3.3幂函数--2026-2027学年高一上学期数学必修一课件人教A版

该高中数学课件聚焦幂函数的概念、图象及性质，通过购买蔬菜、正方形面积等5个生活实例导入，引导学生抽象出函数关系，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接函数概念的已有知识。 其亮点在于以思维导图梳理定义域、值域等性质，结合典例解析与定向训练，通过数学抽象（从实例提炼幂函数概念）和直观想象（分析五个常见幂函数图象）培养核心素养。采用问题驱动和合作探究，学生能提升分析与解决问题能力，教师可高效落实教学目标。

3.3　幂函数 素养目标 思维导图 1.通过实例了解幂函数的概念(数学抽象). 2.结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=x-1,y=的图象,了解它们的变化情况(直观想象). 课前自主学习 问题:给出下列5个问题:①如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付p=w元,这里p是w的函数. ②如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=a2,这里S是a的函数. ③如果立方体的棱长为a,那么立方体的体积V=a3,这里V是a的函数. ④如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的边长a=,这里a是S的函数. ⑤如果某人t s内骑车行进了1 km,那么他骑车的平均速度v=t-1 km/s,这里v是t的函数. 　(1)上述5个问题中,若自变量都用x表示,因变量用y表示,则对应的函数关系式分别是什么? 提示:①y=x;②y=x2;③y=x3;④y=;⑤y=x-1. 　(2)这5个函数有什么特征? 提示:①指数是常数;②底数是变量. 【核心概念】 1.幂函数的概念 一般地,函数y=xα(α∈R)叫做幂函数,其中_______是自变量,α是______.  2.幂函数的图象与性质 (1)五个常见幂函数的图象如图: 　x　 常数 (2)五个常见幂函数的性质: 函数性质 y=x y= y=x2 y=x3 y= 定义域 R ______ R R _______ _______ 值域 R [0,+∞) ______ R (-∞,0)∪ (0,+∞) 奇偶 性 奇 非奇 非偶 ___ ___ 奇 [0,+∞) (-∞,0)∪ (0,+∞) [0,+∞) 偶 奇 函数性质 y=x y= y=x2 y=x3 y= 单调性 R上 _____ _____ [0,+∞) 上_____ _______ (-∞,0)上_____ ______,[0,+∞) 上__________ R上 ______ _____ (-∞,0)上___________,(0,+∞)上__________ 公共点 (1,1) 单调 递增 单调 递增 单调 递减 单调递增 单调 递增 单调递减 单调递减 课堂合作探究 探究点一　幂函数的概念 【典例1】(1)已知幂函数f(x)=axb+c-2的图象经过点(2,8),则a+b+c=　　　　　.  【解析】因为f(x)=axb+c-2为幂函数, 则可得即f(x)=xb. 又因为f(x)的图象经过点(2,8),所以2b=8,解得b=3,所以a+b+c=1+3+2=6. 答案:6 (2)已知y=(m2+2m-2)+2n-3是幂函数,求m,n的值. 【解析】由题意得 解得或 所以m=-3或1,n=. 【类题通法】 　判断一个函数是否为幂函数的依据 函数的解析式为y=xα(α为常数)的形式,即(1)指数为常数,(2)底数为自变量且系数为1,形如y=(3x)α,y=2xα,y=xα+5,…的函数都不是幂函数. 【定向训练】 　如果幂函数f(x)=xa的图象经过点(9,3),那么a的值是(　　) A.-2 B.2 C.- D. 【解析】选D.将点(9,3)代入f(x)=xa可得3=9a,即3=32a可得2a=1,解得a=. 探究点二　幂函数的图象和性质 【典例2】(1)如图所示,图中的曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象,已知n取±2,±四个值,则相应于C1,C2,C3,C4的n依次为(　　) A.-2,-,,2 B.2,,-,-2 C.-,-2,2, D.2,,-2,- (2)已知幂函数y=x3m-9(m∈N*)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上单调递减,求满足(a+3<(5-2a的a的取值范围. 【思维导引】(1)根据幂函数的图象特征与性质确定相应的函数图象. (2)先利用幂函数的定义、奇偶性、单调性确定m的值,再利用幂函数的单调性求解关于a的不等式. 【解析】(1)选B.根据幂函数y=xn的性质,在第一象限内的图象,当n>0时,n越大,y=xn的图象递增速度越快,故C1的n=2,C2的n=,当n<0时,|n|越大,曲线越陡峭,所以曲线C3的n=-,曲线C4的n=-2. (2)因为函数在(0,+∞)上单调递减,所以3m-9<0,解得m<3,又m∈N*,所以m=1,2. 因为函数的图象关于y轴对称,所以3m-9为偶数,故m=1,则原不等式可化为(a+3<(5-2a. 因为y=在(-∞,0),(0,+∞)上单调递减,所以a+3>5-2a>0或5-2a<a+3<0或a+3<0<5-2a,解得<a<或a<-3. 即a的取值范围是(,)∪(-∞,-3). 　【类题通法】幂函数的性质如下 (1)在区间(0,+∞)上都有定义,并且图象都通过点(1,1). (2)若α>0,则幂函数的图象通过原点,并且在区间[0,+∞)上单调递增.当0<α<1时,在第一象限内为抛物线形,且开口向右;当α>1时,在第一象限内为抛物线形,且开口向上. (3)若α<0,则幂函数在区间(0,+∞)上单调递减,在第一象限内为双曲线形,当x从右边趋向原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴;当x趋于+∞时,图象在x轴上方无限地逼近x轴. 【定向训练】 1.已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可能是(　　) A.y= B.y= C.y=x3 D.y= 【解析】选D.对于A:函数y==的定义域为[0,+∞),显然不符合题意,故A错误; 对于B:函数y==的定义域为(0,+∞),显然不符合题意,故B错误; 对于C:函数y=x3的定义域为R,又y=x3为奇函数,但是y=x3在(0,+∞)上函数图象是下凸递增的,故不符合题意,故C错误; 对于D:y==的定义域为R,又y=为奇函数,且y=在(0,+∞)上函数图象是上凸递增的,故D正确. 2.若幂函数f(x)=(2m2+m-2)x2m+1在其定义域上是增函数. (1)求f(x)的解析式; (2)若f(2-a)<f(a2-4),求a的取值范围. 【解析】(1)由函数f(x)=(2m2+m-2)x2m+1是幂函数,得2m2+m-2=1,解得m=1或m=-; 当m=1时,f(x)=x3,在定义域R上是增函数,满足题意; 当m=-时,f(x)=x-2,在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上不是增函数,不满足题意, 所以m=1,f(x)=x3. (2)由(1)知f(x)=x3,在定义域R上是增函数, 所以不等式f(2-a)<f(a2-4)等价于2-a<a2-4,化简得a2+a-6>0,解得:a<-3或a>2, 所以a的取值范围是(-∞,-3)∪(2,+∞). 探究点三　幂值的大小比较 【典例3】比较下列各组数的大小: (1)1.10.1,1.20.1.　(2)0.2,0.2. 【思维导引】指数式比较大小⇒指数相同利用幂函数的单调性来比较大小. 【解析】(1)由于要比较的数的指数相同,对于函数y=x0.1,在第一象限内函数单调递增,又因为1.1<1.2,所以1.10.1<1.20.1. (2)由于要比较的数的指数相同,对于函数y=,在第一象限内函数单调递减,又因为0.24<0.25, 所以0.2>0.2. 【类题通法】 利用幂函数单调性比较大小的三种基本方法 【定向训练】 1.(2025·南阳高一检测)下列比较大小中正确的是(　　) A.()0.5<()0.5 B.(-)-1<(-)-1 C.(-2.1<(-2.2 D.(-<( 【解析】选C.对A:因为幂函数y=x0.5在(0,+∞)上单调递增,且>,所以()0.5>()0.5,故A错误;对B:因为幂函数y=x-1为奇函数,在(0,+∞)上单调递减,>,所以()-1<()-1⇒ -()-1>-()-1,即(-)-1>(-)-1,故B错误;对C:因为幂函数y=为奇函数,在(0,+∞)上单调递增,2.1>,所以(2.1>(=⇒-(2.1<-(2.2,即(-2.1<(-2.2,故C正确;对D:因为幂函数y=为偶函数,在(0,+∞)上单调递增,>,所以(>(⇒ (-=(>(,即(->(,故D错误. 2.已知幂函数f(x)=(m2-2m+1)的图象过点(4,2). (1)求f(x)的解析式; (2)判断函数的单调性,并进行证明; (3)若f(a+1)>f(2a-3),求实数a的取值范围. 【解析】(1)因为f(x)=(m2-2m+1)为幂函数,所以m2-2m+1=1,所以m=2或m=0. 当m=2时,f(x)=,图象过点(4,2); 当m=0时,f(x)=,图象不过点(4,2),舍去. 综上,f(x)=. (2)函数f(x)在[0,+∞)上单调递增.设x1,x2∈[0,+∞),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)==,因为0≤x1<x2,所以<0,即f(x1)-f(x2)<0,所以f(x1)<f(x2).所以函数f(x)在[0,+∞)上单调递增. (3)函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,由f(a+1)>f(2a-3),则解得≤a<4. 综上,a的取值范围为[,4). 课堂练习 1.给出四个说法: ①当α=0时,y=xα的图象是一个点; ②幂函数的图象都经过点(0,0),(1,1); ③幂函数的图象不可能出现在第四象限; ④幂函数y=xα的图象在第一象限内单调递减,则α<0. 其中,正确的说法个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】选B.当α=0时,函数y=xα的定义域为{x|x≠0,x∈R},故①不正确;当α<0时,函数y=xα的图象不过(0,0)点,故②不正确;③④正确. √ 2.已知幂函数y=f(x)的图象经过点(4,),则f(2)=(　　) A. B.4 C. D. 【解析】选C.设幂函数为y=xα.因为幂函数的图象经过点(4,),所以=4α,所以α=-, 所以y=,所以f(2)==. 3.若幂函数y=mxn(m,n∈R)的图象经过点(8,),则n=　　　　.  【解析】由题意可得解得n=-. 答案:- √ 4.若幂函数y=(2a2+a)xa在(0,+∞)上单调递减,则a=　　　　　.  【解析】2a2+a=1,解得a=-1或a=. 当a=时,y=,在(0,+∞)上单调递增,与已知不符,舍去; 当a=-1时,y=x-1,在(0,+∞)上单调递减,与已知相符,综上所述,a=-1. 答案:-1 5.比较下列各组数的大小: (1)-与-(. (2)(-与(-. 【解析】(1)-=-(,函数y=在(0,+∞)上单调递增,又>,则(>(. 所以-<-(. (2)(-=(=(,(-=(.因为函数y=在(0,+∞)上单调递减,又>,所以(-<(-. 谢 谢 $