6.3对数函数课堂作业-2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

6．3　对 数 函 数 6.3.1　对数函数(1) 一、 单项选择题 1 (2024湖北期末)函数y＝的定义域为(　　) A. B. C. D. 2 (2024济宁期末)“ln (a－b)<0”是“a<b＋1”的(　　) A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3 (2024抚州期末)若函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)在区间[a，4a2]上的最大值比最小值多2，则实数a的值为(　　) A. 4或 B. 4或 C. 2或 D. 2或 4 (2025北京延庆期末)不等式log 3x≥(x－1)的解集是(　　) A. [1，3] B. [1，4] C. [1，＋∞) D. [0，1]∪[3，＋∞) 5 (2025重庆江北期末)若函数f(x)＝lg (x2＋ax＋1)的值域为R，则实数a的取值范围是(　　) A. [－2，2] B. [－2，0) C. (－∞，－2]∪[2，＋∞) D. (－∞，－2] 6 (2024佛山期末)已知2a＝5，3b＝10，4c＝17，则a，b，c的大小关系为(　　) A. a<b<c B. b<c<a C. c<a<b D. c<b<a 二、 多项选择题 7 已知函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)的图象经过点(4，2)，则下列命题中正确的有(　　) A. 函数f(x)为增函数 B. 函数f(x)为偶函数 C. 若x＞1，则f(x)>0 D. 若0<x1<x2，则<f 8 (2025南昌期末)已知f(x)＝log 2x＋log x2，则下列说法中正确的是(　　) A. 函数f(x)的定义域为(0，＋∞) B. |f(x)|≥2 C. f(x)在区间(1，2)，上单调递减 D. 不等式f(x)≥的解集为[4，＋∞) 三、 填空题 9 方程lg (x－1)＋lg (x－2)＝lg (x＋2)的解是________． 10 (2024太原期末)已知函数f(x)＝log3x与y＝g(x)互为反函数，则g(2)＝________． 11 设函数f(x)＝若 f(－1)＝f()，则a＝________；若函数f(x)有最小值，且无最大值，则实数a的取值范围是________． 四、 解答题 12(2025重庆九龙坡期末)已知函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)在区间上的最大值为1. (1) 求实数a的值； (2) 当f(x)在定义域上是减函数时，令g(x)＝f＋f，求g(x)的定义域和值域． 13 (2025湘潭期末)已知f(x)是偶函数，f(－4)＝2，且f(x)在区间(－∞，0]上单调递增． (1) 比较f(3)与2的大小； (2) 求不等式f(x)>f(2x－1)的解集； (3) 若函数g(x)＝log ax(a>0，且a≠1)，且不等式f(x)>g(x)在区间(0，4)上恒成立，求实数a的取值范围． 6．3.2　对数函数(2) 一、 单项选择题 1 若log(a－1)(2x－1)>log(a－1)(x－1)，则下列结论中正确的是(　　) A. 1<a<2，x＜0 B. 1<a<2，x>1 C. a>2，x>0 D. a>2，x>1 2 (2025泉州期末)若函数f(x)＝loga(x＋b)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则必有(　　) A. a>1，1<b<2 B. 0<a<1，1<b<2 C. a>1，－2<b<－1 D. 0<a<1，－2<b<－1 3 (2025杭州十四中期末)设a是不等于1的正数，则“a>2”是“log a2<1”的(　　) A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4 (2024保定月考)如图，曲线C1是函数y＝ax(0<a<1)的图象，曲线C2与曲线C1关于y轴对称，曲线C2与曲线C3关于直线y＝x对称，曲线C3与曲线C4关于x轴对称，则曲线C2，C3，C4对应的函数解析式分别是(　　) A. y＝a－x，y＝－log ax，y＝log ax B. y＝log ax，y＝a－x，y＝－log ax C. y＝log ax，y＝－log ax，y＝a－x D. y＝－log ax，y＝a－x，y＝log ax 5 (2025山西NT20名校联合体期末)某企业在2024年12月对产品的生产线进行了技术改造，采用新技术后力争每个月的产量比上个月增长10%，要使月产量提高到原来的2倍，至少需要n(n∈N*)个月，则n的值为(结果精确到整数，参考数据：lg 2≈0.3，lg 11≈1.04)(　　) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 6 (2025温州期末)已知函数f(x)＝ln (ex＋e－x＋t)有最小值，则实数t的取值范围是(　　) A. [－1，＋∞) B. (－1，＋∞) C. [－2，＋∞) D. (－2，＋∞) 二、 多项选择题 7 在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax与y＝loga(x－2)的图象可能是(　　) A B C D 8 (2024苏州苏苑高级中学月考)已知函数f(x)＝lg (x2＋1)－lg |x|(x≠0，x∈R)，则下列结论中正确的是(　　) A. f(x)的最小值是lg 2 B. f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增 C. f(x)没有最大值 D. 不等式f(x)<f(2)的解集为∪ 三、 填空题 9 (2024济宁期末)函数f(x)＝loga(2x－1)(a>0，且a≠1)恒过的定点坐标是________． 10 设函数f(x)＝则f(f(0))＝________；若f(m)>1，则实数m的取值范围是____________． 11 (2025南宁期末)如图，平行于y轴的直线分别与函数y1＝log 2x及y2＝log 2x＋2的图象交于B，C两点，A(m，n)为函数y2的图象上一点. 若△ABC为正三角形，则2n＝________． 四、 解答题 12 (2025西安期末)已知函数f(x)＝log a(x＋3)＋log a(3－x)(a>0，且a≠1). (1) 求函数f(x)的定义域，并判断其奇偶性； (2) 若函数f(x)在区间[1，2]上的最大值为2，求实数a的值． 13 (2025金华期末)已知函数f(x)＝ (1) 当a＝4时，若f(x)＝2，求x的值； (2) 若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围． 6．3.3　对数函数(3) 一、 单项选择题 1 函数y＝log2(2x＋1)的值域是(　　) A. [1，＋∞) B. (0，1) C. (－∞，0) D. (0，＋∞) 2 设函数f(x)＝lg (1－x)，则函数f(f(x))的定义域为(　　) A. (－9，＋∞) B. (－9，1) C. [－9，＋∞) D. [－9，1) 3 (2025洛阳期末)已知f(x)＝|ln x|，若a＝f，b＝f(3)，c＝f，则a，b，c的大小关系为(　　) A. c<b<a B. a<b<c C. c<a<b D. a<c<b 4 (2025河南南阳期末)已知f(x)＝loga(2－ax)(a>0，且a≠1)在区间(0，4)上单调递增，则实数a的取值范围为(　　) A. B. C. (1，2) D. (1，2] 5 (2025昆明期末)若函数f(x)＝x，函数f(x)与函数g(x)的图象关于直线y＝x对称，则g(9－x2)的单调减区间是(　　) A. [0，＋∞) B. (－∞，0] C. [0，3) D. (－3，0] 6 (2024威海期末)已知函数f(x)＝|lg x－1|，若f(a)＝f(b)，且a<b，则f2(a)－f(10b)的最小值为(　　) A. －3 B. － C. － D. － 二、 多项选择题 7 (2024廉江月考)已知函数f(x)＝log 2(ax2＋3x＋2)，则下列结论中正确的是(　　) A. f(0)＝1 B. 