5.6.1 匀速圆周运动的数学模型同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高一数学匀速圆周运动数学模型同步练，以基础题为主，通过选择、填空、解答题的梯度设计，覆盖从三角函数模型识别到实际问题建模的知识路径，培养数学建模与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一情境应用（时钟、摩天轮）到综合建模（函数解析式、高度最值）|选择题1-4聚焦模型识别，解答题15-16强化建模能力，融入水车、风车等生活情境，体现用数学眼光观察现实世界|

5.6.1 匀速圆周运动的数学模型 2026-2027学年高一数学同步备课系列【基础题】 一、选择题（共8小题） 1.已知某垂直于地面放置的时钟时针长度为 6 cm，时针绕中心点 O 匀速旋转，记时针端点 P 到点 O 所在水平面的距离为 d，当 d = 3 cm 时，时针指向的数字不可能是 ( ) A. 2 B. 4 C. 5 D. 8 2.中国最高的摩天轮是“南昌之星”，它的最高点离地面160米，直径为156米，并以每30分钟一周的速度匀速旋转，若摩天轮某座舱经过最低点开始计时，则10分钟后离地面的高度为（） A.43米 B.78米 C.118米 D.121米 3.下列变量间的关系，适合用函数模型y＝Asin(ωx＋φ)＋h来刻画的是(　　) A.一学生从家匀速步行到学校，用时t与路程s的关系 B.摩天轮匀速旋转时，某个座位距地面的高度H与旋转时间t的关系 C.从高处扔下一木块，木块的下落高度g与时间t的关系 D.一个球垂直从高处落地后弹起，再落地，再弹起，重复这一过程直到不再弹起，从第一次落地开始，球距地面的高度H与时间t的关系 4.（2024-2025·江苏高一期末）人的心脏跳动时，血压在增加或减少.若某人的血压满足函数式，其中为血压（单位：），为时间（单位：），则此人每分钟心跳的次数为（    ） A.50 B.70 C.90 D.130 5.（2025-2026·高一上课时作业）已知现代600千瓦风力发电机上，每个扇叶长度为，对应塔高(旋转中心距离地面的高度)为，扇叶逆时针方向每分钟旋转27圈．若点为扇叶尖上一点，当位于最低点时开始计时，则离地面的距离(单位：)与其转动时间(单位：)的函数关系式为(角速度圆半径转过的弧度/运动时间)()   A. B. C. D. 6.（2025-2026·高一上课时作业）如图是一直径为6 m的水轮，水轮圆心O距水面2 m，已知水轮每分钟转2圈，水轮上的点P到水面的距离y(m)与时间x(s)满足关系式y=Asin(ωx+φ)+2(A>0，ω>0，y<0表示P在水面下)，则(　 )   A.ω=，A=3 B.ω=，A=3 C.ω=，A=6 D.ω=，A=6 7.（2025-2026·高一上课时作业）一个风车的半径为6 m，每12 min旋转一周，它的最低点P0离地面2 m，风车翼片的一个端点P从P0开始按逆时针方向旋转，则点P离地面的距离h(t)(m)与时间t(min)之间的函数关系式是(　　) A.h(t)＝－6sint＋6 B.h(t)＝－6cost＋6 C.h(t)＝－6sint＋8 D.h(t)＝－6cost＋8 8.（2025-2026·高一上课时作业）水车是古老黄河的文化符号，是我国劳动人民智慧的结晶，是最早的自动灌溉系统．黄河边上的一架水车直径为16米，入水深度为4米，为了计算水车的旋转速度，某人给刚出水面的一个水斗做上记号(图中点A)，经过60秒该水斗到达水车最顶端(图中点B)，再经过11分20秒，做记号的水斗与水面的距离为n米，则n所在的范围是(　　)   A.(0，4) B.(4，8) C.(8，10) D.(10，12) 二、多选题（共3小题） 9.某时钟的秒针端点A到时钟的中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转．当时间t＝0时，点A与钟面上标“12”的点B重合，将A，B两点的距离d(单位：cm)表示成t(单位：s)(其中t∈[0,60])的函数，则d等于(　　) A.5sin B.10cos C.10sin D.10sin 10.一半径为4.8米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2.4米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时，则(　　) A.点P第一次到达最高点需要10秒 B.在水轮转动的一圈内，有20秒的时间，点P距离水面的高度不低于4.8米 C.点P距离水面的高度h(米)与t(秒)的函数解析式为h＝4.8sin＋2.4 D.当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面1.2米 11.（2025-2026·高一上课时作业）如图是半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒，经过秒后，水斗旋转到点，设点坐标为，其纵坐标满足，则下列说法正确的是()   A. B.当时，点到轴距离最大为6 C.当时，函数单调递减 D.当时，点的坐标为 三、填空题（共3小题） 12.（2025-2026·高一上课时作业）某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针绕点O匀速旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合．将A，B两点间的距离d(单位：cm)表示成t(单位：s)的函数，则d＝                   ，t∈[0，60]． 13.（2025-2026·高一上课时作业）为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的平面直角坐标系，设秒针针尖的位置为，若初始位置为，当秒针针尖从(注：此时)开始转动时，点的纵坐标与时间(单位：)的函数关系式为                  .   14.（2025-2026·高一上课时作业）如图，点P是半径为r的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P0开始，按逆时针方向以角速度ω(rad/s)做圆周运动，则点P的纵坐标y关于时间t的函数关系式为                  ．   四、解答题（共2小题） 15.（2024-2025·陕西咸阳高一下期末）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒.经过.秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足（）. (1)求函数的解析式； (2)当时，求点到轴的距离的最大值. 16.（2025-2026·高一上课时作业）如图，一个水轮的半径为4 m，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟转动5圈，当水轮上一点P从水中浮现(图中点P0)时开始计算时间.    (1) 将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数； (2) 点P第一次到达最高点需要多长时间？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.6.1 匀速圆周运动的数学模型 2026-2027学年高一数学同步备课系列【基础题】——解析版 一、选择题（共8小题） 1.已知某垂直于地面放置的时钟时针长度为 6 cm，时针绕中心点 O 匀速旋转，记时针端点 P 到点 O 所在水平面的距离为 d，当 d = 3 cm 时，时针指向的数字不可能是 ( ) A. 2 B. 4 C. 5 D. 8 【答案】 C 【解析】 假设距离 d 与时间 t 之间的关系为，可易得， 则时针每小时转，即， 所以， 当时，解得．故选 C． 2.中国最高的摩天轮是“南昌之星”，它的最高点离地面160米，直径为156米，并以每30分钟一周的速度匀速旋转，若摩天轮某座舱经过最低点开始计时，则10分钟后离地面的高度为（） A.43米 B.78米 C.118米 D.121米 【答案】D 【解析】设10分钟后到达点，作于，如图所示， ，，，， 摩天轮进行10分钟后离地面的高度为：（米． 故选：D． 3.下列变量间的关系，适合用函数模型y＝Asin(ωx＋φ)＋h来刻画的是(　　) A.一学生从家匀速步行到学校，用时t与路程s的关系 B.摩天轮匀速旋转时，某个座位距地面的高度H与旋转时间t的关系 C.从高处扔下一木块，木块的下落高度g与时间t的关系 D.一个球垂直从高处落地后弹起，再落地，再弹起，重复这一过程直到不再弹起，从第一次落地开始，球距地面的高度H与时间t的关系 【答案】B 【解析】A，C，D项不存在周期现象；B项和教材中的筒车是一个道理，适合用函数模型y＝Asin(ωx＋φ)＋h来刻画． 4.（2024-2025·江苏高一期末）人的心脏跳动时，血压在增加或减少.若某人的血压满足函数式，其中为血压（单位：），为时间（单位：），则此人每分钟心跳的次数为（    ） A.50 B.70 C.90 D.130 【答案】B 【解析】由题意得，此人每分钟心跳的次数为. 故选：B. 5.（2025-2026·高一上课时作业）已知现代600千瓦风力发电机上，每个扇叶长度为，对应塔高(旋转中心距离地面的高度)为，扇叶逆时针方向每分钟旋转27圈．若点为扇叶尖上一点，当位于最低点时开始计时，则离地面的距离(单位：)与其转动时间(单位：)的函数关系式为(角速度圆半径转过的弧度/运动时间)()   A. B. C. D. 【答案】A 【解析】以旋转中心为圆心，扇叶长度为半径作圆．由题意，点在该圆上作匀速圆周运动，其角速度为，可得后点旋转过的弧度为，    过分别向地面作垂线，垂足分别为，过向作垂线，垂足为， 如图，， ， 所以离地面的距离， 所以. 6.（2025-2026·高一上课时作业）如图是一直径为6 m的水轮，水轮圆心O距水面2 m，已知水轮每分钟转2圈，水轮上的点P到水面的距离y(m)与时间x(s)满足关系式y=Asin(ωx+φ)+2(A>0，ω>0，y<0表示P在水面下)，则(　 )   A.ω=，A=3 B.ω=，A=3 C.ω=，A=6 D.ω=，A=6 【答案】A 【解析】由题意知，水轮的半径为3 m，水轮圆心O距离水面2 m，所以A=3.因为水轮每分钟转2圈，所以转一圈需要30 s，所以T=30=，解得ω=.故选A. 7.（2025-2026·高一上课时作业）一个风车的半径为6 m，每12 min旋转一周，它的最低点P0离地面2 m，风车翼片的一个端点P从P0开始按逆时针方向旋转，则点P离地面的距离h(t)(m)与时间t(min)之间的函数关系式是(　　) A.h(t)＝－6sint＋6 B.h(t)＝－6cost＋6 C.h(t)＝－6sint＋8 D.h(t)＝－6cost＋8 【答案】D 【解析】设h(t)＝Acos ωt＋B(A＜0，ω＞0)，因为每12min旋转一周，所以＝12，所以ω＝.由题意得，h(t)的最大值与最小值分别为14，2，所以所以h(t)＝－6cost＋8.故选D. 8.（2025-2026·高一上课时作业）水车是古老黄河的文化符号，是我国劳动人民智慧的结晶，是最早的自动灌溉系统．黄河边上的一架水车直径为16米，入水深度为4米，为了计算水车的旋转速度，某人给刚出水面的一个水斗做上记号(图中点A)，经过60秒该水斗到达水车最顶端(图中点B)，再经过11分20秒，做记号的水斗与水面的距离为n米，则n所在的范围是(　　)   A.(0，4) B.(4，8) C.(8，10) D.(10，12) 【答案】B 【解析】  以水面与水车的交线为x轴，过水车轴垂直水面的直线为y轴建立平面直角坐标系，水斗从A转到B，则转过的角为，从点B开始，记水斗经过时间x(分钟)后距离水面高度y满足关系：y＝8sin＋4，又当x＝11＋分钟时，y＝8sin＋4＝8sin＋4∈(4，8)．故选B． 二、多选题（共3小题） 9.某时钟的秒针端点A到时钟的中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转．当时间t＝0时，点A与钟面上标“12”的点B重合，将A，B两点的距离d(单位：cm)表示成t(单位：s)(其中t∈[0,60])的函数，则d等于(　　) A.5sin B.10cos C.10sin D.10sin 【答案】BD 【解析】如图， 经过t s秒针转了trad.由图知sin＝， 所以d＝10sin或d＝10cos＝10cos， 其中t∈[0,60]，所以B，D正确． 10.一半径为4.8米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2.4米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时，则(　　) A.点P第一次到达最高点需要10秒 B.在水轮转动的一圈内，有20秒的时间，点P距离水面的高度不低于4.8米 C.点P距离水面的高度h(米)与t(秒)的函数解析式为h＝4.8sin＋2.4 D.当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面1.2米 【答案】BC 【解析】对于选项C，由题意可得：点P距离水面的高度h(米)与t(秒)的函数解析式为h＝4.8sin＋2.4，即选项C正确；对于选项A，令t－＝，解得t＝20，即点P第一次到达最高点需要20秒，即选项A错误； 对于选项B，令4.8sin＋2.4≥4.8，(0≤t≤60)，解得10≤t≤30， 即在水轮转动的一圈内，有20秒的时间，点P距离水面的高度不低于4.8米，即B正确； 对于选项D，因为h＝4.8sin＋2.4＝－2.4，即点P在水面下方，距离水面2.4米，所以D错误．综上可得选项B，C正确，故选BC. 11.（2025-2026·高一上课时作业）如图是半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒，经过秒后，水斗旋转到点，设点坐标为，其纵坐标满足，则下列说法正确的是()   A. B.当时，点到轴距离最大为6 C.当时，函数单调递减 D.当时，点的坐标为 【答案】ABD 【解析】水车的半径， 函数的最小正周期， 所以， 由， 解得， 则，，且， 所以，故正确； 所以，当时，，，所以当，即时，取得最小值，故此时点到轴的最大距离为6，故正确； 当时，，所以在上先增后减，故错误； 当时，，此时点坐标为，故正确. 三、填空题（共3小题） 12.（2025-2026·高一上课时作业）某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针绕点O匀速旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合．将A，B两点间的距离d(单位：cm)表示成t(单位：s)的函数，则d＝                   ，t∈[0，60]． 【答案】10sin 【解析】如图，∵∠AOB＝×2π＝，    ∴由圆的几何性质得d＝2×5×sin∠AOB＝10sin． 13.（2025-2026·高一上课时作业）为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的平面直角坐标系，设秒针针尖的位置为，若初始位置为，当秒针针尖从(注：此时)开始转动时，点的纵坐标与时间(单位：)的函数关系式为                  .   【答案】 【解析】设秒针的角速度为，因为秒针转一圈是，所以周期，所以， 因为秒针初始位置为，所以，秒针的初始角度为，则按顺时针旋转后，秒针与角的终边重合，根据三角函数定义，点的纵坐标与时间的函数关系式为. 14.（2025-2026·高一上课时作业）如图，点P是半径为r的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P0开始，按逆时针方向以角速度ω(rad/s)做圆周运动，则点P的纵坐标y关于时间t的函数关系式为                  ．   【答案】y＝r sin (ωt＋φ) 【解析】当质点P从P0转到点P位置时，点P转过的角度为ωt，则∠POt＝ωt＋φ，由任意角的三角函数定义知P点的纵坐标y＝r sin (ωt＋φ). 四、解答题（共2小题） 15.（2024-2025·陕西咸阳高一下期末）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒.经过.秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足（）. (1)求函数的解析式； (2)当时，求点到轴的距离的最大值. 【答案】解：(1)由点得半径， 因为旋转周期， 由得， 当时，， 所以， 由得， 故. (2)当时，， 因为在上的取值范围为， 所以， 故点到轴距离的最大值为6. 16.（2025-2026·高一上课时作业）如图，一个水轮的半径为4 m，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟转动5圈，当水轮上一点P从水中浮现(图中点P0)时开始计算时间.    (1) 将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数； (2) 点P第一次到达最高点需要多长时间？ 【答案】解：(1) 如图，建立直角坐标系，设角φ是以Ox为始边，OP0为终边的角，OP每秒钟所转过的弧度数为＝.    又水轮的半径为4 m，圆心O距离水面2 m， 所以z＝4sin＋2. 当t＝0时，z＝0，得sin φ＝－，即φ＝－. 故所求的函数表达式为z＝4sin＋2. (2) 令z＝4sin＋2＝6， 得sin＝1. 取t－＝，得t＝4. 故点P第一次到达最高点需要4 s. 学科网（北京）股份有限公司 $