3.3幂函数课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件围绕幂函数的概念、图象性质及应用展开，通过“思考”问题（如判断y=2x²是否为幂函数）衔接指数函数等前期知识，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生构建函数知识网络。 其亮点在于以数学抽象、直观想象、逻辑推理为核心，通过“明辨是非”辨析概念，典例2结合二次函数图象分析幂函数指数符号培养直观想象，比较大小题用单调性体现逻辑推理。采用问题驱动、讲练结合的教学方法，“解题有招”总结规律，助力学生提升核心素养，为教师提供系统教学资源。

3.3　幂函数 【学习目标】 1.了解幂函数的概念,会求幂函数的解析式.(数学抽象、数学运算) 2.结合幂函数的图象,会求幂函数性质的有关问题.(直观想象、逻辑推理) 3.会利用幂函数的单调性比较大小.(逻辑推理) 一、幂函数的概念 一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数. [思考] 1.幂函数有何特点,函数y=2x ,y=2x2 是幂函数吗? 提示:幂函数的特征:(1)xα 的系数是1;(2)xα的底数x 是自变量;(3)xα 的指数α 为常数.函数y=2x不满足(2),不是幂函数,函数y=2x2不满足(1),不是幂函数. 二、常见幂函数的图象与性质 (1)函数y=x,y=x2,y=x3,y=和y=x-1的图象都过点_____; (2)函数y=x,y=x3,y=x-1是___函数,函数y=x2是___函数; (3)在区间(0,+∞)上,函数y=x,y=x2,y=x3,y=单调_____, 函数y=x-1单调_____; (4)在第一象限内,函数y=x-1的图象向上与____无限接近,向右与____无限 接近. (1,1) 奇 偶 递增 递减 y轴 x轴 [思考] 2.幂函数的图象能出现在第四象限吗?为什么? 提示:不能,当x>0时,不论α如何取值,函数值均不小于0. 3.所有的幂函数在第三象限都有图象吗? 提示:不是.比如:幂函数y=,其定义域是[0,+∞),所以在第三象限内没有图象. [点睛] 幂函数的单调性 (1)如果α>0 ,幂函数的图象在区间(0,+∞) 上单调递增;如果α<0 ,幂函数的图象在区间(0,+∞) 上单调递减. (2)在(1,+∞) 上,随着指数的逐渐增大,函数图象越来越靠近y 轴. 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数y=x0是幂函数.( ) 提示:满足幂函数的特征. (2)幂函数的图象都过原点.( ) 提示:幂函数y=x-1的图象不过原点. (3)幂函数一定具有奇偶性.( ) 提示:y=是非奇非偶函数. (4)当α>0时,幂函数y=xα在第一象限内都是单调递增的.( ) √ × × √ 类型1 幂函数的概念(数学抽象) 【典例1】(1)(2026·惠州高一检测)若函数f(x)是幂函数,且满足f(8)·f()=16,则f(4)的值为(　　) A.8　 B.16　 C.24　 D.12 【解析】选B.设f(x)=xα(α为常数),因为f(8)·f()=16, 则8α·=22α=4α=16=42,解得α=2,所以f(x)=x2,则f(4)=42=16. √ (2)已知幂函数y=f(x)的图象过点(3,),则函数y=f(x)+f(2-x)的定义域为(　　) A.(-2,2) B.(0,2) C.(0,2] D.[0,2] 【解析】选D.设f(x)=xα,因为函数的图象过点(3,), 所以f(3)=3α=,则α=,所以f(x)=, 所以y=f(x)+f(2-x)=+,所以x≥0且2-x≥0,即0≤x≤2. 则函数y=f(x)+f(2-x)的定义域为[0,2]. √ 【解题有招】 幂函数概念的关注点 一个必须:必须完全具备形如y=xα(α∈R)的函数才是幂函数. 三条满足:(1)指数为常数;(2)底数为自变量;(3)系数为1. 【即学即练】 1.下列函数中,是幂函数的为(　　) A.y=　 B.y=4x3　 C.y=x2+x　 D.y=1 【解析】选A.因为y==x-2,所以是幂函数;y=4x3由于出现系数4,因此不是幂函数;y=x2+x是两项和的形式,不是幂函数;y=1与y=x0(x≠0),可以看出,常函数y=1的图象比幂函数y=x0的图象多了一个点(0,1),所以常函数y=1不是幂函数. √ 2.(2026·池州高一检测)已知幂函数f(x)=xn满足f(4)=2f(1),则f(9)=　　　　.  【解析】由题可知,有4n=2,得n=,则f(x)=,因此f(9)==3. 答案:3 类型2 幂函数的图象及其应用(直观想象) 【典例2】(1)(2026·合肥高一检测)已知二次函数y=ax2+bx的图象如图所示,则函数f(x)=xa和g(x)=xb在第一象限的图象可能是(　　) √ 【解析】选B.由题中图象可知a>0,->0,所以b<0, 根据幂函数的性质可知函数f(x)=xa和g(x)=xb在第一象限分别单调递增、单调递减,显然只有B项正确. (2)如图的曲线是幂函数y=xn在第一象限内的图象.已知n分别取-2,-,,2四个值,与曲线C1,C2,C3,C4相应的n依次为(　　) A.2,,-,-2 B.2,-2,-, C.,-,2,-2 D.-2,-,2, 【解析】选A.由幂函数的单调性可知曲线C1,C2,C3,C4相应的n依次为 2,,-,-2. √ 【解题有招】 解决幂函数图象问题应把握的两个原则 (1)依据图象判断幂指数大小,相关结论为:在(0,1)上,指数越大,幂函数图象越靠近x轴;在(1,+∞)上,指数越大,幂函数图象越远离x轴. (2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y=x-1或y=或y=x3)来判断. 【即学即练】 (2026·松江高一检测)已知a为非零实数,则在同一坐标系内,幂函数y=xa和一次函数y=ax-的图象关系可能是(　　) √ 【解析】选D.对于A:由幂函数的性质可以判断出a<0,而由一次函数的性质可以判断出a>0,矛盾,故A错误; 对于B:由幂函数的性质可以判断出a>0,而由一次函数的性质可以判断出a<0,矛盾,故B错误; 对于C:由幂函数的性质可以判断出a<0,而由一次函数经过二、三、四象限可以判断出a<0,且-<0,矛盾,故C错误; 对于D:由幂函数的性质可以判断出a>0,而由一次函数经过一、三、四象限可以判断出a>0,-<0,可以同时成立,故D正确. 类型3 幂函数的性质及其应用(逻辑推理) 角度1　比较幂值的大小 【典例3】(类题·节节高) 比较下列各组数的大小: (1)()0.5与()0.5; (2)-3.143与-π3; (3)(与(. 【解析】(1)因为y=x0.5在[0,+∞)上单调递增且>,所以()0.5>()0.5. (2)因为y=x3是R上的增函数,且3.14<π,所以3.143<π3,所以-3.143>-π3. (3)因为函数y1=在(0,+∞)上单调递增,又>1,所以(>=1. 又因为函数y2=在(0,+∞)上单调递增,且<1,所以(<=1,所以(>(. 【解题有招】 比较幂值大小的两种基本方法 【即学即练】 1.设a=0.70.6,b=,c=0.90.6,则a,b,c的大小关系为(　　) A.b<c<a　 B.c<a<b C.a<c<b　 D.b<a<c 【解析】选D.因为b==0.30.6,且y=x0.6在[0,+∞)上单调递增, 则0.30.6<0.70.6<0.90.6,即b<a<c. √ 2.若a=,b=(,c=(-2)3,则a,b,c的大小关系为(　　) A.a<b<c B.c<a<b C.b<a<c D.c<b<a 【解析】选D.幂函数y=在[0,+∞)上单调递增,值域为[0,+∞), 由>,得>(>0,因为(-2)3=-8<0,所以c<b<a. √ 角度2　幂函数性质的综合问题 【典例4】(2026·上海高一检测)已知幂函数f(x)=(m∈Z)的图象关于y轴对称,且在区间(0,+∞)上是严格增函数. (1)求m的值; (2)求满足不等式f(2a-1)<f(a+1)的实数a的取值范围. 【解析】(1)因为幂函数f(x)=在区间(0,+∞)上是严格增函数, 所以-m2+4m>0,解得0<m<4,又因为m∈Z,所以m=1或m=2或m=3. 当m=1或m=3时,f(x)=x3为奇函数,图象关于原点对称(舍去); 当m=2时,f(x)=x4为偶函数,图象关于y轴对称,符合题意, 综上所述,m=2. (2)由(1)得f(x)=x4为偶函数,且在区间(0,+∞)上是严格增函数, 则由f(2a-1)<f(a+1)可得|2a-1|<|a+1|, 即(2a-1)2<(a+1)2,即a2-2a<0,解得0<a<2, 所以满足f(2a-1)<f(a+1)的实数a的取值范围为(0,2). 【解题有招】 幂函数性质综合问题的注意点 (1)充分利用幂函数的图象、性质,如图象所过定点、单调性、奇偶性等; (2)注意运用常见的思想方法,如分类讨论、数形结合、转化与化归思想等. 【即学即练】 已知幂函数f(x)=(m2-2m-2)的图象与坐标轴无交点. (1)求f(x)的解析式; (2)解不等式f(x+1)>f(x-2). 【解析】(1)由f(x)是幂函数,得m2-2m-2=1,解得m=3或m=-1, 由f(x)的图象与坐标轴无交点,得5-m2<0,则m=3,所以f(x)的解析式是f(x)=x-4. (2)显然函数f(x)=x-4是偶函数,且在(0,+∞)上单调递减, 不等式f(x+1)>f(x-2)⇔f(|x+1|)>f(|x-2|),因此0<|x+1|<|x-2|,解得x<且x≠-1, 所以原不等式的解集为{x|x<且x≠-1}. $