若a＝0，则f(x)是增函数 C. 存在实数a，使得f(x)为偶函数 D. 若f(x)的定义域为R，则实数a的取值范围为 8 (2025滁州月考)已知函数f(x)＝log a|x＋1|(a>0，且a≠1)在区间(－1，0)上单调递减，则下列结论中正确的是(　　) A. f(x)在区间(－1，＋∞)上单调递减且无最小值 B. f(x)在区间(－1，＋∞)上单调递增且无最大值 C. f(x)在定义域内既不是奇函数，也不是偶函数 D. f(x)的图象关于直线x＝－1对称 三、 填空题 9 函数y＝2loga|1－x|＋1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点________． 10 (2024武汉期末)已知函数f(x)的定义域为(－5，4)，则函数g(x)＝3f(2x＋1)＋log2的定义域为________． 11 (2025荆州期末)设函数f(x)＝(ex－m)ln (x＋n)，若f(x)≥0恒成立，则en＋m的最小值为________． 四、 解答题 12 (2025衢州期末)已知函数f(x)＝log a(－x2＋ax－3)(a>0，且a≠1). (1) 若a＝4，求函数f(x)的定义域及值域； (2) 若函数f(x)在区间(1，3)上单调递增，求实数a的取值范围． 13 (2024新海高级中学月考)已知函数f(x)＝ln (e2x＋1)－kx为偶函数． (1) 求实数k的值； (2) 求函数f(x)的值域； (3) 若函数g(x)＝ef(x)＋kx＋t·ex，x∈[0，ln 2]，则是否存在实数t，使得g(x)的最小值为1，若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． 6．3　对 数 函 数 6.3.1　对数函数(1) 1. B　由题意，得log0.5(4x－5)≥0，所以0<4x－5≤1，解得<x≤，所以函数y＝的定义域为(，]. 2. A　若ln (a－b)<0＝ln 1，则0<a－b<1，即b<a<b＋1，故充分性成立；若a<b＋1，例如a＝b＝0，则a－b＝0，ln (a－b)<0不成立，故必要性不成立．综上，“ln (a－b)<0”是“a<b＋1”的充分且不必要条件． 3. A　由题意，得a<4a2，解得a>或a<0(舍去).当a>1时，函数f(x)＝logax为定义域上的增函数，则loga(4a2)－logaa＝2，所以loga4a＝2，即a2＝4a，解得a＝4或a＝0(舍去)；当<a<1时，函数f(x)＝logax为定义域上的减函数，则logaa－loga(4a2)＝2，所以loga＝2，即a2＝，解得a＝.综上，实数a的值为4或. 4. A　如图，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝log3x，y＝(x－1)的图象，观察图象知，当且仅当1≤x≤3时，函数y＝log3x的图象不在直线y＝(x－1)的下方，所以不等式log3x≥(x－1)的解集是[1，3]. 5. C　由题意，得y＝x2＋ax＋1要取遍一切正数，则Δ＝a2－4≥0，解得a≤－2或a≥2. 6. D　由题意，得a＝log25＝log2＝2＋log2，b＝log310＝log3＝2＋log3，c＝log417＝log4＝2＋log4.因为>，所以log2>log2.因为0<2<3，所以>，即log2>log3，所以log2>log3，即a>b.同理可得>>1，则log3>log3>log4，即b>c.故c<b<a. 7. ACD　由题意，得2＝loga4，则a＝2，故f(x)＝log2x.对于A，函数f(x)为增函数，故A正确；对于B，f(x)＝log2x不是偶函数，故B错误；对于C，当x>1时， f(x)＝log2x>log21＝0，故C正确；对于D，因为f(x)＝log2x的图象往上凸，所以若0<x1<x2，则<f成立，故D正确．故选ACD. 8. BC　对于A，由题意，得x>0，且x≠1，所以函数f(x)的定义域为(0，1)∪(1，＋∞)，故A错误；对于B，当0<x<1时，log2x<0，则f(x)＝log2x＋logx2＝log2x＋＝－≤－2，当且仅当－log2x＝，即x＝时，等号成立；当x>1时，log2x>0，则f(x)＝log2x＋≥2，当且仅当log2x＝，即x＝2时，等号成立，综上|f(x)|≥2，故B正确；对于C，令t＝log2x，则t＝log2x在区间(1，2)上单调递增，且0<t<1.又y＝t＋在区间(0，1)上单调递减，所以f(x)在区间(1，2)上单调递减．因为t＝log2x在区间上单调递增，且－1<t<0，又y＝t＋在区间(－1，0)上单调递减，所以f(x)在区间上单调递减，所以f(x)在区间(1，2)，上单调递减，故C正确；对于D，令t＝log2x，则t＋≥，当t>0时，解得t≥2或0<t≤，所以x≥4或1<x≤；当t<0时，t＋<0，则t＋≥无实数解，所以不等式f(x)≥的解集为(1，]∪[4，＋∞)，故D错误．故选BC. 9. x＝4　由题意，得lg (x－1)＋lg (x－2)＝lg [(x－1)(x－2)]＝lg (x＋2)，所以解得x＝4. 10. 9　由对数函数的反函数为相应的指数函数，得g(x)＝3x，所以g(2)＝32＝9. 11. －　　因为f(－1)＝f，所以1＋a＝，即1＋a＝，解得a＝－.当－2≤x<时，－＋a<－x＋a≤2＋a；当<x≤4时，－2≤x<1.因为函数f(x)有最小值，且无最大值，所以解得－≤a<－1，所以实数a的取值范围是. 12. (1) 当a>1时，f(x)在区间上单调递增， 所以f(x)max＝f(4)＝loga4＝1，解得a＝4； 当0<a<1时，f(x)在区间上单调递减， 所以f(x)max＝f＝loga＝1，解得a＝. 综上，实数a的值为4或. (2) 当f(x)在定义域上是减函数时，a＝， 所以g(x)＝f＋f＝＋， 所以g(x)的定义域满足解得－<x<， 所以g(x)的定义域为. 易得g(x)＝＋ ＝＝. 因为－<x<，所以－x2∈， 所以∈[4，＋∞). 故g(x)的值域为[4，＋∞). 13. (1) 因为f(x)是偶函数，所以f(4)＝f(－4)＝2. 又f(x)在区间(－∞，0]上单调递增， 所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减， 则f(3)>f(4)，即f(3)>2. (2) 由f(x)>f(2x－1)，得|x|<， 得3x2－4x＋1>0，解得x<或x>1， 所以不等式f(x)>f(2x－1)的解集为∪(1，＋∞). (3) 当0<a<1时，g(x)在区间(0，4)上单调递减，g(x)在区间(0，1)上的值域为(0，＋∞)， 所以不等式f(x)>g(x)不恒成立； 当a>1时，g(x)在区间(0，4)上单调递增，f(x)在区间(0，4)上单调递减， 要使不等式f(x)>g(x)在区间(0，4)上恒成立，则f(4)≥g(4)，即loga4≤2，得4≤a2，所以a≥2. 综上，实数a的取值范围为[2，＋∞). 6．3.2　对数函数(2) 1. D　当a>2时，a－1>1，则解得x>1；当1<a<2时，0<a－1<1，则无解．综上，a>2，x>1. 2. A　由图可知f(x)在定义域上单调递增．因为y＝x＋b是增函数，由复合函数的单调性可知a>1，f(0)＝logab∈(0，1)，所以1<b<a，－b<－1.由图可知当f(x)＝0时，x＋b＝1，x＝1－b∈(－1，0)，则－b∈(－2，－1)，所以b∈(1，2)，故A正确． 3. A　若loga2<1，即loga2<logaa，则当0<a<1时，a<2，所以0<a<1；当a>1时，a>2，则a>2，所以若loga2<1，则0<a<1或a>2，所以“a>2”是“loga2<1”的充分且不必要条件． 4. A　由图可知曲线C2与曲线C1关于y轴对称，且曲线C1是函数y＝ax(0<a<1)的图象，所以曲线C2对应的函数解析式为y＝a－x.由曲线C2与曲线C3关于直线y＝x对称，得曲线C3对应的函数解析式为y＝x＝－logax.由曲线C3与曲线C4关于x轴对称，得曲线C4对应的函数解析式为－y＝－logax，即y＝logax. 5. C　由题意可得(1＋10%)n≥2，即1.1n≥2，两边取对数，得lg 1.1n≥lg 2，即n lg 1.1≥lg 2.因为lg 1.1>0，所以n≥＝≈＝7.5.又n∈N*，所以n＝8，所以至少要经过8个月，才能使月产量提高到原来的2倍． 6. D　当t>－2时，ex＋e－x＋t≥2＋t>0，当且仅当x＝0时，等号成立，则(ex＋e－x＋t)min＝2＋t，所以f(x)＝ln (ex＋e－x＋t)有最小值ln (2＋t)；当t≤－2时，令ex＋e－x＋t>0，则e2x＋tex＋1>0，解得x<ln 或x>ln ，所以函数f(x)的定义域为(－∞，ln )∪，在定义域的条件下，此时y＝e2x＋tex＋1无最小值，所以t≤－2舍去．综上，实数t的取值范围是(－2，＋∞). 7. BD　当a>1时，y＝ax在R上单调递增且其图象恒过点(0，1)，y＝loga(x－2)在区间(2，＋∞)上单调递增且其图象恒过点(3，0)，则B符合要求；当0<a<1时，y＝ax在R上单调递减且其图象恒过点(0，1)，y＝loga(x－2)在区间(2，＋∞)上单调递减且其图象恒过点(3，0)，则D符合要求．故选BD. 8. ACD　由题意，得函数f(x)的定义域为，且f(－x)＝lg [(－x)2＋1]－lg |－x|＝lg (x2＋1)－lg |x|＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数．当x>0时，f(x)＝lg (x2＋1)－lg x＝lg ＝lg ，因为内层函数u＝x＋在区间(0，1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，外层函数y＝lg u为增函数，所以由复合函数的单调性可知函数f(x)在区间(0，1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增．对于B，由函数f(x)为偶函数，得函数f(x)的单调增区间为(－1，0)，(1，＋∞)，单调减区间为(－∞，－1)，(0，1)，故B错误；对于A，由B可知f(x)min＝f(－1)＝f(1)＝lg 2，故A正确；对于C，由B可知函数f(x)无最大值，故C正确；对于D，由f(x)<f(2)可得f(|x|)<f(2)，即lg <lg ，即2x2＋2<5|x|，即2x2－5|x|＋2＝(2|x|－1)(|x|－2)<0，可得<|x|<2，解得－2<x<－或<x<2，所以不等式f(x)<f(2)的解集为∪，故D正确．故选ACD. 9. (1，0)　令2x－1＝1，解得x＝1，此时f(1)＝loga1＝0，所以函数f(x)＝loga(2x－1)(a>0，且a≠1)恒过的定点坐标是(1，0). 10. 0　(－∞，0)∪(e，＋∞)　由题意，得f(0)＝1－0＝1≥1，所以f(f(0))＝f(1)＝ln 1＝0.若m≥1，则解得m>e；若m<1，则解得m<0，所以实数m的取值范围是(－∞，0)∪(e，＋∞). 11. 4　由题意，得BC＝2.作AG⊥BC于点G，若△ABC为正三角形，则BG＝1，AG＝，故点B(m＋，n－1).因为A(m，n)为函数y2的图象上一点，所以log2m＋2＝n，所以m＝2n-2.又点B(m＋，n－1)在y1＝log2x的图象上，所以log2(m＋)＝n－1，所以m＝2n-1－，则2n-2＝2n-1－，解得2n＝4. 12. (1) 要使函数f(x)的解析式有意义， 则 解得－3<x<3， 所以函数f(x)的定义域为(－3，3). 又f(－x)＝loga(3－x)＋loga(3＋x)＝f(x)， 所以f(x)为偶函数． (2) 由题意，得f(x)＝loga(x＋3)＋loga(3－x)＝loga(9－x2)， 当x∈[1，2]时，5≤9－x2≤8. 当0<a<1时，函数y＝logax在区间(0，＋∞)上单调递减， 则此时f(x)max＝loga5， 所以loga5＝2＝logaa2，即5＝a2，解得a＝±(舍去)； 当a>1时，函数y＝logax在区间(0，＋∞)上单调递增， 则此时f(x)max＝loga8， 所以loga8＝2＝logaa2，即8＝a2，解得a＝2或a＝－2(舍去). 综上，实数a的值为2. 13. (1) 当x≥0时，令ln (x＋1)＝2，得x＝e2－1，符合题意； 当x<0时，令－x2＋4x－1＝2，则x2－4x＋3＝0， 解得x＝1或x＝3，不符合题意，舍去． 故x的值为e2－1. (2) 当x≥0时，f(x)＝ln (x＋1)单调递增，可得f(x)≥f(0)＝0， 所以要使f(x)的值域为R，只需当x<0时，f(x)＝－x2＋ax－1的最大值大于等于0， 则解得a≤－2， 所以实数a的取值范围为(－∞，－2]. 6．3.3　对数函数(3) 1. D　设t＝2x＋1，则t＝2x＋1>1，所以log2(2x＋1)>0.故y＝log2(2x＋1)的值域为(0，＋∞). 2. B　由题意，得函数f(x)＝lg (1－x)的定义域为(－∞，1)，则lg (1－x)<1＝lg 10，解得－9<x<1，所以函数f(f(x))的定义域为(－9，1). 3. B　由题意，得f＝＝|－ln 2|＝ln 2，f(3)＝|ln 3|＝ln 3，f＝＝|－ln 4|＝ln 4.又y＝ln x在定义域上单调递增，且2<3<4，所以ln 2<ln 3<ln 4，所以f<f(3)<f，即a<b<c. 4. B　因为a>0，所以u＝2－ax在区间(0，4)上单调递减，又f(x)＝loga(2－ax)(a>0，且a≠1)在区间(0，4)上单调递增，所以解得0<a≤，所以实数a的取值范围为. 5. D　因为函数f(x)＝x与g(x)的图象关于直线y＝x对称，所以g(x)＝x，所以g(9－x2)＝(9－x2).由9－x2>0，解得－3<x<3，令u＝9－x2，－3<x<3，则u＝9－x2在区间(－3，0]上单调递增，在区间(0，3)上单调递减．又y＝u在区间(0，＋∞)上单调递减，所以g(9－x2)的单调减区间为(－3，0]. 6. B　由题意，得f(x)＝|lg x－1|＝作出f(x)的图象如图所示．由a<b，且f(a)＝f(b)，得f(a)＝1－lg a，f(b)＝lg b－1，即1－lg a＝lg b－1，解得ab＝100，所以f2(a)－f(10b)＝(1－lg a)2－[lg (10b)－1]＝1－2lg a＋(lg a)2－lg b＝(lg a)2－lg (a2b)＋1.由ab＝100，得(lg a)2－lg (a2b)＋1＝(lg a)2－lg (100a)＋1＝(lg a)2－lg a－1，所以f2(a)－f(10b)＝(lg a)2－lg a－1＝－，故当lg a＝，即a＝时，f2(a)－f(10b)取得最小值为－. 7. ABD　对于A，f(0)＝log22＝1，故A正确；对于B，当a＝0时，f(x)＝log2(3x＋2)，定义域是(－，＋∞).因为y＝log2t是增函数，t＝3x＋2也是增函数，所以f(x)在定义域内是增函数，故B正确；对于C，若存在实数a，使得f(x)是偶函数，则f(－x)＝f(x)，即log2(ax2－3x＋2)＝log2(ax2＋3x＋2)，所以ax2－3x＋2＝ax2＋3x＋2，得x＝0.又f(x)的定义域不是，所以f(x)不可能是偶函数，故C错误；对于D，若f(x)的定义域为R，则ax2＋3x＋2>0在R上恒成立，则解得a>，故D正确．故选ABD. 8. ACD　对于A，B，因为函数y＝|x＋1|在区间(－1，＋∞)上单调递增，又函数f(x)＝loga|x＋1|(a>0，且a≠1)在区间(－1，0)上单调递减，所以0<a<1, 所以f(x)在区间(－1，＋∞)上单调递减且无最小值，故A正确，B错误；对于C，因为f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)在定义域内既不是奇函数，也不是偶函数，故C正确；对于D，因为f(－2－x)＝loga|－2－x＋1|＝loga|－(x＋1)|＝loga|x＋1|＝f(x)，所以f(x)的图象关于直线x＝－1对称，故D正确．故选ACD. 9. (0，1)，(2，1)　令|1－x|＝1，得x＝0或x＝2，此时y＝1，所以函数的图象恒过定点(0，1)，(2，1). 10. 　由题意，得函数f(x)的定义域为(－5，4)，所以要使函数g(x)有意义，则解得－2<x<.故函数g(x)的定义域为. 11. 2　由题意，得f(x)的定义域为(－n，＋∞).设f1(x)＝ex－m，f2(x)＝ln (x＋n)，显然它们在定义域内都是增函数，所以若f(x)≥0恒成立，则f1(x)与f2(x)在定义域内同正同负或为0，作出f1(x)，f2(x)的大致图象如图所示，要求f1(x)f2(x)≥0恒成立，只要它们的图象与x轴的交点重合．由f1(x)＝0，得x＝ln m，由f2(x)＝0，得x＝1－n，所以ln m＝1－n，则m＝e1-n，所以en＋m＝en＋e1-n≥2＝2，当且仅当en＝e1-n，即n＝时，等号成立，所以en＋m的最小值为2. 12. (1) 当a＝4时，f(x)＝log4(－x2＋4x－3). 由－x2＋4x－3>0，解得1<x<3， 所以函数f(x)＝log4(－x2＋4x－3)的定义域为(1，3). 因为－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1≤1，所以0<－x2＋4x－3≤1. 又函数y＝log4x为增函数，所以f(x)＝log4(－x2＋4x－3)∈(－∞，0]. 故当a＝4时，函数f(x)的定义域为(1，3)，值域为(－∞，0]. (2) 当0<a<1时，函数y＝logax为减函数． 因为函数f(x)在区间(1，3)上单调递增， 所以函数t(x)＝－x2＋ax－3在区间(1，3)上单调递减，且－x2＋ax－3>0在区间(1，3)上恒成立， 所以该不等式组无解； 当a>1时，函数y＝logax为增函数． 因为函数f(x)在区间(1，3)上单调递增， 所以函数t(x)＝－x2＋ax－3在区间(1，3)上单调递增，且－x2＋ax－3>0在区间(1，3)上恒成立， 所以解得a≥6. 综上，实数a的取值范围是[6，＋∞). 13. (1) 由题意，得函数f(x)＝ln (e2x＋1)－kx的定义域为R， 且f(－x)＝ln (e-2x＋1)＋kx＝ln (e2x＋1)－ln e2x＋kx＝ln (e2x＋1)＋(k－2)x. 因为函数f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即ln (e2x＋1)＋(k－2)x＝ln (e2x＋1)－kx 所以k－2＝－k，解得k＝1. (2) 由(1)，得f(x)＝ln (e2x＋1)－x＝ln (e2x＋1)－ln ex＝ln . 设t＝ex，则ln ＝ln ＝ln ，t∈(0，＋∞). 因为t>0，所以t＋≥2，所以ln ≥ln 2，当且仅当t＝，即t＝1，即ex＝1，x＝0时，等号成立， 所以函数f(x)的值域为[ln 2，＋∞). (3) 由题意，得g(x)＝eln (e2x＋1)＋t·ex＝e2x＋t·ex＋1，x∈[0，ln 2]. 令ex＝m，则h(m)＝m2＋tm＋1，m∈[1，2]，函数h(m)的对称轴为直线m＝－， 当－≤1，即t≥－2时，h(m)在区间[1，2]上单调递增， 则h(m)min＝h(1)＝2＋t＝1，解得t＝－1，符合题意； 当－≥2，即t≤－4时，h(m)在区间[1，2]上单调递减， 所以h(m)min＝h(2)＝5＋2t＝1，解得t＝－2，不符合题意，舍去； 当1<－<2，即－4<t<－2时，h(m)min＝h＝1－， 所以1－＝1，解得t＝0，不符合题意，舍去． 综上，t的值为－1. 学科网（北京）股份有限公司 $