专题08 方程、解一元一次方程 暑假预习讲义 2026-2027学年人教版七年级数学上册

专题08 方程、解一元一次方程 暑假预习讲义 ✺知识框架 1.理论基础：梳理方程核心概念，明确一元一次方程判定标准，区分易混淆定义；掌握等式两大基本性质，确立解方程的理论依据。 2.基础解方程：学习简易方程化简方法，掌握合并同类项、移项、系数化为1三大基础操作，解决简单一元一次方程运算。 3.进阶解方程：针对含括号、分数系数的复杂方程，掌握去括号、去分母核心解法，整合完整解题步骤，形成标准化解题流程。 ✺学习目标 基础认知：精准区分本节核心概念，熟练掌握一元一次方程判定方法、等式变形规则，构建清晰的方程知识认知体系。 技能提升：熟练掌握基础、进阶解方程的各类运算方法，严格遵循规范步骤，独立完成各类标准一元一次方程的求解运算。 综合素养：养成规范解题、严谨运算的习惯，主动规避解方程高频易错点，具备独立排查运算错误的基本能力。 ✺题型归纳 题型1.判断各式是否是方程 题型2.列方程 题型3.判断是否是方程的解 题型4.已知方程的解，求参数 题型5.判断是否是一元一次方程 题型6.判断是否是一元一次方程解 题型7.等式的性质1 题型8.等式的性质2 题型9.解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 题型10.解一元一次方程（二）——去括号 题型11.解一元一次方程（三）——去分母 题型12.已知一元一次方程的解，求参数 题型13.一元一次方程解的关系 题型14.绝对值方程 题型15.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、方程与一元一次方程 方程：含有未知数的等式叫做方程。如3x-5=1. 一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程。 一元一次方程四要素（缺一不可） 只含一个未知数；未知数的次数为1；等号两边都是整式；是等式（含等号）。 知识点二、方程的解与解方程 方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。只含有一个未知数的方程的解，也叫做方程的根。 解方程：求方程的解的过程叫做解方程。 核心区别：方程的解是一个具体数值（结果）；解方程是完整运算过程，二者概念不可混淆。 知识点三、等式的基本性质 性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。 字母表示：若a=b，则a±c=b±c 性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。 字母表示：若a=b，则ac=bc；若a=b(c≠0)，则= 注意事项 ◆等式变形必须两边同时改变，不能只改变一边； ◆同加、同减、同乘、同除的数或式子必须完全相同； ◆利用性质2做除法时，除数绝对不能为0。 知识点四、合并同类项解一元一次方程 ◉合并同类项：即等号同侧的含有未知数的项和常数项分别合并成一项。 ◉系数化为1：即在方程的两边同时除以未知数的系数，系数化为1的依据是等式性质2。 合并同类项的目的：合并同类项的目的是把方程化为ax=b(a≠0)的形式，进一步求出一元一次方程的解 知识点五、移项解一元一次方程 1.移项的概念：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。移项必须变号。 2.移项的依据：移项的依据是等式的性质1。 标准操作：含未知数的项移到方程左边，常数项移到方程右边，统一整理。 移项的目的：通常把含有未知数的各项都移到等号的左边，而把不含未知数的各项都移到等号的右边。使方程更接近于x=a(常数)的形式。 知识点六、去括号解一元一次方程 1.去括号：解方程过程中，把方程中含有的括号去掉的过程为去括号。 2.解方程中的去括号法则：将括号外的因数连同前面的符号看作一个整体，运用分配律和有理数的乘法法则，与括号内的各项相乘。 ◉括号外的因数是正数时，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同。 ◉括号外的因数是负数时，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反。 3.去括号的目的：与移项、合并同类项、系数化为1等变形相结合，最终将一元一次方程转化为x=a(a为常数)的形式。 知识点七、去分母解一元一次方程 1.去分母的方法：一元一次方程的各项都乘所有分母的的最小公倍数，依据等式的性质2使方程中的分母变为1. 2.去分母的依据：去分母的依据是等式的性质2，即在方程的两边都乘所有分母的最小公倍数，使方程的系数化为整数。 3.去分母的注意事项： ◉各项都要乘所有分母的最小公倍数，不要漏乘没有分母的项。 ◉如果分子是一个多项式，去分母时要将分子作为一个整体加上括号。 ◉分母含有小数的应先化小数分母为整数分母，再去分母。 知识点八、解一元一次方程的一般步骤 去分母：在方程两边同乘各分母的最小公倍数； 去括号：遵循去括号法则，不漏乘、不变错号； 移项：把含有未知数的项移到方程的一边，其他项移到另一边。 合并同类项：把方程化为最简ax=b(a≠0)形式； 系数化为1：把方程两边同除以未知数的系数a，得到方程的解x=(a≠0)求出未知数的值。 ✺题型精讲 题型1.判断各式是否是方程 1．下列各式中，是方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是方程的含义，根据方程的定义“含有未知数的等式叫做方程”，逐一判断各选项是否满足“含未知数”且“是等式”这两个条件即可． 【详解】解：∵方程的定义是含有未知数的等式， 又∵A选项是代数式，不是等式，不符合方程定义， B选项是等式，但不含未知数，不符合方程定义， C选项是不等式，不是等式，不符合方程定义， D选项既含有未知数x，又是等式，符合方程定义， 故选：D 2．下列各式中，是方程的有__________．（填序号） ①；②；③；④． 【答案】②④ 【分析】本题主要考查了方程的判断， 根据方程的定义，含有未知数的等式称为方程，据此对各选项进行判断． 【详解】解：①是等式但不含未知数，不是方程； ②是等式且含未知数，是方程； ③不是等式，不是方程； ④是等式且含未知数，是方程， 所以正确的有②④． 故答案为：②④． 3．判断下列各式是不是方程，不是方程的说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)不是方程，见解析 (2)是方程 (3)不是方程，见解析 (4)不是方程，见解析 (5)是方程 (6)不是方程，见解析 【分析】（1）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （2）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （3）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （4）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （5）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （6）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得． 【详解】（1）解：不是方程，理由是：不含未知数． （2）解：是方程． （3）解：不是方程，理由是：不是等式． （4）解：不是方程，理由是：不是等式． （5）解：是方程． （6）解：不是方程，理由是：不含未知数． 【点睛】本题考查了方程，熟记方程的概念是解题关键． 题型2.列方程 1．“比的相反数大的数与的差是”用等式表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列方程，首先列出表示比的相反数大的数的代数式，再根据该数与的差为，列出等式即可． 【详解】解：的相反数是 ， 比的相反数大的数是 ， 该数与的差为． 故选：B． 2．若一个数的倍与的和等于，据此可列方程为：________． 【答案】 【分析】根据题目描述的数量关系，列出一元一次方程即可． 【详解】解：由题意可列方程为． 3．根据所设未知数列方程： (1)用一根长的铁丝围成一个长方形，使它的长是宽的2倍，长方形的宽是多少？（设长方形的宽是） (2)如图，有一块长、宽的长方形硬纸板，在4个角截去4个一样的小正方形，折成一个无盖长方体盒子，当小正方形的边长为多少时，所折长方体盒子的底面积为？（设截去的小正方形的边长为） (3)足球表面由黑色五边形和白色六边形共32个皮块围成，其中白色皮块比黑色皮块的2倍少4个．足球表面上有白色皮块和黑色皮块各多少个？（设黑色皮块有x个） 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． （1）根据题意表示出长方形的长，进而利用矩形周长公式求出即可； （2）长方体底面的长和宽分别是：和，根据长方形的面积公式即可列出方程； （3）根据“足球表面由黑色五边形和白色六边形共32个皮块围成”列方程解答即可． 【详解】（1）解：设这个长方形的宽为，则长为，则可列方程； （2）解：根据题意得； （3）解：设黑色皮块有个，则白色皮块有块，根据题意得． 题型3.判断是否是方程的解 1．解为的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解，将代入各选项验证左右两边是否相等即可得到结果． 【详解】解：将依次代入各选项： 代入选项A，左边右边，∴A不符合题意； 代入选项B，左边右边，∴B不符合题意； 代入选项C，左边，右边，，∴C不符合题意； 代入选项D，左边，右边，左边右边，∴D符合题意． 2．代数式的值随着的取值的变化而变化．下表是当取不同的值时对应的代数式的值： x 0 1 0 4 8 则关于的方程的解是___________． 【答案】 【分析】本题考查方程的解，根据方程的解是使方程成立的未知数的值，结合表格，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， 由表格可知：当时，，即：， 故的解是． 故答案为：． 3．检验是不是方程的解． 【答案】是 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解决本题的关键是知道方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 把分别代入方程左右两边，检验即可． 【详解】解：当时，左边： ， 右边： ， ∴左边右边， ∴是方程的解． 题型4.已知方程的解，求参数 1.已知是方程的解，则m的值是（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【详解】解：把代入方程得：， 解得：． 2．若关于x的方程的解是，则a的值是 _____． 【答案】3 【详解】把代入方程计算即可求出a的值． 【分析】解：把代入方程得：， 解得：． 3．方程与方程的解相同，求k的值． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程，同解方程即为两个方程解相同的方程． 求出第一个方程的解，代入第二个方程计算即可求出k的值． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型5.判断是否是一元一次方程 1．下列方程中，属于一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：方程中只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程，据此可知只有选项C符合题意． 2．已知等式是关于x一元一次方程，则_________． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1，一次项系数不为0的方程叫做一元一次方程，其一般形式为（a，b是常数且），据此列出关于m的关系式，即可求解得到m的值． 【详解】解：根据题意，由一元一次方程的定义得 且， 由可得或， 解得或， 结合即， 可得， 故答案为：1． 3．请用式子表示下列问题中的数量关系，并判断所列式子中，哪些是一元一次方程． (1)x与3的差是5． (2)代数式与的值相等． (3)两个正方形的边长分别为，，它们的面积差为． (4)小明参加学校的乒乓球比赛，胜了x场，负了场，胜的场数大于负的场数． 【答案】(1)，是一元一次方程 (2)，不是一元一次方程 (3)，不是一元一次方程 (4)，不是一元一次方程 【分析】本题考查了列方程，一元一次方程的定义． （1）根据题意列出方程，再根据一元一次方程的定义判断即可； （2）根据题意列出方程，再根据一元一次方程的定义判断即可； （3）根据题意列出方程，再根据一元一次方程的定义判断即可； （4）根据题意列出方程，再根据一元一次方程的定义判断即可． 【详解】（1）解：根据题意，x与3的差是5，可得．该式只含一个未知数x，且未知数的次数为1，是一元一次方程； （2）解：根据题意，代数式与的值相等，可得．该式含有两个未知数x和y，不是一元一次方程； （3）解：根据题意，两个正方形的面积差为，可得．该式含有两个未知数x和y，且次数为2，不是一元一次方程； （4）解：根据题意，胜的场数大于负的场数，可得．该式不是等式，不是方程，因此不是一元一次方程． 题型6.判断是否是一元一次方程解 1．是下列哪个方程的解（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入对应的方程中，计算出对应方程左边的值，看对应方程的左右两边是否相等即可得到答案． 【详解】解：A、当时，方程的左边，此时原方程的左右两边不相等，故不是方程的解，不符合题意； B、当时，方程的左边，此时原方程的左右两边相等，故是方程的解，符合题意； C、当时，方程的左边，此时原方程的左右两边不相等，故不是方程的解，不符合题意； D、当时，方程的左边，此时原方程的左右两边不相等，故不是方程的解，不符合题意； 故选：B． 2．整式的值随取值的不同而不同，下表是当取不同值时所对应的整式的值，则关于的一元一次方程的解为_____． 0 1 2 0 2 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程的解，将一元一次方程化为，根据图表即可得解． 【详解】解：∵， ， 由表可知：， 故答案为：． 3．是方程的解吗？ 【答案】不是方程的解；是方程的解 【分析】本题主要考查方程解的定义，熟练掌握解的定义是解答本题的关键，能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 分别将代入方程，看是否符合方程解的定义即可解答． 【详解】解：当时，方程的左边，右边，方程左、右两边的值不相等，所以不是方程的解； 当时，方程的左边，右边，方程左、右两边的值相等，所以是方程的解． 题型7.等式的性质1 1．设“●”“”“”表示三种不同的物体，先用天平称了两次，情况如图所示：则下列图示不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由天平的平衡条件可知，，， 则，A天平平衡； ，B天平平衡； ，C天平平衡，图中所给天平不平衡，故不正确，符合题意； ∵，，∴，D天平平衡； 2．某年12月份的月历如图所示．现用一长方形在月历中任意框出4个数，，，，则，，，之间满足的数量关系是___________． 【答案】 【分析】此题考查了等式的性质，根据日历中相邻横竖行的数量关系，用代数式表示出它们之间的关系． 【详解】解：观察日历上的数字可知：，， ∴，， ∴． 故答案为：． 3．下列方程的变形是否正确?请说明理由． (1)由，得． (2)由，得． 【答案】(1)错误；理由见解析 (2)正确；理由见解析 【分析】本题考查了等式的性质，等式的两边不是都加或都减同一个数，左右大小关系发生了变化，等式的两边不是都乘或都除同一个数（不为0），左右大小关系发生了变化． （1）根据左边加2，右边减2，可得变形不正确； （2）根据右边减3，左边减3，可得变形正确． 【详解】（1）解：由，两边都加2得，不是，故原变形错误； ∵方程左边加2，右边减2， ∴变形不正确； （2）解：由，两边都减去3得，故原变形正确； ∵方程右边减3，左边减3，得，即， ∴变形正确． 题型8.等式的性质2 1．下列等式变形中，不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】等式的性质是：等式的两边同时加上或减去同一个数或式，所得结果仍是等式；等式的两边同时乘或除以同一个数（除数不能为 0 ），所得结果仍是等式． 【详解】解：A、若，则，故本选项变形正确，不符合题意； B、若，则，故本选项变形正确，不符合题意； C、当时，依然成立，故本选项变形错误，符合题意； D、若，则，故本选项变形正确，不符合题意． 2．解方程时，去分母得，这一步变形的依据是________． 【答案】等式的基本性质2 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握等式的基本性质． 去分母的依据是等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为零的数），等式仍然成立． 【详解】解：解方程时，分母2和3的最小公倍数是6， 根据等式的基本性质2：等式两边同时乘6， 得到， 这一步变形的依据是等式的基本性质2， 故答案为：等式的基本性质2． 3．利用等式的性质解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用等式的性质解一元一次方程，熟练掌握等式的性质是解题的关键．等式的基本性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），等式仍然成立；等式的基本性质2：等式两边同时乘同一个数（或式子），等式仍然成立．同时除以同一个不为0的数（或式子），等式仍然成立． （1）根据等式的性质解一元一次方程即可； （2）根据等式的性质解一元一次方程即可； 【详解】（1）解： 方程两边减3，得 ， 化简，得， 方程两边除以，得； （2）解： 方程两边加2，得， 化简，得， 方程两边乘，得． 题型9.解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 1．现规定一种运算．若，则（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】正确理解新定义运算规则，将其转化为一元一次方程求解． 【详解】解：由题意得， 解得：． 2．对于任意实数，，定义一种运算：，例如．请根据上述定义解决问题：若，则的值为________． 【答案】 【分析】根据新定义的运算规则列出关于的一元一次方程，解方程即可得到结果． 【详解】解：由，可得：， 整理得：， 移项合并同类项得：， 系数化为得：． 3．求未知数x的值 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型10.解一元一次方程（二）——去括号 1．对于有理数a，b，定义一种新运算“※”，即，若式子，则x的值为（  ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【详解】解：由新运算可得，， 去括号得， 移项合并同类项得， 解得． 2．定义一种新运算“”的含义为：．例如：，若，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查新定义运算及解一元一次方程，解题关键是弄清题中的新定义．已知等式利用题中新定义化简，整理即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， 整理得：， 解得：， 故答案为：． 3．解方程：． 【答案】 【详解】解：去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 题型11.解一元一次方程（三）——去分母 1．解方程时，去分母正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】去分母时需给方程每一项都乘以各分母的最小公倍数，注意不要漏乘常数项，本题分母为2和4，最小公倍数是4，计算后即可得到正确结果． 【详解】解：原方程为 ， ∵分母2和4的最小公倍数为4， ∴给方程两边每一项同时乘以4，得： ， 化简得：． 2．由，用含x的代数式表示______． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的步骤， 把看成已知数，根据解一元一次方程的步骤求解即可． 【详解】解：由， 移项，， 两边同时乘以得，． 故答案为：． 3．本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小萌同学的解题过程： 解：去分母(方程两边乘12)，得① 去括号，得② 移项，得③ 合并同类项，得④ 系数化为1，得⑤ (1)以上求解步骤中，第一步的依据是 ． (2)上述小萌的解题过程从第 步开始出现错误． (3)请帮小萌改正错误，写出完整的解题过程． 【答案】(1)等式的性质2 (2)一 (3)完整的解题过程． 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得． 【分析】（1）根据等式的性质回答即可； （2）根据解一元一次方程的一般步骤逐步判断即可； （3）根据解一元一次方程的一般步骤求解即可． 【详解】（1）解：第一步方程左右两边乘12，依据是等式的性质2； （2）解：上述小萌的解题过程从第一步开始出现错误，错误原因是漏乘12； （3）略 题型12.已知一元一次方程的解，求参数 1．若关于x的一元一次方程的解为，则a的值为（   ） A．3 B．0 C． D．8 【答案】D 【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解为， ∴，即， 解得． 2．关于x的方程的解是方程的解的3倍，则a的值为______． 【答案】3 【分析】先求出方程的解，再根据题意得到方程的解，代入求解的值． 【详解】解：解方程， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得， 因为方程的解是方程的解的倍， 所以方程的解为， 将代入方程， 得， 即， 解得． 3．已知是关于的方程的解． (1)求的值； (2)求关于的方程的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，已知一元一次方程的解求参数，熟练掌握解一元一次方程的方法，是解题的关键． （1）把代入关于的方程，解关于m的方程即可； （2）将代入关于的方程，解关于y的方程即可． 【详解】（1）解：将代入方程，可得： ， 解得：． （2）解：由（1），于是， 解得． 题型13.一元一次方程解的关系 1．若关于x的方程与的解相同，则m的值为（  ） A．12 B．24 C． D． 【答案】A 【分析】先解出已知一元一次方程的解，再利用同解的性质，将解代入含的方程，即可求出的值． 【详解】解：解方程，得． ∵两个方程的解相同， ∴把代入方程，得， 解得：． 2．已知关于的方程的解与方程的解相同，则______． 【答案】 【分析】先解第一个一元一次方程求出的值，根据两个方程解相同，将代入第二个方程. 即可求出的值． 【详解】解：， ， ， ， ∵的解与方程的解相同， ∴将代入方程中， ， ， ， ， ． 3．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们称这两个方程为“互逆方程”． 例如：方程和为“互逆方程”． (1)下列方程中与方程为“互逆方程”的是__________填写序号）： ①；②；③ (2)若关于的方程和为“互逆方程”，求的值． 【答案】(1)①，③ (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，根据方程的解求参数，掌握新定义，是解题的关键： （1）分别求出每个方程的解，进行判断即可； （2）求出两个方程的解，根据互逆方程的定义，列出关于的方程，进行求解即可． 【详解】（1）解： ，解得：； ①，解得：； ②，解得：； ③，解得： ∴与方程为“互逆方程”的是①③； （2）解方程，得． 解方程，得． ∵两个方程为“互逆方程”， ∴． 解方程，得． 题型14.绝对值方程 1．若，则x的值是（    ）． A．6 B． C．6或 D．不确定 【答案】C 【分析】先移项可得，再根据绝对值的意义即可求出x的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴或． 2．若，则______________． 【答案】或 【分析】根据绝对值的定义，绝对值为正数的数有两个，且互为相反数，据此列出两个一元一次方程，分别求解即可得到的值． 【详解】解： ∴或 解得： 解得： ∴或． 3．解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了解含绝对值的一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键． （1）根据题意，分类讨论当时，当时，化简原方程求解即可； （2）根据题意，分类讨论当时，当时，当时，化简原方程求解即可． 【详解】（1）解：， 当时，， 解得， 当时，， 解得， 综上，或； （2）解：， 当时，， 解得（不合题意，舍去）， 当时，， 解得， 当时，， 解得， 综上，或． ✺巩固测试 一、单选题 1．下列式子是方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了方程的定义，含有未知数的等式叫做方程． 根据方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．，不是等式，故不是方程，不符合题意； B．，是等式但不含未知数，故不是方程，不符合题意； C．，不是等式，故不是方程，不符合题意； D．是等式且含有未知数x，故是方程，符合题意； 故选：D． 2．若是方程的解，则a的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵是方程的解， ∴将代入方程， 得， 即， 解得． 3．如果是关于x的方程的解，求的值为（   ） A．1 B． C．21 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次方程的解及代数式的值，熟练掌握一元一次方程的解及代数式的值是解题的关键；将代入方程得到和的关系式，然后整体代入求值． 【详解】解：∵是方程的解， ， ， 故选：C． 4．已知等式，则下列等式中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、∵，∴，∴，A是正确的，不符合题意； B、当且仅当时成立，当时，，该等式不成立，故该选项不一定成立，符合题意； C、∵，∴，∴，C是正确的，不符合题意； D、∵，∴，D是正确的，不符合题意． 5．我们把不超过有理数y的最大整数称为y的整数部分，记作，又把称为y的小数部分，记作，则有．如：，下列说法中正确的有（    ）个． ①； ②； ③若，且，则或； ④方程的解为． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题考查新定义下的整数部分和小数部分的概念，理解是有理数的最大整数和小数的概念是解题的关键． 根据定义逐个分析判断各说法的正确性即可． 【详解】解：① ∵ 不超过的最大整数是3，∴，该项正确； ② ∵ 不超过的最大整数是，∴，该项错误； ③ ∵且， 当时， ，∴； 当时， ，∴，该项错误； ④ 设，则， 方程化为， ∴， 即方程的解为所有形如为整数，解不唯一（如等），∴ 该项错误； 综上，只有①正确． 故选D． 二、填空题 6．列等式表示“的倍与的差等于的”为______． 【答案】 【分析】本题考查根据对数量关系的描述列式，熟练掌握基本运算的各种表述方法是解题关键．根据已知对数量关系的描述列式即可求解． 【详解】解：∵“的倍”表示为，“的”表示为， ∴“的倍与的差等于的”表示为． 故答案为：． 7．小海在计算时，误将“”看成了“”，所得结果是，那么的正确结果应是_____． 【答案】 【详解】解：小海在计算时，误将“”看成了“”，所得结果是， ， ， ． 8．已知关于的一元一次方程的解是非负整数，则符合条件的所有整数的和为：___________． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解的应用，核心是先求解方程得到含参数的解的表达式，再根据解为非负整数且是整数的条件，确定的所有可能取值，最后计算这些整数的和． 【详解】解：解关于的一元一次方程，得， ∵方程的解是非负整数，且为整数， ∴是非负整数， 又分子为4， ∴， ∴为正整数， ∴是4的正约数，4的正约数为1、2、4， 当时，，此时，符合条件； 当时，，此时，符合条件； 当时，，此时，符合条件； 则符合条件的整数的和为； 故答案为：． 9．如果关于x的方程是一元一次方程，那么这个方程的解为___________ 【答案】 【分析】根据一元一次方程的定义求出m的值，进而求解原方程即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴， 解得：， ∴为， 移项得， 系数化为1得． 10．关于的一元一次方程的解是，则关于的一元一次方程的解是___________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解的关系． 将化为，可知，求解即可． 【详解】解：∵可化为， ∴方程与方程的结构相同， 即， 解得． 故答案为：． 三、解答题 11．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个方程解的差为8，其中一个解为n，求n的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能根据等式的性质求出方程的解是解此题的关键． （1）先根据等式的性质求出两个方程的解，再根据两方程是“美好方程”得出关于m的方程，再求出m即可； （2）设另一个方程的解为，列出方程，求出n值即可． 【详解】（1）解：由条件可知， ， ， 关于x的方程与方程是“美好方程”， ， 解得； （2）解：由条件可知另一个方程的解为：， 又两个方程解的差为8， 得： 或， 或． 12．求未知数x的值． (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： ． 13．计算与解方程： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）直接运用有理数的加减运算法则计算即可； （2）直接运用含乘方的有理数混合运算法则计算即可； （3）按照“移项、合并同类项、系数化为1”的步骤求解即可； （4）按照“去括号、移项、合并同类项、系数化为1”的步骤求解即可； （5）按照“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”的步骤求解即可； （6）先化简方程，然后按照“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”的步骤求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解：， ， ， ． （4）解：， ，     ， ， ． （5）解：， ，     ， ， ， ． （6）解：， ，     ， ， ， ． 14．用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，（为常数），已知． (1)求的值： (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算和解一元一次方程，解题的关键是准确利用新运算的定义列式和列方程准确计算． （1）根据新运算定义列式计算求解； （2）根据新运算定义先求得，再将值代入到方程中，求解即可． 【详解】（1）解：， ，即， ． （2）解：由（1）可知，， ， 将代入得： ，即， ． 15．我们规定：如果两个一元一次方程的解的积为，我们就称这两个方程为“互反方程”，例如：方程与方程为“互反方程”． (1)判断方程与是否为“互反方程”？并说明理由； (2)若关于x的两个方程与为“互反方程”，求a的值； (3)已知m为整数，若关于x的方程的解是正整数，且其与方程互为“互反方程”，直接写出m的值． 【答案】(1) 解：方程的解为， 方程的解为， ， 方程与为“互反方程”； (2) (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，理解新定义，是解题的关键． （1）先求出两个方程的解，再根据“互反方程”定义解答即可； （2）先分别求出两个方程的解，再根据“互反方程”定义得出两个根的乘积等于列出方程，然后求出解即可； （3）先求出第一个方程的解，再根据整数解讨论m的值，然后根据结果得出另一个方程的解，进而根据“互反方程”定义判断即可． 【详解】（1）略 （2）解：方程的解为， 方程的解为， 这两方程为“互反方程”， ， 解得：； （3）解：方程的解为， 为整数，且为正整数， ，1， 当时，原方程的解为，方程的解为，满足题意； 当时，原方程的解为，方程的解为，不满足题意， 综上，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 方程、解一元一次方程 暑假预习讲义 ✺知识框架 1.理论基础：梳理方程核心概念，明确一元一次方程判定标准，区分易混淆定义；掌握等式两大基本性质，确立解方程的理论依据。 2.基础解方程：学习简易方程化简方法，掌握合并同类项、移项、系数化为1三大基础操作，解决简单一元一次方程运算。 3.进阶解方程：针对含括号、分数系数的复杂方程，掌握去括号、去分母核心解法，整合完整解题步骤，形成标准化解题流程。 ✺学习目标 基础认知：精准区分本节核心概念，熟练掌握一元一次方程判定方法、等式变形规则，构建清晰的方程知识认知体系。 技能提升：熟练掌握基础、进阶解方程的各类运算方法，严格遵循规范步骤，独立完成各类标准一元一次方程的求解运算。 综合素养：养成规范解题、严谨运算的习惯，主动规避解方程高频易错点，具备独立排查运算错误的基本能力。 ✺题型归纳 题型1.判断各式是否是方程 题型2.列方程 题型3.判断是否是方程的解 题型4.已知方程的解，求参数 题型5.判断是否是一元一次方程 题型6.判断是否是一元一次方程解 题型7.等式的性质1 题型8.等式的性质2 题型9.解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 题型10.解一元一次方程（二）——去括号 题型11.解一元一次方程（三）——去分母 题型12.已知一元一次方程的解，求参数 题型13.一元一次方程解的关系 题型14.绝对值方程 题型15.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、方程与一元一次方程 方程：含有未知数的等式叫做方程。如3x-5=1. 一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程。 一元一次方程四要素（缺一不可） 只含一个未知数；未知数的次数为1；等号两边都是整式；是等式（含等号）。 知识点二、方程的解与解方程 方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。只含有一个未知数的方程的解，也叫做方程的根。 解方程：求方程的解的过程叫做解方程。 核心区别：方程的解是一个具体数值（结果）；解方程是完整运算过程，二者概念不可混淆。 知识点三、等式的基本性质 性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。 字母表示：若a=b，则a±c=b±c 性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。 字母表示：若a=b，则ac=bc；若a=b(c≠0)，则= 注意事项 ◆等式变形必须两边同时改变，不能只改变一边； ◆同加、同减、同乘、同除的数或式子必须完全相同； ◆利用性质2做除法时，除数绝对不能为0。 知识点四、合并同类项解一元一次方程 ◉合并同类项：即等号同侧的含有未知数的项和常数项分别合并成一项。 ◉系数化为1：即在方程的两边同时除以未知数的系数，系数化为1的依据是等式性质2。 合并同类项的目的：合并同类项的目的是把方程化为ax=b(a≠0)的形式，进一步求出一元一次方程的解 知识点五、移项解一元一次方程 1.移项的概念：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。移项必须变号。 2.移项依据：移项的依据是等式的性质1。 移项的目的：通常把含有未知数的各项都移到等号的左边，而把不含未知数的各项都移到等号的右边。使方程更接近于x=a(常数)的形式。 知识点六、去括号解一元一次方程 1.去括号：解方程过程中，把方程中含有的括号去掉的过程为去括号。 2.解方程中的去括号法则：将括号外的因数连同前面的符号看作一个整体，运用分配律和有理数的乘法法则，与括号内的各项相乘。 ◉括号外的因数是正数时，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同。 ◉括号外的因数是负数时，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反。 3.去括号的目的：与移项、合并同类项、系数化为1等变形相结合，最终将一元一次方程转化为x=a(a为常数)的形式。 知识点七、去分母解一元一次方程 1.去分母的方法：一元一次方程的各项都乘所有分母的的最小公倍数，依据等式的性质2使方程中的分母变为1. 2.去分母的依据：去分母的依据是等式的性质2，即在方程的两边都乘所有分母的最小公倍数，使方程的系数化为整数。 3.去分母的注意事项： ◉各项都要乘所有分母的最小公倍数，不要漏乘没有分母的项。 ◉如果分子是一个多项式，去分母时要将分子作为一个整体加上括号。 ◉分母含有小数的应先化小数分母为整数分母，再去分母。 知识点八、解一元一次方程的一般步骤 去分母：在方程两边同乘各分母的最小公倍数； 去括号：遵循去括号法则，不漏乘、不变错号； 移项：把含有未知数的项移到方程的一边，其他项移到另一边。 合并同类项：把方程化为最简ax=b(a≠0)形式； 系数化为1：把方程两边同除以未知数的系数a，得到方程的解x=(a≠0)求出未知数的值。 ✺题型◆精讲 题型1.判断各式是否是方程 1．下列各式中，是方程的是（　　） A． B． C． D． 2．下列各式中，是方程的有__________．（填序号） ①；②；③；④． 3．判断下列各式是不是方程，不是方程的说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 题型2.列方程 1．“比的相反数大的数与的差是”用等式表示为（   ） A． B． C． D． 2．若一个数的倍与的和等于，据此可列方程为：________． 3．根据所设未知数列方程： (1)用一根长的铁丝围成一个长方形，使它的长是宽的2倍，长方形的宽是多少？（设长方形的宽是） (2)如图，有一块长、宽的长方形硬纸板，在4个角截去4个一样的小正方形，折成一个无盖长方体盒子，当小正方形的边长为多少时，所折长方体盒子的底面积为？（设截去的小正方形的边长为） (3)足球表面由黑色五边形和白色六边形共32个皮块围成，其中白色皮块比黑色皮块的2倍少4个．足球表面上有白色皮块和黑色皮块各多少个？（设黑色皮块有x个） 题型3.判断是否是方程的解 1．解为的方程是（     ） A． B． C． D． 2．代数式的值随着的取值的变化而变化．下表是当取不同的值时对应的代数式的值： x 0 1 0 4 8 则关于的方程的解是___________． 3．检验是不是方程的解． 题型4.已知方程的解，求参数 1.已知是方程的解，则m的值是（   ） A． B． C．1 D．3 2．若关于x的方程的解是，则a的值是 _____． 3．方程与方程的解相同，求k的值． 题型5.判断是否是一元一次方程 1．下列方程中，属于一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．已知等式是关于x一元一次方程，则_________． 3．请用式子表示下列问题中的数量关系，并判断所列式子中，哪些是一元一次方程． (1)x与3的差是5． (2)代数式与的值相等． (3)两个正方形的边长分别为，，它们的面积差为． (4)小明参加学校的乒乓球比赛，胜了x场，负了场，胜的场数大于负的场数． 题型6.判断是否是一元一次方程解 1．是下列哪个方程的解（   ） A． B． C． D． 2．整式的值随取值的不同而不同，下表是当取不同值时所对应的整式的值，则关于的一元一次方程的解为_____． 0 1 2 0 2 3．是方程的解吗？ 题型7.等式的性质1 1．设“●”“”“”表示三种不同的物体，先用天平称了两次，情况如图所示：则下列图示不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．某年12月份的月历如图所示．现用一长方形在月历中任意框出4个数，，，，则，，，之间满足的数量关系是___________． 3．下列方程的变形是否正确?请说明理由． (1)由，得． (2)由，得． 题型8.等式的性质2 1．下列等式变形中，不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．解方程时，去分母得，这一步变形的依据是________． 3．利用等式的性质解下列方程： (1)； (2)． 题型9.解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 1．现规定一种运算．若，则（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．对于任意实数，，定义一种运算：，例如．请根据上述定义解决问题：若，则的值为________． 3．求未知数x的值 (1) (2) (3) 题型10.解一元一次方程（二）——去括号 1．对于有理数a，b，定义一种新运算“※”，即，若式子，则x的值为（  ） A．1 B．0 C． D． 2．定义一种新运算“”的含义为：．例如：，若，则的值为__________． 3．解方程：． 题型11.解一元一次方程（三）——去分母 1．解方程时，去分母正确的是（     ） A． B． C． D． 2．由，用含x的代数式表示______． 3．本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小萌同学的解题过程： 解：去分母(方程两边乘12)，得① 去括号，得② 移项，得③ 合并同类项，得④ 系数化为1，得⑤ (1)以上求解步骤中，第一步的依据是 ． (2)上述小萌的解题过程从第 步开始出现错误． (3)请帮小萌改正错误，写出完整的解题过程． 题型12.已知一元一次方程的解，求参数 1．若关于x的一元一次方程的解为，则a的值为（   ） A．3 B．0 C． D．8 2．关于x的方程的解是方程的解的3倍，则a的值为______． 3．已知是关于的方程的解． (1)求的值； (2)求关于的方程的解． 题型13.一元一次方程解的关系 1．若关于x的方程与的解相同，则m的值为（  ） A．12 B．24 C． D． 2．已知关于的方程的解与方程的解相同，则______． 3．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们称这两个方程为“互逆方程”． 例如：方程和为“互逆方程”． (1)下列方程中与方程为“互逆方程”的是__________填写序号）： ①；②；③ (2)若关于的方程和为“互逆方程”，求的值． 题型14.绝对值方程 1．若，则x的值是（    ）． A．6 B． C．6或 D．不确定 2．若，则______________． 3．解方程 (1)； (2)． ✺巩固测试 一、单选题 1．下列式子是方程的是（   ） A． B． C． D． 2．若是方程的解，则a的值为（     ） A． B． C． D． 3．如果是关于x的方程的解，求的值为（   ） A．1 B． C．21 D．5 4．已知等式，则下列等式中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 5．我们把不超过有理数y的最大整数称为y的整数部分，记作，又把称为y的小数部分，记作，则有．如：，下列说法中正确的有（    ）个． ①； ②； ③若，且，则或； ④方程的解为． A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题 6．列等式表示“的倍与的差等于的”为______． 7．小海在计算时，误将“”看成了“”，所得结果是，那么的正确结果应是_____． 8．已知关于的一元一次方程的解是非负整数，则符合条件的所有整数的和为：___________． 9．如果关于x的方程是一元一次方程，那么这个方程的解为___________ 10．关于的一元一次方程的解是，则关于的一元一次方程的解是___________． 三、解答题 11．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个方程解的差为8，其中一个解为n，求n的值． 12．求未知数x的值． (1) (2) (3) 13．计算与解方程： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 14．用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，（为常数），已知． (1)求的值： (2)若，求的值． 15．我们规定：如果两个一元一次方程的解的积为，我们就称这两个方程为“互反方程”，例如：方程与方程为“互反方程”． (1)判断方程与是否为“互反方程”？并说明理由； (2)若关于x的两个方程与为“互反方程”，求a的值； (3)已知m为整数，若关于x的方程的解是正整数，且其与方程互为“互反方程”，直接写出m的值． 学科网（北京）股份有限公司 $