6.3培优课与指（对）数函数有关的恒（能）成立问题同步练-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

**基本信息** 聚焦指对数函数恒（能）成立问题，通过基础理解、综合应用、拓展提升三层设计，实现从单一性质到复杂参数问题的进阶巩固，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|指对数函数单调性与图象|选择填空直接应用概念（如第1题单调性判断）| |综合应用|恒成立问题参数处理|填空结合换元法（如第7题换元转化二次函数）| |拓展提升|函数性质综合应用|解答题多步骤推理（如第10题结合二次函数与不等式有解）|

培优课　与指（对）数函数有关的恒（能）成立问题 1.已知实数x，y满足ln x＞ln｜y｜，则下列关系式中恒成立的是（　　） A.（）x＞（）y B.2x＞2y C.x＜y D.＜ 2.如图所示，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log2（x＋1）的解集是（　　） A.{x｜－1＜x≤0} B.{x｜－1≤x≤1} C.{x｜－1＜x≤1} D.{x｜－1＜x≤2} 3.若对任意的t∈[－2，2]，不等式a·2t－2－t＋1≥0（a为常数）恒成立，则实数a的取值范围是（　　） A.（ －∞，］ B.（－∞，］ C.［，＋∞） D.[12，＋∞） 4.（多选）已知g（x）为偶函数，h（x）为奇函数，且满足g（x）－h（x）＝2x.若存在x∈[－1，1]，使得不等式mg（x）＋h（x）≤0能成立，则实数m的值可以为（　　） A.－1 B. C.1 D.2 5.使log2（－x）＜x＋1恒成立的x的取值范围是　　　　. 6.若不等式＞（）x＋1对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围为　　　　. 7.已知函数f（x）＝（lox）2＋alox＋2，若对任意的x∈［，1），f（x）≤3恒成立，则实数a的最大值为　　　　. 8.已知函数f（x）＝log2（＋1）是奇函数，a∈R. （1）求a的值； （2）对任意的x∈（－∞，0），不等式f（2x＋1）＞log2（m－2x）恒成立，求实数m的取值范围. 9.已知函数f（x）＝loga（8－ax）（a＞0，a≠1）. （1）若f（x）＜2，求实数x的取值范围； （2）若f（x）＞1在区间[1，2]上恒成立，求实数a的取值范围. 10.已知函数g（x）＝ax2－2ax＋1＋b（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1.设f（x）＝. （1）求a，b的值； （2）若不等式f（2x）－k·2x≥0在x∈[－1，1]上有解，求实数k的取值范围. 培优课　与指（对）数函数有关的恒（能）成立问题 1.B　由题意知x＞｜y｜＞0，－x＜y＜x，故C错误；由指数函数的单调性可知选项B正确；对于选项A，因为y＜x，结合指数函数的单调性可得（）x＜（）y，故A错误；对于选项D，取x＝2，y＝－1，故D错误.故选B. 2.C　在平面直角坐标系中作出函数y＝log2（x＋1）的大致图象，如图所示，且y＝log2（x＋1）的定义域为（－1，＋∞）.由图可知，f（x）≥log2（x＋1）的解集是{x｜－1＜x≤1}. 3.D　对任意的t∈[－2，2]，不等式a·2t－2－t＋1≥0（a为常数）恒成立，即不等式a≥（）2－在t∈[－2，2]上恒成立.令m＝，则m∈［，4］，则f（m）＝m2－m，f（m）在［，4］上有最大值12，所以a≥12.故选D. 4.AB　因为g（x）－h（x）＝2x①，所以g（－x）－h（－x）＝2－x，又g（x）为偶函数，h（x）为奇函数，所以g（x）＋h（x）＝2－x②，联立①②，得g（x）＝，h（x）＝.由mg（x）＋h（x）≤0得m≤＝＝1－.因为y＝1－为R上的增函数，所以当x∈[－1，1]时，（1－）max＝1－＝，所以m≤，结合选项知m的值可以为－1，，故选A、B. 5.（－1，0）　解析：设y1＝log2（－x），y2＝x＋1，在同一坐标系中画出y1，y2的图象，如图所示.易知当x＝－1时，y1＝y2＝0，再由图易知使y1＜y2恒成立的x的取值范围为（－1，0）. 6.（－，）　解析：因为不等式＞（）x＋1对一切实数x恒成立，所以＞（3－1）x＋1，即＞3－x－1对一切实数x恒成立，又因为y＝3x为R上的增函数，所以x2－2ax＞－x－1对一切实数x恒成立，所以x2＋（1－2a）x＋1＞0对一切实数x恒成立，故Δ＝（1－2a）2－4＜0，解得－＜a＜. 7.－　解析：令t＝lox，由x∈［，1）可得t∈（0，2]，原问题转化为对任意t∈（0，2]，t2＋at＋2≤3恒成立，参变量分离即a≤－t对任意t∈（0，2]恒成立.因为函数y＝－t在（0，2]上单调递减，则ymin＝－2＝－，所以a≤－，即实数a的最大值为－. 8.解：（1）令＋1＞0，则＞0，x＜－a－1或x＞－a， f（x）是奇函数，其定义域关于原点对称，－a－1－a＝0，a＝－. （2）f（2x＋1）＞log2（m－2x）， 即log2（＋1）＞log2（m－2x）， 整理得m＜2x＋＋＋， 令u＝2x＋，x∈（－∞，0），所以u∈（，）， 令g（u）＝u＋＋，易知g（u）≥， 当u＝1时取等号，所以m＜. 又由m－2x＞0，即m＞2x，故m≥1， 所以m的取值范围是［1，）. 9.解：（1）当a＞1时，由f（x）＜2，得0＜8－ax＜a2，所以－a＜x＜； 当0＜a＜1时，可知8－ax＞a2， 所以x＜－a. 所以当a＞1时，x的取值范围是（－a，）； 当0＜a＜1时，x的取值范围是（－∞，－a）. （2）当a＞1时，f（x）＝loga（8－ax）在[1，2]上单调递减. 由f（x）＞1恒成立，得f（x）min＝loga（8－2a）＞1， 即8－2a＞a＞1，解得1＜a＜. 当0＜a＜1时，f（x）在[1，2]上单调递增. 由f（x）＞1恒成立， 得f（x）min＝loga（8－a）＞1，且8－2a＞0， 即0＜8－a＜a且8－2a＞0， 所以4＜a＜8，且a＜4，故a不存在. 综上可知，实数a的取值范围是（1，）. 10.解：（1）g（x）＝a（x－1）2＋1＋b－a， 因为a＞0，所以g（x）在区间[2，3]上单调递增，故解得 （2）由（1）可得f（x）＝x＋－2， 所以f（2x）－k·2x≥0可化为2x＋－2≥k·2x，化为1＋（）2－2·≥k. 令t＝，则k≤t2－2t＋1. 因为x∈[－1，1]，故t∈［，2］. 记h（t）＝t2－2t＋1，因为t∈［，2］， 故h（t）max＝1，所以实数k的取值范围是（－∞，1]. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $