第13讲实际问题与一元一次方程2026-2027学年人教版七年级数学上册暑假预习讲义（知识点+题型精讲）

第13讲 实际问题与一元一次方程 目录 知识点1 一元一次方程解应用题通用六步法（必考） 2 知识点2 应用题通用核心原则 2 题型1 配套问题 2 题型2 工程问题 4 题型3 销售盈亏 5 题型4 比赛积分 6 题型5 方案选择 7 题型6 数字问题 8 题型7 几何问题 10 题型8 动点问题 11 题型9 和差倍分问题 13 题型10 电费和水费问题 14 题型11 行程问题 16 题型12 比例分配 17 题型13 日历问题 19 题型14 古代问题 20 题型15 其它问题 21 1. 知识目标：掌握一元一次方程解应用题的通用六步解题法，熟记各类生活、几何、古代数学应用题的固定等量关系模型。 2. 能力目标：能快速审题、找等量、设未知数列方程；熟练解决配套、工程、行程、销售、计费、动点、日历等15类高频应用题，能对方案类问题进行对比决策。 3. 素养目标：建立数学建模思想，学会用方程思想替代算术思维，培养分类讨论、数形结合、择优决策的数学能力。 知识点1 一元一次方程解应用题通用六步法（必考） 1. 审：读懂题意，梳理已知量、未知量、不变量、核心等量关系； 2.设：优先直接设，复杂题型间接设，统一设较小量、基准量； 3. 列：根据等量关系列出规范一元一次方程； 4. 解：按标准步骤解方程，求出未知数的值； 5. 验：检验计算正确性+检验结果符合实际意义（正整数、合理范围）； 6. 答：规范作答，对应题干问题完整回答。 知识点2 应用题通用核心原则 1. 找等量核心：不变量、总量相等、和差倍分关系、公式关系是列式依据； 2. 取舍原则：人数、零件数、天数、度数、个数必须为正整数；长度、数量必须为正数； 3. 设元技巧：出现比例、倍数、多个未知量时，统一设一份为，简化计算。 题型1 配套问题 解题技巧：1. 核心等量：零件配套比例恒定（如1个甲配2个乙）；2. 公式模型：甲总数量∶乙总数量 = 配套比；3. 设生产人数/天数为，分别表示两组总产量；4. 利用比例交叉相乘列方程；5. 结果必须为整数，不符合直接舍去。 秒杀口诀：配套看比例，总量成正比，交叉来列式。 【典例1】．《九章算术》中记录了一道经典的数学问题：今有匠工四十四人，日可作斗身十二，或斗耳二十．凡斗，一身配二耳．欲令日作身、耳适相配，问各遣几人？题目大意：有工匠44人，每人每日可做斗身12个或斗耳20个．1斗身配2斗耳，问各安排多少人，使刚好配套？设人做斗身，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【变式1】．某茶具生产车间共有25名工人，每人每天可生产3个茶壶或者7只茶杯，1个茶壶与6只茶杯配套．为使每天生产的茶壶和茶杯刚好配套，需要多少名工人生产茶壶？设有名工人生产茶壶，则可列方程____________． 【变式2】．某非遗国风礼盒套装，由1个漆器首饰盒和8枚传统纹样银饰组成．某非遗工坊现有120名工人，每个工人一天能制作50个漆器首饰盒或200枚传统纹样银饰．该工坊应如何安排工人生产，才能使每天生产的漆器首饰盒和传统纹样银饰刚好配套？ 【变式3】．完成如下项目式学习表 情境挖掘 眼镜是由镜片和镜架组合起来，用来改善视力、保护眼睛或作装饰用途的用品． 素材整合 某工厂需要生产一批镜架（如图），每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成．工厂现共有35名工人，平均每人每天生产120个镜框或180个镜腿． (1)应如何安排工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ (2)某店家以每副100元的价格购进镜架后提高后标价．在元旦假期期间，店家打七五折销售，售出的每一副镜架的利润率是多少？ (3)该店家购进了100副镜架，元旦假期期间售出了80副，若想在销售完这100副镜架后总获利5%，则剩余的镜架应打几折出售？ 题型2 工程问题 解题技巧：1. 固定设定：总工程量看作单位1；2. 工作效率 = ；3. 核心公式：工作总量 = 工作效率 × 工作时间；4. 合作题型：总工作量 = 各人工作量之和；5. 休息、交替工作题型分段计算工作量，累加等于1。 易错点：效率、时间对应错误，合作直接叠加天数。 【典例2】．甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时．丙水管单独开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，水池注满还要（     ）个小时． A．15 B．20 C．35 D．40 【变式1】．年月日，我国首艘万立方米液化天然气（）运输船“乔治敦”号顺利交付，该船型被称为“造船业皇冠上的明珠”．某工厂计划用天时间生产一批轮船模型，实际每天比原计划多生产个，结果提前天完成了生产任务，则原计划每天生产________个轮船模型． 【变式2】．智能机器人分拣货物，每分钟可分拣件货物，机器人先单独工作一段时间，之后人工辅助分拣货物，每分钟共分拣件．若总共用时50分钟，一共分拣件货物，求机器人单独工作的时长． 【变式3】．【项目式学习：校园广告牌制作工程】 某校初中七年级数学社团的学生学习了方程的知识后，参与了一个项目式学习——校园广告牌制作工程，下面是他们学习单的一部分，请你结合工程实际，用方程（组）的知识解决下列问题： 项目背景 学校校办厂需制作一块公益广告牌，邀请两名工人完成制作．已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天． (1)若两名工人从一开始就合作制作，需要多少天可以完成全部广告牌？ (2)现调整施工方案：由徒弟先单独制作1天，再由两人合作完成剩余工作．全部完工后共获得报酬450元，若按各自完成的工作量计算报酬，请你分别求出师傅和徒弟应分得的报酬金额． (3)请你再设计一种新的施工方案（例如“一人先做若干天，再两人合作”或“两人合作后一人离开”等），并列出对应的方程，无需求解． 题型3 销售盈亏 解题技巧：熟记销售四大核心公式：1. 利润 = 售价 − 进价；2. 利润率 = ；3. 售价 = 标价 × 折扣；4. 盈亏判断：利润正为盈、利润负为亏、利润0为不盈不亏；5. 设进价/标价为，根据利润、折扣关系列方程。 高频坑点：利润率永远以进价为分母，不是售价。 【典例3】．某种商品的进价为每件180元，现按标价的9折销售时，利润率为，设这种商品的标价为每件元，依题意列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．商场将某种商品按标价的八折出售，此时商品的利润率是．已知这种商品的进价为1600元，则这种商品的标价为________元． 【变式2】．某电器商场计划用万元从生产厂家购进台电视机已知该厂家生产种不同型号的电视机，出厂价分别为种每台元，种每台元，种每台元． (1)若该商场只选购、两种电视机，各购买多少台？ (2)若商场销售一台种电视机可获利元，销售一台种电视机可获利元，销售一台种电视机可获利元，除了（1）的方案，该商场还有一种方案，购进种电视机台，种电视机台在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销售时获利最多，应选择哪种方案？ 【变式3】．烟台大樱桃享誉全国，6月前后正是烟台大樱桃大量上市时间．某水果店用元购进甲、乙两个品种大樱桃共150千克进行销售，这两个品种大樱桃每千克的进价、预售价如下表： 品种 进价（元千克） 预售价（元千克） 甲 12 20 乙 18 30 (1)求该水果店购进甲、乙两个品种大樱桃各多少千克？ (2)销售过程中，甲品种大樱桃按预售价全部售出；乙品种大樱桃按预售价售出一部分后，其余部分按八折全部售出，两个品种大樱桃共获利元．求乙品种大樱桃按预售价售出了多少千克？ 题型4 比赛积分 解题技巧：1. 固定规则：总场次=胜场+负场+平场；2. 总积分=胜场积分+平场积分−负场扣分；3. 设胜/平场数为，其余场次用含式子表示；4. 根据总积分列方程；5. 场次必须为非负整数，严格取舍。 【典例4】．某校开展了“剪纸文化知多少”的知识竞赛，选手需要从题库中随机抽取20道题依次进行作答，答对一道得3分，不答或答错扣1分．已知小明得了36分，则他答对的题数为（     ） A．8道 B．9道 C．12道 D．14道 【变式1】．2026年6月2日，在意大利国际青少年杯足球比赛中，中国2014队（U12年龄段）夺得冠军．在这次比赛中中国足球小将共参加了7场比赛，全部获胜，总进球数为21个．已知小组赛3场共进球的个数是淘汰赛3场共进球个数的2倍多2个，最后决赛1场，进球1个，则中国队小组赛共进球_______个． 【变式2】．学校开展“科技小达人”主题活动，活动分为“编程挑战”和“手工创作”两个项目，活动结束后根据两个项目的得分进行颁奖．评奖规则为： 奖项 获奖条件（满足多个条件时仅颁发最高奖） 金奖 两个项目得分之和不低于110分，且至少一个项目得分达到65分 银奖 两个项目得分之和不低于110分 参与奖 完成全部两个项目的活动 在正式计分前可以先体验一次．同学甲体验时，“编程挑战”与“手工创作”得分比为；正式计分中，“编程挑战”得分比体验时提高了9分，“手工创作”得分比体验时增加了，最终两项共得123分．请利用所学知识，为这个同学颁发合适的奖项，并说明理由． 【变式3】．某电视台组织知识竞赛，共20道选择题，每题必答，如表记录了3个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 总得分 甲 20 0 100 乙 19 1 94 丙 14 6 64 (1)由表中的数据可知：答对1题得________分，答错1题得________分； (2)小婷得76分，她分别答对了几道题、答错了几道题？ (3)小明说他得了80分，你认为可能吗？为什么？ 题型5 方案选择 解题技巧：1. 分别列出方案A、方案B的费用表达式；2. 令两式相等，求出分界值；3. 分类讨论：小于、等于、大于分界值分别对应最优方案；4. 结合实际取值范围，确定最终最优选择；5. 题型通用：购物优惠、租车、购票、收费方案全部适用。 【典例5】．小静准备到甲商场或乙商场购买一些商品，两家商场同种商品的标价相同，但各自推出的优惠方案不同．在甲商场累计购买满一定数额元后，超出的部分按原价的90%付费；在乙商场累计购买50元商品后，超出的部分按原价的95%付费．若累计购买商品元，当时，在甲商场需付钱数；当时，在乙商场需付钱数为．给出下列结论：①；②；③当时，选择乙商场更优惠；④当时，选择甲商场更优惠．其中正确的是（   ） A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 【变式1】．为了庆祝劳动节，宣扬劳动光荣的中华民族优秀传统，某网店为了吸引顾客，推出下列优惠措施，受到顾客的好评．优惠措施如下： 购物款不超过200元不享受优惠； 购物款超过200元但不超过600元一律享受九折优惠； 购物款超过600元一律享受八折优惠， 某顾客第一次从该网店购物花了168元人民币，第二天又花了423元从该网店购物，如果该顾客一次性购买以上商品，可以节省_____元 【变式2】．暑假期间，小旭和几名同学随家长一同到某景区游玩，下面是购买门票时小旭与爸爸的对话，根据图中的信息，解答问题． (1)小旭他们一共去了几个成人，几个学生？ (2)请你帮助小旭算一算，为他们设计出最省钱的购票方案，并求出此时的购票费用． 【变式3】．刘师傅购买了一辆某型号的新能源汽车，其电池满电量为千瓦时．目前有两种充电方案可供选择： 方案一：私家安装充电桩，费用为元，每千瓦时电费为元． 方案二：使用公共充电桩，无安装费用，每千瓦时电费（含服务费）为元． 已知新能源汽车充电时存在能量损耗，电池实际每增加千瓦时的电量，需充入千瓦时的电．假设电池的耗电量与行驶里程成正比，且电池从满电千瓦时行驶至千瓦时时，对应的行驶里程为千米． 请解答以下问题： (1)电池每次从千瓦时充至满电千瓦时，分别计算使用方案一和方案二，单次充电所需支付的电费． (2)请问该汽车的累计行驶里程为多少千米时，两种充电方案的总费用恰好一样多？ 题型6 数字问题 解题技巧：1. 两位数表示：十位、个位，数值=；2. 三位数同理：百位权重100、十位10、个位1；3. 连续数：连续整数、奇偶数列依次±1、±2；4. 根据和、差、积、平方关系列方程；5. 数位限制：十位、百位不能为0，个位0~9。 【典例6】．幻方是一种古老又有趣的数字矩阵，起源于中国古代，最早的三阶幻方也叫洛书，距今已有几千年历史．如图，在一个的方格中，填写了一些数和代数式，已知各行各列及对角线上的三个数之和都相等，则m的值为（     ） 2 3 y m y A．0 B．1 C．3 D．5 【变式1】．宋代数学家杨辉称“幻方”为“纵横图”，传说最早出现的幻方是夏禹时代的“洛书”，杨辉的著作《续古摘奇算法》中总结了“洛书”的构造．在如图所示的三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则“”位置的数是________． 【变式2】．我们定义：若两个有理数的积等于这两个有理数的和，则称这两个数互为“友好数”．如：有理数与5，因为，所以与5互为“友好数”． (1)①判断与3是否互为“友好数”，并说明理由． ②的“友好数”为______． (2)若有理数a与b互为“友好数”，b与c互为相反数，求代数式的值． (3)对于有理数x（且），设x的“友好数”为，的倒数为，的“友好数”为，的倒数为……；依次按如上的操作，得到一组数，，，，……，．当时，求的值． 【变式3】．小刚是个爱动脑的学生，他将连续的奇数1，3，5，7，…排成如图所示的形式，并用一个十字形框架框住其中的五个数．请你仔细观察十字形框架中数字的规律，并解答下列问题． (1)设十字形框架中间的数为，则十字形框架中五个数的和为_______；（用含的代数式表示） (2)若将十字形框架上下左右移动，可框住另外的五个数，这五个数的和能等于115吗？若能，求出这五个数：若不能，请说明理由． 题型7 几何问题 解题技巧：1. 依托周长、面积、角度公式列等量；2. 设边长、宽、高为，用含式子表示各边；3. 长方形、正方形、角度计算为高频；4. 角度问题：利用直角、平角、三角形内角和180°列式；5. 边长、角度必须为正数，超范围舍去。 【典例7】．如图1，从一个边长为3的正方形纸片上剪掉两个边长为的小正方形，得到如图2所示的图形．若图2中图形的周长为18，则的值是（     ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【变式1】．如图，用一些长短相同的小木棍分别摆一排正方形和一排六边形，要求相邻的图形只有一条公共边．已知正方形个数的6倍和六边形个数的4倍一样多，并且一共用了86根小木棍，则连续的正方形摆了_______个． 【变式2】．已知数轴上两点A，B对应的数分别为，，点P为数轴上一个动点，其对应的数为x． (1)若点P到点A，点B的距离相等，则点P对应的数为____________； (2)数轴上是否存在点P，使点P到点A，点B的距离之和为8？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由； (3)现在点A，点B分别以2个单位长度/秒和1个单位长度/秒的速度同时向右运动，点P以6个单位长度/秒的速度同时从O点向左运动．当的值为10时，求点P所对应的数是多少？ 【变式3】．端午，是我国四大传统节日之一，佩戴香囊是流传千年的端午民俗．古人常在香囊内装入艾草、丁香、薰衣草等中草药，寓意祈福安康，承载着中华民族独特的养生智慧与民俗文化．制作端午香囊所选用的原始长方形布料的长与宽之比一般为，制作时，先距离布料上下两端为原始长方形布料的长的处进行画线，再分别距离左右两边为原始长方形布料的宽的处进行画线（如图1），然后沿中线对折（如图2），最后经过一系列折边定型、缝边、翻面等操作，得到成品香囊（如图3）．某人制作端午香囊时，要求成品香囊的长比宽多，求制作端午香囊所用的原始长方形布料的长和宽各是多少厘米？ 题型8 动点问题 解题技巧：1. 设运动时间为；2. 路程=速度×时间，用含式子表示动点线段长度；3. 利用线段和差、周长、面积、垂直等条件列方程；4. 严格限制时间范围：动点不超出线段端点；5. 多动点分段讨论，避免漏解。 【典例8】．如图，在长方形中，．点从点出发沿的方向以每秒3个单位速度匀速运动，点从点出发沿的方向以每秒1个单位速度匀速运动．两点同时出发，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设两点运动时间为（秒），当直线把长方形面积分成相等的两部分时，的值为（    ） A．或 B．或5 C．或5 D．或 【变式1】．如图，在长方形中，厘米，厘米．两动点、同时从点出发，沿长方形的边按如图所示的方向，分别以厘米/秒的速度匀速绕行，当运动一周回到点位置时，两动点同时停止．则运动时间为______秒时，、两点的连线恰好平分长方形的面积． 【变式2】．如图，在直角中，，，，，点从点开始以的速度沿的方向移动，点从点开始以的速度沿的方向移动．已知、两点同时出发，设运动时间为秒． (1)如图①，若点在线段上运动，点在线段上运动，用含的式子表示、．并求当时，的值； (2)如图②，若点在线段上运动，当为何值时，的面积等于面积的； (3)当点到达点时，、两点都停止运动，直接写出时，的值． 【变式3】．如图，已知中，，，，点D为中点，点P的运动速度为． (1)如果点P在线段上由点B向终点C运动，同时，点Q在线段上由点C向终点A运动，若点Q的运动速度与点P的运动速度相等． ①经过2秒后， ， ； ②经过1秒后，与是否相等，请说明理由； (2)如果点P在线段上由点B向终点C运动，同时，点Q在线段上由点C向终点A运动，若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，求当点Q的运动速度为多少时，能使且? (3)若点Q以（2）中的运动速度从点C出发，点P从点B同时出发，都沿三边逆时针方向运动，则经过 秒后，点P与点Q第一次在的 边上相遇．（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程） 题型9 和差倍分问题 解题技巧：基础文字建模万能题型。1. 找关键词：一共、比…多、比…少、几倍、剩余；2. 核心句式：大数=小数×倍数±差；总和=各部分相加；3. 设标准量（小数）为，其余量全部用表示；4. 根据总和或差值列方程，最简单不易错。 【典例9】．今年，东东的年龄是爷爷年龄的 ．东东发现，12年后，他的年龄将变成爷爷年龄的 ．则东东今年的年龄是（     ） A．8 B．9 C．10 D．20 【变式1】．商店里有玻璃杯和保温杯两种杯子，保温杯比玻璃杯贵10元，妈妈带的钱如果买10个玻璃杯还剩6元，如果买5个保温杯还缺4元，妈妈带了___________元钱． 【变式2】．七（1）班和七（2）班各40人参加垃圾分类知识竞赛，规则如图．比赛中，所有同学均按要求一对一连线，无多连、少连． 图中4种垃圾分别对应4种类别，请一对一连线 (注：每连对一条线得5分)纸巾    易拉罐    破灯泡    苹果核 有害垃圾    可回收物    厨余垃圾    其它垃圾 (1)分数5， 10， 15， 20中， 每人得分不可能是 分． (2)七（1）班有4人全错，其余成员中，满分人数是未满分人数的2倍；七（2）班所有人都得分，最低分人数的2倍与其他未满分人数之和等于满分人数． ①问七（1）班有多少人得满分？ ②若七（1）班除0分外，最低得分人数与其他未满分人数相等，问哪个班的总分高？ 【变式3】．自年月日起，我国开始实施《公共机构电动汽车充电基础设施配置及运行指南》（以下简称“指南”），“指南”要求公共机构充电车位配建比例宜不低于整体车位的．为解决某社区停车难问题，社区居委会联合相关部门划定一块面积为的公共停车场，需规划普通车位和充电车位，每个车位面积包含实际停车使用面积和公共通道分摊面积，其中充电车位另含充电桩占地面积．已知平均每个普通车位占地面积为，平均每个充电车位占地面积为，普通车位数量比充电车位数量的倍多个．判断充电车位数量是否满足“指南”要求，并说明理由． 题型10 电费和水费问题 解题技巧：基础文字建模万能题型。1. 找关键词：一共、比…多、比…少、几倍、剩余；2. 核心句式：大数=小数×倍数±差；总和=各部分相加；3. 设标准量（小数）为，其余量全部用表示；4. 根据总和或差值列方程，最简单不易错。 【典例10】．某地天然气收费方案如下： 阶梯 年用气量 价格 补充说明 第一阶梯 （含）的部分 1.5元 当家庭人口超过3人时，每增加1人，第一、二阶梯年用气量上限将分别增加110、150，同时，第二、三阶梯年用气量下限随之调整，每一阶梯的价格保持不变． 第二阶梯 （含）的部分 3元/ 第三阶梯 以上的部分 5元/ 甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为4人．某年甲、乙两户年用气量之和为，甲户年用气量大于乙户年用气量．已知甲、乙两户一共缴纳燃气费用1800元．设甲户的用气量为，则所列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．某市采用分段收费的方式按月计算每户家庭的水费，收费标准如下： 阶梯 户月用水量（） 收费标准（元/） 第一阶梯 不超过 3 第二阶梯 超过，但不超过 4 第三阶梯 超过的部分 7 （1）小明家2月份用水量为，应缴纳水费____元； （2）已知小红家3月份共缴纳水费120元，那么小红家3月份用水量是_______； 【变式2】．某市居民家庭全年用气（天然气）量划分为三档，气价实行超额累进加价，先用第一档，再用第二档，最后用第三档．例如：王明家年用气量为400立方米，前360立方米按2.53元计算，后40立方米按2.78元计算． 用气量（立方米） 单价（元） 第一档 （含） 2.53 第二档 （含） 2.78 第三档 600以上 3.54 (1)李强家年用气量为440立方米，李强家需交燃气费多少元？ (2)赵刚家全年的燃气费平均每立方米2.60元，赵刚家年用气量是多少立方米？ 【变式3】．为鼓励居民节约用水，某市居民生活用水推行每月阶梯水费收费制度，具体执行方案如下： 类别 每户每月用水量 阶梯价格/（元） 第一阶梯 小于或等于 a 第二阶梯 大于且小于或等于 4 第三阶梯 大于 5 该市某户居民2025年12月份的用水量为，缴纳水费18元． (1)表格中a的值为________． (2)若该户居民2026年1月份的用水量为，应缴纳水费多少元？ (3)若该户居民2026年2月份缴纳水费56元，求该户居民2月份的用水量． 题型11 行程问题 解题技巧：核心公式：路程=速度×时间。1. 相遇问题：路程和=总距离；2. 追及问题：路程差=初始距离；3. 往返、变速问题：分段表示时间、路程；4. 设速度或时间为，利用路程不变列等式；5. 统一单位（km/h、m/s），杜绝单位混乱。 【典例11】．《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲乃发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问多久后甲乙相逢？设乙出发日，甲乙相逢，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．某中学组织300名师生前往距学校13千米的研学基地，为践行“绿色出行、高效协同”的研学理念，校方经综合评估，调度一辆额定载客50人的新能源巴士，该车行驶的平均速度为60千米/小时，师生步行的平均速度为4千米/小时．为安全高效抵达，将师生平均分为6组，采取步行与乘车相结合的方式，以实现“各组同时出发、尽早抵达”． （1）若第一组师生先步行2千米，余下的路程坐车，则第一组师生到达研学基地用时________分钟（不考虑上、下车时间）； （2）若从全体师生出发开始，到全体师生都到达研学基地为止，所经历的时间称为总耗时，则总耗时最少为________分钟（不考虑上、下车时间）． 【变式2】．下面是同学们在了解家乡长治市太行山大峡谷景区后，结合一次研学旅行编写的数学情境题，请你完成相应任务． 【情境引入】太行山大峡谷是长治市著名的级景区，峡谷内溪流清澈，乘船游览是深受游客喜爱的体验项目． 【问题解决】周末，小潞和同学在太行山大峡谷的溪流边的A码头租了一艘小艇，逆流而上前往B景点，行进速度为．到达景点后沿原路顺流返回，行进速度比去时增加了，回到A码头比去时少花了． 任务： (1)设A、B两地之间的路程为，根据题意填写下表（单位：）： 行程 速度 时间 去程（逆流） 4 ①__________ 回程（顺流） ②__________ ③_________ (2)求A、B两地之间的路程（写出完整的解题过程）． 【变式3】．马术三项训练场由三段组成，依次是盛装舞步、越野赛和场地障碍赛．已知场地障碍赛段长度是盛装舞步段长度的2倍，甲、乙两教练分别从训练场的首末两个端头同时出发查看场地情况，甲教练在盛装舞步段的速度是每分钟40米，进入越野赛段后速度提高了；乙教练在场地障碍赛段的速度是每分钟60米，进入越野赛段后速度降低了；当甲教练刚好查看到越野赛段的处时与乙教练相遇． (1)设盛装舞步段长度为米，越野赛段长度为米，且，求的值． (2)如果甲、乙两教练从出发到相遇的时间为3分钟40秒，求马术三项训练场的总长度． 题型12 比例分配 解题技巧：固定设元法秒杀。1. 比例，直接设每一份为，各量为；2. 总量=各部分相加；3. 根据总和、差值、占比列方程；4. 适合人数、物资、角度、边长分配类题型。 【典例12】．甲、乙两辆卡车运货的吨数比是．已知甲卡车比乙卡车多运货12t，则两辆卡车共运货（    ） A．12t B．36t C．48t D．84t 【变式1】．为了应对疫情对经济的冲击，增加就业岗位，今年5月，铜梁区在“原乡中央公园”开设了一个夜市，分为餐饮区、百货区和杂项区三个区域，三者摊位数量之比，市场管理处对每个摊位收取元/月的管理费，到了6月份，市场管理处扩大夜市规模，并将新增摊位数量的用于餐饮，结果餐饮区的摊位数量占到了夜市总摊位数量的，同时将餐饮区、百货区和杂项区每个摊位每月的管理费分别下调了10元、30元和10元，结果市场管理处月份收到的管理费比月份增加了，则百货区新增的摊位数量与该夜市总摊位数量之比是______． 【变式2】．根据表中的素材，完成下面两个任务． 如何设计奖品购买及兑换方案？ 素材1 文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔每支元，笔记本每本5元． 素材2 学校用元购买这种钢笔和笔记本，其数量之比为4：3． 素材3 文具店开展“满送”优惠活动，每满元送1张兑换券，满元送2张兑换券，以此类推．学校花费元后，将兑换券全部用于商品兑换．最终，笔记本与钢笔数量相同． 兑换券凭此券，可兑换2支钢笔或4本笔记本 问题解决 任务1 求兑换前分别购买钢笔和笔记本的数量． 任务2 求用于兑换钢笔的兑换券的张数． 【变式3】．扬州是中国历史文化名城，物产丰饶，其中“绿杨春”茶叶尤为著名．现有、两名农户种植茶叶，农户种植了8亩“绿杨春”茶叶，农户种植了12亩“绿杨春”茶叶，农户平均每亩“绿杨春”制成的茶叶重量是农户每亩制成茶叶重量的（制作茶叶的过程中的损耗忽略不计）．农户制成绿杨春茶叶，农户制成绿杨春茶叶，今年制成“绿杨春”茶叶和“绿杨春”茶叶两种产品共计千克．两种产品的销售规格如下表： 每盒净重（） 每盒售价（元） 绿杨春茶叶 绿杨春茶叶 根据以上信息，回答下列问题： (1)求制成的“绿杨春”茶叶和“绿杨春”茶叶各多少千克? (2)若销售这两种茶叶共盒，销售额为元，求销售“绿杨春”的盒数； (3)若张华第一次销售这两种茶叶共盒，第二次销售时对所有剩下的“绿杨春”茶叶打八折促销．两次销售完后，他发现第二次总销售额比第一次总销售额多元．求第一次销售“绿杨春”多少盒? 题型13 日历问题 解题技巧：掌握日历数字规律。1. 左右相邻差1，上下相邻差7；2. 设中间数为，周围数对称表示，计算最简；3. 横竖、九宫格、十字型均可统一设中间量；4. 日期范围：1~31，必须为正整数，超范围舍去。 【典例13】．如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个“十”字圈出5个数（如3，9，10，11，17），照此方法，若圈出的5个数中，最大数与最小数的和为40，则这5个数中的最大数为（     ） A．20 B．23 C．27 D．30 【变式1】．元宵节是中国传统节日之一，象征着万家团圆．如图是2026年元宵节所在月的月历图，在该月历图中可以用十字框圈出5个数．若圈出的这5个数的和为70，则十字框正中间的数为______． 【变式2】．如图，是某月的月历． (1)带阴影的十字框中的5个数的和与十字框中间的数有什么关系？ (2)这个结论对于任何一个月的月历都成立吗？说明理由． (3)在该月的月历上用十字框框出5个数，能使这5个数的和为100吗？ 【变式3】．下图为2018年1月的月历，认真观察图1中的方框圈出五个数的关系，回答下列问题： (1)请你用相同的方框在图2中圈出五个数，使得五个数的和为115； (2)圈出的五个数的和能为130吗？若能，在图中圈出，若不能，说明理由． 题型14 古代问题 解题技巧：古文翻译建模。1. 先翻译古文，转化为和差倍分、分配、盈亏题型；2. 找准“余、不足、半、倍、分”等量关系；3. 设标准量为，按现代应用题列式；4. 结果必须为整数，贴合古代物资、人数整数特征。 【典例14】．《算法统宗》中有一道题：原文是：“牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个剩．问：有几个牧童几个杏？”题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏．有多少个牧童、多少个杏？设共有x个杏，可列方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．据我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位老者在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一（例如：图中第根上的一个绳结表示个，第根上的一个绳结表示个），用来记录采集到的野果的个数．她一共采集到了个野果，则在第根绳子上的打结数是________． 【变式2】．元朝著名数学家朱世杰的名著《四元玉鉴》中有一问题：“我有一壶酒，携着游春走．遇务（务，即酒肆，卖酒的地方）添一倍，逢店饮斗九（斗九即一斗九，也就是斗），店务经四处，没了壶中酒．借问此壶中，当元多少酒（即问原来应当有多少酒）”，请你用方程的方法，求出原来应当有多少酒？ 【变式3】．我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐观．请问客家，大小几船？“其大意为：清明出去游园，所有人共乘坐了8条船，大船每条坐6人，小船每条坐4人，38人刚好坐满，大船、小船各几条？（列一元一次方程解） 题型15 其它问题 解题技巧：通用万能建模法。1. 回归六步法，抓题干唯一不变等量；2. 区分变量、不变量，以不变应万变；3. 用含未知数式子翻译所有条件；4. 列式求解、严格验根、贴合生活实际取舍；5. 无法归类题型，优先用和差、总量守恒建模。 【典例15】．如图是按一定规律排列的，第个图中有个◇与个☆，第个图中有个◇与个☆，第个图中有个◇与个☆，……，按照这样的规律，则当◇的个数是个时，☆的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1】．将若干张长为的相同的长方形纸片，按如图所示的方法粘合成纸带，粘合部分的宽为．小颖需要粘合长为的纸带，需要这样的长方形纸片__________张． 【变式2】．一个底面直径为、高为的圆柱形水瓶甲内装满水，将水瓶甲内的水倒入一个底面直径为、高为的圆柱形水瓶乙中． (1)试通过计算判断能否完全装下 (2)若装不下，则水瓶甲内剩余水的高度为多少厘米若未能装满，求水瓶乙内水面离瓶口的距离． 【变式3】．2026年全国低碳日定于6月17日，活动主题为“绿色转型，全民同行”，鼓励全民共同参与低碳行动．“碳足迹”是指一个人或一个家庭的活动产生的二氧化碳排放量．通过计算“碳足迹”，我们可以更好地了解自己的生活方式对环境的影响，采取低碳生活的方式，减少碳排放量，同时也可以通过一定“碳补偿”措施，来达到平衡． 下表是小明同学查询相关资料计算出一家三口某月的“碳足迹”： 序号 种类 消耗量 碳排放系数 碳排放量（） 1 家庭用电 93.6 2 自来水 8t 7.28 3 天然气 25.92 4 牛肉 135 5 国际长途飞行 720 6 应季蔬菜 24 (1)若一棵树每年吸收大约，则根据上表至少需要________棵树一年才能抵消该月使用天然气产生的碳排放量；（结果保留整数） (2)小明家本月购买牛肉和应季蔬菜共，这两种食材产生的总碳排放量为．求小明家本月购买牛肉和应季蔬菜各多少千克？ (3)为了抵消国际长途飞行的碳排放量，小明计划调整家中空调的使用方案．已知1.5匹家用空调制冷模式每小时碳排放量约，制热模式每小时碳排放量约，小明家夏季（120天）每天开8小时，冬季（90天）每天开6小时，其余季节不开空调．他计划在夏季和冬季都将每日空调使用时长减少相同的时间．请通过计算说明：他能否在一年内通过减少空调使用，抵消全部飞行产生的碳排放量？ 1．如图是毛笔的结构图，现有根短竹，每根短竹可制成笔管个或笔斗个，个笔管搭配个笔斗，怎样分配短竹的数量，使制成的笔管与笔斗正好配套？小明列出方程：，则表示的是（     ） A．制成笔管的短竹数量 B．制成笔斗的短竹数量 C．制成笔管的个数 D．制成笔斗的个数 2．将整数1至2026按一定规律排列如下表所示： 平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（） A．63 B．2022 C．2024 D．2026 3．由于车辆前后轮胎的磨损并不一致，因此当车辆行驶一定里程之后，需进行前后轮胎换位．设轮胎报废时的总磨损量为1，如某轮胎可行驶a公里，则每公里的磨损量为．某品牌的轮胎安装在某车前轮行驶6万公里报废，安装在后轮行驶4万公里报废，如果此车行驶若干公里后将前后轮胎进行一次换位，使得前后两对轮胎同时报废，那么此品牌的轮胎从安装到报废最多可以行驶（     ） A．4.5万公里 B．4.8万公里 C．5万公里 D．5.2万公里 4．某商店换季准备打折出售某服装，若按照原售价的八折出售，将亏损20元，而按原售价的九折出售，将盈利15元，则该服装的成本为（     ） A．230元 B．250元 C．260元 D．300元 5．现在有一面10尺厚的墙，大小两只老鼠分别沿垂直于墙的方向从两面相对着打洞，三天刚好打通．第一天两只老鼠都打相同距离的洞，从第二天开始，大老鼠每天打洞的距离是前一天的2倍，小老鼠每天打洞的距离是前一天的一半，第三天结束，洞刚好被打通．小老鼠第一天打洞的距离为（　　　　　） A．尺 B．尺 C．1 尺 D．尺 6．如图，在的方阵图中，填写了一些数和字母（其中字母表示一个数）．若处于每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和都相等，则这个方阵图中字母表示的数为（     ） 13 12 8 A．6 B．7 C．9 D．10 7．2025年福建省消协系统纠纷调解成功率位居全国的首位，当中福建省消协组织受理投诉万件，比2024年同比增长，若将2024年福建省消协组织受理投诉的数量设为x万件，求2024年福建省消协组织受理投诉的数量，以下符合题意的方程为（     ） A． B． C． D． 8．厦门某公园计划种植凤凰木和落羽杉两种花木．已知种植凤凰木的数量比落羽杉的2倍少15株，设落羽杉种植x株，一共种植花木285株，则符合题意的方程是（     ） A． B． C． D． 9．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首诗：“林下牧童闻如果，不知人数不知竹，每人五竿多三竿，每人七竿少五竿”．设有牧童x人，可列方程为（     ） A． B． C． D． 10．在数学游艺会上，张华负责一个游戏项目，她准备了张同样的卡片，上面分别写有，，，…，，，游戏规则是：先将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上（如图），这五张卡片分别记为A，B，C，D，E，张华依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数字最大．下表是李明抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和，则这五张卡片上数字最大的是（     ） 卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数的和 A．A B．B C．C D．D 11．在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”．中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”．小明在探究“幻方”时，提出一个问题：如图是三阶幻方，满足每行，每列，每条对角线上三个数之和都为，则______． 12．在弹性限度内，弹簧的长度随所挂物体的质量的增加而增长，经过实验与测量，得到弹簧的长度与所挂物体的质量之间的对应关系如下表；若弹簧的长度是，则所挂物体的质量是______． 物体的质量 1 2 3 4 5 弹簧的长度 13 13.5 14 14.5 15 13．某商场服装部处理一批上衣，经计算如果打九折出售可以获利645元，如果打八折出售就要亏本375元，则这批上衣的原价是__________元． 14．每年的4月23日是世界读书日，某书店举办“书香阅读”图书展．已知《汉语成语大词典》和《中华上下五千年》两本书的标价总和为150元，现《汉语成语大词典》按标价五折出售，《中华上下五千年》按标价六折出售，小明花80元买了这两本书，则《中华上下五千年》的标价是___________元． 15．（列一元一次方程解应用题）我市青云湖景区风景优美如画，某公司举行传统文化节活动，主办方分两次共邮购了200把绘有我市青云湖美景的折扇作为当天活动的纪念品．折扇单价为8元，其中邮费和优惠方式如表所示： 邮购数量 100以上（含100） 邮寄费用 总价的 免费邮寄 折扇价格 不优惠 打九折 若两次邮购折扇，一次购买多于100把，另一次购买少于100把，共花费1504元，求两次邮购的折扇的数量． 16．如图，数轴上的单位长度为1，点A，B是数轴上两点． (1)若点A，B表示的数互为相反数，则点A表示的数为________； (2)若点A，B表示的数的和为，求点A，B表示的数． 17．我国古代的“九宫图”是由方格构成的，每个方格均有不同的数，每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．如下给出了“九宫图”的一部分，请推算的值． 2025 x 1 5 18．第九届亚洲冬季运动会将于年月在黑龙江省哈尔滨市举行．运动会吉祥物“滨滨”和“妮妮”，原型是出生于黑龙江的两只可爱的小东北虎，寓意是“哈尔滨欢迎您”．元旦期间，实验小学六年级购买了“滨滨”和“妮妮”玩偶共个作为奖品．当“滨滨”玩偶送出，“妮妮”玩偶送出时，剩下的“滨滨”玩偶和“妮妮”玩偶同样多，原来购置了多少个“妮妮”玩偶？ 19．【规律探究】“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一，对于其来源于何处，如今有各种传说．图即洛书，数出图中各处的圆圈和圆点个数，并按照图中的顺序把它们填入正方形方格中，就得到一个“三阶”幻方（图）． 【观察发现】图 “三阶”幻方的每行，每列，每条对角线上数字之和都等于，中间的数为，若将“三阶”幻方的每行、每列、每条对角线上三个数字之和称为“幻方和”，中间的数称为“中心数”，发现“幻方和”是“中心数”的倍． 【猜想验证】猜想：“三阶”幻方的“幻方和”是“中心数”的倍． 说明理由：如图，将“三阶”幻方中的个数字分别用字母、、、、、、、、表示，其中“中心数”为，将“幻方和”用字母表示． 由题意可知：： 又因为； 即； 所以，所以，即“幻方和”是“中心数”的倍． 【解决问题】利用上述结论解决问题： (1)如图，已知，，幻方的“中心数”，则的值为________； (2)如图，、、、、、是含有字母的整式，，． ①若幻方的“中心数”，求整式（用含的式子表示）： ②若幻方的“中心数”，，且、均为常数，求、的值． 20．如图①，点为数轴原点，，正方形的边长为，边在数轴上．点从点出发，沿射线方向运动，速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒，回答下列问题． (1)点对应的数为________，点对应的数为________； (2)如图②，在点运动过程中，在数轴上作线段，点在点右侧，以为边向上作正方形，连结、． ①点对应的数为________；（用含的式子表示） ②当的面积为时，求的值； ③当正方形与正方形重叠面积为的面积倍，直接写出的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 实际问题与一元一次方程 目录 知识点1 一元一次方程解应用题通用六步法（必考） 2 知识点2 应用题通用核心原则 2 题型1 配套问题 2 题型2 工程问题 6 题型3 销售盈亏 8 题型4 比赛积分 11 题型5 方案选择 14 题型6 数字问题 18 题型7 几何问题 22 题型8 动点问题 26 题型9 和差倍分问题 31 题型10 电费和水费问题 35 题型11 行程问题 39 题型12 比例分配 43 题型13 日历问题 47 题型14 古代问题 51 题型15 其它问题 53 1. 知识目标：掌握一元一次方程解应用题的通用六步解题法，熟记各类生活、几何、古代数学应用题的固定等量关系模型。 2. 能力目标：能快速审题、找等量、设未知数列方程；熟练解决配套、工程、行程、销售、计费、动点、日历等15类高频应用题，能对方案类问题进行对比决策。 3. 素养目标：建立数学建模思想，学会用方程思想替代算术思维，培养分类讨论、数形结合、择优决策的数学能力。 知识点1 一元一次方程解应用题通用六步法（必考） 1. 审：读懂题意，梳理已知量、未知量、不变量、核心等量关系； 2.设：优先直接设，复杂题型间接设，统一设较小量、基准量； 3. 列：根据等量关系列出规范一元一次方程； 4. 解：按标准步骤解方程，求出未知数的值； 5. 验：检验计算正确性+检验结果符合实际意义（正整数、合理范围）； 6. 答：规范作答，对应题干问题完整回答。 知识点2 应用题通用核心原则 1. 找等量核心：不变量、总量相等、和差倍分关系、公式关系是列式依据； 2. 取舍原则：人数、零件数、天数、度数、个数必须为正整数；长度、数量必须为正数； 3. 设元技巧：出现比例、倍数、多个未知量时，统一设一份为，简化计算。 题型1 配套问题 解题技巧：1. 核心等量：零件配套比例恒定（如1个甲配2个乙）；2. 公式模型：甲总数量∶乙总数量 = 配套比；3. 设生产人数/天数为，分别表示两组总产量；4. 利用比例交叉相乘列方程；5. 结果必须为整数，不符合直接舍去。 秒杀口诀：配套看比例，总量成正比，交叉来列式。 【典例1】．《九章算术》中记录了一道经典的数学问题：今有匠工四十四人，日可作斗身十二，或斗耳二十．凡斗，一身配二耳．欲令日作身、耳适相配，问各遣几人？题目大意：有工匠44人，每人每日可做斗身12个或斗耳20个．1斗身配2斗耳，问各安排多少人，使刚好配套？设人做斗身，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设做斗身的人数为，用总人数表示出做斗耳的人数，再根据配套要求列方程即可． 【详解】解：∵设人做斗身，总工匠共人， ∴做斗耳的人数为人，可得每日斗身总产量为个，每日斗耳总产量为个， ∵个斗身配个斗耳，刚好配套时斗耳总数量是斗身总数量的倍， ∴列方程得：． 【变式1】．某茶具生产车间共有25名工人，每人每天可生产3个茶壶或者7只茶杯，1个茶壶与6只茶杯配套．为使每天生产的茶壶和茶杯刚好配套，需要多少名工人生产茶壶？设有名工人生产茶壶，则可列方程____________． 【答案】 【分析】根据配套关系找出等量关系，设名工人生产茶壶，则名工人生产茶杯，根据茶杯总数量是茶壶总数量的倍列出方程即可． 【详解】解：设有名工人生产茶壶，则有名工人生产茶杯， 根据题意可得，生产茶壶的总数量为个，生产茶杯的总数量为只， 由个茶壶与只茶杯配套，可得茶杯总数量是茶壶总数量的倍， 因此列方程得， ． 【变式2】．某非遗国风礼盒套装，由1个漆器首饰盒和8枚传统纹样银饰组成．某非遗工坊现有120名工人，每个工人一天能制作50个漆器首饰盒或200枚传统纹样银饰．该工坊应如何安排工人生产，才能使每天生产的漆器首饰盒和传统纹样银饰刚好配套？ 【答案】安排40名工人生产漆器首饰盒，80名工人生产传统纹样银饰，可使每天生产的礼盒套装刚好配套 【分析】设安排名工人生产漆器首饰盒，则生产传统纹样银饰的工人有名，利用非遗国风礼盒套装，由1个漆器首饰盒和8枚传统纹样银饰组成，再建立方程求解即可. 【详解】解：设安排名工人生产漆器首饰盒，则生产传统纹样银饰的工人有名．     根据题意，列方程得．         解得．                 ∴生产传统纹样银饰的工人数量：（名）．         答：安排40名工人生产漆器首饰盒，80名工人生产传统纹样银饰，可使每天生产的礼盒套装刚好配套. 【变式3】．完成如下项目式学习表 情境挖掘 眼镜是由镜片和镜架组合起来，用来改善视力、保护眼睛或作装饰用途的用品． 素材整合 某工厂需要生产一批镜架（如图），每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成．工厂现共有35名工人，平均每人每天生产120个镜框或180个镜腿． (1)应如何安排工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ (2)某店家以每副100元的价格购进镜架后提高后标价．在元旦假期期间，店家打七五折销售，售出的每一副镜架的利润率是多少？ (3)该店家购进了100副镜架，元旦假期期间售出了80副，若想在销售完这100副镜架后总获利5%，则剩余的镜架应打几折出售？ 【答案】(1)安排15名工人生产镜框，20名工人生产镜腿，才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套； (2) (3)剩余的镜架应打五折出售． 【分析】（1）设安排x名工人生产镜框，则安排名工人生产镜腿，根据等量关系为：每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成，把相关数值代入即可； （2）根据店家提出的“提高后标价，在元旦假期期间，店家打七折销售”进行列式求解即可； （3）设剩余的镜架应打y折出售，再根据“销售完这100副镜架后总获利”进行列方程求解即可． 