3.4 相似三角形的性质 知识梳理与题型突破 2026-2027学年北师大版九年级数学上册（七大题型）

该初中数学导学案聚焦北师大版九年级上册相似三角形的性质，梳理对应角相等、对应边成比例及重要线段、周长、面积的性质，通过关联相似三角形判定知识搭建学习支架，引导学生从已知探究未知。 资料以七大题型突破为亮点，涵盖求线段、角度、周长、面积及坐标系、网格中的相似问题，题型多样且层次分明，助力学生通过数学眼光观察图形关系，用数学思维推理解决问题，提升应用意识与几何直观素养。

3.4相似三角形的性质知识梳理与题型突破2026 北师大版九年级上册（七大题型） 知识梳理： 考点1相似三角形的性质 性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例. 性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比 注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段 性质3：相似三角形周长的比等于相似比 AB BC CA 如图-：△ABC∽△A'B'C,则A'BB'℃：CA =k, AB+BC+CA kA'B'+kB'C+kC'A'=k 由比例性质可得：AB+B'C+CAA'B+BC+CA A 图一 性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方 AB BC CA 如图二，△ABCn△A'B'C,则49BC=C=k分别作出A4B 1 BC.AD S△4BC= .B'C'.k.AD =k 高和 ,则SA4BC 2 B'C'.A'D B'C".A'D' AD A'D' 2027学年 与△A'B'C的 图二 注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的 题型突破： 题型一：相似三角形的性质一一求线段 1.如图，矩形ABCD中，CE=2DE,点P在BC边上且恰好存在点P使△ABP和△PCE 相似，若AB=3,BC=5,则BP长为( D E B A.2 B.3 C.2或3 D.3或4 【答案】C 2.如图，在△ABC中，AB=6,AC=8,D为AB上一点，且AD=2DB,在AC上取一 点E,若以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，则AE的长为() B 16 16 16 A.3 B.3 C.3或3 D.3或5 【答案】C DE∥BC,SADE= BC=12 3.如图，在△ABC中，点D,B分别在边BA,CA上， SAABC 9 那么 DE= D B 【答案】4 4.如图，已知等腰三角形ABC中，AB=AC=20Cm,BC=30cm,点P从点B出发沿BA 以4cm/s的速度向点A运动：同时点Q从点C出发沿CB以3cm/s的速度向点B运动，在运 动过程中，当△BPQ与△AQC相似时，BP=cm. 【答案】 40 或20. 5.如图，正方形ABCD的边长为2，AE=EB,MN=1,线段MN的两端分别在CB、CD 上滑动，那么当CM=时，△ADE与△MNC相似. D B M 525 【答案】5或5 【详解】解：：四边形ABCD为正方形， ∠A=∠C=90°，AB=AD=2, .AE EB=1, :DE=P+2=5 ∴，当AE:CM=DE:MN时，△AED∽aCMN, 即1：CM=V5:,解得CM= 5 当AD:CM=DE:MN时，△AED∽aCNM, 即2：CM=V5:1,解 CM=2V5 5 V525 综上所述，CM为5或5时，△ADE与△MNC相似. √525 故答案为：5或5· 题型二：相似三角形的性质一一求角度 1.已知△ABC一△A1B1C1,且∠A=60°，∠B1=40°，则∠C的度数为( A.40° B.60° C.80° D.100° 【答案】C 2.如图，已知△ABC~△乙，若∠A=35°，∠B=65°，则∠F的度数是 ( ) A A B D A.80° B.90° C.110° D.120° 【答案】A 3.如图，△乙的顶点D,E在△ABC的边BC上，EF‖AC,DF‖AB,若∠F=55°， 则∠A=( A.45° B.55° C.60° D.65° 【答案】B 4.如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D,∠CAD=30°.若△ABC一△CBD,则 ∠CBD的度数为 D 【答案】60 5,经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一 个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的 “和谐分割线”.如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形， △CBD和△ABC相似，∠A=46°，则∠BCD=:∠ACB的度数为 B 【答案】 46° 113°或92° 题型三：相似三角形的性质一一求周长 1.已知△ABC∽△DEF,相似比为3：2，若△ABC的周长是9，则sDEF的周长为 ( A.1 B.3 C.6 D.9 【答案】C 2.若△ABC∽△DEF,面积比为25：9，则△ABC与△DEF的周长比为() A.5:3 B.25:9 C.9:25 D.3:5 【答案】A 3若△MBC-△兰，且是行若△AC的周K知，则△“的周K为 A. 2 9 B. 2 C.6 D.18 【答案】C 4.如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE:EC=3:1,连接AE交BD点F, 则△的周长与△BAF的周长之比为( ) C F A B A.9:16 B.3:4 C.9:1 D.3:1 【答案】B 5.已知△ABCn△AB'C',AD和AD是它们的对应角平分线，若AD:A'D'=4:3,△ABC的 周长为16，则△A'B'C'的周长是 【答案】12 题型四：相似三角形的性质一一求面积 1.已知△ABC6A'B'C,AD和AD是它们的对应高线，若AD=5,A'D'=3,则△ABC与 △A'B'C'的面积比是( ) A.25:9 B.9:25 C.5:3 D.3:5 【答案】A 2.已知△ABC一ABC,AD和AD是它们的对应中线，若AD=5,AD=3,则 △ABC与△ABC面积的比是() A.3:5 B.9:25 C.5:3 D.25:9 【答案】D 3.如图，DE是△ABC的中位线，若四边形BDEC的面积是60，则△ADE的面积为 ( D A.20 B.40 c.50 D.60 【答案】A 4.如图，在△ABC中，点D在BC边上，BD:CD=1:2,点E是AD中点，连接BE并延长与AC 交于点R,若S△ABC12,则△BCF的面积等于() E A.4 B.8 C.9 D.10 【答案】C 5.如果两个相似三角形对应角平分线之比为1：4，其中较小的三角形面积为2，那么另一 个三角形的面积为 【答案】32 题型五：相似三角形的性质一一坐标系问题 1.如图，已知两点A(2,0)B(0,4),∠1=∠2，则点C的坐标为( B 2 C >X A.(0,1) B.(0, 3 C.(0,2) D.(0,3) 【答案】A 2.如图，在直角坐标系x0y中，A(-4,0),B(0,2),连结AB并延长到C,连结C0, 若△COB∽△CAO,则点C的坐标为() VA A.(1, c.(95,25) D.(93,23) 【答案】B 3.如图，在矩形A0BC中，点A的坐标是(-2,1)，点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐 标分别是() 3 2 3 A.(2,3)、（-3,4) B. (2,3)、(-2,4) 7 2 1 c. (4,2)、(-3,4) D.(4,2)、 (-2,4) 【答案】B 4.如图，在平面直角坐标系中，点A, B的坐标分别为2,0,1，-2， △ABO一△ABO(点B,点O的对应点分别是点B,点O),O的坐标为-2,0，则 点B的坐标为 y 0 B 【答案】0，-4 5.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A10,0,OB=25,∠B=90°，则点B坐标为 B 【答案】2,4) 题型六：网格中的相似三角形 1.如图，在正方形网格上有6个斜三角形：①△ABC,②△CDB,③△DEB,④△FBG, ⑤△HGF,⑥△EKF. 在②一⑥中，与①相似的三角形有(） C D E ② ③ ⑥ H ① ⑤ ④ B G A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 2.如图，小正方形的边长均为1，关于△ABC和△乙的下列说法正确的是() A E B A.△ABC和△曾就一定不相似 B.△ABC和△乙是位似图形 C.△ABC和△乙相似且相似比是1：2D.△ABC和△乙相似且相似比是1：4 【答案】C 3.如图，在正方形网格上，若使△ABC∽△PBD,则点P应在( 0 P4 A.P1处 B.P2处 C.P3处 【答案】B 题型七：相似三角形性质与判定综合 1.如图，在正方形ABCD中，点G是对角线BD上一点， DA的延长线于点R,连接AG (1)求证：AB2=BE·DF; (②)若GE=2,GC=5,求EF的长. 1 【答案】(1)见解析②)2 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是正方形， :BC=DC=AB,∠EBC=∠CDF=90°，AB∥DC」 .∠BEC=∠DCF. .△EBC∽△CDF BC BE :DF DC AB BE .DF AB' AB2=BE·DF: (2)解：：BE∥DC, ∴.△BEGn△DCG, GE GB ·.GCGD BC∥DF, .△BCGADFG GB GC ·GDGF' D.P4处 CG的延长线交AB于点E,交 GE GC GC GF' ,GE=2,GC=5, .GF=GC2_25 GE 2, .EF=GF-GE=21 · 2.如图1，在△ABC中，点D,E分别在边AB,BC上，AE与CD相交于点F过点E作 EG‖CD交AC的延长线于点G.若AE平分∠BAC,CE=CF. D 0 B 图1 图2 (1)求证：∠ABC=∠ACD: (2)求证：△EGC一△CBD (3)如图2，若AD=2,BD=6,求CG的长 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)4 【详解】(1)证明：，CE=CF, ∴.∠CEF=∠CFE ,AE平分∠BAC, ∴.∠BAE=∠CAE, 又，∠CEF=∠ABC+∠BAE,∠CFE=∠ACD+∠CAE, .∠ABC=∠ACD, (2)证明：，EGCD, ∴.∠CEG=∠DCB,∠ACD=∠G, ,∠ABC=∠ACD, ∴∠ABC=∠G, ∴.△EGC~△CBD: (3)在△AEB和△AEG中， ∠ABC=∠G ∠BAE=∠GAE AE=AE ∴.△AEB≌△AEGAAS, ∴AG=AB AD=2,BD=6, ,AB=AD+BD=2+6=8. .AG=8 ,∠ABC=∠ACD,∠BAC=∠CAD, ∴.△ABC△ACD ..AB:AC=AC:AD .AC2=ABAD=8×2=16, ∴.AC=4(舍负)， ∴.CG=AG-AC=8-4=4 3.如图，MN经过△ABC的顶点A,MN‖BC,AM= 于E,连接DE (1)求证：△ADE一△ABC (2)如果DE=1,BC=3,求MN的长. 【答案】(1)见解析： (2)3. 【详解】(1)证明：MNBC, AN,MC交AB于D,NB交AC ∴.∠DAM=∠DBC,∠DMA=∠DCB, ∴.△DAM一△DBC, .AM=AD BC DB 同理： AN_AE BC EC ..AM=AN. AD=AM=AN-AE ·DB BCBC EC .AD=AE 'AB AC :∠BAC=∠DAE, ∴△ADE-△ABC, (2)解：，△ADE△ABC,DE=1,BC=3. DE=AD-AE_1 BC AB AC 3 0泛 由(1)得AP-AM-AW=AE DB BCBC EC 0能号 M=AN-号 ∴.MN=3, 3.4相似三角形的性质知识梳理与题型突破2026-2027学年 北师大版九年级上册（七大题型） 知识梳理： 考点1 相似三角形的性质 性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例. 性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 性质3：相似三角形周长的比等于相似比 如图一： ∽，则 由比例性质可得： 图一 性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图二，∽，则分别作出与的高和，则 图二 注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 题型突破： 题型一：相似三角形的性质——求线段 1．如图，矩形中，，点在边上且恰好存在点使和相似，若，则长为（    ）    A．2 B．3 C．2或3 D．3或4 2．如图，在中，，，为上一点，且，在上取一点，若以、、为顶点的三角形与相似，则的长为（   ） A．3 B． C．3或 D．3或 3.如图，在中，点D，E分别在边上，，那么 ． 4．如图，已知等腰三角形ABC中，，，点从点出发沿BA以的速度向点运动；同时点从点出发沿CB以的速度向点运动，在运动过程中，当与相似时， cm． 5．如图，正方形的边长为2，，线段的两端分别在上滑动，那么当 时，与相似． 题型二：相似三角形的性质——求角度 1．已知，且，，则∠C的度数为(    ) A． B． C． D． 2.如图，已知，若，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 3.如图，的顶点在的边上，，若，则（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，于点D，．若，则的度数为 ． 5．经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段是的“和谐分割线”，为等腰三角形，和相似，，则 ；的度数为 ． 题型三：相似三角形的性质——求周长 1.已知，相似比为，若的周长是9，则的周长为（   ）． A．1 B．3 C．6 D．9 2．若，面积比为，则与的周长比为（　 ） A． B． C． D． 3.若，且，若的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 4.如图，在平行四边形中，点在边上，，连接交点，则的周长与的周长之比为（    ） A． B． C． D． 5.已知，和是它们的对应角平分线，若，的周长为16，则的周长是 ． 题型四：相似三角形的性质——求面积 1.已知，和是它们的对应高线，若，，则与的面积比是（    ） A． B． C． D． 2.已知，和是它们的对应中线，若，，则与△面积的比是（　　） A． B． C． D． 3.如图，是的中位线，若四边形的面积是，则的面积为（    ） A． B． C． D． 4.如图，在△ABC中，点D在BC边上，BD：CD＝1:2，点E是AD中点，连接BE并延长与AC交于点F，若S△ABC＝12，则△BCF的面积等于（  ） A．4 B．8 C．9 D．10 5．如果两个相似三角形对应角平分线之比为，其中较小的三角形面积为2，那么另一个三角形的面积为 ． 题型五：相似三角形的性质——坐标系问题 1.如图，已知两点A（2，0）B（0，4），∠1=∠2，则点C的坐标为（    ） A．（0，1） B．（0，） C．（0，2） D．（0，3） 2.如图，在直角坐标系xOy中，A（﹣4，0），B（0，2），连结AB并延长到C，连结CO，若△COB∽△CAO，则点C的坐标为（　　） A．（1，） B．（，） C．（，2） D．（，2） 3.如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是（ ） A．（，3）、（﹣，4） B．（，3）、（﹣，4） C．（，）、（﹣，4） D．（，）、（﹣，4） 4．如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，（点，点的对应点分别是点，点），的坐标为，则点的坐标为 ．    5．如图，在平面直角坐标系中，点，，，则点坐标为 ． 题型六：网格中的相似三角形 1.如图，在正方形网格上有个斜三角形：①，②，③，④，⑤，⑥．在②～⑥中，与①相似的三角形有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.如图，小正方形的边长均为，关于和的下列说法正确的是（ ） A．和一定不相似 B．和是位似图形 C．和相似且相似比是 D．和相似且相似比是 3.如图，在正方形网格上，若使△∽△，则点应在（    ） A．处 B．处 C．处 D．处 题型七：相似三角形性质与判定综合 1．如图，在正方形中，点G是对角线上一点，的延长线交于点E，交的延长线于点F，连接．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 2.如图1，在中，点D，E分别在边，上，与相交于点F，过点E作交的延长线于点G．若平分，．   　　   (1)求证：； (2)求证： (3)如图2，若，，求的长． 3.如图，经过的顶点，，，交于，交于，连接    (1)求证：． (2)如果，，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $