6.3.2对数函数图象与性质的综合应用同步练-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修 第一册

**基本信息** 聚焦对数函数图象与性质，通过基础巩固、中档应用、提升拓展三层设计，实现从概念理解到综合应用的递进，培养数学推理与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|反函数性质、定义域值域|选择填空为主，如判断反函数对称性（题1）、求值域（题2）| |中档|单调性、图象识别|含多选与应用，如单调性判断（题3）、实际问题建模（题9）| |提升|参数讨论、综合应用|解答题为主，如含参函数定义域（题15）、几何与函数结合（题13）|

第2课时　对数函数图象与性质的综合应用 1.已知函数y＝ax与y＝logax，其中a＞0且a≠1，下列说法错误的是（　　） A.两者的图象关于直线y＝x对称 B.前者的定义域、值域分别是后者的值域、定义域 C.两函数在各自的定义域内增减性相同 D.y＝ax的图象经过平行移动可得到y＝logax的图象 2.已知函数f（x）＝3lox的定义域为[3，9]，则函数f（x）的值域是（　　） A.（－∞，－6] B.[－6，－3] C.[－3，0） D.（0，＋∞） 3.函数f（x）＝loga[（a－1）x＋1]在定义域上（　　） A.是增函数 B.是减函数 C.先增后减 D.先减后增 4.如图为函数y＝m＋lognx的图象，其中m，n为常数，则下列结论正确的是（　　） A.m＜0，n＞1 B.m＞0，n＞1 C.m＞0，0＜n＜1 D.m＜0，0＜n＜1 5.（多选）函数y＝f（x）是函数y＝ax（a＞0且a≠1）的反函数，则下列结论正确的是（　　） A.f（x2）＝2f（x） B.f（2x）＝f（x）＋f（2） C.f＝f（x）－f（2） D.f（2x）＝2f（x） 6.（多选）已知a＞0，且a≠1，则函数y＝a－x与y＝loga（－x）的图象可能是（　　） 7.函数f（x）＝｜lox｜的单调递增区间是　　　　. 8.设a＞1，函数f（x）＝logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a＝　　　　. 9.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数v＝log3，单位是m/s，其中O表示鱼的耗氧量的单位数.当一条鱼的耗氧量是2 700个单位时，它的游速是　　　　m/s；一条鱼静止时耗氧量的单位数为　　　　. 10.设函数f（x）＝lg （a∈R），且f（1）＝0. （1）求a的值； （2）判断f（x）在区间（0，＋∞）上的单调性，并用单调性的定义证明. 11.函数f（x）＝lg（｜x｜－1）的大致图象是（　　） 12.（多选）设偶函数f（x）＝loga｜x－b｜在（－∞，0）上单调递增，则下列说法正确的是（　　） A.f（a＋1）＞f（b＋2） B.f（a＋1）＜f（b＋2） C.f（1）＝0 D.f（1）＞0 13.如图，已知正方形ABCD的边长为2，BC平行于x轴，顶点A，B和C分别在函数y1＝3logax，y2＝2logax和y＝logax（a＞1）的图象上，则实数a＝　　　　. 14.已知函数y＝f（x）的图象与g（x）＝logax（a＞0，a≠1）的图象关于x轴对称，且g（x）的图象过点（9，2）. （1）求函数f（x）的解析式； （2）若f（3x－1）＞f（－x＋5），求x的取值范围. 15.已知函数f（x）＝lg[（a2－1）x2＋（a＋1）x＋1]. （1）若f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围； （2）若f（x）的值域为R，求实数a的取值范围. 第2课时　对数函数图象与性质的综合应用 1.D　由于a＞0且a≠1，函数y＝ax与y＝logax互为反函数，因此其图象关于直线y＝x对称，前者的定义域和值域分别是后者的值域和定义域，两函数在各自的定义域内增减性相同，故A、B、C正确，D错误. 2.B　∵y＝lox在（0，＋∞）上是减函数，∴当3≤x≤9时，lo9≤lox≤lo3，即－2≤lox≤－1，∴－6≤3lox≤－3，∴函数f（x）的值域是[－6，－3]. 3.A　当a＞1时，y＝logat和t＝（a－1）x＋1都是增函数，所以f（x）是增函数；当0＜a＜1时，y＝logat和t＝（a－1）x＋1都是减函数，所以f（x）是增函数.