q在椭圆=1上,若F1Q⊥F2Q,则Q∈C D.过F2作x轴的垂线交曲线C于A,B两点,则|AB|<2 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知椭圆C:=1(b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,上顶点为A,若AF1⊥AF2,则椭圆C的短轴长为　　　　　　.  13.(2026湖北高三期中)已知双曲线E:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线与双曲线E的右支交于A,B两点,若|AB|=|AF1|,且cos∠ABF1=,则双曲线E的离心率为　　　　　.  14.已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,Q为圆M:x2+(y-5)2=4上的动点,点A(0,4),则=　　　　;若P为抛物线C上的动点,则|PF|+|PQ|+|QF|的最小值为　　　　. 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知双曲线C:=1(a,b>0)经过点M(2,3),双曲线的左焦点为F1,且F1到其渐近线的距离是. (1)求C的方程; (2)过点M的直线l交C左支于一点N,且直线l的斜率是,求|MN|的长. 16.(15分)已知抛物线C:y2=2x,A(2,0). (1)Q是抛物线上一个动点,求|QA|的最小值; (2)过点A作直线与该抛物线交于M,N两点,求的值. 17.(15分)(2026贵州高三期中)已知双曲线E:=1(a>0,b>0)与椭圆=1有公共焦点,且双曲线E经过点(,1),点P的坐标为(1,0). (1)求双曲线E的方程; (2)设F为双曲线E的右焦点,过点F的直线l与双曲线E的右支交于A,B两点,求证: ∠FPA=∠FPB. 18.(17分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,且过点(0,). (1)求椭圆C的标准方程; (2)直线l:y=kx+m(k,m∈R)与椭圆C交于A,B两点,且以AB为直径的圆过原点O,证明:原点O到直线l的距离为定值. 19.(17分)已知点P到定点F(,0)的距离和它到定直线x=的距离之比为,记点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程; (2)设直线l:x=my+1(m≠0)与曲线C相交于A,B两点,点B关于x轴的对称点为B',直线AB'与x轴相交于点D,求△ABD的面积的取值范围. 答案 1.D　因为抛物线x2=ay(a≠0)的焦点F在直线y=2x-4上,所以=-4,即a=-16. 2.D　已知椭圆+y2=2,整理得=1,得a2=4,b2=2, 所以a=2,b=,c=, 故椭圆的长轴长为2a=4,焦距为2c=2,短轴长为2b=2,离心率为e=. 故选D. 3.C　由题意,a2=9,b2=4,则|MF1|+|MF2|=2a=6, 所以|MF1||MF2|≤()2=9(当且仅当|MF1|=|MF2|=3时,等号成立).故选C. 4.D　抛物线y2=4x的准线方程为x=-,则c=,则F1(-,0),F2(,0), 不妨设点A为第二象限内的点, 联立可得即点A(-c,). 因为AF1⊥F1F2且∠F1F2A=,则△F1F2A为等腰直角三角形,且|AF1|=|F1F2|,即=2c, 可得=2. 由解得 因此,双曲线的标准方程为x2-=1.故选D. 5.A　由题意,在C1:+y2=1中,a>1,b=1,c=, ∴e1=. 在C2:+y2=1中,a=2,b=1,c=, ∴e2=. ∵e2=e1, ∴, 解得a=.故选A. 6.B　∵椭圆C1的离心率e1=,双曲线C2的离心率e2=, ∴e1e2=, ∴=1-,∴. 设双曲线渐近线的倾斜角为θ,则tan θ=±=±,即渐近线的倾斜角分别为60°和120°, 又两条直线夹角α满足0°≤α≤90°, ∴双曲线C2两条渐近线的夹角大小为120°-60°=60°.故选B. 7.B　由圆柱的底面直径为2, 得圆柱的底面周长为2π, 则该正弦型函数的最小正周期T=2π. 由已知可得截口椭圆的短轴长2b=2, 截口椭圆的长轴长2a==2, 即a=,b=1, 则c==1, 即截口椭圆的离心率e=.故选B. 8.B　由题意,不妨设F1,F2分别为左、右两焦点. 在椭圆C:=1中,a==3,b=,c=, ∴|PF1|+|PF2|=2a=6(椭圆的定义), 即|PF2|=6-|PF1|. 在△PF1F2中,|F1F2|=2c=2,cos∠F1PF2=, 由余弦定理得,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2, 解得|PF1|=3+,∴|PF2|=6-|PF1|=3-. ∵), ∴||=|= = = =. ∴|PO|=.故选B. 9.BCD　当曲线C:=1是椭圆时,则解得1<t<<t<4,故A错误; 当曲线C:=1是双曲线时,则(4-t)(t-1)<0,解得t<1或t>4,故B正确; 若曲线C:=1是焦点在x轴上的椭圆,则解得1<t<,故C正确; 若曲线C:=1是焦点在y轴上的双曲线, 则解得t>4,故D正确.故选BCD. 10.BCD　对于A,由题意可知F(,0),准线方程为x=-, 由抛物线的焦半径公式可得|AF|=x1+,故A错误; 对于B,C,若直线AB与x轴重合,则该直线与抛物线C只有一个交点,不符合题意, 设直线AB的方程为x=my+, 联立可得y2-2pmy-p2=0,Δ=4m2p2+4p2>0, 由根与系数的关系可得y1+y2=2mp,y1y2=-p2, 所以|AB|==2p(1+m2)≥2p, 当且仅当m=0时,等号成立,即|AB|的最小值为2p,故B,C正确; 对于D,弦AB的中点M(),点M到准线的距离d=,由焦点弦的弦长公式可得|AB|=x1+x2+p=2d,所以以弦AB为直径的圆与准线相切,故D正确. 故选BCD. 11.ACD　对于A,|DF1||DF2|=(2+2)(2-2)=4,由定义知点D在曲线C上,故A正确; 对于B,由点M(x,1)(x>0)在曲线C上,得|MF1||MF2|==4, 化简得x4-6x2+9=0,得x=(负值舍去),|MF1|=≠2,故B错误; 对于C,椭圆=1的焦点坐标恰好为F1(-2,0)与F2(2,0),则|F1Q|+|F2Q|=2, 由F1Q⊥F2Q,得=16, 则|F1Q||F2Q|==4,故点Q在曲线C上,故C正确; 对于D,设A(2,y),则|AB|=2|y|,而点A在曲线C上,则|AF1|=, 又=16+y2,则=16+y2, 化简得y4+16y2-16=0,得y2=4-8(负值舍去),y2-1=4-9<0, 因此|y|<1,|AB|<2,故D正确.故选ACD. 12.4　易知|AF1|=|AF2|=a=4,结合AF1⊥AF2,可知△AF1F2为等腰直角三角形, 所以|F1F2|==4=2c,故c=2. 所以b==2, 所以椭圆C的短轴长为2b=4. 13.　如图所示,因为|AB|=|AF1|,可得|BF2|=|AB|-|AF2|=|AF1|-|AF2|=2a, 由双曲线的定义可得|BF1|-|BF2|=|BF1|-2a=2a, 所以|BF1|=4a=2|BF2|. 在△BF1F2中,因为cos∠ABF1=, 由余弦定理得cos∠F2BF1=,解得c2=2a2, 所以双曲线的离心率为e=. 14.　5　由题意可知,抛物线C:x2=4y的焦点为F(0,1),准线为y=-1. 设Q(x,y),圆M:x2+(y-5)2=4,即x2+y2=10y-21, 则. 因为|QA|=|QF|, 所以|PF|+|PQ|+|QF|=|PF|+|PQ|+|QA|≥|PF|+|AP|, 当且仅当A,Q,P三点共线且点Q为线段AP与圆M的交点时,等号成立. 设点P到准线y=-1的距离为d,则|PF|+|AP|=d+|AP|≥5,当且仅当点P为坐标原点O时,等号成立. 综上所述,|PF|+|PQ|+|QF|≥5,当且仅当P为坐标原点O,Q为(0,3)时,等号成立. 所以|PF|+|PQ|+|QF|的最小值为5. 15.解 (1)双曲线的左焦点为F1(-c,0),渐近线方程为y=±x,即bx±ay=0, 则F1到渐近线的距离为=b=. 将M(2,3)代入双曲线方程,得=1, 所以a2=1,故双曲线方程为x2-=1. (2)由题意可得,直线l的方程为y-3=(x-2), 即y=x+2,联立 整理得11x2-8x-28=0, 解得x=2或x=-. 因为直线交双曲线C左支于一点, 所以N点横坐标为xN=-,所以|MN|=|xM-xN|=. 16.解 (1)设Q(2t2,2t),|QA|=,当t=±,即Q(1,±)时,|QA|取得最小值,最小值为. (2)易知直线MN的斜率不为0,故设直线MN的方程是x=ky+2,与抛物线方程联立,消去x得y2-2ky-4=0, 设M(x1,y1),N(x2,y2), 则y1+y2=2k,y1y2=-4, 故x1x2==4, 故=x1x2+y1y2=4-4=0. 17.(1)解 椭圆=1的焦点为(2,0),(-2,0), 所以a2+b2=4,即b2=4-a2, 又双曲线E经过点(,1), 则=1,解得a2=b2=2, 所以双曲线E的方程为=1. (2)证明 由题意知直线l的斜率不为0,设l:x=my+2,A(x1,y1),B(x2,y2), 联立消去x整理得(m2-1)y2+4my+2=0,其中m≠±1, 则Δ=8(m2+1)>0,y1+y2=-,y1y2=<0,得-1<m<1. 又x1=my1+2,x2=my2+2, ∴kPA+kPB=, 又y1(x2-1)+y2(x1-1)=y1(my2+1)+y2(my1+1)=2my1y2+y1+y2==0, 即kPA+kPB=0, 所以∠FPA=∠FPB. 18.(1)解 由题意可得解得 所以椭圆C的标准方程为=1. (2)证明 如图,设点A(x1,y1),B(x2,y2), 由得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-8=0, 所以Δ=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-8)=-16m2+128k2+32>0, 故m2<8k2+2, 则x1+x2=-,x1x2=. 因为以AB为直径的圆过原点O,所以=0, 即x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0, 即(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0, (1+k2)+km(-)+m2=0, 化简得5m2-8k2-8=0,即m2=. 又因为原点O到直线l的距离d=, 所以d2=,即d=. 故原点O到直线l的距离为定值. 19.解 (1)设P(x,y),则点P到直线x=的距离为d=, 由题意得,,即, 整理化简得+y2=1, 所以曲线C的方程为+y2=1. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则B'(x2,-y2). 联立得(m2+4)y2+2my-3=0,则y1+y2=-,y1y2=-. 直线AB'的方程为y-y1=(x-x1), 令y=0,得x=+1=4,即D(4,0). 由题意得,直线l过定点(1,0),∴S△ABD=×(4-1)|y1-y2|=, 化简得S△ABD=, 令t=,则t>, ∵y=t+在区间(,+∞)上单调递增, ∴t+∈(,+∞),得S△ABD∈(0,). ∴△ABD的面积的取值范围为(0,). 13 学科网（北京）股份有限公司 $