4.5 练习3　函数模型的应用 同步练 2026-2027学年 高一上学期人教A版 必修第一册

**基本信息** 聚焦函数模型应用，分层设计从基础概念到综合应用，通过实际情境问题链提升数学建模与运算能力，适配新授课知识巩固与素养培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|指数/对数函数模型识别、简单运算|如第1题直接考查指数增长模型，第2题通过散点图匹配函数类型，巩固概念理解| |中档|模型参数求解、实际数据应用|如第5题利用指数函数求记忆单词量，第6题结合已知条件求保鲜时间，提升运算推理能力| |拔高|综合模型分析、复杂问题解决|如第7题多选项分析浮萍面积指数模型，解答题13对比选择函数模型并预测生长面积，发展数学建模与应用意识|

4.5 练习3　函数模型的应用 1. 某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年(x∈N*)，该产品的产量y满足(　D　) A. y＝a(1＋5%x) B. y＝a＋5% C. y＝a(1＋5% D. y＝a(1＋5%)x 【解析】经过1年，y＝a(1＋5%)，经过2年，y＝a(1＋5%)2，…，经过x年， y＝a(1＋5%)x. 2. “红豆生南国，春来发几枝.”如图所示为给出了红豆生长时间t(单位：月)与枝数y(单位：枝)的散点图，那么最符合红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是(　C　) A. y＝t3 B. y＝log2t C. y＝2t D. y＝2t2 【解析】由散点图知指数函数模型最符合. 3. 科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设I为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级r可定义为r＝0.6lg I.若6.5级地震释放的相对能量为I1，7.4级地震释放的相对能量为I2，记n＝，则n≈(　C　) A. 16 B. 20 C. 32 D. 90 【解析】∵r＝0.6lg I，∴I＝1.当r＝6.5时，I1＝1；当r＝7.4时，I2＝1，∴n＝＝1÷1＝1＝10×≈32. 4. 根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中，与最接近的是(参考数据：lg 3≈0.48)(　D　) A. 1033 B. 1053 C. 1073 D. 1093 【解析】由已知得，lg ＝lg M－lg N≈361×lg 3－80×lg 10≈361×0.48－80＝93.28＝lg 1093.28，故与最接近的是1093. 5. (2024·郑州高一期末)心理学家有时用函数L(t)＝250(1－e－kt)来测定人们在时间t(单位：min)内能够记忆的单词量L(单位：个)，其中k表示记忆率.心理学家测定某学生在10 min内能够记忆50个单词，则该学生在40 min内能记忆的单词个数约为(　A　) A. 148 B. 136 C. 128 D. 122 【解析】由题可得L(10)＝250(1－)＝50，则e－10k＝，∴L(40)＝250(1－ e－40k)＝250·＝250×≈148，即该学生在40 min内能记忆的单词个数约为148. 6. (2024·陕西高新一中高一期中) 已知某类果蔬的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系式y＝eax＋b(a，b为常数)，若该果蔬在6 ℃的保鲜时间为216小时，在24 ℃的保鲜时间为8小时，那么在12 ℃时，该果蔬的保鲜时间为 (　D　) A. 16小时 B. 24小时 C. 36小时 D. 72小时 【解析】由题得则，故a＝－，b＝4ln 3＋3ln 2， ∴当x＝12时，ax＋b＝－2ln 3＋4ln 3＋3ln 2＝ln 72，此时y＝eln 72＝72. 7. (多选)如图所示为某河塘的浮萍面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的函数 y＝kat(k≠0，a＞0，且a≠1)的图象，则下列说法中，正确的有(　BD　) A. 浮萍每月增加的面积都相等 B. 第4个月时，浮萍面积会超过25 m2 C. 浮萍面积蔓延到81 m2只需6个月 D. 浮萍面积蔓延到10 m2，20 m2，40 m2所需的时间分别为t1，t2，t3，则t1＋t3＝2t2 【解析】由题意，函数图象过点(1，1)和点(2，3)，则解得 ∴y＝·3t＝.由图易知浮萍每月增加的面积不相等，A错误；当t＝4时， y＝33＝27，浮萍面积超过了25 m2，B正确；当t＝5时，y＝34＝81，∴浮萍面积蔓延到81 m2只需5个月，C错误；令y＝10，可得t1＝log310＋1，令y＝20，可得t2＝log320＋1，令y＝40，可得t3＝log340＋1，∴t1＋t3＝log310＋1＋log340＋1＝log3400＋2＝2log320＋2＝2(log320＋1)＝2t2，D正确. 8. 已测得(x，y)的两组值分别为(1，2)，(2，5)，现有两个函数模型：①y＝x2＋1；②y＝3x－1.若又测得(x，y)的一组对应值为(3，10.2)，则选用　①　作为函数模型较好(填“①”或“②”).  【解析】对于①，当x＝3时，y＝32＋1＝10；对于②，当x＝3时，y＝8. ∵10比8更接近10.2，∴选用①作为函数模型较好. 9. 在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量v(单位：cm3/s)与管道半径r(单位：cm)的四次方成正比.已知气体在半径为3 cm的管道中，流量为400 cm3/s，则气体在半径为 cm的管道中，流量为　25　cm3/s.  【解析】设＝k(k＞0)，把v＝400，r＝3代入得k＝.当r＝时，v＝k·r4＝×＝25. 10. 美国对中国芯片的技术封锁激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发A型芯片已经获得成功，正准备投入批量生产.经市场调研与预测，生产该芯片的利润y(单位：千万元)与投入的资金x(单位：千万元)的函数关系为y＝kxa(x＞0)，其图象如图所示.若该公司准备投入9千万元生产A型芯片，则预测公司能获利润　3　千万元.  【解析】由题意可知，∵函数y＝kxa(x＞0)的图象过点(1，1)，(4，2)， ∴解得∴y＝，即当x＝9时，y＝3. 11.汽车驾驶员发现前方有障碍物时会紧急刹车，这一过程中，由于人的反应需要时间，汽车在惯性的作用下有一个刹车距离，设停车安全距离为S，驾驶员反应时间内汽车行驶距离为S1，刹车距离为S2，则S＝S1＋S2.而S1与反应时间t有关，S1＝10ln(t＋1)，S2与车速v有关，S2＝bv2.某人的刹车反应时间为－1秒，当车速为60千米/小时时，紧急刹车后滑行的距离为20米，若在限速100千米/小时的高速公路上，求该汽车的安全距离为多少米(精确到米). 解：∵刹车反应时间为－1秒，∴S1＝10ln(－1＋1)＝10ln＝5，当车速为60千米/小时时，紧急刹车后滑行的距离为20米，则S2＝b·(60)2＝20，解得b＝，即S2＝v2.若v＝100，则S2＝×1002≈56，S1＝5，∴该汽车的安全距离S＝S1＋S2≈5＋56＝61(米). 12. 在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式v＝v0·ln计算火箭的最大速度v(单位：m/s)，其中v0(单位：m/s)是喷流相对速度，m(单位：kg)是火箭(除推进剂外)的质量，M(单位：kg)是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”.已知A型火箭的喷流相对速度为300 m/s. (1)当“总质比”为800时，求A型火箭的最大速度； (2)经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的2倍，“总质比”变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加300 m/s，求在材料更新和技术改进前“总质比”的最小整数值(参考数据：ln 800≈6.7，2.718＜e＜2.719). 解：(1)由已知得v＝300ln 800≈300×6.7＝2 010(m/s). (2)设在材料更新和技术改进前“总质比”为k， 则600ln－300ln k≥300，化简得ln≥1，则k≥4e.∵2.718＜e＜2.719，∴10.872＜4e＜10.876，∴k的最小整数值是11，故在材料更新和技术改进前“总质比”的最小整数值为11. 13. 某环保组织自2024年元旦开始监测某水域水葫芦生长面积的变化情况，此后每隔一个月(每月月底)测量一次.通过近一年的观察发现，自2024年元旦起，水葫芦在该水域里生长面积增加的速度越来越快.最初测得该水域水葫芦的生长面积为n m2，2月底测得水葫芦的生长面积为24 m2，3月底测得水葫芦的生长面积为64 m2.水葫芦的生长面积y(单位：m2)与测量时间x(单位：月)的函数关系有两个函数模型可供选择，一个是y＝nax(n＞0，a＞1)，另一个是y＝p＋n(p＞0，n＞0)，记2024年元旦最初测量时间x的值为0. (1)请你判断哪个函数模型更适合，并据此求出y关于x的函数解析式； (2)该水域中水葫芦的生长面积在几月底起是最初测量时其生长面积的60倍以上(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)? 解：(1)y＝nax(n＞0，a＞1)，y＝p＋n(p＞0，n＞0)都在(0，＋∞)上单调递增.随着x的增大，y＝nax(n＞0，a＞1)的增长速度越来越快，而y＝p＋n(p＞0，n＞0)的增长速度越来越慢，∴函数模型y＝nax(n＞0，a＞1)更适合. 由题意知解得∴y关于x的函数解析式为y＝·. (2)由·＞60×，解得x＞lo60，∵lo60＝≈≈4.2， ∴x≥5，∴该水域中水葫芦的生长面积在5月底起是最初测量时其生长面积的60倍以上. 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.5 练习3　函数模型的应用 1. 某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年(x∈N*)，该产品的产量y满足(　 　) A. y＝a(1＋5%x) B. y＝a＋5% C. y＝a(1＋5% D. y＝a(1＋5%)x 2. “红豆生南国，春来发几枝.”如图所示为给出了红豆生长时间t(单位：月)与枝数y(单位：枝)的散点图，那么最符合红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是(　 　) A. y＝t3 B. y＝log2t C. y＝2t D. y＝2t2 3. 科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设I为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级r可定义为r＝0.6lg I.若6.5级地震释放的相对能量为I1，7.4级地震释放的相对能量为I2，记n＝，则n≈(　 　) A. 16 B. 20 C. 32 D. 90 4. 根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中，与最接近的是(参考数据：lg 3≈0.48)(　 　) A. 1033 B. 1053 C. 1073 D. 1093 5. (2024·郑州高一期末)心理学家有时用函数L(t)＝250(1－e－kt)来测定人们在时间t(单位：min)内能够记忆的单词量L(单位：个)，其中k表示记忆率.心理学家测定某学生在10 min内能够记忆50个单词，则该学生在40 min内能记忆的单词个数约为(　 　) A. 148 B. 136 C. 128 D. 122 6. (2024·陕西高新一中高一期中) 已知某类果蔬的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系式y＝eax＋b(a，b为常数)，若该果蔬在6 ℃的保鲜时间为216小时，在24 ℃的保鲜时间为8小时，那么在12 ℃时，该果蔬的保鲜时间为 (　 　) A. 16小时 B. 24小时 C. 36小时 D. 72小时 7. (多选)如图所示为某河塘的浮萍面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的函数 y＝kat(k≠0，a＞0，且a≠1)的图象，则下列说法中，正确的有(　 　) A. 浮萍每月增加的面积都相等 B. 第4个月时，浮萍面积会超过25 m2 C. 浮萍面积蔓延到81 m2只需6个月 D. 浮萍面积蔓延到10 m2，20 m2，40 m2所需的时间分别为t1，t2，t3，则t1＋t3＝2t2 8. 已测得(x，y)的两组值分别为(1，2)，(2，5)，现有两个函数模型：①y＝x2＋1；②y＝3x－1.若又测得(x，y)的一组对应值为(3，10.2)，则选用　 　作为函数模型较好(填“①”或“②”).  9. 在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量v(单位：cm3/s)与管道半径r(单位：cm)的四次方成正比.已知气体在半径为3 cm的管道中，流量为400 cm3/s，则气体在半径为 cm的管道中，流量为　 　cm3/s.  10. 美国对中国芯片的技术封锁激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发A型芯片已经获得成功，正准备投入批量生产.经市场调研与预测，生产该芯片的利润y(单位：千万元)与投入的资金x(单位：千万元)的函数关系为y＝kxa(x＞0)，其图象如图所示.若该公司准备投入9千万元生产A型芯片，则预测公司能获利润　 　千万元.  11.汽车驾驶员发现前方有障碍物时会紧急刹车，这一过程中，由于人的反应需要时间，汽车在惯性的作用下有一个刹车距离，设停车安全距离为S，驾驶员反应时间内汽车行驶距离为S1，刹车距离为S2，则S＝S1＋S2.而S1与反应时间t有关，S1＝10ln(t＋1)，S2与车速v有关，S2＝bv2.某人的刹车反应时间为－1秒，当车速为60千米/小时时，紧急刹车后滑行的距离为20米，若在限速100千米/小时的高速公路上，求该汽车的安全距离为多少米(精确到米). 12. 在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式v＝v0·ln计算火箭的最大速度v(单位：m/s)，其中v0(单位：m/s)是喷流相对速度，m(单位：kg)是火箭(除推进剂外)的质量，M(单位：kg)是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”.已知A型火箭的喷流相对速度为300 m/s. (1)当“总质比”为800时，求A型火箭的最大速度； (2)经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的2倍，“总质比”变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加300 m/s，求在材料更新和技术改进前“总质比”的最小整数值(参考数据：ln 800≈6.7，2.718＜e＜2.719). 13. 某环保组织自2024年元旦开始监测某水域水葫芦生长面积的变化情况，此后每隔一个月(每月月底)测量一次.通过近一年的观察发现，自2024年元旦起，水葫芦在该水域里生长面积增加的速度越来越快.最初测得该水域水葫芦的生长面积为n m2，2月底测得水葫芦的生长面积为24 m2，3月底测得水葫芦的生长面积为64 m2.水葫芦的生长面积y(单位：m2)与测量时间x(单位：月)的函数关系有两个函数模型可供选择，一个是y＝nax(n＞0，a＞1)，另一个是y＝p＋n(p＞0，n＞0)，记2024年元旦最初测量时间x的值为0. (1)请你判断哪个函数模型更适合，并据此求出y关于x的函数解析式； (2)该水域中水葫芦的生长面积在几月底起是最初测量时其生长面积的60倍以上(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)? 学科网（北京）股份有限公司 $