故选A. 4.D　根据图象可知，函数y＝m＋lognx（m，n是常数）是减函数，所以0＜n＜1；又当x＝1时，y＜0，即y＝m＋logn1＝m＜0.故选D. 5.ABC　因为函数y＝f（x）是函数y＝ax（a＞0且a≠1）的反函数，所以f（x）＝logax（a＞0且a≠1）.所以f（x2）＝logax2＝2logax＝2f（x），f（2x）＝loga（2x）＝loga2＋logax＝f（x）＋f（2），f＝loga（x）＝logax－loga2＝f（x）－f（2）.所以选项A、B、C正确. 6.CD　当a＞1时，y＝a－x是减函数，图象恒过点（0，1），y＝loga（－x）是减函数，定义域为（－∞，0），图象恒过点（－1，0），C选项符合题意；当0＜a＜1时，y＝a－x是增函数，图象恒过点（0，1），y＝loga（－x）是增函数，定义域为（－∞，0），图象恒过点（－1，0），D选项符合题意.故选C、D. 7.[1，＋∞）　解析：f（x）的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞）. 8.4　解析：∵a＞1，∴f（x）＝logax在[a，2a]上单调递增，∴loga（2a）－logaa＝，即loga2＝，∴＝2，a＝4. 9.　100　解析：当O＝2 700时，v＝log3＝log3＝log327＝（m/s）.一条鱼静止时，v＝0，则log3＝0，所以＝1，所以O＝100. 10.解：（1）函数f（x）＝lg （a∈R），且f（1）＝0， 则f（1）＝lg ＝0.则＝1，解得a＝2. （2）f（x）＝lg 在区间（0，＋∞）上单调递减. 证明：设0＜x1＜x2，f（x1）－f（x2）＝lg －lg ＝lg ＝lg（x2＋1）－lg（x1＋1）， 因为0＜x1＜x2，所以lg（x2＋1）＞lg（x1＋1），所以f（x1）－f（x2）＞0， 即f（x1）＞f（x2），即函数f（x）在（0，＋∞）上单调递减. 11.B　由f（x）的定义域为（－∞，－1）∪（1，＋∞），且f（－x）＝lg（｜－x｜－1）＝lg（｜x｜－1）＝f（x），得f（x）是偶函数，由此知C、D错误.又当x＞1时，f（x）＝lg（x－1）在（1，＋∞）上单调递增，所以B正确.故选B. 12.AC　由于函数f（x）＝loga｜x－b｜是偶函数，所以b＝0，又函数f（x）在（－∞，0）上单调递增，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递减，则0＜a＜1，所以有1＜a＋1＜2.因为f（a＋1）＝loga｜a＋1｜，f（b＋2）＝loga2，所以f（a＋1）＞f（b＋2）.又f（x）＝loga｜x｜，所以f（1）＝0.故选A、C. 13.　解析：设B（x，2logax），∵BC平行于x轴，∴C（x'，2logax），即logax'＝2logax，∴x'＝x2，∴正方形ABCD的边长BC＝x2－x＝2，解得x＝2.由已知得AB垂直于x轴，∴A（x，3logax），正方形ABCD的边长AB＝3logax－2logax＝logax＝2，即loga2＝2，∴a＝. 14.解：（1）因为g（x）＝logax（a＞0，a≠1）的图象过点（9，2）， 所以loga9＝2，解得a＝3，所以g（x）＝log3x. 又因为函数y＝f（x）的图象与g（x）＝log3x的图象关于x轴对称，所以f（x）＝lox. （2）因为f（3x－1）＞f（－x＋5）， 即lo（3x－1）＞lo（－x＋5）， 则解得＜x＜， 所以x的取值范围为{x｜＜x＜}. 15.解：（1）函数f（x）＝lg[（a2－1）x2＋（a＋1）x＋1]的定义域为R， 即（a2－1）x2＋（a＋1）x＋1＞0在R上恒成立. 当a2－1＝0时，得a＝1或a＝－1. 当a＝1时，显然2x＋1＞0在R上不能恒成立，故舍去； 当a＝－1时，1＞0恒成立. 当a2－1≠0，即a≠±1时， 则解得a＞或a＜－1. 综上可得，实数a的取值范围是（－∞，－1]∪. （2）设u（x）＝（a2－1）x2＋（a＋1）x＋1. 因为f（x）的值域为R，所以u（x）＝（a2－1）x2＋（a＋1）x＋1的函数值要取遍所有的正数， 即（0，＋∞）是u（x）值域的子集. 当a2－1＝0时，得a＝1或a＝－1. 当a＝1时，符合题意；当a＝－1时，不符合题意. 当a≠±1时，函数u（x）为二次函数， 即函数u（x）＝（a2－1）x2＋（a＋1）x＋1的图象与x轴有交点且开口向上， 则解得1＜a≤. 综上可知，实数a的取值范围是. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $