第五章 一元一次方程 单元测试题 2026-2027学年北师大版七年级数学上册

**基本信息** 北师大版七年级数学上册一元一次方程单元卷，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，融合古算文化、实验探究及社会热点情境，全面考查方程概念、解法及应用，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/48|一元一次方程定义（第1题）、解法步骤（第7题）|基础概念辨析，突出运算能力| |填空题|5/20|方程解的应用（第14题）、新定义（第15题）|概念延伸，培养推理意识| |解答题|8/82|实际问题（第21题足球积分）、综合探究（第24题世界杯足球进价）|真实情境建模，体现模型意识与应用意识|

第五章 一元一次方程 单元测试题 2026-2027学年北师大版七年级数学上册 一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分） 1．下列各式中，一元一次方程的个数有（　　） ①12x﹣1；②3x＝5；③x+y＝1；④；⑤x2﹣2x+3＝0． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如果a＝b，那么根据等式的性质下列变形一定正确的是（　　） A．a+1＝b﹣1 B．a+b＝0 C．3﹣a＝b+3 D． 3．下列方程中，解为x＝﹣4的是（　　） A．3x+6＝3 B．﹣x+6＝2x C．4﹣2（x﹣1）＝1 D． 4．若x＝6是关于x的一元一次方程x+a＝2的解，则a的值为（　　） A．5 B．4 C．﹣5 D．﹣4 5．方程的解为（　　） A．x＝﹣1 B．x＝﹣3 C．x＝1 D．x＝3 6．若x＝1是方程的解，则2k+4的值是（　　） A．﹣1 B．3 C．1 D．0 7．解方程时，去分母正确的是（　　） A．2（x﹣1）﹣x+1＝﹣1 B．2（x﹣1）﹣x﹣1＝﹣1 C．2（x﹣1）﹣x+1＝﹣6 D．2（x﹣1）﹣x﹣1＝﹣6 8．已知，．若a与b互为相反数，则m的值为（　　） A． B． C． D． 9．李明解方程的步骤如下： ①去括号，得x﹣2﹣3x﹣1＝1﹣x；②移项，得﹣2x+x＝1+2+1；③合并同类项，得﹣x＝4； ④系数化为1，得x＝﹣4．其中错误的一步是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 10．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗，其大意是：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨子．每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．”设梨有x个，则可列方程为（　　） A． B． C．4（x+12）＝6x D．4（x﹣12）＝6x 11．图书馆整理一批图书，由一个人做要60h完成，现计划由一部分人先做2小时后，又增加5人与他们一起再做5h，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作2h？设先安排x人做2h，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 12．数学活动课上，学习小组的同学进行了如下实验：在一根质地均匀的木杆中间处拴绳，将木杆吊起并使其左右平衡，吊绳处作为木杆的支点，木杆两端各悬挂一5g重物．首先，在木杆左端物体下加挂一5g重物，然后把这两个重物一起向右移动，直至左右平衡，记录此时支点到木杆左右两边挂重物处的距离；再在木杆左端两个物体下再加挂一5g重物，然后把这三个重物一起向右移动，直至左右平衡，记录此时支点到木杆左右两边挂重物处的距离；在木杆左边继续加挂重物，并重复以上操作，同时记录数据如表： 支点左端 支点右端 木杆状态 重物质量（g） 到支点距离（cm） 重物质量（g） 到支点距离（cm） 5 30 5 30 平衡 10 15 5 30 平衡 15 10 5 30 平衡 20 7.5 5 30 平衡 25 6 5 30 平衡 根据以上实验记录数据的规律，学习小组的同学把5g的重物换成了每个质量为4g的重物再次进行实验，此时支点右端悬挂一个重物且与支点距离为20cm．左端悬挂5个重物移动至左右平衡．那么支点左端重物到支点的距离为（　　） A．2.5cm B．3cm C．3.5cm D．4cm 二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分） 13．若关于x的方程（k+2）x|k|﹣1+3k﹣5＝0是一元一次方程，则k的值为　　 ． 14．已知关于x的方程mx+n﹣2＝0的解为x＝2，根据等式的性质，可得2m+n+1的值为 　　 ． 15．对于两个不相等的有理数a，b，我们常用min{a，b}表示这两个数中较小的数．例如：min{﹣1，2}＝﹣1，如果min{﹣3，x}＝2x+1，那么x＝ 　　 ． 16．如图所示，两摞规格完全相同的课本整齐地叠放在桌子上，每本课本厚度相同，若有一摞课本的顶部距离地面的高度为95cm，那么这摞课本有　　 本． 17．已知方程，则式子的值为 　　 ． 三．解答题（共8小题，满分82分） 18．（8分）解方程：（1）2﹣8x＝3﹣x； （2）． 19．（10分）已知关于x的方程（a﹣2）x|a|﹣1+4b＝0为一元一次方程，且该方程的解与关于x的方程的解相同．求a、b的值． 20．（10分）已知关于x的方程3[x﹣2（x﹣1）]＝3x和1有相同的解，求a的值． 21．（10分）在足球联赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某队9场比赛保持不败． （1）若这支球队9场比赛得到的积分是21分，求这9场比赛中的胜场数和平场数； （2）这支球队9场比赛的胜场总积分能等于它的平场总积分吗？ 22．（10分）阅读材料，完成任务 材料一 如果一个两位数的个位数是b，十位数是a，那么我们可以把这个两位数简记为，即． 材料二 定义：对任意一个四位数（其中1≤a，b，c，d≤9，且均为整数），若a+c＝9，b+d＝9，则称为“久久数”． 阅读以上材料，完成下列任务： 任务一 填空：3267　　 （“是”或“不是”）“久久数”，2435　　 （“是”或“不是”）“久久数”； 任务二 求证：任意一个“久久数”都能被99整除． 证明：依题意可得：a+c＝9，b+d＝9，用含a，b，c，d的代数式表示　（　 ， ∴（　　 ）＝… 请完成填空并补全证明过程： 23．（10分）龙年将至，乐乐和丽丽所在的活动小组计划做一批“龙年贺卡”．如果每人做8个，那么比计划多了6个；如果每人做5个，那么比计划少30个．问题：该小组共有多少人？计划做多少个“龙年贺卡”？ 她俩经过独立思考后，分别列出了如下尚不完整的方程： 乐乐的方法：8x□（　　）＝5x□（　　）； 丽丽的方法：． （1）在乐乐、丽丽所列的方程中，“□”中是运算符号，“（　　）”中是数字，试分别指出未知数x，y表示的意义； （2）试选择一种方法，将原题中的问题解答完成． 24．（12分）综合与实践：北京时间2026年6月1日，美加墨世界杯开幕式在墨西哥举行．世界杯期间，人们对足球的需求量增加． 市场调研：某班数学组对东东商场进行调研后了解到如下信息： 信息一：东东商场从厂家购进了A品牌足球7个，B品牌足球5个，共付款920元．已知每个B品牌足球比每个A品牌足球进价贵40元． 信息二：东东商场将B品牌足球按信息一中的进价提高50%后标价，实际销售时再打折出售，此时每个B品牌足球仍可获利35元． 