【详解】（1）解：设安排x名工人生产镜框，则安排名工人生产镜腿， 解得， ， 答：安排15名工人生产镜框，20名工人生产镜腿，才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套； （2）根据题意得： 答：售出的每一副镜架的利润率是； （3）设剩余的镜架应打y折出售， 根据题意得：， 整理得 解得， 答：剩余的镜架应打五折出售． 题型2 工程问题 解题技巧：1. 固定设定：总工程量看作单位1；2. 工作效率 = ；3. 核心公式：工作总量 = 工作效率 × 工作时间；4. 合作题型：总工作量 = 各人工作量之和；5. 休息、交替工作题型分段计算工作量，累加等于1。 易错点：效率、时间对应错误，合作直接叠加天数。 【典例2】．甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时．丙水管单独开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，水池注满还要（     ）个小时． A．15 B．20 C．35 D．40 【答案】C 【分析】将一池水总水量看作单位，先求出各水管的工作效率，设水池注满还要小时，根据题意，列出方程，求解即可． 【详解】解：把一池水总水量看作单位， 甲单独注满需小时，乙单独注满需小时，丙单独排完整池水需小时 甲进水效率为，乙进水效率为，丙排水效率为， 设水池注满还要小时， 根据题意可得，， 解得， 即水池注满还要小时． 【变式1】．年月日，我国首艘万立方米液化天然气（）运输船“乔治敦”号顺利交付，该船型被称为“造船业皇冠上的明珠”．某工厂计划用天时间生产一批轮船模型，实际每天比原计划多生产个，结果提前天完成了生产任务，则原计划每天生产________个轮船模型． 【答案】 【分析】根据生产总任务量不变建立等量关系，设未知数后列方程求解即可． 【详解】解：设原计划每天生产个轮船模型， 由题意可知，实际生产天数为天，实际每天生产个，根据总任务量相等，列方程得： ， 解得：， 即原计划每天生产6个轮船模型． 【变式2】．智能机器人分拣货物，每分钟可分拣件货物，机器人先单独工作一段时间，之后人工辅助分拣货物，每分钟共分拣件．若总共用时50分钟，一共分拣件货物，求机器人单独工作的时长． 【答案】机器人单独工作的时长为分钟 【分析】设机器人单独工作的时长为分钟，则人工辅助分拣货物的时长为分钟，根据题意建立一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：设机器人单独工作的时长为分钟，则人工辅助分拣货物的时长为分钟， 由题意得：， 解得， 答：机器人单独工作的时长为分钟． 【变式3】．【项目式学习：校园广告牌制作工程】 某校初中七年级数学社团的学生学习了方程的知识后，参与了一个项目式学习——校园广告牌制作工程，下面是他们学习单的一部分，请你结合工程实际，用方程（组）的知识解决下列问题： 项目背景 学校校办厂需制作一块公益广告牌，邀请两名工人完成制作．已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天． (1)若两名工人从一开始就合作制作，需要多少天可以完成全部广告牌？ (2)现调整施工方案：由徒弟先单独制作1天，再由两人合作完成剩余工作．全部完工后共获得报酬450元，若按各自完成的工作量计算报酬，请你分别求出师傅和徒弟应分得的报酬金额． (3)请你再设计一种新的施工方案（例如“一人先做若干天，再两人合作”或“两人合作后一人离开”等），并列出对应的方程，无需求解． 【答案】(1)两人合作需要天完成全部广告牌 (2)师傅和徒弟应分得的报酬金额各为225元 (3)师傅与徒弟合作先合作2天，然后由徒弟独自完成剩余部分，徒弟还需几天完成？ 【分析】（1）设两人合作需要x天完成，由题意得：，进一步求解即可； （2）设两人合作还需y天完成，由题意得：，再进一步求解即可； （3）设置合理问题即可. 【详解】（1）解：设两人合作需要x天完成，由题意得：， 解得：． 经检验是原方程的解，且符合题意． 答：两人合作需要天完成． （2）解：设两人合作还需y天完成，由题意得：， 解得：． 经检验是原方程的解，且符合题意． 师傅的工作量为，徒弟的工作量为，因为师傅和徒弟的工作量相同，所以报酬也相同，每人应得元． 答：师傅和徒弟各得225元． （3）解：（问题不唯一） 如：师傅与徒弟先合作2天，然后由徒弟独自完成剩余部分，徒弟还需几天完成？ 解：设徒弟还需m天完成，由题意得：. 题型3 销售盈亏 解题技巧：熟记销售四大核心公式：1. 利润 = 售价 − 进价；2. 利润率 = ；3. 售价 = 标价 × 折扣；4. 盈亏判断：利润正为盈、利润负为亏、利润0为不盈不亏；5. 设进价/标价为，根据利润、折扣关系列方程。 高频坑点：利润率永远以进价为分母，不是售价。 【典例3】．某种商品的进价为每件180元，现按标价的9折销售时，利润率为，设这种商品的标价为每件元，依题意列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等量关系，利润售价进价，利润进价利润率，列方程即可． 【详解】解：设这种商品的标价为每件元， ∵商品按标价的9折销售， ∴实际售价为元， 根据题意列方程得：． 【变式1】．商场将某种商品按标价的八折出售，此时商品的利润率是．已知这种商品的进价为1600元，则这种商品的标价为________元． 【答案】2400 【分析】设这种商品的标价为x元，根据利润利润率进价售价进价列方程求解即可． 【详解】解：设这种商品的标价为x元， 根据题意，得 解得 答：这种商品的标价为2400元． 【变式2】．某电器商场计划用万元从生产厂家购进台电视机已知该厂家生产种不同型号的电视机，出厂价分别为种每台元，种每台元，种每台元． (1)若该商场只选购、两种电视机，各购买多少台？ (2)若商场销售一台种电视机可获利元，销售一台种电视机可获利元，销售一台种电视机可获利元，除了（1）的方案，该商场还有一种方案，购进种电视机台，种电视机台在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销售时获利最多，应选择哪种方案？ 【答案】(1)购进、两种电视机各台 (2)应选择购进种电视机台，种电视机台 【分析】（1）设购进A种电视机台，则B种为台，列方程求解即可； （2）求出两种方案的利润，再比较即可． 【详解】（1）解：设购进种电视机 台，则购进种电视机台， 由题意得，， 解得， 所以， 答：购进、两种电视机各台； （2）解：若购进、两种电视机各台，可获利（元） 若购进种电视机台，种电视机台，可获利（元） 因为， 所以为了获利最多，应选择方购进种电视机台，种电视机台． 【变式3】．烟台大樱桃享誉全国，6月前后正是烟台大樱桃大量上市时间．某水果店用元购进甲、乙两个品种大樱桃共150千克进行销售，这两个品种大樱桃每千克的进价、预售价如下表： 品种 进价（元千克） 预售价（元千克） 甲 12 20 乙 18 30 (1)求该水果店购进甲、乙两个品种大樱桃各多少千克？ (2)销售过程中，甲品种大樱桃按预售价全部售出；乙品种大樱桃按预售价售出一部分后，其余部分按八折全部售出，两个品种大樱桃共获利元．求乙品种大樱桃按预售价售出了多少千克？ 【答案】(1)购进甲品种大樱桃80千克，乙品种大樱桃70千克； (2)乙品种大樱桃按预售价售出了50千克 【分析】（1）设购进甲品种大樱桃千克，根据总重量得到乙品种的购进重量，结合总进价列出一元一次方程，求解得到两种樱桃的购进重量； （2）设乙品种大樱桃按预售价售出了千克，分别计算甲和乙两部分的利润，根据总获利列出一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设购进甲品种大樱桃千克，则购进乙品种大樱桃千克． 解得， ∴购进乙品种大樱桃（千克）， 答：购进甲品种大樱桃80千克，乙品种大樱桃70千克； （2）解：设乙品种大樱桃按预售价售出了千克，则按八折售出了千克， 由题意得，甲品种总利润为（元），乙品种打折后的售价为（元/千克） ∵总获利为1360元， ∴ 解得， 答：乙品种大樱桃按预售价售出了50千克． 题型4 比赛积分 解题技巧：1. 固定规则：总场次=胜场+负场+平场；2. 总积分=胜场积分+平场积分−负场扣分；3. 设胜/平场数为，其余场次用含式子表示；4. 根据总积分列方程；5. 场次必须为非负整数，严格取舍。 【典例4】．某校开展了“剪纸文化知多少”的知识竞赛，选手需要从题库中随机抽取20道题依次进行作答，答对一道得3分，不答或答错扣1分．已知小明得了36分，则他答对的题数为（     ） A．8道 B．9道 C．12道 D．14道 【答案】D 【分析】设答对题的数量为未知数，根据总题数得到不答或答错的题数，结合得分规则列方程求解． 【详解】解：设小明答对的题数为道，则不答或答错的题数为道， 根据题意，列出方程为， 整理得， 解得， ∴小明答对的题数为道． 【变式1】．2026年6月2日，在意大利国际青少年杯足球比赛中，中国2014队（U12年龄段）夺得冠军．在这次比赛中中国足球小将共参加了7场比赛，全部获胜，总进球数为21个．已知小组赛3场共进球的个数是淘汰赛3场共进球个数的2倍多2个，最后决赛1场，进球1个，则中国队小组赛共进球_______个． 【答案】 【分析】设中国队淘汰赛共进球个，则小组赛共进球个，再根据总进球数的等量关系列出方程，求解方程后即可得到小组赛的进球个数． 【详解】解；设中国队淘汰赛共进球个，则小组赛共进球个. 根据题意列方程得： ， 合并同类项得：， 移项得：，即， 系数化为得：， 将代入得：， 中国队小组赛共进球：14个． 【变式2】．学校开展“科技小达人”主题活动，活动分为“编程挑战”和“手工创作”两个项目，活动结束后根据两个项目的得分进行颁奖．评奖规则为： 奖项 获奖条件（满足多个条件时仅颁发最高奖） 金奖 两个项目得分之和不低于110分，且至少一个项目得分达到65分 银奖 两个项目得分之和不低于110分 参与奖 完成全部两个项目的活动 在正式计分前可以先体验一次．同学甲体验时，“编程挑战”与“手工创作”得分比为；正式计分中，“编程挑战”得分比体验时提高了9分，“手工创作”得分比体验时增加了，最终两项共得123分．请利用所学知识，为这个同学颁发合适的奖项，并说明理由． 【答案】解：给这个同学颁发金奖，理由如下： 设体验时编程挑战得分，手工创作得分，则正式计分时编程挑战得分，手工创作得分． 根据题意可列方程为：． 解得， ∴编程得（分）， 手工创作得（分）， ， ∴给这个同学颁发金奖， 答：给这个同学颁发金奖． 【分析】先设出体验时编程挑战得分，手工创作得分，利用两项共得123分求出x的值，即可计算得出编程得分与手工创作得分，根据获奖条件即可求解． 【详解】略 【变式3】．某电视台组织知识竞赛，共20道选择题，每题必答，如表记录了3个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 总得分 甲 20 0 100 乙 19 1 94 丙 14 6 64 (1)由表中的数据可知：答对1题得________分，答错1题得________分； (2)小婷得76分，她分别答对了几道题、答错了几道题？ (3)小明说他得了80分，你认为可能吗？为什么？ 【答案】(1)5， (2)参赛者小婷得76分，她答对了16道题，答错了4道题； (3)不可能，见解析 【分析】（1）从参赛者甲的得分可以求出答对1题的得分总分全答对的题数，再由乙同学的成绩就可以得出答错1题的得分； （2）设参赛者小婷答对了x道题，则答错了道题，根据“答对的得分加上答错的得分76分”建立方程求出其解即可； （3）假设他得80分可能，设答对了道题，答错了道题，根据“答对的得分加上答错的得分80分”建立方程求出其解即可判断． 【详解】（1）解：由题意，可得，答对1题的得分是：分， 答错1题的得分为：分； （2）解：设参赛者小婷答对了x道题，则答错了道题， 由题意，得， 解得， ， 答：参赛者小婷得76分，她答对了16道题，答错了4道题； （3）解：不可能．理由如下： 假设他得80分可能，设答对了道题，答错了道题， 由题意，得， 解得， ∵为整数，而不是整数， ∴参赛者小明说他得80分，是不可能的． 题型5 方案选择 解题技巧：1. 分别列出方案A、方案B的费用表达式；2. 令两式相等，求出分界值；3. 分类讨论：小于、等于、大于分界值分别对应最优方案；4. 结合实际取值范围，确定最终最优选择；5. 题型通用：购物优惠、租车、购票、收费方案全部适用。 【典例5】．小静准备到甲商场或乙商场购买一些商品，两家商场同种商品的标价相同，但各自推出的优惠方案不同．在甲商场累计购买满一定数额元后，超出的部分按原价的90%付费；在乙商场累计购买50元商品后，超出的部分按原价的95%付费．若累计购买商品元，当时，在甲商场需付钱数；当时，在乙商场需付钱数为．给出下列结论：①；②；③当时，选择乙商场更优惠；④当时，选择甲商场更优惠．其中正确的是（   ） A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】C 【分析】先根据两家商场的优惠方案，分别推导出费用表达式，再逐一验证题目给出的四个结论是否正确，最后结合选项选出正确答案． 【详解】解：首先分析甲商场： 累计购买满元后，超出部分按原价的付费，当时，费用为： ． 题目中给出，对比可得，解得，故结论②正确． 分析乙商场： 累计购买元商品后，超出部分按原价的付费，当时，费用为： ． 与题目给出的表达式一致，故结论①正确． 分析结论③和④： 比较与的大小，即解不等式： 移项得： 解得 ． 当时，甲商场更优惠，与结论③矛盾，故结论③错误． 当时，甲商场更优惠，结论④正确． 所以正确的结论是①②④． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的实际应用，解题关键是根据优惠方案建立费用函数，并通过不等式比较费用大小，从而判断优惠方案的优劣． 【变式1】．为了庆祝劳动节，宣扬劳动光荣的中华民族优秀传统，某网店为了吸引顾客，推出下列优惠措施，受到顾客的好评．优惠措施如下： 购物款不超过200元不享受优惠； 购物款超过200元但不超过600元一律享受九折优惠； 购物款超过600元一律享受八折优惠， 某顾客第一次从该网店购物花了168元人民币，第二天又花了423元从该网店购物，如果该顾客一次性购买以上商品，可以节省_____元 【答案】80.6 【分析】先确定第一次购物的原价，再确定第二次购物的原价，分、两种情况分别计算出购买的实际款数，然后计算两次购物原价总和，判断总和对应的优惠档位，按照对应折扣算出一次性购买的应付款，用两次分开购买的总付款减去一次性购买的应付款，得到节省的金额． 【详解】解：（1）第一次购物显然没有超过200元，即在第一次消费168元的情况下，他的实质购物价值只能是168元． （2）第二次购物消费423元，则可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同（折扣率不同）： ①第一种情况：他消费超过200元但不足600元，这时候他是按照9折付款的． 设第二次实质购物价值为，那么依题意有， 解得：． ②第二种情况：他消费超过600元，这时候他是按照8折付款的． 设第二次实质购物价值为，那么依题意有， 解得：（舍去） 即在第二次消费423元的情况下，他的实际购物价值可能是470元． 综上所述，他两次购物的实质价值为（元），超过了600元． 因此一次性购买可以按照8折付款：（元），（元） 综上所述，他可以节省80.6元． 【变式2】．暑假期间，小旭和几名同学随家长一同到某景区游玩，下面是购买门票时小旭与爸爸的对话，根据图中的信息，解答问题． (1)小旭他们一共去了几个成人，几个学生？ (2)请你帮助小旭算一算，为他们设计出最省钱的购票方案，并求出此时的购票费用． 【答案】(1)一共去了成人8人，学生12人； (2)购买15张团体票，5张学生票更省钱，此时的购票费用为575元 【分析】（1）设一共去了位成人，则去了位学生，根据题意列出方程，解方程即可； （2）计算全部购买团体票和组合购买的金额，与700元进行比较，据此解答即可． 【详解】（1）解：设一共去了位成人，则去了位学生， 根据题意得， 解得， 则学生人数为（人）， 答：一共去了成人8人，学生12人； （2）解：若购买20张团体票，则共需付款（元）， 若购买15张团体票，5张学生票，则共需付款（元）， ∵， ∴购买15张团体票，5张学生票更省钱． 【变式3】．刘师傅购买了一辆某型号的新能源汽车，其电池满电量为千瓦时．目前有两种充电方案可供选择： 方案一：私家安装充电桩，费用为元，每千瓦时电费为元． 方案二：使用公共充电桩，无安装费用，每千瓦时电费（含服务费）为元． 已知新能源汽车充电时存在能量损耗，电池实际每增加千瓦时的电量，需充入千瓦时的电．假设电池的耗电量与行驶里程成正比，且电池从满电千瓦时行驶至千瓦时时，对应的行驶里程为千米． 请解答以下问题： (1)电池每次从千瓦时充至满电千瓦时，分别计算使用方案一和方案二，单次充电所需支付的电费． (2)请问该汽车的累计行驶里程为多少千米时，两种充电方案的总费用恰好一样多？ 【答案】(1) 使用方案一单次电费为元，使用方案二单次电费为元. (2) 累计行驶里程为千米时，两种充电方案的总费用恰好一样多. 【分析】（1）根据每千瓦时所需电费计算出所需费用； （2）设该汽车的累计行驶里程为千米时，根据两种充电方案的总费用相同列方程求解． 【详解】（1）解：使用方案一，单次电费为元， 使用方案二，单次电费为元； （2）解：设该汽车的累计行驶里程为千米时，两种充电方案的总费用恰好一样多， 根据题意可得：， 解得：， 答：累计行驶里程为千米时，两种充电方案的总费用恰好一样多. 题型6 数字问题 解题技巧：1. 两位数表示：十位、个位，数值=；2. 三位数同理：百位权重100、十位10、个位1；3. 连续数：连续整数、奇偶数列依次±1、±2；4. 根据和、差、积、平方关系列方程；5. 数位限制：十位、百位不能为0，个位0~9。 【典例6】．幻方是一种古老又有趣的数字矩阵，起源于中国古代，最早的三阶幻方也叫洛书，距今已有几千年历史．如图，在一个的方格中，填写了一些数和代数式，已知各行各列及对角线上的三个数之和都相等，则m的值为（     ） 2 3 y m y A．0 B．1 C．3 D．5 【答案】C 【分析】根据三阶幻方的性质，各行各列对角线上的三个数之和相等，先利用已知位置的数推出和的值，再计算得到． 【详解】解：如图， 2 3 a y m z y 设第三行中间数为，第一行第三个数为， 根据题意得：， ∴， ∵，即， ∴， ∵，即， ∴． 【变式1】．宋代数学家杨辉称“幻方”为“纵横图”，传说最早出现的幻方是夏禹时代的“洛书”，杨辉的著作《续古摘奇算法》中总结了“洛书”的构造．在如图所示的三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则“”位置的数是________． 【答案】7 【分析】 标记“”位置的数为x，左上角的数字为a，左下角的数字为b，中间的数字为m，根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等”，可得，，推出，，再根据左边一列的和等于右边一列的和，列方程，解方程求出x的值即可． 【详解】解：如图，标记幻方中的相关数字， a 3 1 m 17 b x 由题意得：，， 解得，， 由，得：， 解得， 即“”位置的数是7． 【变式2】．我们定义：若两个有理数的积等于这两个有理数的和，则称这两个数互为“友好数”．如：有理数与5，因为，所以与5互为“友好数”． (1)①判断与3是否互为“友好数”，并说明理由． ②的“友好数”为______． (2)若有理数a与b互为“友好数”，b与c互为相反数，求代数式的值． (3)对于有理数x（且），设x的“友好数”为，的倒数为，的“友好数”为，的倒数为……；依次按如上的操作，得到一组数，，，，……，．当时，求的值． 【答案】(1)①与3互为“友好数”，理由如下： ∵， ∴与3互为“友好数”； ② (2) (3) 【分析】（1）①根据“友好数”的定义即可求解； ②根据“友好数”的定义即可求解； （2）根据有理数与互为“友好数”，与互为相反数，得出，再化简代数式即可求解； （3）根据题意计算出，由此即可找出数字规律求解． 【详解】（1）解：①略 ②设的“友好数”为x，根据题意得： ， 解得：， 即的“友好数”为； （2）解：∵有理数与互为“友好数”，与互为相反数， ∴， ∴ （3）解：由题意得，当时，它的友好数， ∴， ∴这组数以，，，，，4为周期循环，周期为6， ∵， ∴对应周期中第4个数，值为． 【变式3】．小刚是个爱动脑的学生，他将连续的奇数1，3，5，7，…排成如图所示的形式，并用一个十字形框架框住其中的五个数．请你仔细观察十字形框架中数字的规律，并解答下列问题． (1)设十字形框架中间的数为，则十字形框架中五个数的和为_______；（用含的代数式表示） (2)若将十字形框架上下左右移动，可框住另外的五个数，这五个数的和能等于115吗？若能，求出这五个数：若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能；13，21，23，25，33 【分析】（）设十字形框架中间的数为，再根据上下的数相差，左右的数相差，就可以求出个数之和； （）设十字形框架中间的数为，根据这五个数的和等于列方程，求出的值，即可判断． 【详解】（1）解：设十字形框架中间的数为，则另外个数分别为：，，，， ∴十字形框架中的五个数的和为； （2）解：能，理由： 设十字形框架中间的数为，则 ， 解得， 所以这五个数的和能等于115， 这五个数为13，21，23，25，33． 题型7 几何问题 解题技巧：1. 依托周长、面积、角度公式列等量；2. 设边长、宽、高为，用含式子表示各边；3. 长方形、正方形、角度计算为高频；4. 角度问题：利用直角、平角、三角形内角和180°列式；5. 边长、角度必须为正数，超范围舍去。 【典例7】．如图1，从一个边长为3的正方形纸片上剪掉两个边长为的小正方形，得到如图2所示的图形．若图2中图形的周长为18，则的值是（     ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】A 【分析】根据图形剪切前后周长的变化规律列出关于的一元一次方程即可． 【详解】解：由题意得，原正方形的周长为 ， 观察图形可知，剪掉两个小正方形后，图形的周长比原正方形的周长增加了4条长为的边， 图2中图形的周长为， 图2中图形的周长为18， ，解得 ． 【变式1】．如图，用一些长短相同的小木棍分别摆一排正方形和一排六边形，要求相邻的图形只有一条公共边．已知正方形个数的6倍和六边形个数的4倍一样多，并且一共用了86根小木棍，则连续的正方形摆了_______个． 【答案】 8 【分析】设连续的正方形摆了个，根据正方形个数的6倍和六边形个数的4倍一样多，可以用含的代数式表示六边形的个数，根据图形规律，分别表示出摆个正方形和对应个数六边形所需的小木棍数量，利用总根数为86建立一元一次方程求解即可. 【详解】解：设连续的正方形摆了个， ∵正方形个数的6倍和六边形个数的4倍一样多， ∴六边形的个数为； 观察图形可知，摆个正方形需要小木棍根，摆个六边形需要小木棍根 根据题意，得， 解得； 故连续的正方形摆了8个. 【变式2】．已知数轴上两点A，B对应的数分别为，，点P为数轴上一个动点，其对应的数为x． (1)若点P到点A，点B的距离相等，则点P对应的数为____________； (2)数轴上是否存在点P，使点P到点A，点B的距离之和为8？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由； (3)现在点A，点B分别以2个单位长度/秒和1个单位长度/秒的速度同时向右运动，点P以6个单位长度/秒的速度同时从O点向左运动．当的值为10时，求点P所对应的数是多少？ 【答案】(1)1 (2)或5 (3)点P所对应的数是 【分析】（1）由点P到点A、点B的距离相等得点P是线段的中点，而A、B对应的数分别为、3，根据数轴即可确定点P对应的数； （2）分两种情况讨论，①当点P在A左边时，②点P在B点右边时，分别列方程求出x的值即可； （3）首先表示出运动后点A表示的数为，点B表示的数为，点P表示的数为，然后得到，，然后根据题意得到，然后分三种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：∵点P到点A、点B的距离相等， ∴点P是线段的中点， ∵点A、B对应的数分别为、3， ∴点P对应的数是； （2）解：①当点P在A左边时， 解得：； ②点P在B点右边时，， 解得：， 综上所述，当或5时，点P到点A、点B的距离之和为8； （3）解：设运动时间为t， 根据题意得，运动后点A表示的数为，点B表示的数为，点P表示的数为， ∴， ∵的值为10 ∴ ∴当时， 解得（舍去）； 当时， 解得 ∴点P表示的数为； 当时， 解得（舍去）； 综上所述，点P所对应的数是． 【变式3】．端午，是我国四大传统节日之一，佩戴香囊是流传千年的端午民俗．古人常在香囊内装入艾草、丁香、薰衣草等中草药，寓意祈福安康，承载着中华民族独特的养生智慧与民俗文化．制作端午香囊所选用的原始长方形布料的长与宽之比一般为，制作时，先距离布料上下两端为原始长方形布料的长的处进行画线，再分别距离左右两边为原始长方形布料的宽的处进行画线（如图1），然后沿中线对折（如图2），最后经过一系列折边定型、缝边、翻面等操作，得到成品香囊（如图3）．某人制作端午香囊时，要求成品香囊的长比宽多，求制作端午香囊所用的原始长方形布料的长和宽各是多少厘米？ 【答案】原始长方形布料的长和宽各是厘米和厘米 【分析】通过设未知数，根据成品香囊长和宽的关系列出方程，进而求解原始长方形布料的长和宽． 【详解】原始长方形布料的长与宽之比一般为， 可设原始长方形布料的长为，则宽为， 由题意可得，成品香囊的长为，宽为， 成品香囊的长比宽多， ，解得， ， 答：制作端午香囊所用的原始长方形布料的长和宽各是厘米和厘米． 题型8 动点问题 解题技巧：1. 设运动时间为；2. 路程=速度×时间，用含式子表示动点线段长度；3. 利用线段和差、周长、面积、垂直等条件列方程；4. 严格限制时间范围：动点不超出线段端点；5. 多动点分段讨论，避免漏解。 【典例8】．如图，在长方形中，．点从点出发沿的方向以每秒3个单位速度匀速运动，点从点出发沿的方向以每秒1个单位速度匀速运动．两点同时出发，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设两点运动时间为（秒），当直线把长方形面积分成相等的两部分时，的值为（    ） A．或 B．或5 C．或5 D．或 【答案】B 【分析】根据题意可得，则可推出，据此分两种情况：和，分别建立方程求解即可． 【详解】解：∵直线把长方形面积分成相等的两部分， ∴， ∴， 又∵， ∴； 当时，则，解得； 当时，则，解得； 综上所述，t的值为或5． 【变式1】．如图，在长方形中，厘米，厘米．两动点、同时从点出发，沿长方形的边按如图所示的方向，分别以厘米/秒的速度匀速绕行，当运动一周回到点位置时，两动点同时停止．则运动时间为______秒时，、两点的连线恰好平分长方形的面积． 【答案】或 【分析】分六种情况讨论：当时，当时，当时，当时，当时，当时，分别进行求解即可． 【详解】解：长方形中，厘米，厘米， 设运动时间为t秒， 当时，点Q在上，点P在上，、两点的连线不可能将长方形的面积平分； 当时，点Q在上，点P在上，根据题意得： ， 解得：； 当时，点Q在上，点P在上，、两点的连线不可能将长方形的面积平分； 当时，点Q在上，点P在上，、两点的连线不可能将长方形的面积平分； 当时，点Q在上，点P在上，根据题意得： ， 解得：； 当时，点Q在上，点P在上，、两点的连线不可能将长方形的面积平分； 综上，运动时间为6秒或18秒时，、两点的连线恰好平分长方形的面积． 【变式2】．如图，在直角中，，，，，点从点开始以的速度沿的方向移动，点从点开始以的速度沿的方向移动．已知、两点同时出发，设运动时间为秒． (1)如图①，若点在线段上运动，点在线段上运动，用含的式子表示、．并求当时，的值； (2)如图②，若点在线段上运动，当为何值时，的面积等于面积的； (3)当点到达点时，、两点都停止运动，直接写出时，的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据题意表示出，，，根据列方程计算即可； （2）表示出，，根据面积的关系列方程计算即可； （3）分三种情况：当，，时，列方程求解即可； 【详解】（1）点从点开始以的速度沿的方向移动，点从点开始以的速度沿的方向移动， ，， ， ， ， ， ； （2）当在线段上时，，则， 的面积等于面积的， ， ， 解得：； （3）由题意可知，在线段上运动的时间为秒，在线段上运动时间为秒， 当时，在线段上运动，，， 则，， ， ， ； 当时，在线段上运动，在线段上运动，， 则，， ， ， ； 当时，在线段上运动，在线段上运动时， 则，， ， ， ，不符合题意，舍去； 或． 【变式3】．如图，已知中，，，，点D为中点，点P的运动速度为． (1)如果点P在线段上由点B向终点C运动，同时，点Q在线段上由点C向终点A运动，若点Q的运动速度与点P的运动速度相等． ①经过2秒后， ， ； ②经过1秒后，与是否相等，请说明理由； (2)如果点P在线段上由点B向终点C运动，同时，点Q在线段上由点C向终点A运动，若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，求当点Q的运动速度为多少时，能使且? (3)若点Q以（2）中的运动速度从点C出发，点P从点B同时出发，都沿三边逆时针方向运动，则经过 秒后，点P与点Q第一次在的 边上相遇．（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程） 【答案】(1)①4，4； ②相等，理由如下： ∵点D为中点，， ∴， ∵， ∴． (2) (3)24， 【分析】（1）①利用路程速度时间，即可求解； ②由点D为中点，可得，可求得，即可判断； （2）设运动时间为，由，可得，点Q的运动速度为，由，即可求解； （3）由题意得，点Q追上点P的时间为，则可得点P的运动路程为，即可求解． 【详解】（1）解：①∵点P的运动速度为，点Q的运动速度与点P的运动速度相等， ∴，． ②略 （2）解：设运动时间为， ∵， ∴， 解得， 设点Q的运动速度为， ∵，由（1）可知，， ∴， 解得， ∴点Q的运动速度为． （3）解：设点Q追上点P的时间为， 由题意得，， 解得， ∴点Q追上点P的时间为， ∴点P的运动路程为， ∵， ， ∴经过24秒后，点P与点Q第一次在的边上相遇． 题型9 和差倍分问题 解题技巧：基础文字建模万能题型。1. 找关键词：一共、比…多、比…少、几倍、剩余；2. 核心句式：大数=小数×倍数±差；总和=各部分相加；3. 设标准量（小数）为，其余量全部用表示；4. 根据总和或差值列方程，最简单不易错。 【典例9】．今年，东东的年龄是爷爷年龄的 ．东东发现，12年后，他的年龄将变成爷爷年龄的 ．则东东今年的年龄是（     ） A．8 B．9 C．10 D．20 【答案】B 【分析】设东东今年年龄为未知数，根据年龄倍数关系表示出爷爷今年年龄，再结合12年后的年龄倍数关系列方程求解． 【详解】解：设东东今年的年龄是岁， 根据题意，得：， 解得 ， 答：东东今年的年龄是9岁． 【变式1】．商店里有玻璃杯和保温杯两种杯子，保温杯比玻璃杯贵10元，妈妈带的钱如果买10个玻璃杯还剩6元，如果买5个保温杯还缺4元，妈妈带了___________元钱． 【答案】86 【分析】由“保温杯比玻璃杯贵10元”可知：保温杯的单价玻璃杯的单价，根据“总价单价数量”可知：买10个玻璃杯还剩6元总钱数是：玻璃杯单价，5个保温杯还缺4元总钱数是：保温杯单价（玻璃杯的单价），再根据妈妈带的总钱数不变有“玻璃杯单价（玻璃杯的单价）”的等量关系，据此设“玻璃杯单价为x”，解出玻璃杯单价，再求总钱数． 【详解】解：设玻璃杯单价为x元，则保温杯单价为元， 根据题意可得：， 解得：， 总钱数：玻璃杯单价（元）． 【变式2】．七（1）班和七（2）班各40人参加垃圾分类知识竞赛，规则如图．比赛中，所有同学均按要求一对一连线，无多连、少连． 图中4种垃圾分别对应4种类别，请一对一连线 (注：每连对一条线得5分)纸巾    易拉罐    破灯泡    苹果核 有害垃圾    可回收物    厨余垃圾    其它垃圾 (1)分数5， 10， 15， 20中， 每人得分不可能是 分． (2)七（1）班有4人全错，其余成员中，满分人数是未满分人数的2倍；七（2）班所有人都得分，最低分人数的2倍与其他未满分人数之和等于满分人数． ①问七（1）班有多少人得满分？ ②若七（1）班除0分外，最低得分人数与其他未满分人数相等，问哪个班的总分高？ 【答案】(1)15 (2)①七（1）班有24人得满分；②七（2）班的总分高 【分析】（1）分析4个元素的错排情况，明确连对的条数可能的取值，根据每连对1条得5分，判断是否存在对应连对条数得到给出的分数即可； （2）①设七（1）班满分人数有x人，则未满分的有人，根据总人数为40人列出方程，解方程即可； ②先计算七（1）班的总分，先明确除0分和满分外的得分人数分布，结合对应得分计算总分； 设七（2）班得5分的有y人，得10分的有人，满分20分的有人，计算其总分，与七（1）班的总分相比较即可． 【详解】（1）解：根据题意，连对0个得分为0分；连对一个得分为5分；连对两个得分为10分；连对四个得分为20分； 不存在连对三个的情况，则得15分是不可能的； （2）解：①设七（1）班满分人数有x人，则未满分的有人， 根据题意得：， 解得：， 答：七（1）班有24人得满分； ②根据题意，七（1）班中除0分外，最低得分人数与其他未满分人数相等， 七（1）班得5分和10分的人数相等， 即其人数为人， 七（1）班的总分为分； 七（2）班存在得5分、得10分、得20分，三种情况， 设七（2）班得5分的有y人，得10分的有人，满分20分的有人， ， ， 七（2）班的总分为：分， ， 七（2）班的总分高． 【变式3】．自年月日起，我国开始实施《公共机构电动汽车充电基础设施配置及运行指南》（以下简称“指南”），“指南”要求公共机构充电车位配建比例宜不低于整体车位的．为解决某社区停车难问题，社区居委会联合相关部门划定一块面积为的公共停车场，需规划普通车位和充电车位，每个车位面积包含实际停车使用面积和公共通道分摊面积，其中充电车位另含充电桩占地面积．已知平均每个普通车位占地面积为，平均每个充电车位占地面积为，普通车位数量比充电车位数量的倍多个．判断充电车位数量是否满足“指南”要求，并说明理由． 【答案】解：满足，理由如下： 设充电车位的数量为x个，普通车位的数量为个， 则， 解得， 则， 所以车位的总数为． ∵且， ∴充电车位数量满足“指南”要求． 【分析】设充电车位的数量为x个，根据“平均每个普通车位占地面积为，平均每个充电车位占地面积为”求出充电车位和普通车位的个数，再求出充电车位配建比例即可． 【详解】略 题型10 电费和水费问题 解题技巧：基础文字建模万能题型。1. 找关键词：一共、比…多、比…少、几倍、剩余；2. 核心句式：大数=小数×倍数±差；总和=各部分相加；3. 设标准量（小数）为，其余量全部用表示；4. 根据总和或差值列方程，最简单不易错。 【典例10】．某地天然气收费方案如下： 阶梯 年用气量 价格 补充说明 第一阶梯 （含）的部分 1.5元 当家庭人口超过3人时，每增加1人，第一、二阶梯年用气量上限将分别增加110、150，同时，第二、三阶梯年用气量下限随之调整，每一阶梯的价格保持不变． 第二阶梯 （含）的部分 3元/ 第三阶梯 以上的部分 5元/ 甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为4人．某年甲、乙两户年用气量之和为，甲户年用气量大于乙户年用气量．已知甲、乙两户一共缴纳燃气费用1800元．设甲户的用气量为，则所列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程应用，核心是先判断甲、乙两户用气量所在的收费阶梯，再根据总费用列出对应方程． 【详解】解：∵甲户家庭人口为3人，年用气量为，且甲户年用气量大于乙户，两户用气量和为， ∴，即， ∴，， ∴甲户用气量超过第一阶梯上限，其费用为， ∵乙户家庭人口为4人，每增加1人第一阶梯上限增加， ∴乙户第一阶梯上限为 又∵乙户年用气量为， ∴乙户用气量全部在第一阶梯，费用为 ∵两户总费用为1800元 ∴可列方程：， 故选：C 【变式1】．某市采用分段收费的方式按月计算每户家庭的水费，收费标准如下： 阶梯 户月用水量（） 收费标准（元/） 第一阶梯 不超过 3 第二阶梯 超过，但不超过 4 第三阶梯 超过的部分 7 （1）小明家2月份用水量为，应缴纳水费____元； （2）已知小红家3月份共缴纳水费120元，那么小红家3月份用水量是_______； 【答案】 65 30 【分析】本题考查有理数四则运算的实际应用，一元一次方程，能够理解题意，根据不同的取值范围列出相应的方程是解题的关键． （1）根据表格列式计算水费即可； （2）设用水量为立方米，通过比较水费判断用水量超过25立方米，再列方程求解即可． 【详解】解：（1）根据题意得：（元）， 应缴纳水费65元． 故答案为：65； （2）当用水量为25立方米时，水费为元； ∵， ∴小红家3月份用水量超过25立方米， 设小红家3月份用水量为立方米，则水费为，即， 解得，即用水量为30立方米． 故答案为：． 【变式2】．某市居民家庭全年用气（天然气）量划分为三档，气价实行超额累进加价，先用第一档，再用第二档，最后用第三档．例如：王明家年用气量为400立方米，前360立方米按2.53元计算，后40立方米按2.78元计算． 用气量（立方米） 单价（元） 第一档 （含） 2.53 第二档 （含） 2.78 第三档 600以上 3.54 (1)李强家年用气量为440立方米，李强家需交燃气费多少元？ (2)赵刚家全年的燃气费平均每立方米2.60元，赵刚家年用气量是多少立方米？ 【答案】(1)1133.20元 (2)500立方米 【分析】（1）根据燃气缴费方式求解即可． （2）先计算600立方米用气量的总费用，然后再算出平均每立方米的费用，比较得出用气量不足600立方米，设赵刚家用气量为立方米，根据题意列出关于x的一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：（元） 答：李强家需交燃气费1133.20元． （2）解：600立方米用气量的总费用：（元） 平均每立方米的费用：（元） ，因此用气量不足600立方米． 设赵刚家用气量为立方米． 答：赵刚家年用气量是500立方米． 【变式3】．为鼓励居民节约用水，某市居民生活用水推行每月阶梯水费收费制度，具体执行方案如下： 类别 每户每月用水量 阶梯价格/（元） 第一阶梯 小于或等于 a 第二阶梯 大于且小于或等于 4 第三阶梯 大于 5 该市某户居民2025年12月份的用水量为，缴纳水费18元． (1)表格中a的值为________． (2)若该户居民2026年1月份的用水量为，应缴纳水费多少元？ (3)若该户居民2026年2月份缴纳水费56元，求该户居民2月份的用水量． 【答案】(1)3 (2)39 (3)该户居民2月份的用水量为． 【分析】（1）根据第一阶梯收费标准计算即可； （2）根据分段计算即可； （3）先判断得出用水量超过，进入第三阶梯，设该户居民2月份的用水量为，由三段缴水费和为56元即可列方程求解． 【详解】（1）解：（元）； （2）解：用水量属于第二阶梯(大于且小于或等于)，需分段计算： 第一阶梯：元， 第二阶梯：元， 总水费：元； （3）解：第一阶梯水费：元， 第二阶梯水费：元， 前两阶梯总水费：元， 因为，所以用水量超过，进入第三阶梯， 设该户居民2月份的用水量为， 根据题意，得， 解得． 答：该户居民2月份的用水量为． 题型11 行程问题 解题技巧：核心公式：路程=速度×时间。1. 相遇问题：路程和=总距离；2. 追及问题：路程差=初始距离；3. 往返、变速问题：分段表示时间、路程；4. 设速度或时间为，利用路程不变列等式；5. 统一单位（km/h、m/s），杜绝单位混乱。 【典例11】．《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲乃发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问多久后甲乙相逢？设乙出发日，甲乙相逢，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，将总路程设为单位1，得到甲乙的速度，理清两人行走时间，根据相遇时路程和等于总路程即可列方程． 【详解】解：设长安到齐国的总路程为单位， ∵甲走完全程需日，乙走完全程需日， ∴甲的速度为，乙的速度为， ∵设乙出发日后甲乙相逢， ∴乙行走时间为日，甲行走时间为日， 相遇时两人路程和等于总路程， 故可列方程：． 【变式1】．某中学组织300名师生前往距学校13千米的研学基地，为践行“绿色出行、高效协同”的研学理念，校方经综合评估，调度一辆额定载客50人的新能源巴士，该车行驶的平均速度为60千米/小时，师生步行的平均速度为4千米/小时．为安全高效抵达，将师生平均分为6组，采取步行与乘车相结合的方式，以实现“各组同时出发、尽早抵达”． （1）若第一组师生先步行2千米，余下的路程坐车，则第一组师生到达研学基地用时________分钟（不考虑上、下车时间）； （2）若从全体师生出发开始，到全体师生都到达研学基地为止，所经历的时间称为总耗时，则总耗时最少为________分钟（不考虑上、下车时间）． 【答案】 【分析】（1）分别计算步行和乘车的时间，求和后换算单位即可得到结果； （2）总耗时最少时所有组同时到达，每组乘车路程和步行路程分别相等，结合巴士行驶总时间等于全体到达终点的总时间列方程求解，即可得到最少总耗时． 【详解】解：（1）（小时），（分钟）； （2）设每组乘车千米，则步行千米，全体到达终点的总时间为小时， 将人分为组，巴士送完一组需要空车返回接下一组，共空车返回次， ∵车速和步行速度比为， ∴每次空车返回路程为， 巴士行驶总路程为，行驶总时间也为， 因此， 联立等式得， 解得， 将代入得总时间（小时），（分钟）． 【变式2】．下面是同学们在了解家乡长治市太行山大峡谷景区后，结合一次研学旅行编写的数学情境题，请你完成相应任务． 【情境引入】太行山大峡谷是长治市著名的级景区，峡谷内溪流清澈，乘船游览是深受游客喜爱的体验项目． 【问题解决】周末，小潞和同学在太行山大峡谷的溪流边的A码头租了一艘小艇，逆流而上前往B景点，行进速度为．到达景点后沿原路顺流返回，行进速度比去时增加了，回到A码头比去时少花了． 任务： (1)设A、B两地之间的路程为，根据题意填写下表（单位：）： 行程 速度 时间 去程（逆流） 4 ①__________ 回程（顺流） ②__________ ③_________ (2)求A、B两地之间的路程（写出完整的解题过程）． 【答案】(1) 行程 速度 时间 去程（逆流） 4 ① 回程（顺流） ② ③ (2)解：由（1）得， 解得， 答：A、B两地之间的路程为． 【分析】（1）根据时间路程速度，结合题意求解即可； （2）根据（1），结合回到A码头比去时少花了建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，去程的时间为， 回程的速度为，则回程的时间为， 填表见解析 （2）略 【变式3】．马术三项训练场由三段组成，依次是盛装舞步、越野赛和场地障碍赛．已知场地障碍赛段长度是盛装舞步段长度的2倍，甲、乙两教练分别从训练场的首末两个端头同时出发查看场地情况，甲教练在盛装舞步段的速度是每分钟40米，进入越野赛段后速度提高了；乙教练在场地障碍赛段的速度是每分钟60米，进入越野赛段后速度降低了；当甲教练刚好查看到越野赛段的处时与乙教练相遇． (1)设盛装舞步段长度为米，越野赛段长度为米，且，求的值． (2)如果甲、乙两教练从出发到相遇的时间为3分钟40秒，求马术三项训练场的总长度． 【答案】(1) (2) 马术三项训练场的总长度为米 【分析】（1）根据时间相等的关系结合即可求出； （2）将相遇时间换算为分钟后，代入时间公式结合第一问得到的与的关系求出和，再计算三段总长度即可． 【详解】（1）解：由题意得，场地障碍赛段长度为米，甲在越野赛段的速度为米/分钟，乙在越野赛段的速度为米/分， 相遇时，甲走完全部盛装舞步段，且走了越野赛段的，因此甲的运动时间为 ， 相遇时，乙走完全部场地障碍赛段，且走了越野赛段的，因此乙的运动时间为， 甲乙同时出发，相遇时运动时间相等， ，代入，得 ， ∴两边同除以，得， 解得； （2）解：3分钟40秒换算为分钟是分钟，即， 由第一问得，代入的表达式得 ， 解得， 则， 训练场总长度为（米）． 答：马术三项训练场的总长度为米． 题型12 比例分配 解题技巧：固定设元法秒杀。1. 比例，直接设每一份为，各量为；2. 总量=各部分相加；3. 根据总和、差值、占比列方程；4. 适合人数、物资、角度、边长分配类题型。 【典例12】．甲、乙两辆卡车运货的吨数比是．已知甲卡车比乙卡车多运货12t，则两辆卡车共运货（    ） A．12t B．36t C．48t D．84t 【答案】D 【分析】本题考查了列方程解应用题，设每一份为吨，则甲卡车运货吨，乙卡车运货吨，根据甲卡车比乙卡车多运货12t，列出方程即可. 【详解】解：设每一份为吨，则甲卡车运货吨，乙卡车运货吨， 根据题意，得：， 解得：， （吨）， 故选： ． 【变式1】．为了应对疫情对经济的冲击，增加就业岗位，今年5月，铜梁区在“原乡中央公园”开设了一个夜市，分为餐饮区、百货区和杂项区三个区域，三者摊位数量之比，市场管理处对每个摊位收取元/月的管理费，到了6月份，市场管理处扩大夜市规模，并将新增摊位数量的用于餐饮，结果餐饮区的摊位数量占到了夜市总摊位数量的，同时将餐饮区、百货区和杂项区每个摊位每月的管理费分别下调了10元、30元和10元，结果市场管理处月份收到的管理费比月份增加了，则百货区新增的摊位数量与该夜市总摊位数量之比是______． 【答案】/ 【分析】根据原有三个区域摊位数量比设出原有摊位数量，再设新增总摊位数量和百货区新增摊位数量，利用餐饮区摊位占总摊位的比例得到新增总数与原有摊位的关系，再根据管理费变化列出方程求解百货新增摊位，最后计算所求比值． 【详解】解：设原有餐饮区、百货区、杂项区摊位数量分别为、、，6月份新增总摊位数量为，百货区新增摊位数量为，则杂项区新增摊位数量为， 由题意得，餐饮区现有摊位数量为，总摊位数量为，且餐饮区摊位占总摊位的，因此：，整理得， 5月份总管理费为：， 6月份总管理费比5月增加，因此6月总管理费为：， 6月各摊位管理费单价为：餐饮区元/个，百货区元/个，杂项区元/个， 列出总管理费方程：， 将代入上式：， ， 解得， 夜市6月份总摊位数量为， 因此百货区新增摊位数量与总摊位数量之比为． 【变式2】．根据表中的素材，完成下面两个任务． 如何设计奖品购买及兑换方案？ 素材1 文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔每支元，笔记本每本5元． 素材2 学校用元购买这种钢笔和笔记本，其数量之比为4：3． 素材3 文具店开展“满送”优惠活动，每满元送1张兑换券，满元送2张兑换券，以此类推．学校花费元后，将兑换券全部用于商品兑换．最终，笔记本与钢笔数量相同． 兑换券凭此券，可兑换2支钢笔或4本笔记本 问题解决 任务1 求兑换前分别购买钢笔和笔记本的数量． 任务2 求用于兑换钢笔的兑换券的张数． 【答案】任务1：兑换前购买钢笔支，笔记本本； 任务2：用于兑换钢笔的兑换券的张数是2张 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，关键是根据题目中的数量关系建立方程求解． 任务1：根据钢笔和笔记本的数量比设未知数，结合总花费为元的等量关系列一元一次方程求解； 任务2：先计算出元可获得的兑换券总数，再设用于兑换钢笔的兑换券张数为未知数，根据兑换后笔记本与钢笔数量相同的等量关系列方程求解． 【详解】任务1： 解：设兑换前购买钢笔的数量为支，笔记本的数量为本， 根据题意得：， 解得：， 则钢笔的数量为支，笔记本的数量为本； 答：兑换前购买钢笔支，笔记本本． 任务2： 解：， 可获得8张兑换券． 设用于兑换钢笔的兑换券的张数为张，则用于兑换笔记本的兑换券为张， 兑换后钢笔的数量为支，笔记本的数量为本， 根据题意列方程：， 解得：； 答；用于兑换钢笔的兑换券的张数是2张． 【变式3】．扬州是中国历史文化名城，物产丰饶，其中“绿杨春”茶叶尤为著名．现有、两名农户种植茶叶，农户种植了8亩“绿杨春”茶叶，农户种植了12亩“绿杨春”茶叶，农户平均每亩“绿杨春”制成的茶叶重量是农户每亩制成茶叶重量的（制作茶叶的过程中的损耗忽略不计）．农户制成绿杨春茶叶，农户制成绿杨春茶叶，今年制成“绿杨春”茶叶和“绿杨春”茶叶两种产品共计千克．两种产品的销售规格如下表： 每盒净重（） 每盒售价（元） 绿杨春茶叶 绿杨春茶叶 根据以上信息，回答下列问题： (1)求制成的“绿杨春”茶叶和“绿杨春”茶叶各多少千克? (2)若销售这两种茶叶共盒，销售额为元，求销售“绿杨春”的盒数； (3)若张华第一次销售这两种茶叶共盒，第二次销售时对所有剩下的“绿杨春”茶叶打八折促销．两次销售完后，他发现第二次总销售额比第一次总销售额多元．求第一次销售“绿杨春”多少盒? 【答案】(1)“绿杨春”茶叶有千克，“绿杨春”茶叶有千克 (2)“绿杨春”茶叶有盒 (3)第一次销售“绿杨春”茶叶盒 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，寻找题目中的等量关系列方程求解是解题关键． （1）设农户每亩产茶重量为千克，根据“、总产量千克”列方程，分别求出、的产量； （2）设销售茶叶的盒数为，根据“总盒数、总销售额元”列方程求解； （3）先确定、的总存量，设第一次销售的盒数为，分别表示出第一次、第二次的销售额，根据“第二次销售额第一次销售额元”列方程． 【详解】（1）解：设农户每亩制成茶叶的重量为千克，则农户每亩制成茶叶的重量为千克． 根据总产量可列方程：， 化简得：，解得， 故茶叶的重量为：千克，茶叶的重量为：千克． 答：“绿杨春”茶叶有千克，“绿杨春”茶叶有千克． （2）解：设销售茶叶的盒数为，则销售茶叶的盒数为， 根据销售额列方程：， 化简得：，解得． 答：“绿杨春”茶叶有盒． （3）解：根据题意，两种茶叶总盒数为： 茶叶总盒数为（盒）， 茶叶总盒数为（盒）， 设第一次销售茶叶的盒数为，则第一次销售茶叶的盒数为， 剩余的茶叶的盒数为，剩余的茶叶的盒数为， 可得第一次的销售额为：， 第二次的销售额为：， 根据题意可列方程： ， 化简可得： ， ， 解得． 答：第一次销售“绿杨春”茶叶盒． 题型13 日历问题 解题技巧：掌握日历数字规律。1. 左右相邻差1，上下相邻差7；2. 设中间数为，周围数对称表示，计算最简；3. 横竖、九宫格、十字型均可统一设中间量；4. 日期范围：1~31，必须为正整数，超范围舍去。 【典例13】．如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个“十”字圈出5个数（如3，9，10，11，17），照此方法，若圈出的5个数中，最大数与最小数的和为40，则这5个数中的最大数为（     ） A．20 B．23 C．27 D．30 【答案】C 【分析】设最小的数为：x，则最大的数为：，根据最大数与最小数的和为40列出关于x的一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】解：设最小的数为：x，则最大的数为：， 根据题意可得出：， 解得， 则最大的数为：． 【变式1】．元宵节是中国传统节日之一，象征着万家团圆．如图是2026年元宵节所在月的月历图，在该月历图中可以用十字框圈出5个数．若圈出的这5个数的和为70，则十字框正中间的数为______． 【答案】14 【分析】设十字框正中间的数为x，则其左侧的数为，右侧的数为，上方的数为，下方的数为，根据圈出的这5个数的和为70，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】设十字框正中间的数为x，则其左侧的数为，右侧的数为，上方的数为，下方的数为， 根据题意，得 ，即， 解得， 即十字体正中间的数为14． 【变式2】．如图，是某月的月历． (1)带阴影的十字框中的5个数的和与十字框中间的数有什么关系？ (2)这个结论对于任何一个月的月历都成立吗？说明理由． (3)在该月的月历上用十字框框出5个数，能使这5个数的和为100吗？ 【答案】(1)带阴影的十字框中的5个数的和是十字框中间的数的5倍 (2)成立；理由如下： 假设中间数为，则上面的数是，下面的数是，前面一个是，后面一个是， (3)不能 【分析】（1）根据所给数据进行计算可得答案； （2）根据图上的数之间的关系可得：中间一个为上面的数是，下面的数是，前面一个是，后面一个是，然后再计算这五个数的和即可； （3）根据题意用未知数表示出框出个数，根据这个数的和为列出方程解答即可． 【详解】（1）解：     答：带阴影的十字框中的5个数的和是十字框中间的数的5倍． （2）略 （3）解：设中间数为． 答：在该月历上，是最后一列上的数，不能成为十字框中间的数． 【变式3】．下图为2018年1月的月历，认真观察图1中的方框圈出五个数的关系，回答下列问题： (1)请你用相同的方框在图2中圈出五个数，使得五个数的和为115； (2)圈出的五个数的和能为130吗？若能，在图中圈出，若不能，说明理由． 【答案】(1) (2)解：不能，理由如下： 设中间的数为，上面的数为，下面的数为，左边的数为，右边的数为， 则由题意得， 解得， 则中间数为26，在图2中26的下方没有数字，所以五个数的和不能是130． 【分析】（1）设中间的数为，上面的数为，下面的数为，左边的数为，右边的数为，根据“五个数的和为115”建立方程求解，即可画图； （2）同（1）列方程求解即可． 【详解】（1）解：设中间的数为，上面的数为，下面的数为，左边的数为，右边的数为， 则由题意得， 画图如下见答案； （2）略 题型14 古代问题 解题技巧：古文翻译建模。1. 先翻译古文，转化为和差倍分、分配、盈亏题型；2. 找准“余、不足、半、倍、分”等量关系；3. 设标准量为，按现代应用题列式；4. 结果必须为整数，贴合古代物资、人数整数特征。 【典例14】．《算法统宗》中有一道题：原文是：“牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个剩．问：有几个牧童几个杏？”题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏．有多少个牧童、多少个杏？设共有x个杏，可列方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】牧童总人数不变，用杏的总数分别表示两种分法下的总人数，即可列出方程． 【详解】解：设共有个杏，牧童总人数固定不变， ∵第一种分法中，3人分5个杏，多10个杏，分掉的杏数为，每5个杏对应3个牧童， ∴总牧童人数为， ∵第二种分法中，4人分8个杏，多2个杏，分掉的杏数为，每8个杏对应4个牧童， ∴总牧童人数为， ∵总人数相等， ∴． 【变式1】．据我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位老者在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一（例如：图中第根上的一个绳结表示个，第根上的一个绳结表示个），用来记录采集到的野果的个数．她一共采集到了个野果，则在第根绳子上的打结数是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题中的等量关系列方程，设在第个绳子上打结的数是，根据题意得，解得即为第根绳子上的打结数． 【详解】解：图中第2根上的一个绳结表示个，第3根上的一个绳结表示个， 设在第个绳子上打结的数是，根据题意得， 解得，即在第2根绳子上打结的数是． 【变式2】．元朝著名数学家朱世杰的名著《四元玉鉴》中有一问题：“我有一壶酒，携着游春走．遇务（务，即酒肆，卖酒的地方）添一倍，逢店饮斗九（斗九即一斗九，也就是斗），店务经四处，没了壶中酒．借问此壶中，当元多少酒（即问原来应当有多少酒）”，请你用方程的方法，求出原来应当有多少酒？ 【答案】原来有酒斗． 【分析】设原来有酒斗，再根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设原来有酒斗，则 ， 解得：． 答：原来有酒斗． 【变式3】．我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐观．请问客家，大小几船？“其大意为：清明出去游园，所有人共乘坐了8条船，大船每条坐6人，小船每条坐4人，38人刚好坐满，大船、小船各几条？（列一元一次方程解） 【答案】大船有3条，小船有5条 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设有条大船，则小船有条，根据大船每条坐6人，小船每条坐4人，38人刚好坐满，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设有条大船，则小船有条．     根据题意，得，         解得，             ， 答：大船有3条，小船有5条． 题型15 其它问题 解题技巧：通用万能建模法。1. 回归六步法，抓题干唯一不变等量；2. 区分变量、不变量，以不变应万变；3. 用含未知数式子翻译所有条件；4. 列式求解、严格验根、贴合生活实际取舍；5. 无法归类题型，优先用和差、总量守恒建模。 【典例15】．如图是按一定规律排列的，第个图中有个◇与个☆，第个图中有个◇与个☆，第个图中有个◇与个☆，……，按照这样的规律，则当◇的个数是个时，☆的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据已知图形找到规律，即可求解． 【详解】解：∵第个图中有个◇与个☆， 第个图中有个◇与个☆， 第个图中有个◇与个☆， …… ∴第个图中有个◇与个☆， 当时，得：， ∴当◇的个数是个时，☆的个数是个． 【变式1】．将若干张长为的相同的长方形纸片，按如图所示的方法粘合成纸带，粘合部分的宽为．小颖需要粘合长为的纸带，需要这样的长方形纸片__________张． 【答案】 【分析】设需要这样的长方形纸片张，则粘合部分为个，根据要粘合长为的纸带，列出一元一次方程，解方程求出的值即可得出答案． 【详解】解：设需要这样的长方形纸片张， 由图可知，粘合部分比长方形纸片的数量少，即有个， ∵小颖需要粘合长为的纸带，， ∴， 解得：． ∴需要这样的长方形纸片张． 【变式2】．一个底面直径为、高为的圆柱形水瓶甲内装满水，将水瓶甲内的水倒入一个底面直径为、高为的圆柱形水瓶乙中． (1)试通过计算判断能否完全装下 (2)若装不下，则水瓶甲内剩余水的高度为多少厘米若未能装满，求水瓶乙内水面离瓶口的距离． 【答案】(1)不能完全装下 (2)装不下，水瓶甲内剩余水的高度为 【分析】（1）根据圆柱体体积公式，分别计算两个水瓶的体积，比较即可得出答案； （2）根据（1）中结论，设水瓶甲内剩余水的高度为，根据圆柱体体积公式得出，解方程求出的值即可得出答案． 【详解】（1）解：圆柱形水瓶甲的体积为， 圆柱形水瓶乙的体积为， 因为， 所以不能完全装下． （2）解：设水瓶甲内剩余水的高度为， ∴． 解这个方程，得． 答：装不下，水瓶甲内剩余水的高度为． 【变式3】．2026年全国低碳日定于6月17日，活动主题为“绿色转型，全民同行”，鼓励全民共同参与低碳行动．“碳足迹”是指一个人或一个家庭的活动产生的二氧化碳排放量．通过计算“碳足迹”，我们可以更好地了解自己的生活方式对环境的影响，采取低碳生活的方式，减少碳排放量，同时也可以通过一定“碳补偿”措施，来达到平衡． 下表是小明同学查询相关资料计算出一家三口某月的“碳足迹”： 序号 种类 消耗量 碳排放系数 碳排放量（） 1 家庭用电 93.6 2 自来水 8t 7.28 3 天然气 25.92 4 牛肉 135 5 国际长途飞行 720 6 应季蔬菜 24 (1)若一棵树每年吸收大约，则根据上表至少需要________棵树一年才能抵消该月使用天然气产生的碳排放量；（结果保留整数） (2)小明家本月购买牛肉和应季蔬菜共，这两种食材产生的总碳排放量为．求小明家本月购买牛肉和应季蔬菜各多少千克？ (3)为了抵消国际长途飞行的碳排放量，小明计划调整家中空调的使用方案．已知1.5匹家用空调制冷模式每小时碳排放量约，制热模式每小时碳排放量约，小明家夏季（120天）每天开8小时，冬季（90天）每天开6小时，其余季节不开空调．他计划在夏季和冬季都将每日空调使用时长减少相同的时间．请通过计算说明：他能否在一年内通过减少空调使用，抵消全部飞行产生的碳排放量？ 【答案】(1) (2)小明家本月购买牛肉，购买应季蔬菜 (3)能 【分析】（1）用天然气的总碳排放量除以单棵树一年的吸收量，将结果向上取整即可得到所需树的数量； （2）设出一种食材的购买质量，结合总质量得到另一种食材的质量，根据总碳排放量列一元一次方程求解即可； （3）设每日减少的空调使用时长为，表示出一年内减少的总碳排放量，计算得到最大减少量，与飞行碳排放量比较即可得出结论． 【详解】（1）解：已知该月天然气碳排放量为，一棵树每年吸收， 可得：， 树的数量为正整数，且需抵消全部碳排放， 因此向上取整得至少需要棵树； （2）解：设小明家本月购买牛肉，则购买应季蔬菜， 根据题意得：， 解得：， 则， 答：小明家本月购买牛肉，购买应季蔬菜； （3）解：设夏季和冬季每日减少的空调使用时长为， 冬季原每日空调使用时长为，因此， 一年内减少的总碳排放量为：， 当取最大值时，总减少碳排放量为：， 已知国际长途飞行的碳排放量为， ∵， ∴小明可以通过减少空调使用抵消全部飞行产生的碳排放量， 答：小明能在一年内通过减少空调使用，抵消全部飞行产生的碳排放量． 1．如图是毛笔的结构图，现有根短竹，每根短竹可制成笔管个或笔斗个，个笔管搭配个笔斗，怎样分配短竹的数量，使制成的笔管与笔斗正好配套？小明列出方程：，则表示的是（     ） A．制成笔管的短竹数量 B．制成笔斗的短竹数量 C．制成笔管的个数 D．制成笔斗的个数 【答案】A 【分析】根据方程的左右两边分别表示笔管和笔斗的数量，结合每根短竹的产量反推的含义即可． 【详解】解：∵每根短竹可制成笔管个， ∴表示笔管的总个数，则表示用于制作笔管的短竹数量， ∵短竹总数为根， ∴表示用于制作笔斗的短竹数量， ∵每根短竹可制成笔斗个， ∴表示笔斗的总个数， ∵个笔管搭配个笔斗，即笔管总数等于笔斗总数， ∴方程符合题意， ∴表示制成笔管的短竹数量． 2．将整数1至2026按一定规律排列如下表所示： 平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（） A．63 B．2022 C．2024 D．2026 【答案】B 【分析】设连续的三个数为，，，再结合数表限制条件分析和的可能取值． 【详解】解：设连续的三个数为，，， 则， A．，，但21右边没有其它的数，故不符合题意； B．，，，674是97行左起第2个数，符合题意； C．，，故不符合题意； D．，，故不符合题意． 3．由于车辆前后轮胎的磨损并不一致，因此当车辆行驶一定里程之后，需进行前后轮胎换位．设轮胎报废时的总磨损量为1，如某轮胎可行驶a公里，则每公里的磨损量为．某品牌的轮胎安装在某车前轮行驶6万公里报废，安装在后轮行驶4万公里报废，如果此车行驶若干公里后将前后轮胎进行一次换位，使得前后两对轮胎同时报废，那么此品牌的轮胎从安装到报废最多可以行驶（     ） A．4.5万公里 B．4.8万公里 C．5万公里 D．5.2万公里 【答案】B 【分析】利用一元一次方程求解，设总行驶路程为万公里，根据总磨损量为两个轮胎各，结合前后轮每公里磨损量，列方程求解即可． 【详解】解：设此品牌轮胎从安装到报废最多可行驶万公里， ∵ 前轮万公里报废，总磨损量为， ∴ 前轮每公里磨损量为； 同理，后轮万公里报废，可得后轮每公里磨损量为， ∵ 全程中前轮位置总行驶路程为万公里，后轮位置总行驶路程为万公里，两个轮胎同时报废时总磨损量为， ∴ 列方程得： 通分得： 整理得： 解得： 即最多可行驶万公里． 4．某商店换季准备打折出售某服装，若按照原售价的八折出售，将亏损20元，而按原售价的九折出售，将盈利15元，则该服装的成本为（     ） A．230元 B．250元 C．260元 D．300元 【答案】D 【分析】设出原售价，利用成本不变找到等量关系，列方程求解后即可得到成本． 【详解】解：设该服装的原售价为元， 根据题意得， 解得， 则该服装的成本为（元）． 5．现在有一面10尺厚的墙，大小两只老鼠分别沿垂直于墙的方向从两面相对着打洞，三天刚好打通．第一天两只老鼠都打相同距离的洞，从第二天开始，大老鼠每天打洞的距离是前一天的2倍，小老鼠每天打洞的距离是前一天的一半，第三天结束，洞刚好被打通．小老鼠第一天打洞的距离为（　　　　　） A．尺 B．尺 C．1 尺 D．尺 【答案】A 【分析】设小老鼠第一天打洞距离为尺，根据题意表示出两只老鼠三天打洞的总长度，利用总长度等于墙厚10尺列出一元一次方程，求解即可得到结果． 【详解】解：设小老鼠第一天打洞的距离为尺，则大老鼠第一天打洞距离也为尺． ∵从第二天开始，大老鼠每天打洞的距离是前一天的2倍，小老鼠每天打洞的距离是前一天的一半，三天刚好打通墙， ∴大老鼠三天打洞总距离为，小老鼠三天打洞总距离为 ， ∴， 解得，即小老鼠第一天打洞的距离为尺． 6．如图，在的方阵图中，填写了一些数和字母（其中字母表示一个数）．若处于每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和都相等，则这个方阵图中字母表示的数为（     ） 13 12 8 A．6 B．7 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题利用三阶幻方中每行、每列、对角线的和相等的性质，通过列方程消元求解的值． 【详解】设幻和为，中心数为，第一行第三列的数为，第三行中间数为 如图所示， ∵ 左上到右下对角线和为， ∴ ① ∵ 右上到左下对角线和为， ∴ ② ∵ 第三列和为， ∴ ③ 由得：， ∴ ； 将和代入③得： ， ∴ ； ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ 解得 ． 7．2025年福建省消协系统纠纷调解成功率位居全国的首位，当中福建省消协组织受理投诉万件，比2024年同比增长，若将2024年福建省消协组织受理投诉的数量设为x万件，求2024年福建省消协组织受理投诉的数量，以下符合题意的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】基数为2024年投诉数量，现量为2025年投诉数量，利用“现量基数(增长率)”的关系列方程． 【详解】解：∵设2024年福建省消协组织受理投诉的数量为万件， ∴2025年受理投诉的数量为万件． 又∵已知2025年受理投诉的数量为万件， ∴可列方程． 8．厦门某公园计划种植凤凰木和落羽杉两种花木．已知种植凤凰木的数量比落羽杉的2倍少15株，设落羽杉种植x株，一共种植花木285株，则符合题意的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题意表示出凤凰木的种植数量，再结合总种植数列出方程即可． 【详解】解：∵设落羽杉种植株，凤凰木的数量比落羽杉的倍少株， ∴凤凰木的种植数量为株， ∵两种花木一共种植株， ∴可列方程：，即， 所以符合题意的方程为选项A． 9．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首诗：“林下牧童闻如果，不知人数不知竹，每人五竿多三竿，每人七竿少五竿”．设有牧童x人，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两种分配方式分别表示出竹子总数量，即可列出对应方程． 【详解】解：∵每人分五竿竹子时多三竿， ∴竹子总数量为， ∵每人分七竿竹子时少五竿， ∴竹子总数量也可表示为， ∵竹子总数量固定不变， ∴可列方程为． 10．在数学游艺会上，张华负责一个游戏项目，她准备了张同样的卡片，上面分别写有，，，…，，，游戏规则是：先将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上（如图），这五张卡片分别记为A，B，C，D，E，张华依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数字最大．下表是李明抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和，则这五张卡片上数字最大的是（     ） 卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数的和 A．A B．B C．C D．D 【答案】B 【分析】根据表格中的数据，先将B、C、D、E用A来表示，再利用列出方程，求出的值，进而求出B、C、D、E的值，据此求解即可． 【详解】解：由表格可知：、、、、， ， ， ， ， 将代入得： ， 解得：， 、、、， ， ， 这五张卡片上数字最大的是B． 11．在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”．中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”．小明在探究“幻方”时，提出一个问题：如图是三阶幻方，满足每行，每列，每条对角线上三个数之和都为，则______． 【答案】 【分析】先设九宫格，则根据题意得“幻方”和为，由得到，再根据，求出，最后根据，即可求解． 【详解】解：设九宫格如下： “幻方”和为， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得． 12．在弹性限度内，弹簧的长度随所挂物体的质量的增加而增长，经过实验与测量，得到弹簧的长度与所挂物体的质量之间的对应关系如下表；若弹簧的长度是，则所挂物体的质量是______． 物体的质量 1 2 3 4 5 弹簧的长度 13 13.5 14 14.5 15 【答案】12 【分析】先根据表格数据得到弹簧长度与所挂物体质量的变化规律，再列出方程解答即可． 【详解】解：由表格数据可知，物体质量每增加，弹簧长度增加， 设所挂物体的质量为， 则：， 解得， ∴若弹簧的长度是，则所挂物体的质量是． 13．某商场服装部处理一批上衣，经计算如果打九折出售可以获利645元，如果打八折出售就要亏本375元，则这批上衣的原价是__________元． 【答案】 【分析】设这批上衣原价为元，根据成本相等列出一元一次方程，求解即可得到原价． 【详解】解：设这批上衣原价为元， 由成本不变，列方程得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得，即这批上衣的原价是10200元． 14．每年的4月23日是世界读书日，某书店举办“书香阅读”图书展．已知《汉语成语大词典》和《中华上下五千年》两本书的标价总和为150元，现《汉语成语大词典》按标价五折出售，《中华上下五千年》按标价六折出售，小明花80元买了这两本书，则《中华上下五千年》的标价是___________元． 【答案】50 【分析】设《汉语成语大词典》的标价为元，则《中华上下五千年》的标价为元，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】解：设《汉语成语大词典》的标价为元，则《中华上下五千年》的标价为元， 由题意得， 解得， ∴（元）， 故《中华上下五千年》的标价是元． 15．（列一元一次方程解应用题）我市青云湖景区风景优美如画，某公司举行传统文化节活动，主办方分两次共邮购了200把绘有我市青云湖美景的折扇作为当天活动的纪念品．折扇单价为8元，其中邮费和优惠方式如表所示： 邮购数量 100以上（含100） 邮寄费用 总价的 免费邮寄 折扇价格 不优惠 打九折 若两次邮购折扇，一次购买多于100把，另一次购买少于100把，共花费1504元，求两次邮购的折扇的数量． 【答案】两次邮购的折扇分别是160把和40把 【分析】先设购买数量超100把的那次为把，则另一次为把；再结合表格优惠规则分别列出两次采购的花费表达式，根据总花费1504元建立一元一次方程，解方程后得到两次购买折扇的数量． 【详解】解：设一次邮购折扇x（）把，则另一次邮购折扇把，依题意，得 ∴， ∴， ∴． 答：两次邮购的折扇分别是160把和40把． 16．如图，数轴上的单位长度为1，点A，B是数轴上两点． (1)若点A，B表示的数互为相反数，则点A表示的数为________； (2)若点A，B表示的数的和为，求点A，B表示的数． 【答案】(1) (2)点A表示的数为，点B表示的数为 【分析】（1）根据相反数的定义，结合数轴即可求解； （2）设点A表示的数为x，则点B表示的数为，根据点A，B表示的数的和为，即可得关于x的方程，解方程即可求解； 【详解】（1）解：∵点A，B表示的数互为相反数，点A，B间的距离是4，且点A在左侧， ∴点A表示的数为； （2）解：设点A表示的数为x，则点B表示的数为， 由题意得， 解得， ∴点A表示的数为， 点B表示的数为． 17．我国古代的“九宫图”是由方格构成的，每个方格均有不同的数，每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．如下给出了“九宫图”的一部分，请推算的值． 2025 x 1 5 【答案】 【分析】先得出第一行第一列的数，再根据第二行上的三个数字之和、对角线上的三个数之和相等建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设“九宫图”中的数字如下图所示： 2025 1 5 由题意得：①，②， 整理①得：，解得， 整理②得：， ∴， 解得． 18．第九届亚洲冬季运动会将于年月在黑龙江省哈尔滨市举行．运动会吉祥物“滨滨”和“妮妮”，原型是出生于黑龙江的两只可爱的小东北虎，寓意是“哈尔滨欢迎您”．元旦期间，实验小学六年级购买了“滨滨”和“妮妮”玩偶共个作为奖品．当“滨滨”玩偶送出，“妮妮”玩偶送出时，剩下的“滨滨”玩偶和“妮妮”玩偶同样多，原来购置了多少个“妮妮”玩偶？ 【答案】原来购置了个“妮妮”玩偶． 【分析】设原来购置了个“妮妮”玩偶，则“滨滨”玩偶购置了个，根据题意列方程解方程即可． 【详解】解：设原来购置了个“妮妮”玩偶，则“滨滨”玩偶购置了个． 解得：， 答：原来购置了个“妮妮”玩偶． 19．【规律探究】“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一，对于其来源于何处，如今有各种传说．图即洛书，数出图中各处的圆圈和圆点个数，并按照图中的顺序把它们填入正方形方格中，就得到一个“三阶”幻方（图）． 【观察发现】图 “三阶”幻方的每行，每列，每条对角线上数字之和都等于，中间的数为，若将“三阶”幻方的每行、每列、每条对角线上三个数字之和称为“幻方和”，中间的数称为“中心数”，发现“幻方和”是“中心数”的倍． 【猜想验证】猜想：“三阶”幻方的“幻方和”是“中心数”的倍． 说明理由：如图，将“三阶”幻方中的个数字分别用字母、、、、、、、、表示，其中“中心数”为，将“幻方和”用字母表示． 由题意可知：： 又因为； 即； 所以，所以，即“幻方和”是“中心数”的倍． 【解决问题】利用上述结论解决问题： (1)如图，已知，，幻方的“中心数”，则的值为________； (2)如图，、、、、、是含有字母的整式，，． ①若幻方的“中心数”，求整式（用含的式子表示）： ②若幻方的“中心数”，，且、均为常数，求、的值． 【答案】(1) (2)①；②， 【分析】（1）根据题意可得方程，据此可求出，进而建立方程求出，最后建立方程求出即可； （2）①根据题意可得，据此根据整式的加减计算法则求解即可；②根据题意得出，，再根据，得到，化简得，即可求解． 【详解】（1）解：， “幻方和”为， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：①由题意得：， ； ②由题意得：， ， ， ， 即， 化简得， ，且， 解得，． 20．如图①，点为数轴原点，，正方形的边长为，边在数轴上．点从点出发，沿射线方向运动，速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒，回答下列问题． (1)点对应的数为________，点对应的数为________； (2)如图②，在点运动过程中，在数轴上作线段，点在点右侧，以为边向上作正方形，连结、． ①点对应的数为________；（用含的式子表示） ②当的面积为时，求的值； ③当正方形与正方形重叠面积为的面积倍，直接写出的值． 【答案】(1)2，8 (2)①②或③或 【分析】（1）根据题意可知点对应的数，结合正方形的边长即可知，由即可求得点对应的数； （2）①根据题意知，结合即可； ②由正方形得知，那么，解得，分当点在点左侧时，，当点在点右侧时，，分别求得即可； ③由正方形得，分当点在点左侧和右侧，分别求得，进一步求得，再次求得重叠部分的宽度，则有正方形与正方形重叠面积，结合题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴点对应的数为2， ∵正方形的边长为， ∴， ∴， 则点对应的数为8； （2）解：①根据题意知，， ∵， ∴， ②∵正方形的边长为， ∴， ∵的面积为， ∴，解得， 当点在点左侧时，，解得； 当点在点右侧时，，解得； ③∵正方形， ∴， 当点在点左侧时，，则， 重叠部分的宽度为， 则正方形与正方形重叠面积为， ∵正方形与正方形重叠面积为的面积倍， ∴，解得； 当点在点右侧时，，则， 重叠部分的宽度为， 则正方形与正方形重叠面积为， ∵正方形与正方形重叠面积为的面积倍， ∴，解得． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $