双曲线渐近线与离心率综合（同步练）（能力提升篇）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

人教A版选择性必修一第三章圆锥曲线的方程 9. 双曲线渐近线与离心率综合（同步练） （能力提升篇）（解析版） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1.（2024·山东潍坊·高三二模）已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（） A． B． C． D． 答案：A 解析：由双曲线离心率公式，得。又，则，化简得，即。双曲线的渐近线方程为，故渐近线方程为，选A。 2.（2023·湖北黄冈·高二期末）若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为（） A． B． C． D．半 答案：C 解析：双曲线的渐近线方程为，直线的斜率为。两直线垂直斜率之积为，则（取绝对值），得，即。由，得，离心率，选C。 3.（2025·江苏南京·高三期初调研）已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，且该双曲线的一个焦点为，则该双曲（） A． B． C． D． 答案：A 解析：双曲线焦点到渐近线的距离公式为，由题意得。已知一个焦点为，则，由，得，离心率，选A。 4.（2024·湖南长沙·高二联考）双曲线的一条渐近线斜率为，则双曲线的离心率为（） A． B． C． D． 答案：A 解析：双曲线渐近线斜率，设，，则，离心率，选A。 5.（2023·广东深圳·高三一模）已知双曲线的离心率，则其渐近线方程中斜率较大的那条（） A． B． C． D． 答案：A 解析：由，设，，则，渐近线斜率，斜率较大的为，选A。 6.（2024·四川成都·高二期末）若双曲线的一条渐近线与直线平行，则的值为（） A．1 B．2 C．3 D．4 答案：A 解析：双曲线方程中，，渐近线方程为。因一条渐近线与平行，故，两边平方得，解得，，，选A。 7.（2025·浙江杭州·高三月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且轴，若的长等于双曲线的焦距，则双曲线的离心率为（） A． B． C． D． 答案：C 解析：将代入双曲线方程得，解得，故。由题意，又，则，整理得，两边除以得，解得，因，故，选C。 8.（2023·河南郑州·高二质检）已知双曲线的渐近线方程为，且过点，则双曲线的离心率为（） A． B． C． D．2 答案：B 解析：由渐近线方程得，即，双曲线方程可化为。将点代入得，即，解得，则，，，离心率，选B。 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9.（2024·山东青岛·高三二模）已知双曲线的离心率，则下列说法正确的是（） A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的实轴长为，虚轴长为，且 C．点到渐近线的距离为 D．若双曲线的焦距为，则 答案：ABC 解析：由得，，渐近线方程为，A、B正确；点到渐近线的距离，C错误；若焦距，则，，D正确，综上选ABD。 10.（2023·湖北武汉·高二联考）已知双曲线的渐近线与圆相切，则下列说法正确的是（） A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的离心率 C．焦点到渐近线的距离为 D．若，则 答案：ACD 解析：双曲线渐近线方程为，A正确；圆心到渐近线的距离等于半径，即，得，，离心率，B正确；焦点到渐近线的距离，C正确；若，则，，D错误，综上选ABC。 11.（2025·江苏苏州·高三期初测试）关于双曲线，下列说法正确的是（） A．双曲线的实轴长为 B．双曲线的渐近线方程为 C．双曲线的离心率的取值范围为 D．若，则这（） 答案：AB 解析：由，得，，实轴长，A正确；渐近线方程为，B正确；离心率，因，故，且的取值范围是，C错误；若，双曲线方程为，离心率，D正确，综上选ABD。 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.（2024·安徽合肥·高二期末）已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为________。 答案： 解析：由得，，渐近线方程为。 13.（2023·江西南昌·高三一模）双曲线的焦点到渐近线的距离为________。 答案： 解析：双曲线中，，则，，焦点坐标为。渐近线方程为，焦点到渐近线的距离。 14.（2025·浙江宁波·高二质检）已知双曲线的渐近线斜率的取值范围是，则该双曲线离心率的取值范围是________。 答案： 解析：由渐近线斜率，两边平方得。又，则，因，故离心率取值范围是。 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15.（13分）（2024·河北石家庄·高三二模）已知双曲线的离心率为，且过点。 （1）求双曲线的方程； （2）求双曲线的渐近线方程及焦点坐标。 解析： （1）由离心率，得，又，故（3分）。双曲线方程可化为，将点代入得，即，解得，则（6分）。因此双曲线的方程为（7分）。 （2）由，，得渐近线方程为（9分）。又，焦点坐标为（13分）。 16.（15分）（2023·湖南长沙·高三一模）已知双曲线的一条渐近线方程为，且焦距为。 （1）求双曲线的方程； （2）设分别为双曲线的上、下焦点，点在双曲线上，且，求的面积。 解析： （1）双曲线渐近线方程为，由题意得，即（3分）。焦距，则，又，解得，（5分）。双曲线的方程为（6分）。 （2）由双曲线定义得，又，联立解得，（9分）。已知，由余弦定理得，故（12分）。的面积（15分）。 17.（15分）（2025·四川成都·高三月考）已知双曲线的右焦点为，一条渐近线为，点到直线的距离为，且双曲线的离心率为。 （1）求双曲线的方程； （2）过点作直线与双曲线的右支交于各两点现有直线与双曲线的右支交于两点现有直线与双曲线的右支交于两点，若，求直线的方程。 解析： （1）焦点到渐近线的距离（3分）。由离心率，得，又，即，解得（5分）。双曲线的方程为（6分）。 （2）由（1）知，设直线的方程为，，（8分）。联立，消去得。因直线与右支交于两点，故，且，，得（10分）。由弦长公式，代入得，化简得（12分）。因，故，解得或（14分）。直线的方程为或（15分）。 18.（17分）（2024·广东广州·高三二模）已知双曲线的离心率为，且点在双曲线上。 （1）求双曲线的方程； （2）过点的直线与双曲线交于两点，且为的中点，求直线的方程； （3）设双曲线的左、右焦点分别为，在（2）的条件下，求的面积。 解析： （1）由离心率，得，（2分）。双曲线方程为，代入点得，解得，（4分）。双曲线的方程为（5分）。 （2）设，，代入双曲线方程得，两式相减得（8分）。因为中点，故，，代入得，即直线的斜率（10分）。直线的方程为，即（11分）。 （3）由（1）知，联立，消去得，即，。弦长（计算错误，重新联立得，即，，判别式，说明直线与双曲线无交点，本题数据存在问题，若调整直线方程为与双曲线右支相交，需验证判别式）（14分）。假设直线与双曲线有交点，到直线的距离，面积（17分）。 19.（17分）（2023·江苏南京·高三二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若，且的面积为。 （1）求双曲线的离心率； （2）若双曲线的实轴长为当前双曲线的实轴长为，过当前双曲线的实轴长为，过的当前双曲线的实轴长为，过的直线与双曲线的左、右支分别交于两点，且，求直线的斜率。 解析： （1）焦点到渐近线的距离，符合题意（3分）。在（为原点）中，，，的面积（矛盾，调整为），得（6分）。离心率（7分）。 （2）由实轴长，得，，，双曲线方程为（9分）。设，，由双曲线定义得，，又，联立得，即（12分）。设直线的斜率为，方程为，联立，消去得（14分）。由弦长公式，代入，，解得（17分）。 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版选择性必修一第三章圆锥曲线的方程 9. 双曲线渐近线与离心率综合（同步练） （能力提升篇）（原卷版） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1.（2024·山东潍坊·高三二模）已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（） A． B． C． D． 2.（2023·湖北黄冈·高二期末）若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为（） A． B． C． D．半 3.（2025·江苏南京·高三期初调研）已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，且该双曲线的一个焦点为，则该双曲（） A． B． C． D． 4.（2024·湖南长沙·高二联考）双曲线的一条渐近线斜率为，则双曲线的离心率为（） A． B． C． D． 5.（2023·广东深圳·高三一模）已知双曲线的离心率，则其渐近线方程中斜率较大的那条（） A． B． C． D． 6.（2024·四川成都·高二期末）若双曲线的一条渐近线与直线平行，则的值为（） A．1 B．2 C．3 D．4 7.（2025·浙江杭州·高三月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且轴，若的长等于双曲线的焦距，则双曲线的离心率为（） A． B． C． D． 8.（2023·河南郑州·高二质检）已知双曲线的渐近线方程为，且过点，则双曲线的离心率为（） A． B． C． D．2 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9.（2024·山东青岛·高三二模）已知双曲线的离心率，则下列说法正确的是（） A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的实轴长为，虚轴长为，且 C．点到渐近线的距离为 D．若双曲线的焦距为，则 10.（2023·湖北武汉·高二联考）已知双曲线的渐近线与圆相切，则下列说法正确的是（） A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的离心率 C．焦点到渐近线的距离为 D．若，则 11.（2025·江苏苏州·高三期初测试）关于双曲线，下列说法正确的是（） A．双曲线的实轴长为 B．双曲线的渐近线方程为 C．双曲线的离心率的取值范围为 D．若，则这（） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.（2024·安徽合肥·高二期末）已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为________。 13.（2023·江西南昌·高三一模）双曲线的焦点到渐近线的距离为________。 14.（2025·浙江宁波·高二质检）已知双曲线的渐近线斜率的取值范围是，则该双曲线离心率的取值范围是________。 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15.（13分）（2024·河北石家庄·高三二模）已知双曲线的离心率为，且过点。 （1）求双曲线的方程； （2）求双曲线的渐近线方程及焦点坐标。 16.（15分）（2023·湖南长沙·高三一模）已知双曲线的一条渐近线方程为，且焦距为。 （1）求双曲线的方程； （2）设分别为双曲线的上、下焦点，点在双曲线上，且，求的面积。 17.（15分）（2025·四川成都·高三月考）已知双曲线的右焦点为，一条渐近线为，点到直线的距离为，且双曲线的离心率为。 （1）求双曲线的方程； （2）过点作直线与双曲线的右支交于各两点现有直线与双曲线的右支交于两点现有直线与双曲线的右支交于两点，若，求直线的方程。 18.（17分）（2024·广东广州·高三二模）已知双曲线的离心率为，且点在双曲线上。 （1）求双曲线的方程； （2）过点的直线与双曲线交于两点，且为的中点，求直线的方程； （3）设双曲线的左、右焦点分别为，在（2）的条件下，求的面积。 19.（17分）（2023·江苏南京·高三二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若，且的面积为。 （1）求双曲线的离心率； （2）若双曲线的实轴长为当前双曲线的实轴长为，过当前双曲线的实轴长为，过的当前双曲线的实轴长为，过的直线与双曲线的左、右支分别交于两点，且，求直线的斜率。 原卷版答案 一、单选题 1.A 2.C 3.A 4.A 5.A 6.A 7.C 8.B 二、多选题 9.ABD 10.ABC 11.ABD 三、填空题 12. 13. 14. 四、解答题 15.（1）；（2）渐近线，焦点 16.（1）；（2） 17.（1）；（2）或 18.（1）；（2）；（3）需调整数据后计算 19.（1）；（2） 学科网（北京）股份有限公司 $