问题解决：（1）设每个A品牌足球进价x元，则每个B品牌足球进价 　　 元，根据题意可列方程 　　 ； （2）由（1）求得每个A品牌足球进价　　 元，每个B品牌足球进价 　　 元； 问题延伸：（3）利用一元一次方程求出信息二中B品牌足球的打折数． 23．（12分）甲车从A地出发，匀速开往B地，到达B地后，立刻沿原路以原速返回A地，乙车在甲车出发15min后，从A地出发，匀速开往B地，已知甲车每小时行驶120km，乙车的速度是甲车速度的一半，设甲车途中行驶的时间为xh（x）． （1）根据题意，填写下列表格： 行驶速度（km/h） 行驶时间（h） 行驶路程（km） 甲车 120 x _______ 乙车 　　 　___ 　　___ （2）已知A、B两地相距akm（a＞30）． ①当甲车到达B地时，求乙车与B地的距离（用含a表示代数式表示，结果需简化）． ②当两车相遇时，用方程描述甲、乙两车行驶路程之间的相等关系． ③当x＝　　 时，甲车到达A地，当x＝　　 时，乙车到达B地（用含a的代数式表示，结果需简化），　　 先到达（填甲或乙）． 参考答案 第五章 一元一次方程 单元测试题 2026-2027学年北师大版七年级数学上册 一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分） 1．下列各式中，一元一次方程的个数有（　　） ①12x﹣1；②3x＝5；③x+y＝1；④；⑤x2﹣2x+3＝0． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：①12x﹣1，是代数式，不是等式，故不是一元一次方程； ②3x＝5，符合一元一次方程定义； ③x+y＝1中含有两个未知数，不是一元一次方程； ④，符合一元一次方程定义； ⑤x2﹣2x+3＝0，未知数最高次数是2，不是一元一次方程； 因此是一元一次方程的是②④，一共2个． 故选：B． 2．如果a＝b，那么根据等式的性质下列变形一定正确的是（　　） A．a+1＝b﹣1 B．a+b＝0 C．3﹣a＝b+3 D． 【解答】解：如果a＝b， 那么a+1＝b+1，则A不符合题意； 那么a﹣b＝0，则B不符合题意； 那么3+a＝b+3，则C不符合题意； 那么，则D符合题意； 故选：D． 3．下列方程中，解为x＝﹣4的是（　　） A．3x+6＝3 B．﹣x+6＝2x C．4﹣2（x﹣1）＝1 D． 【解答】解：A．当x＝﹣4时，左边＝3x+6＝3×（﹣4）+6＝﹣6，右边＝3，左边≠右边，故该选项不正确，不符合题意； B．当x＝﹣4时，左边＝4+6＝10，右边＝2×（﹣4）＝﹣8，左边≠右边，故该选项不正确，不符合题意； C．当x＝﹣4时，左边＝4﹣2（x﹣1）＝4﹣2（﹣4﹣1）＝14，右边＝1，左边≠右边，故该选项不正确，不符合题意； D．当x＝﹣4时，左边，右边＝1，左边＝右边，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 4．若x＝6是关于x的一元一次方程x+a＝2的解，则a的值为（　　） A．5 B．4 C．﹣5 D．﹣4 【解答】解：由条件可得6+a＝2， 解得a＝﹣4， 故选：D． 5．方程的解为（　　） A．x＝﹣1 B．x＝﹣3 C．x＝1 D．x＝3 【解答】解：， 2（1﹣2x）＝3（x+3）， 2﹣4x＝3x+9， ﹣4x﹣3x＝9﹣2， ﹣7x＝7，． x＝﹣1． 故选：A． 6．若x＝1是方程的解，则2k+4的值是（　　） A．﹣1 B．3 C．1 D．0 【解答】解：将x＝1代入原方程得：1， 解得：k＝﹣2， ∴2k+4＝2×（﹣2）+4＝0． 故选：D． 7．解方程时，去分母正确的是（　　） A．2（x﹣1）﹣x+1＝﹣1 B．2（x﹣1）﹣x﹣1＝﹣1 C．2（x﹣1）﹣x+1＝﹣6 D．2（x﹣1）﹣x﹣1＝﹣6 【解答】解：原方程去分母得：2（x﹣1）﹣x﹣1＝﹣6． 故选：D． 8．已知，．若a与b互为相反数，则m的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵，，a与b互为相反数， ∴， 去分母，得2（m+1）+4m﹣1＝0， 去括号，得2m+2+4m﹣1＝0， 移项、合并同类项，得6m＝﹣1， 将系数化为1，得． 故选：B． 9．李明解方程的步骤如下： ①去括号，得x﹣2﹣3x﹣1＝1﹣x； ②移项，得﹣2x+x＝1+2+1； ③合并同类项，得﹣x＝4； ④系数化为1，得x＝﹣4． 其中错误的一步是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【解答】解：， ①去括号，得x﹣2﹣3x+1＝1﹣x，故①错误； ②移项，③合并同类项，④系数化为1正确． 故选：A． 10．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗，其大意是：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨子．每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．”设梨有x个，则可列方程为（　　） A． B． C．4（x+12）＝6x D．4（x﹣12）＝6x 【解答】解：根据题意得：． 故选：A． 11．图书馆整理一批图书，由一个人做要60h完成，现计划由一部分人先做2小时后，又增加5人与他们一起再做5h，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作2h？设先安排x人做2h，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：依题意得：1． 故选：A． 12．数学活动课上，学习小组的同学进行了如下实验：在一根质地均匀的木杆中间处拴绳，将木杆吊起并使其左右平衡，吊绳处作为木杆的支点，木杆两端各悬挂一5g重物．首先，在木杆左端物体下加挂一5g重物，然后把这两个重物一起向右移动，直至左右平衡，记录此时支点到木杆左右两边挂重物处的距离；再在木杆左端两个物体下再加挂一5g重物，然后把这三个重物一起向右移动，直至左右平衡，记录此时支点到木杆左右两边挂重物处的距离；在木杆左边继续加挂重物，并重复以上操作，同时记录数据如表： 支点左端 支点右端 木杆状态 重物质量（g） 到支点距离（cm） 重物质量（g） 到支点距离（cm） 5 30 5 30 平衡 10 15 5 30 平衡 15 10 5 30 平衡 20 7.5 5 30 平衡 25 6 5 30 平衡 根据以上实验记录数据的规律，学习小组的同学把5g的重物换成了每个质量为4g的重物再次进行实验，此时支点右端悬挂一个重物且与支点距离为20cm．左端悬挂5个重物移动至左右平衡．那么支点左端重物到支点的距离为（　　） A．2.5cm B．3cm C．3.5cm D．4cm 【解答】解：设支点左端重物到支点的距离xcm， 根据题意，得4×20＝5×4x， 解得x＝4， ∴支点左端重物到支点的距离4cm． 故选：D． 二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分） 13．若关于x的方程（k+2）x|k|﹣1+3k﹣5＝0是一元一次方程，则k的值为　2　 ． 【解答】解：根据题意可知，|k|﹣1＝1且k+2≠0， 即k＝±2且k≠﹣2， 解得：k＝2． 故答案为：2． 14．已知关于x的方程mx+n﹣2＝0的解为x＝2，根据等式的性质，可得2m+n+1的值为 　3　 ． 【解答】解：已知x的方程mx+n﹣2＝0的解为x＝2， 得到：2m+n﹣2＝0， 根据等式的性质可得：2m+n﹣2+3＝0+3， 则2m+n+1＝3． 故答案为：3． 15．对于两个不相等的有理数a，b，我们常用min{a，b}表示这两个数中较小的数．例如：min{﹣1，2}＝﹣1，如果min{﹣3，x}＝2x+1，那么x＝ 　﹣2　 ． 【解答】解：①当x大于或等于﹣3时， ∵min{﹣3，x}＝2x+1， ∴由题意，得2x+1＝﹣3， 移项、合并同类项，得2x＝﹣4， 将系数化为1，得x＝﹣2； ②当x小于﹣3时， ∵min{﹣3，x}＝2x+1， ∴由题意，得2x+1＝x， 移项、合并同类项，得x＝﹣1（不符合题意，舍去）， 综上所述，x＝﹣2． 故答案为：﹣2． 16．如图所示，两摞规格完全相同的课本整齐地叠放在桌子上，每本课本厚度相同，若有一摞课本的顶部距离地面的高度为95cm，那么这摞课本有　20　 本． 【解答】解：这摞课本有x本， ∴88+（88﹣86.5）÷（6﹣3）（x﹣6）＝95， 解得x＝20， ∴若有一摞课本的顶部距离地面的高度为95cm，则这摞课本有20本， 故答案为：20． 17．已知方程，则式子的值为 　0　 ． 【解答】解：， ， 1， x， ∴0， 故答案为：0． 三．解答题（共8小题，满分82分） 18．（8分）解方程：（1）2﹣8x＝3﹣x； （2）． 【解答】解：（1）2﹣8x＝3﹣x， ﹣8x+x＝3﹣2， ﹣7x＝1， x； （2）， 5（3x﹣6）＝12x﹣90， 15x﹣30＝12x﹣90， 15x﹣12x＝﹣90+30， 3x＝﹣60， x＝﹣20． 19．（10分）已知关于x的方程（a﹣2）x|a|﹣1+4b＝0为一元一次方程，且该方程的解与关于x的方程的解相同．求a、b的值． 【解答】解：， 2（2x+1）﹣3（x﹣1）＝6， 4x+2﹣3x+3＝6， 4x﹣3x＝6﹣2﹣3， x＝1， ∵关于x的方程（a﹣2）x|a|﹣1+4b＝0为一元一次方程， ∴|a|﹣1＝1且a﹣2≠0， 解得a＝﹣2， ∴方程为﹣4x+4b＝0， ∵关于x的方程（a﹣2）x|a|﹣1+4b＝0为一元一次方程，且该方程的解与关于x的方程的解相同， ∴方程﹣4x+4b＝0的解是x＝1， ∴﹣4×1+4b＝0， ∴b＝1． 20．（10分）已知关于x的方程3[x﹣2（x﹣1）]＝3x和1有相同的解，求a的值． 【解答】解：方程3[x﹣2（x﹣1）]＝3x， 去括号得：3x﹣6x+6＝3x， 移项合并得：6x＝6， 解得：x＝1， 把x＝1代入得：1， 去分母得：6+2a﹣1+5＝8， 移项合并得：2a＝﹣2， 解得：a＝﹣1． 21．（10分）在足球联赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某队9场比赛保持不败． （1）若这支球队9场比赛得到的积分是21分，求这9场比赛中的胜场数和平场数； （2）这支球队9场比赛的胜场总积分能等于它的平场总积分吗？ 【解答】解：（1）设该队共胜了x场， 根据题意列出方程为3x+（9﹣x）＝21， 3x+9﹣x＝21， 2x＝12， 解得x＝6． 答：这9场比赛中胜6场，平3场； （2）由题意得3x＝9﹣x， 解得不符合实际意义， ∴这支球队9场比赛的胜场总积分不能等于它的平场总积分． 22．（10分）阅读材料，完成任务 材料一 如果一个两位数的个位数是b，十位数是a，那么我们可以把这个两位数简记为，即． 材料二 定义：对任意一个四位数（其中1≤a，b，c，d≤9，且均为整数），若a+c＝9，b+d＝9，则称为“久久数”． 阅读以上材料，完成下列任务： 任务一 填空：3267　是　 （“是”或“不是”）“久久数”，2435　不是　 （“是”或“不是”）“久久数”； 任务二 求证：任意一个“久久数”都能被99整除． 证明：依题意可得：a+c＝9，b+d＝9，用含a，b，c，d的代数式表示　99（10a+b+1）　 ， ∴（　99　 ）＝… 请完成填空并补全证明过程： 【解答】解：（1）∵3+6＝9，2+7＝9， ∴3267是“久久数”， ∵2+3≠9， ∴2435不是“久久数”， 故答案为：是，不是； （2）证明：由题意得：a+c＝9，b+d＝9，即c＝9﹣a，d＝9﹣b， ∴ ＝1000a+100b+90﹣10a+9﹣b ＝990a+99b+99 ＝99（10a+b+1）， ∴任意一个“久久数”都是99的倍数． 故答案为：990a+99b+99；99． 23．（10分）龙年将至，乐乐和丽丽所在的活动小组计划做一批“龙年贺卡”．如果每人做8个，那么比计划多了6个；如果每人做5个，那么比计划少30个．问题：该小组共有多少人？计划做多少个“龙年贺卡”？ 她俩经过独立思考后，分别列出了如下尚不完整的方程： 乐乐的方法：8x□（　　）＝5x□（　　）； 丽丽的方法：． （1）在乐乐、丽丽所列的方程中，“□”中是运算符号，“（　　）”中是数字，试分别指出未知数x，y表示的意义； （2）试选择一种方法，将原题中的问题解答完成． 【解答】解：（1）根据两个尚不完整方程知，x表示该小组人数，y表示活动小组计划做的“龙年贺卡”数； （2）选择乐乐的方法： 设该小组有x人，由题意得：8x﹣6＝5x+30， 解得：x＝12； 计划做的“龙年贺卡”有8×12﹣6＝90（个）， 即该小组共有12人，计划做的“龙年贺卡”有90个； 丽丽的方法： 设该小组计划做“龙年贺卡”有y个， 由题意得：， 解得：y＝90， 该小组人数有（人）， 即该小组共有12人，计划做的“龙年贺卡”有90个． 24．（12分）综合与实践 北京时间2026年6月1日，美加墨世界杯开幕式在墨西哥举行．世界杯期间，人们对足球的需求量增加． 市场调研： 某班数学组对东东商场进行调研后了解到如下信息： 信息一 东东商场从厂家购进了A品牌足球7个，B品牌足球5个，共付款920元．已知每个B品牌足球比每个A品牌足球进价贵40元． 信息二 东东商场将B品牌足球按信息一中的进价提高50%后标价，实际销售时再打折出售，此时每个B品牌足球仍可获利35元． 问题解决： （1）设每个A品牌足球进价x元，则每个B品牌足球进价 　（x+40）　 元，根据题意可列方程 　7x+5（x+40）＝920　 ； （2）由（1）求得每个A品牌足球进价　60　 元，每个B品牌足球进价 　100　 元； 问题延伸： （3）利用一元一次方程求出信息二中B品牌足球的打折数． 【解答】解：（1）每个B品牌足球进价（x+40）元，根据题意可列方程7x+5（x+40）＝920． 故答案为：（x+40），7x+5（x+40）＝920； （2）7x+5（x+40）＝920， 解得x＝60， 则x+40＝60+40＝100． 故答案为：60，100； （3）设B品牌足球的打折数是y． 根据题意，得， 解得y＝9． 答：B品牌足球打9折． 23．（12分）甲车从A地出发，匀速开往B地，到达B地后，立刻沿原路以原速返回A地，乙车在甲车出发15min后，从A地出发，匀速开往B地，已知甲车每小时行驶120km，乙车的速度是甲车速度的一半，设甲车途中行驶的时间为xh（x）． （1）根据题意，填写下列表格： 行驶速度（km/h） 行驶时间（h） 行驶路程（km） 甲车 120 x 　120x 乙车 　60　 x　 　60（x）　 （2）已知A、B两地相距akm（a＞30）． ①当甲车到达B地时，求乙车与B地的距离（用含a表示代数式表示，结果需简化）． ②当两车相遇时，用方程描述甲、乙两车行驶路程之间的相等关系． ③当x＝　　 时，甲车到达A地，当x＝　　 时，乙车到达B地（用含a的代数式表示，结果需简化），　甲　 先到达（填甲或乙）． 【解答】解：（1）由题意可得， 甲车行驶的路程为：120x， 乙车行驶的速度为：12060km/h，行驶的时间为：x（x）h，行驶的路程为：60（x）km， 故答案为：120x；60，x，60（x）； （2）①当甲车到达B地时，乙车与B地的距离为：a﹣60（）＝（）km； ②当两车相遇时，甲、乙两车行驶路程之间的相等关系是：120x+60（x）＝2a； ③甲车到达A地时，x2， 当乙车到达B地时，x， 故甲先到达， 故答案为：，，甲． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $