专题10一元一次方程概念与解法暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2025-2026学年人教版七年级数学上册

专题10一元一次方程概念与解法暑假预习讲义 1.概念识记：理解方程、一元一次方程定义，抓住一元一次方程三大特征：只含一个未知数、未知数次数为1、整式方程；能辨别各类式子是否为一元一次方程。 2. 基础认知：分清方程的解、解方程两个不同概念，会将给定数值代入方程，检验该数是否为方程的解。 3. 掌握等式性质：熟记两条等式基本性质，利用等式性质对等式做恒等变形，作为解方程的理论依据。 4. 熟练解方程：掌握解一元一次方程完整步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，规范书写解题格式。 5. 移项核心要点：牢记移项必变号，不移项的项保持符号不变，避免移项常见符号错误。 6. 列式建模：分析实际问题里的等量关系，设未知数并列出一元一次方程，初步体会方程建模思想。 7. 易错规避：去分母时常数项漏乘最小公倍数、去括号漏变符号、移项忘记变号、混淆方程的解与解方程。 8. 能力铺垫：完成算术思维向方程思维转变，为后续一元一次方程应用题、二元一次方程组内容打好基础。 预习必备 知识梳理 1.等式相关概念 2.等式.方程.方程的解、解方程区分 3.方程的定义与判定 4.解一元一次方程的步骤 5.实际问题列方程四步流程 6.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.判断各式是否是方程 2.列方程 3.判断是否是方程的解 4.由方程的解求参数 5.一元一次方程的判定 6.一元一次方程解的判定 7.等式性质1 8.等式性质2 9.合并同类项及移项 10.去括号 11.去分母 12.由一元一次方程的解,求参数 13.一元一次方程解的关系 14.绝对值方程 强化题型 解答题5题 知识点01:等式相关知识 1. 等式定义 用等号 “=” 表示相等关系的式子叫做等式。 举例：3+2=5、2x-1=7、a+b=b+a 均为等式。 2. 等式两条基本性质（解方程核心依据） 性质 文字内容 字母表达 关键注意事项 性质 1 等式两边同时加（或减）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式 若a=b，则ac=bc 两边必须同时加减，不能只改一侧 性质 2 等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为 0 的数），所得结果仍是等式 若a=b，则ac=bc；若c≠0，则= 除数不能为 0；同乘负数时符号同步变化 3. 等式变形规范例题 已知x-3=5，两边同时加 3，得x=8； 已知2x=6，两边同时除以 2，得x=3； 已知x=4，两边同乘 3，得x=12。 4.等式性质易错提醒： （1）等式两边运算必须完全相同，不能一边加、一边乘； （2）除法时分母不能为 0； （3）不能只对等式一侧变形。 知识02：等式、方程、方程的解、解方程区分 1.等式：用等号 “=” 连接，表示左右相等关系的式子。 举例：3+6=9、2x-4=6 2.方程：含有未知数的等式，两个条件缺一：①有等号；②含字母未知数。 式子 是否方程 判断理由 7+5=12 不是 无未知数，只是等式 4x-7 不是 无等号，属于代数式 3y=18 是 同时含未知数、等号 x-1>4 不是 用不等号，是不等式 3.方程的解：使方程左右两边相等的未知数数值。 4.解方程：求方程解的全过程。 辨析检验示范：判断x=4是不是3x-2=10的解 左边=3×4-2=10，右边=10，左 = 右，因此x=4是方程的解。 知识点03:一元一次方程的定义与判定 同时满足 3 个条件的整式方程叫一元一次方程： ①一元：只含有1 个未知数； ②一次：未知数最高次数为1； ③整式：等号两边都是整式，分母不含未知数。 标准通用形式：ax+b=0(a≠0，a、b为常数) 方程 是否一元一次方程 不符合的条件 6x-12=0 是 全部满足三条要求 x2-25=0 否 未知数次数是 2 x+3y=15 否 存在两个未知数 +3=8 否 分母含未知数，不是整式 10=2x 是 标准形式变形 知识点04:解一元一次方程完整五大步骤（必考） 一般地，解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、把未知数的系数化为 1。通过这些步骤可以将一个一元一次方程转化为x=a（a为常数）的形式。 变形名称 具体做法 注意事项 去分母 在方程两边同时乘各分母的最小公倍数把分母去掉 （1）不要漏乘不含分母的项；（2）分子是一个整体，去分母时要加上括号 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号（也可反向顺序） （1）不要漏乘括号里面的项；（2）不要弄错符号 移项 把含有未知数的项移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边 （1） 移项要变号 （2）不要丢项 合并同类项 把方程化为ax=b(a≠0)的形式 未知数及其指数不变 把未知数的系数化为 1 在方程的两边都除以未知数的系数a(a≠0)，得到方程的解x= 不要把分子、分母弄颠倒 知识点 05 不同类型一元一次方程解题流程对比 方程类型 核心解题顺序 典型例题 无括号、无分母，仅含同类项 移项合并同类项系数化为 1 7x-10=3x+2 含括号、不含分母 去括号移项合并同类项系数化为 1 5(4-x)=3x+8 含有分数分母 去分母去括号移项合并同类项系数化为 1 =+3 知识点06：根据实际问题列方程四步流程 审：通读题目，找出等量关系； 设：设未知数（直接设 / 间接设，必须带单位）； 表：用含x的代数式表示题目所有相关量； 列：依据等量关系列出等式方程。 基础例题：一个数的 4 倍减 9 等于 11，求这个数。 解：设这个数为x，列方程：4x-9=11 知识点07:本节高频易错点汇总 · 判断一元一次方程时，忽略分母含未知数、多未知数、次数不为 1 三种错误形式； · 区分不清 “方程的解”（数值）和 “解方程”（运算过程）； · 使用等式性质时，两边运算不同步； · 移项不变号，不移项随意改符号； · 去分母漏乘常数项，多项式分子不加括号； · 去括号漏乘、负括号只变第一项符号； · 系数化为 1 时分子分母颠倒； · 列实际问题方程时，等量关系颠倒。 题型1.判断各式是否是方程 【典例】下面式子中，是方程的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．含有未知数但是不是等式，不是方程，不符合题意； B．是等式但是不含有未知数，不是方程，不符合题意； C．是等式并且含有未知数，是方程，符合题意； D．含有未知数但不是等式，不是方程，不符合题意． 【跟踪专练1】在①，②，③，④，⑤，⑥中，等式有__________，方程有__________．（填序号） 【答案】 ①②③⑥ ①②⑥ 【分析】根据等式、方程的定义逐个判断即可解答． 【详解】解：①，有等号、有未知数，是等式也是方程； ②：有等号、有未知数，是等式也是方程； ③：有等号、无未知数，只是等式； ④：是小于号，不是等式，也不是方程； ⑤：是大于号，不是等式，也不是方程； ⑥：有等号、有未知数，是等式也是方程． 所以等式有①②③⑥，方程有①②⑥． 【跟踪专练2】下面（     ）符合等式与方程之间的关系． A．B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等式和方程的定义分别分析即可 【详解】解：A.表示有的方程不是等式，即方程不一定是等式，不符合等式与方程的关系，表述错误； B.表示方程是等式中的一部分，即方程一定是等式，符合方程与等式的关系，表述正确； C.表示等式是方程的一部分，即方程不一定是等式，不符合方程的定义，表述错误； D.表示等式和方程没有关系，即方程不是等式，不符合方程的定义，表述错误． 题型2.列方程 【典例】由“的2倍与3的和等于5”可列方程为_____． 【答案】 【分析】根据题意将文字描述转化为代数式，结合等量关系列出方程即可 【详解】解：x的2倍可表示为，x的2倍与3的和可表示为， 根据和等于5，列方程为 【跟踪专练1】《算法统宗》是中国古代数学名著，“盈亏”卷中有题译文如下：现有一群人共同买一个物品，每人出9钱，还余5钱；每人出8钱，还差3钱，问人数、物价各是多少？设人数为人，根据题意可列出方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两种出钱方式下，物价相等，据此列出方程即可． 【详解】解：由题意可列出方程为． 【跟踪专练2】钢琴上的黑、白两种琴键共有88个，其中白色琴键的数量比黑色琴键的2倍少20个．如果用表示白色琴键，表示黑色琴键，请根据不同的等量关系写出两个方程． ________________；____________________． 【答案】 【分析】根据等量关系“钢琴上的黑、白两种琴键共有88个”和“白色琴键的数量比黑色琴键的2倍少20个”列出方程即可． 【详解】解：用表示白色琴键，表示黑色琴键， ∵钢琴上的黑、白两种琴键共有88个， ∴； ∵白色琴键的数量比黑色琴键的2倍少20个， ∴． 【跟踪专练3】某数的3倍与5的差比这个数大9，设这个数为x，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设这个数为x， ∴， 故选：A ． 题型3.判断是否是方程的解 【典例】写出一个解为的一元一次方程：______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，熟练掌握一元一次方程的解使方程左右两边相等的性质是解题的关键．根据一元一次方程的解的定义，构造一个当时等式成立的一元一次方程即可． 【详解】解：设一元一次方程为（），将代入，得， ∴， 取，则， 得到方程， 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练1】是（     ）方程的解． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把分别代入下列方程，检验是否成立即可． 【详解】解：A.把代入方程，方程左边方程右边，所以是的解； B.把代入方程，方程左边方程右边，所以不是的解； C.把代入方程，方程左边方程右边，所以不是的解； D.把代入方程，方程左边方程右边，所以不是的解． 【跟踪专练2】解为的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解，将代入各选项验证左右两边是否相等即可得到结果． 【详解】解：将依次代入各选项： 代入选项A，左边右边，∴A不符合题意； 代入选项B，左边右边，∴B不符合题意； 代入选项C，左边，右边，，∴C不符合题意； 代入选项D，左边，右边，左边右边，∴D符合题意． 题型4.由方程的解求参数 【典例】已知是方程的解，那么______． 【答案】 【详解】解：把代入方程，得， 解得． 【跟踪专练1】关于x的方程的一个解是，则（   ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】D 【分析】将代入方程，得到，从而，再代入所求表达式计算即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴代入得， 即， ∴ ． 【跟踪专练2】整式的值随着的取值的变化而变化，下表是当取不同的值时对应的整式的值，则关于的方程的解是（     ） 0 1 2 3 0 4 8 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等式的性质将原方程变形为等于常数的形式，再对照表格中数据即可得到方程的解． 【详解】解：∵原方程为， 移项得， 两边同乘得， 由表格可知，当时，， ∴方程的解为． 【跟踪专练3】若关于的方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值为__________． 【技巧归纳】 方程有整数解，需a整除b．若含参数，将解表示为，再根据整除性求参数值．注意参数需使．常利用因数分解，列出a的因数．如有整数解，则为6的因数，可求m．检验解的正负． 【答案】，0和1 【分析】本题主要考查一元一次方程的解，熟练掌握运算法则是解题的关键．将原方程化为关于x的一元一次方程，然后根据，即可得到答案． 【详解】解：∵， ， ， ， ∴4要为的倍数， 或0或1． 故答案为：，0和1． 题型5.一元一次方程的判定 【典例】已知关于的方程是一元一次方程，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据一元一次方程的定义，未知数的最高次数为，据此列出关于的方程即可求解. 【详解】解：是关于的一元一次方程， 未知数的次数为，即， 解得. 【跟踪专练1】下列方程中属于一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元一次方程的定义判断即可，一元一次方程需满足：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1，等号两边都是整式． 【详解】解：A、未知数的最高次数为，不符合条件，不是一元一次方程； B、含有和两个未知数，不符合条件，不是一元一次方程； C、分母含有未知数，不是整式方程，不符合条件，不是一元一次方程； D、只含一个未知数，的最高次数为，且是整式方程，符合一元一次方程的定义，是一元一次方程． 【跟踪专练2】若是关于的一元一次方程，则_______． 【答案】3 【分析】根据一元一次方程的概念列式计算即可． 【详解】解：是关于的一元一次方程， ， 解得． 【跟踪专练3】下列各式；；；中，是一元一次方程的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：由一元一次方程的定义可得，只有是一元一次方程． 题型6.一元一次方程解的判定 【典例】以为解的一元一次方程可为______（写一个即可）． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】本题考查一元一次方程的定义，一元一次方程只含有一个未知数，且未知数的次数为1，一次项系数不为0，只需构造满足解为的一元一次方程即可． 【详解】解：符合要求的一元一次方程可为（答案不唯一）． 【跟踪专练1】是下列哪个方程的解（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入对应的方程中，计算出对应方程左边的值，看对应方程的左右两边是否相等即可得到答案． 【详解】解：A、当时，方程的左边，此时原方程的左右两边不相等，故不是方程的解，不符合题意； B、当时，方程的左边，此时原方程的左右两边相等，故是方程的解，符合题意； C、当时，方程的左边，此时原方程的左右两边不相等，故不是方程的解，不符合题意； D、当时，方程的左边，此时原方程的左右两边不相等，故不是方程的解，不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练2】关于的方程，下列说法正确的是（      ） A．若，则方程的解为 B．方程的解为 C．当时，则 D．当时，方程的解为任意数 【答案】D 【分析】本题考查含字母系数的一元一次方程解的分类讨论，需分和两种情况讨论方程的解，再逐一判断选项正误． 【详解】若，分两种情况： ① 时，方程解为； ② 时，方程解为任意实数，并非． 因此该说法不恒成立，A选项错误． 成立的前提是；若，则无意义，方程无解或无数解，不能直接表示为． 因此该说法不严谨，B选项错误． 由，可得； 在时，即，与结论矛盾． 因此C选项错误． 当时，原方程变为，无论取任意实数，等式恒成立，方程的解为任意数． 因此D选项正确． 题型7.等式性质1 【典例】已知方程，用含x的代数式表示y，则_________． 【答案】 【详解】解：∵， 移项，得， 等式两边同乘，得． 【跟踪专练1】下列方程的变形正确的是（     ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】A 【分析】等式两边同时加或减同一个整式，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立． 【详解】解：选项A：∵，等式两边同时减3，得，变形正确，符合题意； 选项B：∵，等式两边同时除以7，得，原式变形错误，不符合题意； 选项C：∵，等式两边同时乘2，得，原式变形错误，不符合题意； 选项D：∵，移项得，原式变形错误，不符合题意． 【跟踪专练2】我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方，将互不相同的9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖行以及两条对角线上的3个数之和相等．如图是一个未完成的幻方，则_____________；______________． 【答案】 6 【分析】本题结合幻方的性质考查等式的性质、整式的加减运算，同时考查方程思想与辅助未知数消元法的运用，关键是紧扣幻方中横行、竖行及对角线的三数之和相等的性质建立等式．解题时先根据幻方的性质列出包含、和公共辅助未知数的等式，消去后移项化简，直接求出；再设其他辅助未知数、，结合幻方的性质分别用、、表示出和，将其代入另一幻和等式中，通过整式的化简消去多余未知数，最终求解得出的值． 【详解】解：如图，设第1行第2列的数为，第2行第2列的数为，第3行第1列的数为． ∵每一横行、每一竖行以及两条对角线上的3个数之和相等， ∴， 由，移项得； 由，得， 由，得 由，得，化简得． 故答案为：；． 【跟踪专练3】在数学游艺会上，某同学负责一个游戏项目，她准备了50张同样的卡片，上面分别写有  1，2，3，…，49，50，游戏规则是：先将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上（如图），这五张卡片分别记为A，B，C，D，E．她依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数字最大．下表是其中一个参与者抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和，则这五张卡片上数字最大的是（    ） 卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数的和 50 62 55 67 44 A．E卡片 B．B卡片 C．C卡片 D．D卡片 【答案】B 【分析】根据题中所给的等量关系结合等式的性质先算出，再分别计算出每张卡片的大小，再比较大小即可． 【详解】解：， ， ， 卡片A：， 卡片B：， 卡片C：， 卡片D：， 卡片E：， ， 这五张卡片上数字最大的是B． 题型8.等式性质2 【典例】若，则的值为______． 【答案】 【分析】根据等式的基本性质，对已知等式变形即可求出的值． 【详解】解：∵，且， ∴， 即． 【跟踪专练1】运用等式的性质变形正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】根据等式的基本性质逐一判断各选项即可求解． 【详解】解：等式的基本性质为：1、等式两边同时加(或减)同一个数，等式仍然成立，2、等式两边同时乘同一个数(或除以同一个不为的数)，等式仍然成立； ∵选项A中，若，根据等式性质，等式两边需同时加同一个数或同时减同一个数，正确变形应为或，所以A错误； ∵选项B中，不能推出，该变形不成立，所以B错误； ∵选项C中，若，当时，与无意义，所以C错误； ∵选项D中，成立，说明分母，等式两边同时乘，根据等式性质可得，所以D正确． 【跟踪专练2】已知，，( )． 【答案】108 【分析】已知，，把换成3个，计算出，代入数值，即可解答． 【详解】解：根据题意可得 可得 所以 所以． 【跟踪专练3】下面解一元一次方程的步骤中，依据“等式的性质”变形的是（     ） ．步骤1 ．步骤2 ．步骤3 ．步骤4 A．步骤， B．步骤， C．步骤， D．步骤， 【答案】C 【分析】根据等式的性质、去括号法则、合并同类项法则把方程变形，逐一判断各步骤的依据即可得到结果． 【详解】解：步骤为去括号变形，依据乘法分配律，不属于等式的性质，故步骤不符合题意； 步骤是等式两边同时减去，依据等式的性质，故步骤符合题意； 步骤为合并同类项变形，依据合并同类项法则，不属于等式的性质，故步骤不符合题意； 步骤4是等式两边同时除以，依据等式的性质，故步骤符合题意； 依据“等式的性质”变形的是步骤和步骤. 题型9.合并同类项及移项 【典例】当________时，代数式与互为相反数． 【答案】 【分析】根据互为相反数的两个数之和为0，建立一元一次方程求解. 【详解】解：∵代数式与互为相反数， ∴ 解得， 所以当时，代数式与互为相反数． 【跟踪专练1】若与是同类项，则m、n的取值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据同类项的定义，构造方程求解即可． 【详解】解：∵与是同类项， ∴，， 解得，． 【跟踪专练2】关于的一元一次方程的解是______． 【答案】 【分析】根据一元一次方程的定义，可得二次项系数为，一次项系数不为，先求出的值，再代入原方程求解即可． 【详解】解：方程是关于的一元一次方程， ，且， 解得，且， ， 将代入原方程得：， 解得， 即关于的一元一次方程的解是． 【跟踪专练3】对于任意非零有理数a，b定义运算如下： ．若，则x的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的运算规则，分别化简等式左右两侧，再解一元一次方程即可得到的值． 【详解】定义运算 ，且满足 ， 分别化简等式左右两边： 左边：， 右边：， 可得方程 ， 解得． 题型10.去括号 【典例】解方程：，______． 【答案】 【分析】按去括号，移项，合并同类项的步骤计算即可． 【详解】解： 去括号得 移项合并同类项得． 【跟踪专练1】在解方程 中，去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据去括号法则计算原方程左边的去括号结果，再匹配选项．用到的知识点为：去括号时括号外的因数要乘括号内的每一项；若括号外因数为负数，去括号后原括号内各项符号要改变． 【详解】解：∵ 原方程为 ． 去括号得，． 【跟踪专练2】对于任意两个有理数，规定，若，则的值为___________． 【答案】2 【分析】根据题目给出的新定义运算规则，列出关于的一元一次方程，求解方程即可得到的值． 【详解】解：根据新定义运算 ，可得， 去括号得， 移项、合并同类项得， 系数化为得． 【跟踪专练3】已知某运算中，，若，则N等于(    ) A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】首先根据自定义运算规则，，先计算括号里面的，得出结果，再将其代入即可求解． 【详解】解： ， 即， ， ， ， ， ， 即等于． 题型11.去分母 【典例】若代数式与的值相等，则x的值是________． 【答案】 【分析】根据题意可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵代数式与的值相等， ∴， ∴， ∴， 解得． 【跟踪专练1】解方程时，去分母正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】去分母时需给方程每一项都乘以各分母的最小公倍数，注意不要漏乘常数项，本题分母为2和4，最小公倍数是4，计算后即可得到正确结果． 【详解】解：原方程为 ， ∵分母2和4的最小公倍数为4， ∴给方程两边每一项同时乘以4，得： ， 化简得：． 【跟踪专练2】定义运算“”，其规则为 ，则方程的解为______． 【答案】 【分析】根据题中新定义的运算规则，先计算括号内的，再将所得结果与按照运算规则转化为一元一次方程，解一元一次方程即可得到结果. 【详解】解：根据新定义运算规则，先计算括号内的： 原方程可化为，再根据新定义化简得： 整理得： 去分母得： 移项合并同类项得： 系数化为得：. 【跟踪专练3】下列方程变形正确的是（     ） A．方程，系数化为1，得 B．方程，移项，得 C．方程，去括号，得 D．方程，去分母，得 【答案】B 【分析】根据等式的基本性质以及解一元一次方程逐项判断即可． 【详解】解∶A．方程，系数化为1，得，即A选项错误； B．方程，移项，得，即B选项正确； C．方程，去括号，得，即C选项错误； D．方程，去分母，得，即D选项错误． 题型12.由一元一次方程的解,求参数 【典例】关于x的方程的解是，则______． 【答案】 【详解】解：∵关于x的方程的解是， ∴ 解得． 【跟踪专练1】关于x的一元一次方程的解为1，则a的值等于（     ） A． B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】将已知解代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：关于x的一元一次方程的解为1， ∴ 解得． 【跟踪专练2】若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为______． 【答案】 【分析】把方程变形为，根据方程的解为，可得即可求解. 【详解】解：∵关于的一元一次方程的解为， ∴的解为， ∴一元一次方程的解为． 【跟踪专练3】若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用换元思路，通过变形第一个方程，使两个方程结构一致，得到与的对应关系，结合已知的解即可求出的值． 【详解】解：∵关于的一元一次方程的解为 将方程变形，把改写为，把改写为， 代入原方程得 两边同时加，得 对比关于的方程， 可得 ∵ ∴． 题型13.一元一次方程解的关系 【典例】如果关于的方程和方程的解相同，则的值为____． 【答案】 9 【分析】先解第一个方程得到的值，再根据两个方程的解相同，将代入第二个方程求解即可. 【详解】解：解方程， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得. 因为两个方程的解相同，将代入得 ， 去分母得， 去括号得， 解得. 【跟踪专练1】已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，设，将关于的方程转化为已知关于的方程形式，根据题意求出关于t的方程的解，进而可得y的值． 【详解】解：设， 则关于的一元一次方程可变形为关于t的一元一次方程， ∵关于的一元一次方程的解为， ∴关于t的一元一次方程的解为， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】已知关于的方程的解与方程的解相同，则______． 【答案】 【分析】先解第一个一元一次方程求出的值，根据两个方程解相同，将代入第二个方程. 即可求出的值． 【详解】解：， ， ， ， ∵的解与方程的解相同， ∴将代入方程中， ， ， ， ， ． 【跟踪专练3】已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】通过变量代换，将关于的方程转化为关于的方程的形式，利用已知解求解即可． 【详解】解：设， 则方程化为， 此方程与已知方程同解， 已知解为， 故， 即， 解得． 题型14.绝对值方程 【典例】．若，则___________． 【答案】 【分析】根据绝对值的定义，绝对值等于正数的数有两个，这两个数互为相反数，据此求解即可． 【详解】解：， ， 或 ，即 ． 【跟踪专练1】若，则______________． 【答案】或 【分析】根据绝对值的定义，绝对值为正数的数有两个，且互为相反数，据此列出两个一元一次方程，分别求解即可得到的值． 【详解】解： ∴或 解得： 解得： ∴或． 【跟踪专练2】已知关于x的一元一次方程的解为，则方程的解________． 【答案】2025或 【分析】本题考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程； 对方程变形得到，然后根据一元一次方程的解的意义整体得出，进而计算即可． 【详解】解：方程变形为， 即， ∵关于x的一元一次方程的解为， ∴， ∴或， 故答案为：或． 【跟踪专练3】假设a是常数，是方程的一个解．问方程的另一个解是多少？（   ） A． B． C．0 D．5 E．10 【答案】A 【分析】先把代入，求出，则原方程为，再解方程即可． 【详解】解：把代入，得： ， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴或， 解得：，， ∴方程的另一个解是． 解答题 1．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】利用绝对值的性质：若（），则，将绝对值方程转化为一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：对于方程， 由绝对值的性质可得， 当时，解得， 当时，解得， 即原方程的解为或． （2）解：对于方程， 两边同乘，得， 由绝对值的性质可得， 当时，解得， 当时，解得， 即原方程的解为或． 2．解方程． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】方程去括号，移项合并，把系数化为，即可求出解； 方程去分母，去括号，移项合并，把系数化为，即可求出解． 【详解】（1）解：去括号得， 移项合并得， 解得； （2）解：去分母得， 去括号得， 移项合并得， 解得． 3．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个方程解的差为8，其中一个解为n，求n的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能根据等式的性质求出方程的解是解此题的关键． （1）先根据等式的性质求出两个方程的解，再根据两方程是“美好方程”得出关于m的方程，再求出m即可； （2）设另一个方程的解为，列出方程，求出n值即可． 【详解】（1）解：由条件可知， ， ， 关于x的方程与方程是“美好方程”， ， 解得； （2）解：由条件可知另一个方程的解为：， 又两个方程解的差为8， 得： 或， 或． 4．回答下列问题，并说明理由： (1)由能不能得到? (2)由能不能得到？ (3)由能不能得到? (4)由能不能得到? 【答案】(1)能，根据等式的两边同减去同一个数或式等式仍成立 (2)能，根据等式的两边同时除以同一个不为零的数等式仍成立 (3)能，根据等式的两边同时除以同一个不为零的数等式仍成立 (4)能，等式的两边同时乘以同一个不为零的数仍成立 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 5．定义：若关于的方程的解为，则称这样的方程为“元宵方程”．例如：的解为，而．则方程为“元宵方程”． (1)方程是“元宵方程”吗？请说明理由． (2)若，有符合要求的“元宵方程”吗？若有，求出该方程的解；若没有，请说明理由． (3)若关于的方程为“元宵方程”，请解关于的方程：． 【答案】(1)方程是“元宵方程”， 解：解方程，得， 又∵， ∴方程是“元宵方程”． (2)有，该方程的解为 (3) 【分析】本题根据“元宵方程”的定义解题，核心思路为：对于，若方程的解满足，则为元宵方程． （1）先求解给定方程，再计算，对比验证即可； （2）根据元宵方程的定义建立关于的等式，代入求出，再得到方程的解； （3）先根据元宵方程的定义推导出，代入关于的方程化简求解． 【详解】（1）略 （2）解：若是“元宵方程”，则满足方程的解， 又∵的解为， ∴代入得：， 解得，因此存在符合要求的“元宵方程”， ∴方程的解为． （3）解：∵是“元宵方程”， ∴，整理得， 将代入关于的方程得：， 解得． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10一元一次方程概念与解法暑假预习讲义 1.概念识记：理解方程、一元一次方程定义，抓住一元一次方程三大特征：只含一个未知数、未知数次数为1、整式方程；能辨别各类式子是否为一元一次方程。 2. 基础认知：分清方程的解、解方程两个不同概念，会将给定数值代入方程，检验该数是否为方程的解。 3. 掌握等式性质：熟记两条等式基本性质，利用等式性质对等式做恒等变形，作为解方程的理论依据。 4. 熟练解方程：掌握解一元一次方程完整步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，规范书写解题格式。 5. 移项核心要点：牢记移项必变号，不移项的项保持符号不变，避免移项常见符号错误。 6. 列式建模：分析实际问题里的等量关系，设未知数并列出一元一次方程，初步体会方程建模思想。 7. 易错规避：去分母时常数项漏乘最小公倍数、去括号漏变符号、移项忘记变号、混淆方程的解与解方程。 8. 能力铺垫：完成算术思维向方程思维转变，为后续一元一次方程应用题、二元一次方程组内容打好基础。 预习必备 知识梳理 1.等式相关概念 2.等式.方程.方程的解、解方程区分 3.方程的定义与判定 4.解一元一次方程的步骤 5.实际问题列方程四步流程 6.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.判断各式是否是方程 2.列方程 3.判断是否是方程的解 4.由方程的解求参数 5.一元一次方程的判定 6.一元一次方程解的判定 7.等式性质1 8.等式性质2 9.合并同类项及移项 10.去括号 11.去分母 12.由一元一次方程的解,求参数 13.一元一次方程解的关系 14.绝对值方程 强化题型 解答题5题 知识点01:等式相关知识 1. 等式定义 用等号 “=” 表示相等关系的式子叫做等式。 举例：3+2=5、2x-1=7、a+b=b+a 均为等式。 2. 等式两条基本性质（解方程核心依据） 性质 文字内容 字母表达 关键注意事项 性质 1 等式两边同时加（或减）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式 若a=b，则ac=bc 两边必须同时加减，不能只改一侧 性质 2 等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为 0 的数），所得结果仍是等式 若a=b，则ac=bc；若c≠0，则= 除数不能为 0；同乘负数时符号同步变化 3. 等式变形规范例题 已知x-3=5，两边同时加 3，得x=8； 已知2x=6，两边同时除以 2，得x=3； 已知x=4，两边同乘 3，得x=12。 4.等式性质易错提醒： （1）等式两边运算必须完全相同，不能一边加、一边乘； （2）除法时分母不能为 0； （3）不能只对等式一侧变形。 知识02：等式、方程、方程的解、解方程区分 1.等式：用等号 “=” 连接，表示左右相等关系的式子。 举例：3+6=9、2x-4=6 2.方程：含有未知数的等式，两个条件缺一：①有等号；②含字母未知数。 式子 是否方程 判断理由 7+5=12 不是 无未知数，只是等式 4x-7 不是 无等号，属于代数式 3y=18 是 同时含未知数、等号 x-1>4 不是 用不等号，是不等式 3.方程的解：使方程左右两边相等的未知数数值。 4.解方程：求方程解的全过程。 辨析检验示范：判断x=4是不是3x-2=10的解 左边=3×4-2=10，右边=10，左 = 右，因此x=4是方程的解。 知识点03:一元一次方程的定义与判定 同时满足 3 个条件的整式方程叫一元一次方程： ①一元：只含有1 个未知数； ②一次：未知数最高次数为1； ③整式：等号两边都是整式，分母不含未知数。 标准通用形式：ax+b=0(a≠0，a、b为常数) 方程 是否一元一次方程 不符合的条件 6x-12=0 是 全部满足三条要求 x2-25=0 否 未知数次数是 2 x+3y=15 否 存在两个未知数 +3=8 否 分母含未知数，不是整式 10=2x 是 标准形式变形 知识点04:解一元一次方程完整五大步骤（必考） 一般地，解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、把未知数的系数化为 1。通过这些步骤可以将一个一元一次方程转化为x=a（a为常数）的形式。 变形名称 具体做法 注意事项 去分母 在方程两边同时乘各分母的最小公倍数把分母去掉 （1）不要漏乘不含分母的项；（2）分子是一个整体，去分母时要加上括号 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号（也可反向顺序） （1）不要漏乘括号里面的项；（2）不要弄错符号 移项 把含有未知数的项移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边 （1） 移项要变号 （2）不要丢项 合并同类项 把方程化为ax=b(a≠0)的形式 未知数及其指数不变 把未知数的系数化为 1 在方程的两边都除以未知数的系数a(a≠0)，得到方程的解x= 不要把分子、分母弄颠倒 知识点 05 不同类型一元一次方程解题流程对比 方程类型 核心解题顺序 典型例题 无括号、无分母，仅含同类项 移项合并同类项系数化为 1 7x-10=3x+2 含括号、不含分母 去括号移项合并同类项系数化为 1 5(4-x)=3x+8 含有分数分母 去分母去括号移项合并同类项系数化为 1 =+3 知识点06：根据实际问题列方程四步流程 审：通读题目，找出等量关系； 设：设未知数（直接设 / 间接设，必须带单位）； 表：用含x的代数式表示题目所有相关量； 列：依据等量关系列出等式方程。 基础例题：一个数的 4 倍减 9 等于 11，求这个数。 解：设这个数为x，列方程：4x-9=11 知识点07:本节高频易错点汇总 · 判断一元一次方程时，忽略分母含未知数、多未知数、次数不为 1 三种错误形式； · 区分不清 “方程的解”（数值）和 “解方程”（运算过程）； · 使用等式性质时，两边运算不同步； · 移项不变号，不移项随意改符号； · 去分母漏乘常数项，多项式分子不加括号； · 去括号漏乘、负括号只变第一项符号； · 系数化为 1 时分子分母颠倒； · 列实际问题方程时，等量关系颠倒。 题型1.判断各式是否是方程 【典例】下面式子中，是方程的是（     ）． A． B． C． D． 【跟踪专练1】在①，②，③，④，⑤，⑥中，等式有__________，方程有__________．（填序号） 【跟踪专练2】下面（     ）符合等式与方程之间的关系． A．B． C． D． 题型2.列方程 【典例】由“的2倍与3的和等于5”可列方程为_____． 【跟踪专练1】《算法统宗》是中国古代数学名著，“盈亏”卷中有题译文如下：现有一群人共同买一个物品，每人出9钱，还余5钱；每人出8钱，还差3钱，问人数、物价各是多少？设人数为人，根据题意可列出方程（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】钢琴上的黑、白两种琴键共有88个，其中白色琴键的数量比黑色琴键的2倍少20个．如果用表示白色琴键，表示黑色琴键，请根据不同的等量关系写出两个方程． ________________；____________________． 【跟踪专练3】某数的3倍与5的差比这个数大9，设这个数为x，可列方程为（   ） A． B． C． D． 题型3.判断是否是方程的解 【典例】写出一个解为的一元一次方程：______． 【跟踪专练1】是（     ）方程的解． A． B． C． D． 【跟踪专练2】解为的方程是（     ） A． B． C． D． 题型4.由方程的解求参数 【典例】已知是方程的解，那么______． 【跟踪专练1】关于x的方程的一个解是，则（   ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【跟踪专练2】整式的值随着的取值的变化而变化，下表是当取不同的值时对应的整式的值，则关于的方程的解是（     ） 0 1 2 3 0 4 8 A． B． C． D． 【跟踪专练3】若关于的方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值为__________． 【技巧归纳】 方程有整数解，需a整除b．若含参数，将解表示为，再根据整除性求参数值．注意参数需使．常利用因数分解，列出a的因数．如有整数解，则为6的因数，可求m．检验解的正负． 题型5.一元一次方程的判定 【典例】已知关于的方程是一元一次方程，则的值为_______． 【跟踪专练1】下列方程中属于一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若是关于的一元一次方程，则_______． 【跟踪专练3】下列各式；；；中，是一元一次方程的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型6.一元一次方程解的判定 【典例】以为解的一元一次方程可为______（写一个即可）． 【跟踪专练1】是下列哪个方程的解（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】关于的方程，下列说法正确的是（      ） A．若，则方程的解为 B．方程的解为 C．当时，则 D．当时，方程的解为任意数 题型7.等式性质1 【典例】已知方程，用含x的代数式表示y，则_________． 【跟踪专练1】下列方程的变形正确的是（     ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【跟踪专练2】我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方，将互不相同的9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖行以及两条对角线上的3个数之和相等．如图是一个未完成的幻方，则_____________；______________． 【跟踪专练3】在数学游艺会上，某同学负责一个游戏项目，她准备了50张同样的卡片，上面分别写有  1，2，3，…，49，50，游戏规则是：先将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上（如图），这五张卡片分别记为A，B，C，D，E．她依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数字最大．下表是其中一个参与者抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和，则这五张卡片上数字最大的是（    ） 卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数的和 50 62 55 67 44 A．E卡片 B．B卡片 C．C卡片 D．D卡片 题型8.等式性质2 【典例】若，则的值为______． 【跟踪专练1】运用等式的性质变形正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【跟踪专练2】已知，，( )． 【跟踪专练3】下面解一元一次方程的步骤中，依据“等式的性质”变形的是（     ） ．步骤1 ．步骤2 ．步骤3 ．步骤4 A．步骤， B．步骤， C．步骤， D．步骤， 题型9.合并同类项及移项 【典例】当________时，代数式与互为相反数． 【跟踪专练1】若与是同类项，则m、n的取值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【跟踪专练2】关于的一元一次方程的解是______． 【跟踪专练3】对于任意非零有理数a，b定义运算如下： ．若，则x的值是（   ） A． B． C． D． 题型10.去括号 【典例】解方程：，______． 【跟踪专练1】在解方程 中，去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】对于任意两个有理数，规定，若，则的值为___________． 【跟踪专练3】已知某运算中，，若，则N等于(    ) A．6 B．5 C．4 D．3 题型11.去分母 【典例】若代数式与的值相等，则x的值是________． 【跟踪专练1】解方程时，去分母正确的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】定义运算“”，其规则为 ，则方程的解为______． 【跟踪专练3】下列方程变形正确的是（     ） A．方程，系数化为1，得 B．方程，移项，得 C．方程，去括号，得 D．方程，去分母，得 题型12.由一元一次方程的解,求参数 【典例】关于x的方程的解是，则______． 【跟踪专练1】关于x的一元一次方程的解为1，则a的值等于（     ） A． B．2 C．1 D．0 【跟踪专练2】若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为______． 【跟踪专练3】若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 题型13.一元一次方程解的关系 【典例】如果关于的方程和方程的解相同，则的值为____． 【跟踪专练1】已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为___________． 【跟踪专练2】已知关于的方程的解与方程的解相同，则______． 【跟踪专练3】已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（   ） A．1 B． C． D． 题型14.绝对值方程 【典例】．若，则___________． 【跟踪专练1】若，则______________． 【跟踪专练2】已知关于x的一元一次方程的解为，则方程的解________． 【跟踪专练3】假设a是常数，是方程的一个解．问方程的另一个解是多少？（   ） A． B． C．0 D．5 E．10 解答题 1．解下列方程： (1)； (2)． 2．解方程． (1)； (2)． 3．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个方程解的差为8，其中一个解为n，求n的值． 4．回答下列问题，并说明理由： (1)由能不能得到? (2)由能不能得到？ (3)由能不能得到? (4)由能不能得到? 5．定义：若关于的方程的解为，则称这样的方程为“元宵方程”．例如：的解为，而．则方程为“元宵方程”． (1)方程是“元宵方程”吗？请说明理由． (2)若，有符合要求的“元宵方程”吗？若有，求出该方程的解；若没有，请说明理由． (3)若关于的方程为“元宵方程”，请解关于的方程：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $